資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
6.2.3向量的數(shù)乘運算
班級 姓名
學習目標
1．了解向量數(shù)乘的概念.
2．理解并掌握向量數(shù)乘的運算律，會運用向量數(shù)乘的運算律進行向量運算.
3．理解并掌握向量共線定理及其判定方法.
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊內容 1．向量的數(shù)乘運算(1)定義：規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①|λa|＝ ； ②當λ＞0時，λa的方向與a的方向 ； 當λ＜0時，λa的方向與a的方向 ．(2)運算律：設λ，μ為任意實數(shù)，則有：①λ(μ a)＝ ；②(λ＋μ)a＝ ； ③λ(a＋b)＝ ；特別地，有(－λ)a＝ ＝ ；λ(a－b)＝ .(3)線性運算：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量線性運算的結果仍是向量．對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ .【即時訓練1】(多選題)已知非零向量a，b滿足a＝4b，則(　　)　　A.|a|＝|b| B.|a|＝4|b| C.a與b的方向相同 D.a與b的方向相反
2．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.思考：定理中把“a≠0”去掉可以嗎？注：向量共線定理可以劃分為兩個定理：①判定定理：如果b＝λa(λ∈R)，那么a∥b.②性質定理：如果a∥b，a≠0，那么存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.【即時訓練2】判斷下列各小題中的向量a，b是否共線(其中e1，e2是兩個不共線的向量)．①a＝5e1，b＝－10e1； ②a＝e1－e2，b＝3e1－2e2； ③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
向量的線性運算 例1、計算：(1)＝ ；(2)已知向量x，y滿足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，則x＝____________，y＝____________．(用a，b表示)
向量共線定理 例2、設a，b是不共線的兩個向量.(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求證：A，B，C三點共線；(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實數(shù)k的值.
用已知向量表示未知向量 例3、(1)在△ABC中，若點D滿足＝2，則等于(　　)A．＋ B．－ C．－ D．＋(2)如圖， ABCD中，E是BC的中點，若＝a，＝b，則＝(　　)A．a－b　　　　 B．a＋b C．a＋b D．a－b變式、如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，M，N分別是DE，BC的中點，已知＝a，＝b，試用a，b分別表示，，.
課后作業(yè)
一、基礎訓練題
1．若點O為平行四邊形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，則e2－e1＝(　　)
A．　　 B．　 　 C．　 D．
2．(多選題)已知m，n是實數(shù)，a，b是向量，則下列命題中正確的為(　　)
A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，則a＝b D．若ma＝na，則m＝n
3．(多選題)已知a≠0，λ∈R，下列敘述正確的是(　　)
A．λa∥a B．λa與a方向相同
C.是單位向量 D．若|λa|>|a|，則λ>1
4．在四邊形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，則四邊形ABCD是(　　)
A．平行四邊形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形
5．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝(　　)
A．－ B．－
C．＋ D．＋
6．設a，b不共線，＝a＋kb，＝ma＋b(k，m∈R)，則A，B，C三點共線時有(　　)
A．k＝m B．km－1＝0
C．km＋1＝0 D．k＋m＝0
7．(多選題)若點D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且＝a，＝b，則下列結論正確的是(　　)
A．＝－a－b B．＝a＋b
C．＝－a＋b D．＝a
8．已知平面上不共線的四點O，A，B，C，若－3＋2＝0，則＝________.
9．已知在△ABC中，點M滿足＋＋＝0，若存在實數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝________.
10．設兩個非零向量e1，e2不共線，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
問：是否存在實數(shù)k，使得A，B，D三點共線，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．
11．如圖，四邊形OADB是平行四邊形，其對角線相交于C點，＝，＝，且＝a，＝b，用a，b表示向量.
二、綜合訓練題
12．設a，b都是非零向量．下列四個條件中，使＝成立的條件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
13．向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示．若向量λa＋b與c共線，則實數(shù)λ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
三、能力提升題
14．如圖，ABCD是一個梯形，∥且||＝2||，M，N分別是DC，AB的中點，已知＝e1，＝e2，試用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________.
15．如圖，在△ABC中，延長CB到D，使BD＝BC，當點E在線段AD上移動時，若＝λ＋μ，則t＝λ－μ的最大值是________．
6.2.3 向量的數(shù)乘運算
參考答案
1、【答案】A　
【解析】＝－＝－＝3e2－2e1，＝＝e2－e1.
2、【答案】AB　
【解析】A正確．B正確．C錯誤．由ma＝mb得m(a－b)＝0，
當m＝0時也成立，推不出a＝b.D錯誤．由ma＝na得(m－n)a＝0，當a＝0時也成立，推不出m＝n.
3、【答案】AC
【解析】∵a≠0，∴必有λa∥a，而是與a同向的單位向量，故A、C正確；
對于B，當λ>0時，λa與a同向，當λ<0時，λa與a反向；
對于D，由|λa|>|a| |λ||a|>|a| |λ|>1 λ>1或λ<－1，故B、D錯誤．
4、【答案】C　
【解析】由條件可知＝－，∴AB∥CD，又因為||＝||，所以四邊形ABCD為等腰梯形．
5、【答案】A　
【解析】如圖所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故選A．
6、【答案】B　
【解析】若A，B，C三點共線，則與共線，
所以存在唯一實數(shù)λ，使＝λ，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，
所以所以km＝1，即km－1＝0.
7、【答案】ABC
【解析】在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正確；
＝＋＝＋＝a＋b，故B正確；
＝＋＝－b－a，＝＋＝＋＝b＋(－b－a)＝－a＋b，故C正確；
＝＝－a，故D不正確．故選ABC.
8、【答案】2　
【解析】∵－3＋2＝0，∴－＝2(－)，∴＝2，∴＝2.
9、【答案】3　
【解析】∵＋＋＝0，∴＋＝－，
又由＋＝m得(M＋)－2＝m，
即－3＝m＝－m，所以m＝3.
10、[解]　設存在k∈R，使得A，B，D三點共線，
∵＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2，
又∵A，B，D三點共線，∴＝λ，
∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，
∴∴k＝－8，
∴存在k＝－8，使得A，B，D三點共線．
11、解 在平行四邊形OADB中，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，
因為＝，點C是線段AB的中點，所以＝＝(a－b)，
所以＝2＝(a－b)．
因為＝，點C是線段OD的中點，
所以＝＝(a＋b)，
所以＝＋＝(a－b)＋(a＋b)＝a－b.
12、【答案】C　
【解析】，分別表示a，b的單位向量．對于A，當a＝－b時，≠；
對于B，當a∥b時，可能有a＝－b，此時≠；
對于C，當a＝2b時，＝＝；
對于D，當a∥b且|a|＝|b|時，可能有a＝－b，此時≠.綜上所述，使＝成立的條件是a＝2b.
13、【答案】D
【解析】　由題圖易得2a＋b＝c.因為向量λa＋b與c共線，所以λ＝2.故選D.
14、【答案】(1)e2＋e1　(2)e1－e2　
【解析】因為∥，||＝2||，所以＝2，＝.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.]
15、【答案】3　
【解析】，共線，設＝k(0≤k≤1)，又B是CD的中點，則＝2－，＝2k－k，
又＝λ＋μ，∴∴t＝λ－μ＝3k≤3，故t的最大值為3.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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