資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
6.1平面向量的概念
班級 姓名
學習目標
1．理解向量的有關概念及向量的幾何表示．
2．理解共線向量、相等向量的概念．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 1．向量與數量(1)向量：既有 又有 的量叫做向量．(2)數量：只有 沒有 的量稱為數量．2．向量的幾何表示(1) 的線段叫做有向線段．它包含三個要素： 、 、 ．(2)向量可以用 來表示．向量的大小稱為向量 的 (或稱模)，記作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，例如：，.【即時訓練1】給出下列物理量：①質量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時間.其中不是向量的有(　　) A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
3．向量的有關概念零向量長度為 的向量，記作 單位向量長度等于 個單位長度的向量平行向量(共線向量)方向 的非零向量，向量a，b平行，記作 . 規定：零向量與任意向量平行相等向量長度 且方向 的向量，向量a與b相等，記作 注意：（1）平行向量也稱為共線向量，兩個概念沒有區別．（2）共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同．（3）平行向量可以在同一條直線上，與平面幾何中的直線平行不同．【即時訓練2】下列說法中正確的有(　　)①單位向量的長度大于零向量的長度；②零向量與任一單位向量平行；③因為平行向量也叫作共線向量，所以平行向量所在的直線也一定共線；④因為相等向量的相等關系具有傳遞性，所以平行向量的平行關系也具有傳遞性；⑤因為相等向量一定是平行向量，所以平行向量也一定是相等向量．A．①②　　　　　B．①②④ C．①③⑤ D．①②③
例1、(1)(多選題)下列說法不正確的是(　　)A．若a與b平行，b與c平行，則a與c一定平行B．共線向量一定在同一直線上C．若|a|>|b|，則a>bD．單位向量的長度為1(2)(多選題)下列條件，能使a∥b成立的有(　　)A．a＝b B．|a|＝|b|C．a與b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0例2、(1)如圖，B，C是線段AD的三等分點，分別以圖中各點為起點和終點，可以寫出________個向量．(2)在如圖所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規畫出下列向量：①，使||＝4，點A在點O北偏東45°；②，使||＝4，點B在點A正東；③，使||＝6，點C在點B北偏東30°.例3、如圖所示,O是正六邊形ABCDEF的中心,且＝a,＝b,＝c.(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？(2)與a共線的向量有哪些？(3)請一一列出與a，b，c相等的向量．
課后作業
一、基礎訓練題
1．(多選題)下列說法正確的選項為（ ）
A．零向量沒有方向；
B．向量的模一定是正數；
C．與非零向量共線的單位向量不唯一
D．長度為0的向量都是零向量；
2．(多選題)下列說法不正確的是（ ）
A．向量與是共線向量，則A，B，C，D必在同一直線上
B．向量 與平行，則與的方向相同或相反
C．向量與向量是平行向量
D．單位向量都相等
3．下面幾個命題：①若a＝b，則|a|＝|b|；②若|a|＝0，則a＝0；③若|a|＝|b|，則a＝b；
④若向量a，b滿足則a＝b. 其中正確命題的個數是(　　)
A．0 　B．1　　　　 C．2　　　　 D．3
4．在同一平面內，把所有長度為1的向量的始點固定在同一點，這些向量的終點形成的軌跡是(　　)
A．單位圓 B．一段弧 C．線段 D．直線
5．如圖是3×4的格點圖(每個小方格都是單位正方形)，若起點和終點都在方格的頂點處，則與平行且模為的向量共有(　　) ．
A．12個 B．18個
C．24個 D．36個
6．如圖所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分別是AB，BC，AC的中點，則與向量相等的向量是(　　)
A．與 B．與
C．與 D．與
7．(多選題)四邊形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE與CG相交于點M，則下列關系一定成立的是(　　)
A．||＝|| B．與共線
C．與共線 D．與共線
8．將向量用具有同一起點M的有向線段表示，當與是平行向量，且||＝2||＝2時，||＝________.
