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――概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)
九、直線、平面、簡(jiǎn)單多面體
1、三個(gè)公理和三條推論：
（1）公理1：一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．這是判斷直線在平面內(nèi)的常用方法．
（2）公理2、如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，而且這無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)都在同一條直線上．這是判斷幾點(diǎn)共線（證這幾點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)）和三條直線共點(diǎn)（證其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上）的方法之一．
（3）公理3：經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．推論1：經(jīng)過(guò)直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．公理3和三個(gè)推論是確定平面的依據(jù)．如（1）在空間四點(diǎn)中，三點(diǎn)共線是四點(diǎn)共面的_____條件（答：充分非必要）；（2）給出命題：①若A∈l，A∈α，B∈l ，B∈α，則 l α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，則α∩β＝AB；③若lα　，A∈l，則Aα　④若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共線，則α與β重合．上述命題中，真命題是_____（答：①②④）；（3）長(zhǎng)方體中ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在線段BD，A1C1上各有一點(diǎn)P、Q，在PQ上有一點(diǎn)M，且PM=MQ，則M點(diǎn)的軌跡圖形的面積為_(kāi)______（答：24）
2、直觀圖的畫(huà)法（斜二側(cè)畫(huà)法規(guī)則）：在畫(huà)直觀圖時(shí)，要注意：（1）使，所確定的平面表示水平平面．（2）已知圖形中平行于軸和軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度和平行性不變，平行于軸的線段平行性不變，但在直觀圖中其長(zhǎng)度為原來(lái)的一半．如（1）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形為如下圖的一個(gè)正方形，則原來(lái)圖形的形狀是（　　）（答：A）
（2）已知正的邊長(zhǎng)為，那么的平面直觀圖的面積為_(kāi)____（答：）
3、空間直線的位置關(guān)系：（1）相交直線――有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．（2）平行直線――在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)．（3）異面直線――不在同一平面內(nèi)，也沒(méi)有公共點(diǎn)．如（1）空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的中點(diǎn)，則直線EG和FH的位置關(guān)系_____（答：相交）；（2）給出下列四個(gè)命題：①異面直線是指空間既不平行又不相交的直線；②兩異面直線，如果平行于平面，那么不平行平面；③兩異面直線，如果平面，那么不垂直于平面；④兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線 ．其中正確的命題是_____（答：①③）
4、異面直線的判定：反證法． 如（1）“ａ、ｂ為異面直線”是指：①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；②ａ面α，ｂ面β且a∩b＝Φ；③ａ面α，ｂ面β且α∩β＝Φ；④ａ面α，b面α　；⑤不存在平面α，能使ａ面α且ｂ面α成立．上述結(jié)論中，正確的是_____（答：①⑤）；（2）在空間四邊形ABCD中，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，設(shè)BC+AD=2a，則MN與a的大小關(guān)系是_____（答：MN5、異面直線所成角的求法：（1）范圍：；（2）求法：計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移（中點(diǎn)平移，頂點(diǎn)平移以及補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，以便易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系）轉(zhuǎn)化為相交兩直線的夾角．如（1）正四棱錐的所有棱長(zhǎng)相等，是的中點(diǎn)，那么異面直線與所成的角的余弦值等于____（答：）；（2）在正方體AC1中，M是側(cè)棱DD1的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一點(diǎn)，則OP與AM所成的角的大小為_(kāi)___（答：90°）；（3）已知異面直線a、b所成的角為50°，P為空間一點(diǎn)，則過(guò)P且與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有____條（答：2）；（4）若異面直線所成的角為，且直線，則異面直線所成角的范圍是____（答：）；
6、異面直線的距離的概念：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線．兩條異面直線的公垂線有且只有一條．而和兩條異面直線都垂直的直線有無(wú)數(shù)條，因?yàn)榭臻g中，垂直不一定相交．如（1）ABCD是矩形，沿對(duì)角線AC把ΔADC折起，使AD⊥BC，求證：BD是異面直線AD與BC的公垂線；（2）如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，EF是異面直線AC與A1D的公垂線，則由正方體的八個(gè)頂點(diǎn)所連接的直線中，與EF平行的直線有____條（答：1）；
7、兩直線平行的判定：（1）公理4：平行于同一直線的兩直線互相平行；（2）線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交的交線和這條直線平行；（3）面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行；（4）線面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．
8、兩直線垂直的判定：（1）轉(zhuǎn)化為證線面垂直；（2）三垂線定理及逆定理．
