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正弦函數余弦函數的性質
例1.解：（1）令，則是周期為的函數，所以，即，即，所以的周期為．
（2）同（1），有，所以的周期為．
（3）同（1），有，所以的周期為．
例2 解：（1），畫出函數的圖象（圖略），可以發現它的周期為．
（2）的圖象相當于把的圖象在軸下方的部分翻折上去，可以發現函數周期為．
（3）的圖象相當于把的圖象在軸下方的部分翻折上去，它的周期合好是函數周期的一半，即周期為．
例3 解：（1）是偶函數，但不是周期函數，圖象如圖．
（2）因為，所以函數的定義域為．
又，
所以函數為奇函數．
（3）由可知，，顯然定義域不關于原點對稱，所以函數，為非奇非偶函數．
例4（1）如果函數的圖象關于直線對稱，求實數a的值；
（2）如果函數的圖象關于點對稱，求實數a的值；
解：（1）因為是函數圖象的對稱軸，所以對任意實數均成立.令，有，解得
（2）因為是函數圖象的對稱中心，所以對任意實數x均成立，令，有，解得.
鞏固訓練
一、單選題
1.函數的最小正周期為( )
A. B. C. D.
答案：B
2.函數圖象的一條對稱軸是( )
A.直線 B.直線 C直線 D.直線
答案：D 解：函數圖象的對稱軸方程為，．
3.對函數的奇偶性敘述正確的是（ ）
A.奇函數 B.偶函數 C.非奇非偶函數 D.奇偶性與a的取值有關
答案：A 解：函數的定義域為，且．
4.已知是周期為5的奇函數，且，若，則的值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
答案：B 解：由，得，所以．
5.函數的圖像是（ ）
答案：A 解：由得，所以，函數的最大值是．
二、多選題
6.下列說法正確的是（　　）
A．的定義域為R
B．的最小值為1
C．為奇函數
D．的單調遞增區間為
【答案】AC
【分析】利用正弦函數的定義域，值域，奇偶性及單調性依次判斷各選項，即可得解.
【詳解】對于A，的定義域為R，故A正確；
對于B，當時，函數取得最小值為，故B錯誤；
對于C，根據正弦函數的性質及函數的奇偶性可知為奇函數，故C正確；
對于D，根據正弦函數的性質，知的單調遞增區間為，故D錯誤；
故選：AC
7．已知函數在區間上單調遞增，則的值可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】先整體思想求函數的單調增區間，再利用包含關系列不等式求解.
【詳解】由，
得，
所以所以.
令得.又，所以.
故選:AB.
8．已知函數，把的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，則（ ）
A．是奇函數
B．的圖象關于直線對稱
C．在上單調遞增
D．不等式的解集為
【答案】AB
【分析】A選項，由左加右減得到的解析式，從而判斷出奇偶性；B選項，，故B正確；C選項，整體法判斷函數的單調性；D選項，由得到，求出不等式的解集.
【詳解】A選項，，
由于的定義域為R，且，
故為奇函數，A正確；
B選項，，故的圖象關于直線對稱，B正確；
C選項，時，，其中在上不單調，
故在上不單調，故C錯誤；
D選項，，則，則，
故，D錯誤.
故選：AB
三、填空題
9.已知函數圖像的相鄰兩條對稱軸間的距離為，則______.
答案： 解：由，解得．
10. 已知函數圖像關于點對稱，則______.
答案： 解：由，，又，所以．
11. 已知函數與圖像的對稱軸完全重合，則函數圖像的對稱中心為______.
答案：， 解：，，．
四、解答題
12.已知是定義在上的奇函數，且當時，取得最大值是2，求的值.
解：由題意知，，且連續項之和為，所以
．
13.已知函數對任意實數都有.
（1）求的值；
（2）求的最小正值；
（3）當取最小正值時，求在區間上的最大值和最小值.
解：（1）由知直線是函數圖象的一條對稱軸，所以．
（2）由得，，則，，所以的最小正值為．
（3），因為，所以．
觀察正弦函數的圖象得，所以當時，；
當時，．正弦函數余弦函數的性質
1.周期函數的定義
一般地，設函數的定義域為D，如果存在個非零常數T使得對每一個，都有，且，那么函數就是周期函數，非零常數T是這個函數的周期如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫最小正周期.
特別地，函數（其中）的最小正周期.
2.正弦函數、余弦函數的周期性和對稱性
函數
圖像
定義域
值域
周期性
奇偶性 奇函數，圖像關于原點中心對稱 偶函數，圖像關于y軸對稱
對稱中心（無窮多個） （由解得橫坐標） （由解得橫坐標）
對稱軸
注：正弦函數、余弦函數圖象與x軸所有的交點都是其對稱中心，所有過最值點且垂直于x軸的直線都是圖象的對稱軸
3.函數的對稱性
令，得圖象的對稱軸方程為.
令，得圖象的對稱中心為
■范例分析■
例1.求下列函數的周期.
（1）；
（2）；
（3）.
例2 求下列函數的周期
（1）
（2）
（3）
例3 判斷下列函數的奇偶性.
（1）
（2）
（3）
例4（1）如果函數的圖象關于直線對稱，求實數a的值；
（2）如果函數的圖象關于點對稱，求實數a的值；
鞏固訓練
一、單選題
1.函數的最小正周期為( )
A. B. C. D.
2.函數圖象的一條對稱軸是( )
A.直線 B.直線 C直線 D.直線
3.對函數的奇偶性敘述正確的是（ ）
A.奇函數 B.偶函數 C.非奇非偶函數 D.奇偶性與a的取值有關
4.已知是周期為5的奇函數，且，若，則的值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
5.函數的圖像是（ ）
二、多選題
6.下列說法正確的是（　　）
A．的定義域為R
B．的最小值為1
C．為奇函數
D．的單調遞增區間為
7.已知函數在區間上單調遞增，則的值可能為（ ）
A． B． C． D．
8.已知函數，把的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，則（ ）
A．是奇函數
B．的圖象關于直線對稱
C．在上單調遞增
D．不等式的解集為
三、填空題
9.已知函數圖像的相鄰兩條對稱軸間的距離為，則______.
10. 已知函數圖像關于點對稱，則______.
11. 已知函數與圖像的對稱軸完全重合，則函數圖像的對稱中心為______.
四、解答題
12.已知是定義在上的奇函數，且當時，取得最大值是2，求的值.
13.已知函數對任意實數都有.
（1）求的值；
（2）求的最小正值；
（3）當取最小正值時，求在區間上的最大值和最小值.

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