資源簡介

2009屆新課標數學考點預測：
轉化與化歸的思想方法
化歸與轉化的思想確是指在解決問題時，采用某種手段使之轉化，進而使問題得到解決的一種解題策略，是數學學科與其它學科相比，一個特有的數學思想方法，化歸與轉化思想的核心是把生題轉化為熟題，將復雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化歸為已解決問題。事實上，解題的過程就是一個縮小已知與求解的差異的過程，是求解系統趨近于目標系統的過程，是未知向熟知轉化的過程，因此每解一道題，無論是難題還是易題，都離不開化歸。例如，對于立體幾何問題，通常要轉化為平面幾何問題，對于多元問題，要轉換為少元問題，對于高次函數，高次方程問題，轉化為低次問題，特別是熟悉的一次，二次問題，對于復雜的式子，通過換元轉化為簡單的式子問題等等。化歸靈活性、多樣性，無統一模式，利用動態思維，去尋找有利于問題解決的變換途徑與方法。在高考中，對化歸思想的考查，總是結合對演繹證明，運算推理，模式構建等理性思維能力的考查進行，因此可以說高考中的每一道試題，都在考查化歸意識和轉化能力。高考重視常用變換方法：一般與特殊的轉化、繁與簡的轉化、構造轉化、命題的等價轉化。
1. 轉化運算．
例1.若動直線與函數和的圖像分別交于兩點，則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
分析: 動直線與函數和的圖像分別交于兩點, 橫坐標相同，那么就是縱坐標之差，即求最值。
解: 最大值為
評注:審題要審準，讀懂題意，將問題學會轉化。
例2．（2008湖北卷，理14）已知函數,等差數列的公差為.若,則 .
分析：題目中的已知條件很容易求得，而所求的為可以轉化為等差數列的前10項之和，根據公差，可以把前10項之和轉化為用表示出來，從而求得。
解：由和知，
=
評注：仔細分析題目，把運算進行轉化，可以大大地節省時間，提高做題的效率。本題中把等差數列的前10項之和轉化為用表示出來，比較快捷，減少計算量。
2．新定義運算轉化為普通運算
例3．（2008山東省泰安市）如圖所示的韋恩圖中，A、B是非空集合，定義集合A#B為陰影部分表示的集合．若，， 則A#B為（ ）
A． B．
C． D．
分析：根據圖形語言可知定義的A#B轉化為原有的運算應該是表示為，所以需要求出和，借助數軸求出并集與交集。
解：，，則，根據新運算，得A#B=故選D
答案：D
評注：本題是集合中的新定義運算題，綜合考查了圖形語言、集合的描述法表示，函數的定義域和值域，以及集合的交并補的運算。解題的關鍵是由圖形語言把新定義運算轉化為原有的普通運算解出。
例4．（2008山東省鄆城一中）定義一種運算，令，且，則函數的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