9、直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)；（2）直線與平面相交．其中，如果一條直線和平面內(nèi)任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直．注意：任一條直線并不等同于無(wú)數(shù)條直線；（3）直線與平面平行．其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外．如（1）下列命題中，正確的是 Ａ、若直線平行于平面內(nèi)的一條直線b , 則 // 　Ｂ、若直線垂直于平面的斜線b在平面內(nèi)的射影，則⊥b　　Ｃ、若直線垂直于平面,直線b是平面的斜線，則與b是異面直線　　Ｄ、若一個(gè)棱錐的所有側(cè)棱與底面所成的角都相等，且所有側(cè)面與底面所成的角也相等，則它一定是正棱錐（答：D）；（2）正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是___________（答：線段B1C）．
10、直線與平面平行的判定和性質(zhì)：（1）判定：①判定定理：如果平面內(nèi)一條直線和這個(gè)平面平面平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行；②面面平行的性質(zhì)：若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線與另一個(gè)平面平行．（2）性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交的交線和這條直線平行．在遇到線面平行時(shí)，常需作出過(guò)已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì)．如（1）α、β表示平面，a、b表示直線，則a∥α的一個(gè)充分不必要條件是　A、α⊥β，a⊥β　　　　　　B、α∩β＝b，且a∥b　C、a∥b且b∥α　D、α∥β且aβ（答：D）；（2）正方體ABCD-A１B１C１D１中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM=DN，求證：MN∥面AA1B1B．
11、直線和平面垂直的判定和性質(zhì)：（1）判定：①如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直．②兩條平行線中有一條直線和一個(gè)平面垂直，那么另一條直線也和這個(gè)平面垂直．（2）性質(zhì)：①如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線都垂直．②如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．如（1）如果命題“若∥z，則”不成立，那么字母x、y、z在空間所表示的幾何圖形一定是_____（答：x、y是直線，z是平面）；（2）已知a，b，c是直線，α、β是平面，下列條件中能得出直線a⊥平面α的是　 A、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂα，ｃα　　B、a⊥b ，ｂ∥α　C、α⊥β，ａ∥β　 D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答：D）；（3）AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求證：BD⊥平面AEF．
12、三垂線定理及逆定理：（1）定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．（2）逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直．其作用是證兩直線異面垂直和作二面角的平面角．
13、直線和平面所成的角：（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個(gè)平面所成的角．（2）范圍：；（3）求法：作出直線在平面上的射影；（4）斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角．如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，則AD與平面AA1C1C所成的角為_(kāi)_____（答：arcsin）；（2）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、C1D1的中點(diǎn)，則棱 A1B1 與截面A1ECF所成的角的余弦值是______（答：）；（3）是從點(diǎn)引出的三條射線，每?jī)蓷l的夾角都是，則直線與平面所成角的余弦值為_(kāi)_____（答：）；（4）若一平面與正方體的十二條棱所在直線都成相等的角θ，則sinθ的值為_(kāi)_____（答：）．
14、平面與平面的位置關(guān)系：（1）平行――沒(méi)有公共點(diǎn)；（2）相交――有一條公共直線．
15、兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)：（1）判定：一個(gè)如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．（2）性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．如（1）是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件中，不能判定平面的條件是A、是內(nèi)一個(gè)三角形的兩條邊，且　　B、內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到的距離都相等　　C、都垂直于同一條直線　　D、是兩條異面直線，，且（答：B）；（2）給出以下六個(gè)命題：①垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；②平行于同一直線的兩個(gè)平面平行；③平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；④與同一直線成等角的兩個(gè)平面平行；⑤一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行，則這兩個(gè)平面平行；⑥兩個(gè)平面分別與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線平行，則這兩個(gè)平面平行．其中正確的序號(hào)是___________（答：①③⑤）；（3）正方體ABCD-A１B１C１D１中AB=．①求證：平面AD1B1∥平面C1DB；②求證：A1C⊥平面AD1B1 ；③求平面AD1B1與平面C1DB間的距離（答：）；