9．若a為任一非零向量，b為模為1的向量，下列各式：
①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正確的是________(填序號)．
10．如圖所示，每個小正方形的邊長都是1，在其中標出了6個向量，在這6個向量中：
(1)有兩個向量的模相等，這兩個向量是____________，
它們的模都等于_____________．
(2)存在著共線向量，這些共線的向量是____________，
它們的模的和等于___________．
11．已知飛機從A地按北偏東30°方向飛行2 000 km到達B地，再從B地按南偏東30°方向飛行2 000 km到達C地，再從C地按西南方向飛行1 000 km到達D地．畫圖表示向量，，，并指出向量的模和方向．
二、綜合訓練題
12．(多選題)已知A＝{與a共線的向量}，B＝{與a長度相等的向量}，C＝{與a長度相等，方向相反的向量}，其中a為非零向量，下列關系中正確的是 (　　)
A．C A B．A∩B＝{a}
C．C B D．(A∩B) {a}
13．(多選題)如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，則以下說法正確的是(　　)
A．與相等的向量只有一個(不含)
B．與的模相等的向量有9個(不含)
C.的模恰好為的模的倍
D.與不共線
三、能力提升題
14．如圖所示，已知四邊形ABCD是矩形，O為對角線AC與BD的交點，設點集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，則集合T有________個元素．
6.1平面向量的概念
參考答案
1、【答案】CD
【解析】零向量的方向是任意的，故A錯；向量的模是非負數，故B錯；
與非零向量共線的單位向量不唯一，分別是，故C正確.由定義知D正確
2、【答案】ABD
【解析】對于選項A,有向線段共線要求線段必須在同一直線上，而向量共線時，表示向量的有向線段可以在平行直線上，不一定在同一直線上，故A錯誤.
對于選項B,由于零向量與任一向量平行，因此，若，中有一個為零向量時，其方向是不確定的.故B錯誤.
對于選項C,由于向量與向量方向相反，所以二者是平行向量，故C正確.
對于選項D,單位向量的長度都相等，方向任意，而向量相等不僅需要長度相等，還要求方向相同.故D錯誤.
3、【答案】B　
【解析】①正確．②錯誤．|a|＝0，則a＝0.③錯誤．a與b的方向不一定相同．④錯誤．a與b的方向有可能相反．
4、【答案】A　
【解析】平面內到定點距離等于定長的點的軌跡是圓．
5、【答案】C　
【解析】每個正方形的邊長為1，則對角線長為，每個小正方形中存在兩個與平行且模為的向量，一共有12個正方形，故共有24個所求向量．
6、【答案】B　
【解析】向量相等要求模相等，方向相同，因此與都是和相等的向量．
7、【答案】ABD　
【解析】∵三個四邊形都是菱形，∴||＝||，AB∥CD∥FH，故與共線．又三點D，C，E共線，∴與共線，故A，B，D都正確．故選ABD．
8、【答案】3或1　
【解析】當與同向時，||＝||＋||＝3；當與反向時，||＝||－||＝1.]
9、【答案】③　
【解析】①錯誤，|a|＝時，|a|＜|b|；②錯誤，a與b的方向關系無法確定；③正確；④錯誤，|b|＝1.
10、【答案】(1)，　　(2)，　5
【解析】結合圖形可知，(1)||＝||＝.
(2)與共線，||＝2，||＝3，故||＋||＝5.
11、[解]　以A為原點，正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向建立直角坐標系．
據題設，B點在第一象限，C點在x軸正半軸上，D點在第四象限，向量，，如圖所示，
由已知可得，
△ABC為正三角形，所以AC＝2 000 km.
又∠ACD＝45°，CD＝1 000 km，
所以△ADC為等腰直角三角形，
所以AD＝1 000 km，∠CAD＝45°.
故向量的模為1 000 km，方向為東南方向.
12、【答案】ACD　
【解析】因為A∩B中包含與a長度相等且方向相反的向量，所以B中的關系錯誤．
13、【答案】ABC　
【解析】與相等的向量只有，A正確；由已知條件可得||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||，B正確；
如圖，過點B作DA的垂線交DA的延長線于E，因為∠DAB＝120°，四邊形ABCD為菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在Rt△BED中，||＝，在Rt△AEB中，||＝||＝||，所以||＝＝||，C正確；
與方向相同，大小相等，故＝，與共線，D錯誤．
14．【答案】12　
【解析】根據題意知，由點O，A，B，C，D可以構成20個向量．但它們有12個向量各不相等，由元素的互異性知T中有12個元素．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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