分析：根據新定義，知要確定函數的解析式，需要比較與的大小關系，即需要求的取值范圍，另外，還要注意自變量的取值范圍，再確定的解析式，從而求出函數的最大值。
解：設，
∵，∴，∴，即，
根據新定義的運算可知，
∴（）
∴函數的最大值是，故選A
答案：A
評注：解決新定義問題，首先要把定義讀懂理解透，把陌生的新內容轉化為熟悉的已知的內容，在此基礎上進一步研究熟悉的問題。
3．轉化函數關系
例5．（2008山東卷，文15）已知，
則的值等于 ．
分析：本題中的函數不是以為整體，而是以為整體給出的解析式，所以要求函數值，需要先求關于的解析式，再代入求值。
解：∵，∴，
則
評注：有些題目中往往所給的解析式不是關于的解析式，這時需要我們把解析式進行轉化，本題中先把函數進行轉化，然后進行運算。
4．函數與導函數之間的轉化
例6．（2008湖北卷，理7）若上是減函數，則的取值范圍是 （ ）
A. B. C. D.
分析：把已知條件函數在某區間上是單調減函數需要轉化為函數的導函數在此區間上是恒負，再分化出，轉化為函數研究最值問題解決。
解：∵上是減函數，∴在上恒成立，即在上恒成立，設在上單調遞增，∴，∴當時，在上恒成立，即上是減函數。故選C
答案：C
評注：函數的單調性通常轉化為導函數的正負判斷，而不等式恒成立又常常轉化為函數研究最值問題，本題中還要注意做題的嚴密性，等號不能丟掉。
例7．（2008福建卷，理12）已知函數y=f(x),y=g(x)的導函數的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是（ ）
分析：注意觀察導函數的圖象以及原函數的圖象，并把所得到的信息轉化為原函數的信息，加以排除選擇。
解：令，則，當時，由圖象知，即，是增函數，則答案Ａ，Ｃ錯，　當時，，即，是減函數，則答案Ｂ錯，故選Ｄ．
答案：Ｄ
評注：對于由圖形給出的信息要從中提煉出來，并適當地用數學語言表述準確，本題中的兩個函數可以轉化為一個函數，進行構造，導函數的正負轉化為原函數的增減。
5.三視圖轉化為立體圖
例8．（2009萊陽模擬）一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為4的兩個全等的等腰直角三角形．若該幾何體的體積為V，并且可以用n這樣的幾何體拼成一個棱長為4的正方體，則V，n的值是（ ）
A． B．
C． D．
分析：由三視圖轉化為立體圖，再做解答。
解：根據三視圖，可知此幾何體為一個如圖所示的四棱錐，其體積為，故選B
答案：B
評注：高考題注重對立體幾何中的三視圖的考查，一般是給出幾何體的三視圖，讓我們還原為立體圖，然后求出一些幾何量。
例9．（2008山東淄博市模擬）一個幾何體的三視圖如下圖所示，其中正視圖中△是邊長為的正三角形，俯視圖為正六邊形，那么該幾何體的側視圖的面積為（ ）
正視圖 側視圖 俯視圖
A． B． C． D．
分析：先把三視圖還原為立體圖，再由立體圖進行解答。
解：有三視圖可知，此幾何體為正六棱錐，如圖，其中正視圖
為，是正三角形，則，∴底面邊長為1，側棱長為2，
則高為，設分別為的中點，則為側視圖，
，∴側視圖的面積為，故選。
答案：
評注：正確對待三視圖，要會還原為立體圖，找出相應的量解出，
注意對應的量不能出錯。
6．極坐標與參數方程轉化為普通方程
例10．（2008南通四縣）（坐標系與參數方程）已知曲線C的極坐標方程是．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是：，求直線l與曲線C相交所成的弦的弦長．
分析：本題既有參數方程又有極坐標方程，用極坐標方程和參數方程研究弦長問題很難解決，可以轉化為普通方程求出。
解：曲線C的極坐標方程是化為直角坐標方程為，即 直線l的參數方程，化為普通方程為x－y－1=0，
曲線C的圓心（2，0）到直線l的距離為
所以直線l與曲線C相交所成的弦的弦長=．
評注：研究極坐標與參數方程問題可以直接研究，也可以轉化為普通方程研究，特別是在研究直線與圓錐曲線的位置關系時常常轉化為普通方程求出。
7．函數、方程、不等式之間的轉化
例11．（2009山東省濟寧市）若函數有三個不同的零點，則實數的取值范圍是
A． B． C． D．
分析:本題為三次函數有三個不同的零點，則函數應該有兩個極值點，一個極值為正，一個極值為負，所以要先求出其導數，再求其極值。
解: 由函數有三個不同的零點,則函數有兩個極值點,且有,得,所以函數的兩個極值為和,結合圖象,應該有∴,故選A
答案:A
評注:一般地對于高次函數來說，要轉化為導函數研究問題，特別是在研究函數的單調性、最值等性質時要用導數解決。
例12．設函數為實數。
（Ⅰ）已知函數在處取得極值，求的值；