16、二面角：（1）平面角的三要素：①頂點(diǎn)在棱上；②角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；③角的兩邊與棱都垂直．（2）作平面角的主要方法：①定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；②三垂線法：過(guò)其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：過(guò)一點(diǎn)作棱的垂面，則垂面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角；（3）二面角的范圍：；（4）二面角的求法：①轉(zhuǎn)化為求平面角；②面積射影法：利用面積射影公式，其中為平面角的大小．對(duì)于一類沒(méi)有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其可考慮面積射影法）．如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小為_(kāi)_______（答：）；（2）將∠A為60°的棱形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使A、C的距離等于BD，則二面角A-BD-C的余弦值是______（答：）；（3）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對(duì)角線BD1＝8，BD1與側(cè)面B1BCC1所成的為30°，則二面角C1—BD1—B1的大小為_(kāi)_____（答：）；（4）從點(diǎn)P出發(fā)引三條射線PA、PB、PC，每?jī)蓷l的夾角都是60°，則二面角B-PA-C的余弦值是______（答：）；（5）二面角α--β的平面角為120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB=AC=BD=1，則CD的長(zhǎng)______（答：2）；（6）ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，則面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小為_(kāi)_____（答：）．
17、兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)：（1）判定：①判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．②定義法：即證兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角；（2）性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．如（1）三個(gè)平面兩兩垂直，它們的交線交于一點(diǎn)O，P到三個(gè)面的距離分別為3、4、5，則OP的長(zhǎng)為_(kāi)____（答：5）；（2）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足___________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD（答：）；（3）過(guò)S引三條長(zhǎng)度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC＝90°，求證：平面ABC⊥平面BSC．
特別指出：立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即：
如（1）已知直線平面，直線平面，給出下列四個(gè)命題：①
②；③；④．其中正確的命題是_____（答：①③）；（2）設(shè)是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，給出下列四個(gè)命題：①若則；②若，則；③若，則或；④若則．其中正確的命題是_____（答：①③④）
18、空間距離的求法：（特別強(qiáng)調(diào)：立體幾何中有關(guān)角和距離的計(jì)算，要遵循“一作，二證，三計(jì)算”的原則）
（1）異面直線的距離：①直接找公垂線段而求之；②轉(zhuǎn)化為求直線到平面的距離，即過(guò)其中一條直線作平面和另一條直線平行．③轉(zhuǎn)化為求平面到平面的距離，即過(guò)兩直線分別作相互平行的兩個(gè)平面．如已知正方體ABCD- A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為，則異面直線BD與B1C的距離為_(kāi)____（答：）．
（2）點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線再求解．如（1）等邊三角形的邊長(zhǎng)為，是邊上的高，將沿折起，使之與所在平面成的二面角，這時(shí)點(diǎn)到的距離是_____（答：）；（2）點(diǎn)P是120°的二面角α--β內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)P到α、β的距離分別是3、4，則P到的距離為　_______（答：）；（3）在正方體ABCD—A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P到棱A1B1與棱BC的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P所在曲線的形狀為_(kāi)______（答：拋物線弧）．
（3）點(diǎn)到平面的距離：①垂面法：借助于面面垂直的性質(zhì)來(lái)作垂線，其中過(guò)已知點(diǎn)確定已知面的垂面是關(guān)鍵；②體積法：轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高；③等價(jià)轉(zhuǎn)移法．如（1）長(zhǎng)方體的棱，則點(diǎn)到平面　的距離等于______（答：）；（2）在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，則A1到平面MBD的距離為_(kāi)_____（答：eq \f(,6)a）．
（4）直線與平面的距離：前提是直線與平面平行，利用直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離．
（5）兩平行平面之間的距離：轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離．
（6）球面距離（球面上經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度）：求球面上兩點(diǎn)A、B間的距離的步驟：①計(jì)算線段AB的長(zhǎng)；②計(jì)算球心角∠AOB的弧度數(shù)；③用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧AB的長(zhǎng)．如（1）設(shè)地球半徑為，在北緯圈上有兩地，它們的緯度圈上的弧長(zhǎng)等于，求兩地間的球面距離（答：）；（2）球面上有3點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)這3點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為，那么這個(gè)球的半徑為_(kāi)_____（答：）；（3）三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，，若四個(gè)點(diǎn)都在同一球面上，則此球面上兩點(diǎn)A、B之間的球面距離是_________（答：）．
19、多面體有關(guān)概念：（1）多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的空間圖形叫做多面體．圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面．多面體的相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱．（2）多面體的對(duì)角線：多面體中連結(jié)不在同一面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多面體的對(duì)角線．（3）凸多面體：把一個(gè)多面體的任一個(gè)面伸展成平面，如果其余的面都位于這個(gè)平面的同一側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體．
