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第十八章 平行四邊形
章末復習
【典例分析】
類型1 平行四邊形的性質與判定
【例1】如圖所示，在 ABCD中，∠BAD＝32°，分別以BC、CD為邊向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF.延長AB交邊EC于點H，點H在E、C兩點之間，連接AE、AF.
(1)求證：△ABE≌△FDA；
(2)當AE⊥AF時，求∠EBH的度數．
【思路分析】(1)利用平行四邊形對角相等證∠ADF＝∠ABE，再利用平行四邊形對邊相等證上述兩角的兩邊對應相等；(2)利用全等三角形的對應角相等，將其轉化為求∠EAB＋∠FAD的度數．
【規范解答】
【方法歸納】(1)平行四邊形對邊相等、對角相等的性質，常常為我們提供證明兩個三角形全等邊角相等的條件；(2)對于四邊形的問題，我們常常把它轉化為三角形的問題來解決，平行四邊形也是如此．
類型2 特殊平行四邊形的性質與判定
【例2】如圖1，矩形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，過點O的直線EF與AB、CD的延長線分別交于點E、F.
(1)求證：△BOE≌△DOF；
(2)如圖2，當EF與AC滿足什么關系時，以A、E、C、F為頂點的四邊形是菱形？證明你的結論．
【思路分析】(1)由矩形對角線互相平分及平行線的內錯角相等得到△BOE≌△DOF(AAS)；(2)當EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形，可先證四邊形AECF是平行四邊形再推出它是菱形．
【規范解答】
【方法歸納】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形．它們的性質和判定主要從對邊、對角、對角線三個方面進行總結，它們各自特有的性質可以為證明有關線段相等、角相等、直線平行與垂直等問題提供新的方法和思路，同時只要作出恰當的輔助線就可以將這些特殊的圖形進一步分割成三角形，將它們與全等三角形、特殊三角形等圖形緊密結合起來，就可以在豐富的知識背景下去探求問題的解答思路．
【綜合練習】
1.下面的性質中,平行四邊形不一定具有的是 ( )
A.對角互補 B.鄰角互補 C.對角相等 D.對邊相等
2.以長為5,4,7的三條線段中的兩條為邊,另一條為對角線畫平行四邊形,可以畫出形狀不同的平行四邊形的個數是( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3.下列命題是真命題的是( )
A.對角線相等的四邊形是平行四邊形
B.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形
C.對角線互相垂直的四邊形是菱形
D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
4．下列命題正確的是( )
A．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形
B．對角線相互垂直的四邊形是菱形
C．對角線相等的四邊形是矩形
D．對角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形
5．如圖，在 ABCD中，用直尺和圓規作∠BAD的平分線AG，若AD＝5，DE＝6，則AG的長是( )
A．6　　　 B．8　　　
C．10　　　 D．12
6．如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，將紙片沿EF折疊，使點C與點A重合，則下列結論錯誤的是( )
A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 D．AF＝EF
7.如圖,點D、E、F分別為△ABC各邊中點,下列說法正確的是( )
A.DE=DF B.EF=AB C.S△ABD=S△ACD D.AD平分∠BAC
8.如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,過菱形ABCD的對角線的交點O分別作邊AB、BC的垂線,交各邊于點E、F、G、H,則四邊形EFGH的周長為( )
A.3+ B.2+2 C.2+ D.1+2
9．如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在AB、CD邊上，BE＝1，將△CBE沿CE翻折，使B點的對應點B′剛好落在對角線AC上，將△ADF沿AF翻折，使D點的對應點D′也恰好落在對角線AC上，連接EF，則EF的長為　 　.
10．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點Q在對角線AC上，且AQ＝AD，連接DQ并延長，與邊BC交于點P，則線段AP＝　 　.
11．如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點．
(1)判斷四邊形EFGH是何種特殊的四邊形，并說明你的理由；
(2)要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應滿足的一個條件是 ．
12．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，過對角線BD中點O的直線分別交AB、CD邊于點E、F.