（Ⅱ）已知不等式對任意都成立，求實數的取值范圍。
分析：（Ⅱ）中不等式對任意都成立，可以轉化為的不等式在都成立，從而變為的一次函數由單調性來解答；也可以將分化出來，轉化為的不等式在恒成立，研究右邊函數的最值。
解: (1)，由于函數在時取得極值，所以
即
(2) 方法一： 由題設知：對任意都成立
即對任意都成立
設 , 則對任意，為單調遞增函數
所以對任意，恒成立的充分必要條件是
即 ，， 于是的取值范圍是
方法二：由題設知：對任意都成立
即對任意都成立
于是對任意都成立，即
， 于是的取值范圍是
評注：對于不等式恒成立問題，一般來說是要分化出參數，轉化為求右邊函數的最值問題；但有的也不容易分化，我們也可以轉換主變量，把二次函數轉化為一次函數，根據一次函數的單調性即可容易完成。
（湖北理）
已知定義在正實數集上的函數，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．
（I）用表示，并求的最大值；
（II）求證：（）．
本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力．
解：（Ⅰ）設與在公共點處的切線相同．
，，由題意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．
令，則．于是
當，即時，；
當，即時，．
故在為增函數，在為減函數，
于是在的最大值為．
（Ⅱ）設，
則．
故在為減函數，在為增函數，
于是函數在上的最小值是．
故當時，有，即當時，．
8．數列問題的轉化
例13．（2009萊陽高三理）若數列滿足，則稱數列為調和數列。已知數列為調和數列，且，則 。
分析：根據調和數列的定義，可以看出其倒數數列符合等差數列的定義，由此可以轉化，利用等差數列的定義求出前項和。
解：根據調和數列的定義知：數列為調和數列，則，也就是數列為等差數列，現在數列為調和數列，則數列為等差數列，那么由，得，20
答案：20
評注：本題為新定義題，但也不要被表象所迷惑，通過現象看本質，轉化為我們熟悉的特殊數列等差數列進一步解答，此題中注意角色的變化，數列為調和數列，數列為等差數列是解題的關鍵。
例14．（2008陜西卷，文20）已知數列的首項，，…．
（Ⅰ）證明：數列是等比數列；（Ⅱ）數列的前項和．
分析：對于證明數列為等比數列，要按定義證明，但證明完后也提示我們下一步要用等比數列求出數列的通項公式，然后進一步判斷數列的類型，從而求出其前項和。
解：（Ⅰ） ， ，
，又，，
數列是以為首項，為公比的等比數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．
設…， ①
則…，②
由①②得…，
．又…．
數列的前項和
評注：解決數列問題就要判斷是否為等差、等比數列，如果不是，那么能否構造新數列為特殊數列，注意轉換角色，把數列問題轉化為我們熟悉的特殊數列問題和研究方法解答。
9．平面向量、解析幾何中的化歸思想
例15.（2008全國Ⅰ，理10）若直線通過點，則（ ）
A． B． C． D．
分析：點是單位圓上的點，，則可以通過直線與單位圓的位置關系來轉化。，當然也可以把直線看作等式或看作向量的數量積來解答。
解法一：由題意知直線與圓有交點，則.
解法二：設向量，由題意知
由可得
答案: D
評注：本題中的兩種方法都是把已知條件進行了轉化，利用化歸的思想解決問題不適為捷徑，方法比較活躍，知識連接成網，這要靠我們平時積累和總結。
例16.（全國Ⅱ，理21）設橢圓中心在坐標原點，是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四邊形面積的最大值．
分析：本題中涉及到的點比較多，其中都在直線上，（Ⅰ）中的向量要用點的坐標表示出，所以可以先設出各點的坐標，再轉化為關于的方程解出，（Ⅱ）中的四邊形面積可以轉化為兩個三角形的面積求出，可以都以為公共邊，也可以以為公共邊求出。
（Ⅰ）解：依題設得橢圓的方程為，
直線的方程分別為，．
如圖，設，其中，
且滿足方程，故．①
由知，得；
由在上知，得．所以，
化簡得，解得或．
（Ⅱ）解法一：根據點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為，．
，所以四邊形的面積為
，
當，即當時，上式取等號．所以的最大值為．
解法二：由題設，，．設，，由①得，，
故四邊形的面積為
，
當時，上式取等號．所以的最大值為．
評注：解析幾何中的問題常常與向量、函數、方程、不等式等問題相聯系，進行轉化解答。
10.立體問題轉化為平面（向量）問題