20、棱柱：（1）棱柱的分類：①按側(cè)棱是否與底面垂直分類：分為斜棱柱（側(cè)棱不垂直于底面）和直棱柱（側(cè)棱垂直于底面），其中底面為正多邊形的直棱柱叫正棱柱．②按底面邊數(shù)的多少分類：底面分別為三角形，四邊形，五邊形…，分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，…；（2）棱柱的性質(zhì)：①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等，直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形，正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形．②與底面平行的截面是與底面對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形．③過(guò)棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形．如（1）斜三棱柱A1B1C1－ABC，各棱長(zhǎng)為，A1B=A1C=，則側(cè)面BCC1B1是____形，棱柱的高為_(kāi)____（答：正方；）；（2）下列關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：①若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；②若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直棱柱；④若四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等，則該四棱柱為直棱柱．其中真命題的為_(kāi)____（答：②④）．
21、平行六面體：
（1）定義：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體；
（2）幾類特殊的平行六面體：{平行六面體}{直平行六面體}{長(zhǎng)方體}{正四棱柱}{正方體}；
（3）性質(zhì)：①平行六面體的任何一個(gè)面都可以作為底面；②平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分；③平行六面體的四條對(duì)角線的平方和等于各棱的平方和；④長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和．如長(zhǎng)方體三度之和為a+b+c＝6，全面積為11，則其對(duì)角線為_(kāi)____（答：5）
22、棱錐的性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的平方比，截得小棱錐的體積與原來(lái)棱錐的體積比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的立方比．如若一個(gè)錐體被平行于底面的平面所截，若截面面積是底面積的，則錐體被截面截得的一個(gè)小棱錐與原棱錐體積之比為_(kāi)____（答：1∶8）
23、正棱錐：（1）定義：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐．特別地，側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等的正三棱錐叫做正四面體．如四面體中，有如下命題：①若，則；②若分別是的中點(diǎn)，則的大小等于異面直線與所成角的大小；③若點(diǎn)是四面體外接球的球心，則在面上的射影是外心；④若四個(gè)面是全等的三角形，則為正四面體．其中正確的是___（答：①③）
（2）性質(zhì)：①正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等．②正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內(nèi)切圓的半徑）、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、底面的半邊長(zhǎng)可組成四個(gè)直角三角形．如圖，正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角形中：，，其中分別表示底面邊長(zhǎng)、側(cè)棱長(zhǎng)、側(cè)面與底面所成的角和側(cè)棱與底面所成的角．如（1）在三棱錐的四個(gè)面中，最多有___個(gè)面為直角三角形（答：4）；（2）把四個(gè)半徑為R的小球放在桌面上，使下層三個(gè)，上層一個(gè)，兩兩相切，則上層小球最高處離桌面的距離為_(kāi)_______（答：）．
24、側(cè)面積（各個(gè)側(cè)面面積之和）：
（1）棱柱：側(cè)面積＝直截面（與各側(cè)棱都垂直相交的截面）周長(zhǎng)×側(cè)棱長(zhǎng)，特別地，直棱柱的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×側(cè)棱長(zhǎng)．如（1）長(zhǎng)方體的高為h，底面積為Q，垂直于底的對(duì)角面的面積為M，則此長(zhǎng)方體的側(cè)面積為_(kāi)_____（答：）；（2）斜三棱柱ABC- A1B1C1中，二面角C-A1A-B為120°，側(cè)棱AA1于另外兩條棱的距離分別為7cm、8cm，AA1=12cm，則斜三棱柱的側(cè)面積為_(kāi)_____（答：）；（3）若斜三棱柱的高為4，側(cè)棱與底面所成的角為60°，相鄰兩側(cè)棱之間的距離都為5，則該三棱柱的側(cè)面積為_(kāi)_____（答：120）．
（2）正棱錐：正棱錐的側(cè)面積＝×底面周長(zhǎng)×斜高．如（1）已知正四棱錐P－ABCD的高為4，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則該正四棱錐的側(cè)面積是_______（答：）；（2）已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個(gè)面的中心分別為E、F、G、H.設(shè)四面體EFGH的表面積為T，則等于______（答：）．
提醒：全面積（也稱表面積）是各個(gè)表面面積之和，故棱柱的全面積＝側(cè)面積＋2×底面積；棱錐的全面積＝側(cè)面積＋底面積．
25、體積：
（1）棱柱：體積＝底面積×高，或體積＝直截面面積×側(cè)棱長(zhǎng)，特別地，直棱柱的體積＝底面積×側(cè)棱長(zhǎng)；三棱柱的體積（其中為三棱柱一個(gè)側(cè)面的面積，為與此側(cè)面平行的側(cè)棱到此側(cè)面的距離）．如（1）設(shè)長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為a、b、c，若長(zhǎng)方體所有棱的長(zhǎng)度之和為24，一條對(duì)角線長(zhǎng)度為5，體積為2，則等于__（答：）；（2）斜三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)棱AA1和AB、AC都成45°的角，則棱柱的側(cè)面積為_(kāi)__，體積為_(kāi)__（答：；）．