(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
(2)當四邊形BEDF是菱形時，求EF的長．
13．正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，記旋轉角∠DAG＝α，其中0°≤α≤180°，連接DF、BF，如圖．
(1)若α＝0°，則DF＝BF，請加以證明；
(2)試畫一個圖形(即反例)，說明(1)中命題的逆命題是假命題；
(3)對于(1)中命題的逆命題，如果補充一個條件后能使該逆命題為真命題，請直接寫出你認為需要補充的一個條件，不必說明理由．
14.如圖,正方形ABCD的對角線交于點O,點E、F分別在AB、BC上(AE(1)求證:OM=ON;
(2)若正方形ABCD的邊長為4,E為OM的中點,求MN的長.
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參考答案
【典例分析】
類型1 平行四邊形的性質與判定
【例1】如圖所示，在 ABCD中，∠BAD＝32°，分別以BC、CD為邊向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF.延長AB交邊EC于點H，點H在E、C兩點之間，連接AE、AF.
(1)求證：△ABE≌△FDA；
(2)當AE⊥AF時，求∠EBH的度數．
【思路分析】(1)利用平行四邊形對角相等證∠ADF＝∠ABE，再利用平行四邊形對邊相等證上述兩角的兩邊對應相等；(2)利用全等三角形的對應角相等，將其轉化為求∠EAB＋∠FAD的度數．
【規范解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ADC＝∠ABC，AD＝BC＝BE，DF＝DC＝AB．在△ABE和△FDA中，AB＝FD，BE＝DA，∠ABE＝360°－∠ABC－∠EBC＝360°－∠ADC－∠CDF＝∠ADF，∴△ABE≌△FDA(SAS)；　
(2)由(1)得∠AEB＝∠FAD，∴∠EBH＝∠AEB＋∠EAB＝∠EAB＋∠FAD＝90°－∠BAD＝90°－32°＝58°，即∠EBH＝58°.
【方法歸納】(1)平行四邊形對邊相等、對角相等的性質，常常為我們提供證明兩個三角形全等邊角相等的條件；(2)對于四邊形的問題，我們常常把它轉化為三角形的問題來解決，平行四邊形也是如此．
類型2 特殊平行四邊形的性質與判定
【例2】如圖1，矩形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，過點O的直線EF與AB、CD的延長線分別交于點E、F.
(1)求證：△BOE≌△DOF；
(2)如圖2，當EF與AC滿足什么關系時，以A、E、C、F為頂點的四邊形是菱形？證明你的結論．
【思路分析】(1)由矩形對角線互相平分及平行線的內錯角相等得到△BOE≌△DOF(AAS)；(2)當EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形，可先證四邊形AECF是平行四邊形再推出它是菱形．
【規范解答】(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OD，AE∥CF，∴∠E＝∠F，∠OBE＝∠ODF，∴△BOE≌△DOF；　
(2)當EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC．又由(1)△BOE≌△DOF，得OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形．又∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．
【方法歸納】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形．它們的性質和判定主要從對邊、對角、對角線三個方面進行總結，它們各自特有的性質可以為證明有關線段相等、角相等、直線平行與垂直等問題提供新的方法和思路，同時只要作出恰當的輔助線就可以將這些特殊的圖形進一步分割成三角形，將它們與全等三角形、特殊三角形等圖形緊密結合起來，就可以在豐富的知識背景下去探求問題的解答思路．
【綜合練習】
1.下面的性質中,平行四邊形不一定具有的是 ( A )
A.對角互補 B.鄰角互補 C.對角相等 D.對邊相等
2.以長為5,4,7的三條線段中的兩條為邊,另一條為對角線畫平行四邊形,可以畫出形狀不同的平行四邊形的個數是( C )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3.下列命題是真命題的是( B )
A.對角線相等的四邊形是平行四邊形
B.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形
C.對角線互相垂直的四邊形是菱形
D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
4．下列命題正確的是( D )