例17.（2008江蘇海頭高級中學）如圖，有一圓柱形的開口容器（下表面密封），其軸截面是邊長為2的正方形，P是BC中點，現有一只螞蟻位于外壁A處，內壁P處有一米粒，則這只螞蟻取得米粒所需經過的最短路程為__ _ ．
分析：研究最短距離，需要把立體圖展為平面圖，由兩點間的線段最短，求線段的長。
解：把圓柱側面展開，并把里面也展開，如圖所示，則這只螞蟻取得米粒所需經過的
最短路程為展開圖中的線段，則
答案：
評注：研究立體問題常常以平面為基準，把立體問題
轉化為平面問題，把曲線問題轉化為直線問題，
這是解決問題的轉化與化歸思想。
例18.（2008年安徽卷，理18）如圖，在四棱錐中，
底面四邊長為1的菱形，, ,
,為的中點，為的中點
（Ⅰ）證明：直線；
（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；
（Ⅲ）求點B到平面OCD的距離。
分析：要證線面平行,可以在面內找的平行線,取的中點,通過線線平行證出,也可以找平面的平行平面通過面面平行證出; 異面直線AB與MD所成角可以通過平移轉化為平面角求出;而（Ⅲ）中點B到平面OCD的距離不易找出,可以利用線轉化為點A到平面OCD的距離求出.還可以用向量法通過計算解答各題.
解法一：（綜合法） （1）取OB中點E，連接ME，NE
又
（2） 為異面直線與所成的角（或其補角）
作連接

所以 與所成角的大小為
（3）點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點A作
于點Q，
又 ,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離
，
，所以點B到平面OCD的距離為
解法二.(向量法)作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系
(1)
設平面OCD的法向量為,則
即 取,解得
(2)設與所成的角為,
, 與所成角的大小為
(3)設點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值,
由 , 得.所以點B到平面OCD的距離為
評注:立體幾何問題一般都可以用兩種方法綜合法和向量法.都要經過轉化,把立體問題轉化為平面問題,將空間問題轉化為代數運算從而證得求出.
例19.（2008山東卷，理20）如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若為上的動點，與平面所成
最大角的正切值為，求二面角的余弦值．
分析：比較容易證出,可以轉化為線面垂直證明出, （Ⅱ）的點為上的動點,而且與平面所成最大角不太容易找到,根據（Ⅰ）就要轉化為點到的距離最短,然后求出確定位置.另外,對于點的位置不確定而且比較容易建立直角坐標系時,用坐標計算比較簡單。
解:（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．
因為為的中點，所以．又，因此．
因為平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，所以．
（Ⅱ）解：設，為上任意一點，連接．
由（Ⅰ）知平面，則為與平面所成的角．
在中，，所以當最短時，最大，
即當時，最大．此時，
因此．又，所以，所以．
解法一：因為平面，平面，所以平面平面．
過作于，則平面，過作于，連接，則為二面角的平面角，在中，，，又是的中點，在中，，
又，在中，，即所求二面角的余弦值為．
解法二：由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又分別為的中點，所以
，，所以．
設平面的一法向量為，
則因此
取，則，因為，，，
所以平面，故為平面的一法向量．又，
所以．因為二面角為銳角，
所以所求二面角的余弦值為．
評注：本題為探索性問題，難度比較大。特別是在使用線面角時不易找出。這就需要我們耐心分析，仔細體會前后問之間的關系，能否打通思路，把問題進行適當地轉化，做到立體問題平面化，幾何問題代數化，利用化歸思想解答問題。
11.預測題
（1）.（2008廣東）已知兩不等的實數滿足則過點和的直線與單位圓的位置關系為（ ）
A.相切 B.相離 C.相交 D.不確定
分析:本題給出的是兩個方程,所研究的是直線與圓的位置關系,,需要兩點確定的直線方程,通過觀察就可以把已知的方程轉化為所求直線的方程,從而判斷直線與圓的位置關系.
解:因為 實數滿足,所以點和的坐標都適合直線,即兩點確定的直線方程為,原點到此直線的距離為,所以直線與圓相切.故選A
答案:A
評注:不要直接由兩點式寫方程,要注意觀察并把已知條件轉化,減少計算量.