（2）棱錐：體積＝×底面積×高．如（1）已知棱長(zhǎng)為1的正方體容器ABCD—A1B1C1D1中，在A1B、A1B1、B1C1的中點(diǎn)E、F、G處各開(kāi)有一個(gè)小孔，若此容器可以任意放置，則裝水較多的容積（小孔面積對(duì)容積的影響忽略不計(jì)）是_____（答：）；（2）在正三棱錐A-BCD中，E、F是AB、BC的中點(diǎn)，EF⊥DE，若BC=，則正三棱錐A-BCD的體積為_(kāi)_（答：）；（3）已知正三棱錐底面邊長(zhǎng)為，體積為，則底面三角形的中心到側(cè)面的距離為_(kāi)__（答：）；（4）在平面幾何中有：Rt△ABC的直角邊分別為a,b，斜邊上的高為h，則．類比這一結(jié)論，在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩點(diǎn)互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱錐P—ABC的高為h，則結(jié)論為_(kāi)_____________（答：）．
特別提醒：求多面體體積的常用技巧是割補(bǔ)法（割補(bǔ)成易求體積的多面體．補(bǔ)形：三棱錐三棱柱平行六面體；分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是 （答：1：2：3）和等積變換法(平行換點(diǎn)、換面)和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等.如（1）用平面去截三棱錐，與三條側(cè)棱交于三點(diǎn)，若，
，則多面體的體積為_(kāi)____（答：7）；（2）直三棱柱ABC—A1B1C1的體積為，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點(diǎn)，且AP=C1Q，則四棱錐B—APQC的體積為 （答：）；（3）如圖的多面體ABC-DEFG中，AB、AC、AD兩兩垂直，平面ABC∥DEFG，平面BEF∥ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，則該多面體的體積為_(kāi)_______（答：4）．
26、正多面體：（1）定義：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)都有相同棱數(shù)的凸多面體，叫做正多面體．（2）正多面體的種類：只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種．其中正四面體、正八面體和正二十面體的每個(gè)面都是正三角形，正六面體的每個(gè)面都是正方形，正十二面體的每個(gè)面都是正五形邊，如下圖：
正四面體　　正六面體　　正八面體　　　正十二面體　　　正二十面體
27、球的截面的性質(zhì)：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；球心和截面圓的距離d與球的半徑R及截面圓半徑r之間的關(guān)系是r＝．提醒：球與球面的區(qū)別（球不僅包括球面，還包括其內(nèi)部）．如（1）在半徑為10的球面上有三點(diǎn)，如果，則球心到平面的距離為_(kāi)_____（答：）；（2）已知球面上的三點(diǎn)A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半徑為13，則球心到平面ABC的距離為_(kāi)_____（答：12）
28、球的體積和表面積公式：V＝．如（1）在球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，面積分別為49cm2、400cm2，則球的表面積為_(kāi)_____（答：）；（2）三條側(cè)棱兩兩垂直且長(zhǎng)都為1的三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O，求球O的表面積與體積．（答：表面積，體積）；（3）已知直平行六面體的各條棱長(zhǎng)均為3，，長(zhǎng)為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，另一端點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)，則的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與共一頂點(diǎn)的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為為_(kāi)_____（答：）；
29、立體幾何問(wèn)題的求解策略是通過(guò)降維，轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，具體方法表現(xiàn)為：
（1）求空間角、距離，歸到三角形中求解；
（2）對(duì)于球的內(nèi)接外切問(wèn)題，作適當(dāng)?shù)慕孛妯D―既要能反映出位置關(guān)系，又要反映出數(shù)量關(guān)系．如（1）甲球與某立方體的各個(gè)面都相切，乙球與這個(gè)立方體的各條棱都相切，丙球過(guò)這個(gè)立方體的所有頂點(diǎn)，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為_(kāi)____（答：1∶2∶3）；（2）若正四面體的棱長(zhǎng)為，則此正四面體的外接球的表面積為_(kāi)____（答：）；（3）已知一個(gè)半徑為的球中有一個(gè)各條棱長(zhǎng)都相等的內(nèi)接正三棱柱，則這一正三棱柱的體積是_____（答：）；
（3）求曲面上兩點(diǎn)之間的最短距離，通過(guò)化曲為直轉(zhuǎn)化為同一平面上兩點(diǎn)間的距離．如已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，則的最小值是_____（答：）；
30、你熟悉下列結(jié)論嗎？
⑴三個(gè)平面兩兩相交得到三條交線，如果其中的兩條交線交于一點(diǎn)，那么第三條交線也經(jīng)過(guò)這一點(diǎn)；
⑵從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點(diǎn)A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上；
⑶AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，AC和AB的射影成，設(shè)∠BAC=,則coscos=cos；
⑷如果兩個(gè)相交平面都與第三個(gè)平面垂直，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面；
⑸若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則cos2+
cos2+cos2=1；若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則cos2+cos2+cos2=2．如（1）長(zhǎng)方體中若一條對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三個(gè)面中的二個(gè)面所成的角為30°、45°，則與第三個(gè)面所成的角為_(kāi)___________（答：30°）；（2）若一條對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則的關(guān)系為_(kāi)___________．（答：）
⑹若正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則．如若正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積與底面面積之比為，則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成的二面角等于__（答：）