A．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形
B．對角線相互垂直的四邊形是菱形
C．對角線相等的四邊形是矩形
D．對角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形
5．如圖，在 ABCD中，用直尺和圓規作∠BAD的平分線AG，若AD＝5，DE＝6，則AG的長是( B )
A．6　　　 B．8　　　
C．10　　　 D．12
6．如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，將紙片沿EF折疊，使點C與點A重合，則下列結論錯誤的是( D )
A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 D．AF＝EF
7.如圖,點D、E、F分別為△ABC各邊中點,下列說法正確的是( C )
A.DE=DF B.EF=AB C.S△ABD=S△ACD D.AD平分∠BAC
8.如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,過菱形ABCD的對角線的交點O分別作邊AB、BC的垂線,交各邊于點E、F、G、H,則四邊形EFGH的周長為( A )
A.3+ B.2+2 C.2+ D.1+2
9．如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在AB、CD邊上，BE＝1，將△CBE沿CE翻折，使B點的對應點B′剛好落在對角線AC上，將△ADF沿AF翻折，使D點的對應點D′也恰好落在對角線AC上，連接EF，則EF的長為　 　.
【答案】
10．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點Q在對角線AC上，且AQ＝AD，連接DQ并延長，與邊BC交于點P，則線段AP＝　 　.
【答案】
11．如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點．
(1)判斷四邊形EFGH是何種特殊的四邊形，并說明你的理由；
(2)要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應滿足的一個條件是 ．
解：(1)四邊形EFGH是平行四邊形．在△ACD中，∵G、H分別是CD、AC的中點，∴GH∥AD，GH＝AD．在△ABD中，∵E、F分別是AB、BD的中點，∴EF∥AD，EF＝AD，∴EF∥GH，EF＝GH.∴四邊形EFGH是平行四邊形；　
(2)AD＝BC．
12．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，過對角線BD中點O的直線分別交AB、CD邊于點E、F.
(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
(2)當四邊形BEDF是菱形時，求EF的長．
(1)證明：∵四邊形ABCD為矩形，O是BD的中點，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴EO＝FO，∴四邊形BEDF是平行四邊形；　
(2)解：當四邊形BEDF是菱形時，BD⊥EF，設BE＝x，則DE＝x，AE＝6－x，Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，∴x2＝42＋(6－x)2，解得：x＝，∵BD＝＝2，∴OB＝BD＝，∵BD⊥EF，∴EO＝＝，∴EF＝2EO＝.
13．正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，記旋轉角∠DAG＝α，其中0°≤α≤180°，連接DF、BF，如圖．
(1)若α＝0°，則DF＝BF，請加以證明；
(2)試畫一個圖形(即反例)，說明(1)中命題的逆命題是假命題；
(3)對于(1)中命題的逆命題，如果補充一個條件后能使該逆命題為真命題，請直接寫出你認為需要補充的一個條件，不必說明理由．
證明：(1)正方形ABCD和正方形AEFG中，∵GF＝EF，AG＝AE，AD＝AB，∴DG＝BE，又∵∠DGF＝∠BEF＝90°，∴△DGF≌△BEF(SAS)，∴DF＝BF；　(2)反例圖形如答圖；　(3)不唯一，如點F在正方形ABCD內或α＜180°.
14.如圖,正方形ABCD的對角線交于點O,點E、F分別在AB、BC上(AE(1)求證:OM=ON;
(2)若正方形ABCD的邊長為4,E為OM的中點,求MN的長.
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,∴∠OAM=∠OBN=135°,∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,
∴∠AOM=∠BON,∴△OAM≌△OBN(ASA),∴OM=ON;
(2)解:過點O作OH⊥AD于點H,∵正方形的邊長為4,∴OH=HA=2,

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