（2）.（08屆莆田四中）已知是內一點,且若、、的面積分別為、, 則的最小值是（ ）
A．9 B. 16 C. 18 D. 20
分析:已知條件為向量的數量積與夾角,可以得到兩邊之積,再由兩邊與夾角求得的面積,另一方面, 的面積又為、、的面積之和,從而實現了由向量向代數式的轉化.然后用均值不等式求得最值.
解:∵∴,∴,又因為的面積為、、的面積之和,∴得
當且僅當時取等號.故選C.
答案:C
評注:本題完成了由向量向函數方程之間的轉化,進而又轉化為用均值不等式求最值.做題時要注意條件的聯系性和化歸的數學思想.
（3）（寧夏銀川一中）設函數
項和是（ ）
A． B． C． D．
分析:把題目中的函數求出,得到解析式,從而轉化為數列的通項與前項的和.
解: 由函數知,所以, 所以
,項和為=,故選C.
答案:C
評注:本題中給出的已知 條件是函數與導函數,由導函數確定原函數,從而求得數列的通項公式,然后求出前項的和.
（4）（江蘇省鹽城中學）求直線（）被曲線所截的弦長.
分析:本題給出的是參數方程和極坐標方程,要求弦長,就要轉化為普通方程.
解:將方程,分別化為普通方程：，
評注:對于參數方程和極坐標方程的方程,可以直接求解,也可以轉化為普通方程求解出.
（5）.（原創）設函數,若,則點所形成的區域的面積為 ( )
A. B. C. D.
分析:首先分析由所確定的平面區域,再根據區域的形狀求其面積.
解:由,得,即,所表示的區域為以為圓心,以為半徑的圓面.由,
得,即,所表示的區域為直線的左下方.故點所形成的區域如圖陰影部分所示.
到直線的距離為,又,故,
,對應的圓心角角為,扇形ABC的面積為;
又的面積為,故陰影部分的面積為.即點所形成的區域的面積為.選D.
評注:考查圓的標準方程,點到直線的距離,一元二次方程表示平面區域,扇形的面積以及函數的表示等知識.考查運算能力和化歸思想.函數,不等式的內容都是比較容易與其它知識相結合的知識點,本題在形式上是函數和不等式問題,但剖析之后可以發現,其實質是圓與線性規劃相結合的問題.高考中,知識的交匯試題是主流,很多題目都是以一個知識點為載體考查另一個知識點,解題時一定要善于分析,透過表面看透問題的實質,從而合理轉化,尋求問題的解決途徑.
（6）.（原創）已知過點（0,3）的直線與函數的導函數的圖象交于兩點, ,且,其中
（1）求直線的方程,并求的長.
（2）問若，問實數m取何值時，使得的圖象恒在的圖象的上方？
分析:根據求導公式,將函數問題轉化為拋物線與直線的位置關系問題,通過解方程組,由韋達定理和向量的數量積坐標運算,利用待定系數法求解.
解: 函數的導函數為,其圖象為開口向上的拋物線, 因為直線過點（0,3）, 與拋物線交于兩點,所以直線的斜率存在,設為,則直線的方程為,解方程組消去得：，△，方程組有兩解，設，則，，∴，
∵,∴，
又∵ ∴，
即，∴，
即∴或，
①當時，直線的方程為，
此時，，，==.
②當時，直線的方程為，此時，，
，==.
（2）設，定義域為
則，令，得，
∴當時，，為減函數；
當時，，為增函數；∴當時，最小，最小值為，∴要使得的圖象恒在的圖象的上方，需使最小值>0,即
評注:考查函數求導,利用導數求函數的最值, 向量的數量積, 考查直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識,考查利用韋達定理計算弦長等綜合運算求解能力.本題通過函數求導,把問題轉化為研究直線與圓錐曲線的位置關系,并把兩曲線的位置關系的討論轉化為利用導數研究函數的最值的綜合性題目.做題時要仔細審題,逐步翻譯,求解直線或圓錐曲線的方程時往往要先設后求,利用待定系數法和解方程組法由韋達定理解答.在解答問題時要注意直線的斜率是否存在,解方程組時,判別式是否大于0,函數的定義域等這些細節問題.
www.ks5u.com

展開更多......

收起↑