⑺在三棱錐中：①側(cè)棱長(zhǎng)相等(側(cè)棱與底面所成角相等)頂點(diǎn)在底上射影為底面外心；②側(cè)棱兩兩垂直(兩對(duì)對(duì)棱垂直)頂點(diǎn)在底上射影為底面垂心；③頂點(diǎn)到底面三角形各邊的距離相等(側(cè)面與底面所成角相等)且頂點(diǎn)在底面上的射影在底面三角形內(nèi)頂點(diǎn)在底上射影為底面內(nèi)心.提醒：③若頂點(diǎn)在底面上的射影在底面三角形外，則頂點(diǎn)在底上射影為底面的旁心．
⑻正方體和長(zhǎng)方體的外接球的直徑等與其體對(duì)角線長(zhǎng)；正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1．
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2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)卷
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1至2頁(yè)，第II卷3至9頁(yè)．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答題前，考生在答題卡上務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、填寫清楚 ，并貼好條形碼．請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目．
2．每小題選出答案后，用2Ｂ鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．在試題卷上作答無(wú)效．
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
參考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面積公式
如果事件相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么
次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑
一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B．
C．　　　　　 　　 D．
2．汽車經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過(guò)程中汽車的行駛路程看作時(shí)間的函數(shù)，其圖像可能是（ ）
3．已知，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．復(fù)數(shù) （ ）
A．2 B．－2 C． D．
5．已知數(shù)列對(duì)任意的滿足，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
6．若，則（ ）
A．<< B．<< C． << D． <<
7．設(shè)P為曲線C：上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．函數(shù)的最小值和最大值分別為（ ）
A．－3，1 B．－2，2 C．－3， D．－2，
9．定義在上的函數(shù)滿足（），，則等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
10．設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
11．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則 與底面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
12．如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)卷
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上
13．設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象過(guò)區(qū)域M的a的取值范圍是
14．過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F。過(guò)點(diǎn)F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為_(kāi)_____________
15．已知雙曲線的離心率是。則＝
16．已知，為空間中一點(diǎn)，且，則直線與平面所成角的正弦值為 。
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．（本小題滿分10分）
（注意：在試題卷上作答無(wú)效）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令，判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由．
18．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無(wú)效）
如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)
（Ⅰ）證明：直線；
（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；
（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。
19．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無(wú)效）
設(shè)函數(shù)為實(shí)數(shù)。
（Ⅰ）已知函數(shù)在處取得極值，求的值；
（Ⅱ）已知不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
20．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無(wú)效）
A、B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2。根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和X2的分布列分別為
X1 5% 10% X2 2% 8% 12%
P 0.8 0.2 P 0.2 0.5 0.3
（1）在A、B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，求方差DY1、DY2；
（2）將x（0≤x≤100）萬(wàn)元投資A項(xiàng)目，100－x萬(wàn)元投資B項(xiàng)目，f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x為何值時(shí)，f(x)取到最小值。 （注：D(aX + b) = a2DX）
21．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無(wú)效）
已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是，一條漸近線的方程是.
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）若以為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍.
22．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無(wú)效）
數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知
（Ⅰ）寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。
2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)卷
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1至2頁(yè)，第II卷3至9頁(yè)．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答題前，考生在答題卡上務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、填寫清楚 ，并貼好條形碼．請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目．
2．每小題選出答案后，用2Ｂ鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．在試題卷上作答無(wú)效．
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
參考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面積公式
如果事件相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么
次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑
一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．函數(shù)的定義域?yàn)?br/>A. B.
C. 　　　　　 　　 D.
解：函數(shù)的定義域必須滿足條件：
2．汽車經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過(guò)程中汽車的行駛路程看作時(shí)間的函數(shù)，其圖像可能是（ ）
解：A． 根據(jù)汽車加速行駛，勻速行駛，減速行駛結(jié)合函數(shù)圖像可知；
3．已知，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是
（A）1 （B）2 （C） （D）
解析：本小題主要考查向量的數(shù)量積及向量模的相關(guān)運(yùn)算問(wèn)題。
展開(kāi)
則的最大值是;
或者利用數(shù)形結(jié)合, ，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A,B在圓上,
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C在圓上即可.
4．復(fù)數(shù) （ ）
A．2 B．－2 C． D．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】：A。
【試題解析】：
5．已知數(shù)列對(duì)任意的滿足，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】: C
【試題分析】: 由已知＝+＝ -12，＝+＝－24,=+= -30
【高考考點(diǎn)】: 數(shù)列
【易錯(cuò)提醒】: 特殊性的運(yùn)用
【備考提示】: 加強(qiáng)從一般性中發(fā)現(xiàn)特殊性的訓(xùn)練。
6．若，則（ ）
A．<< B．<< C． << D． <<
【解析】由，令且取知<<
【答案】C
7．設(shè)P為曲線C：上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率問(wèn)題。依題設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)
為, 且（為點(diǎn)P處切線的傾斜角），又∵，
∴，∴
8．函數(shù)的最小值和最大值分別為（ ）
A. －3，1 B. －2，2 C. －3， D. －2，
【標(biāo)準(zhǔn)答案】：Ｃ
【試題解析】：∵
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；故選Ｃ；
【高考考點(diǎn)】三角函數(shù)值域及二次函數(shù)值域
【易錯(cuò)點(diǎn)】：忽視正弦函數(shù)的范圍而出錯(cuò)。
【備考提示】：高考對(duì)三角函數(shù)的考查一直以中檔題為主，只要認(rèn)真運(yùn)算即可。
9．定義在上的函數(shù)滿足（），，則等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
解：令，令；
令得
10．設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【解析】.D．由奇函數(shù)可知，而，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又在上為增函數(shù)，則奇函數(shù)在上為增函數(shù)，.
11．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
解：C．由題意知三棱錐為正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)為，則，棱柱的高（即點(diǎn)到底面的距離），故與底面所成角的正弦值為.
另解：設(shè)為空間向量的一組基底，的兩兩間的夾角為
長(zhǎng)度均為，平面的法向量為,
則與底面所成角的正弦值為.
12．如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
解析：B.分三類：種兩種花有種種法；種三種花有種種法；
種四種花有種種法.共有.
另解：按順序種花，可分同色與不同色有
2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)卷
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上
13．設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象過(guò)區(qū)域M的a的取值范圍是
解：區(qū)域是三條直線相交構(gòu)成的三角形（如圖）
顯然，只需研究過(guò)、兩種情形，
且即
14．過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F。過(guò)點(diǎn)F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為_(kāi)_____________
解：雙曲線的右頂點(diǎn)坐標(biāo)，右焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)一條漸近線方程為，
建立方程組，得交點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而
15．已知雙曲線的離心率是。則＝
解：，離心率，所以
16．已知，為空間中一點(diǎn)，且，則直線與平面所成角的正弦值為 。
解：由對(duì)稱性點(diǎn)在平面內(nèi)的射影必在的平分線上作于，連結(jié)則由三垂線定理，
設(shè)，又,所以，因此直線與平面所成角的正弦值
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．（本小題滿分10分）
（注意：在試題卷上作答無(wú)效）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令，判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由．
解：（Ⅰ）．
的最小正周期．
當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．
．
．函數(shù)是偶函數(shù)．
18．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無(wú)效）
如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)
為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)
（Ⅰ）證明：直線；
（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；
（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。
方法一（綜合法） （1）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE
又
（2）
為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）作連接
，
所以 與所成角的大小為
（3）點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過(guò)點(diǎn)A作
于點(diǎn)Q，
又 ,線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離
，
，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為
方法二(向量法)作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系
,
(1)
設(shè)平面OCD的法向量為,則
即
取,解得
(2)設(shè)與所成的角為,
, 與所成角的大小為
(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值,
由 , 得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為
19．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無(wú)效）
設(shè)函數(shù)為實(shí)數(shù)。
（Ⅰ）已知函數(shù)在處取得極值，求的值；
（Ⅱ）已知不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
【解析】（I）在取得極值即
（Ⅱ）即 令即對(duì)任意都成立則即
【試題解析】本題考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求字母參數(shù)的取值范圍，屬于中等題
【高考考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的三大應(yīng)用
【備考提示】要熟練掌握導(dǎo)數(shù)的三大應(yīng)用：①求斜率：在曲線的某點(diǎn)有切線，則求導(dǎo)后把橫坐標(biāo)代進(jìn)去，則為其切線的斜率；②有關(guān)極值：就是某處有極值，則把它代入其導(dǎo)數(shù)，則為；③單調(diào)性的判斷： ，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減，和一些常見(jiàn)的導(dǎo)數(shù)的求法. 要熟練一些函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法有，作差法，作商法，導(dǎo)數(shù)法；對(duì)于含參范圍問(wèn)題，解決方法有，當(dāng)參數(shù)為一次時(shí)，可直接解出通過(guò)均值不等式求最值把其求出；當(dāng)為二次時(shí)，可用判別式法或?qū)?shù)法等求.而此種題型函數(shù)與方程仍是高考的必考，以函數(shù)為背景、導(dǎo)數(shù)為工具，以分析、探求、轉(zhuǎn)化函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)為設(shè)問(wèn)方式，重點(diǎn)考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.其中試題靈活多變。
20．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無(wú)效）
A、B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2。根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和X2的分布列分別為
X1 5% 10% X2 2% 8% 12%
P 0.8 0.2 P 0.2 0.5 0.3
（1）在A、B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，求方差DY1、DY2；
（2）將x（0≤x≤100）萬(wàn)元投資A項(xiàng)目，100－x萬(wàn)元投資B項(xiàng)目，f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x為何值時(shí)，f(x)取到最小值。 （注：D(aX + b) = a2DX）
【試題解析】 (I)由題設(shè)可知, Y1和Y2的分布列分別為
Y 1 5 10
P 0.8 0.2
Y 2 2 8 12
P 0.2 0.5 0.3
E Y1=5×0.8+10×0.2=6,
D Y1=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4,
EY2=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,
D Y2=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.
(II)
當(dāng)時(shí)，為最小值.
21．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無(wú)效）
已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是，一條漸近線的方程是.
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）若以為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍.
本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理運(yùn)算能力．滿分12分．
（Ⅰ）解：設(shè)雙曲線的方程為（）．由題設(shè)得
，解得，所以雙曲線方程為．
（Ⅱ）解：設(shè)直線的方程為（）．點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程組
將①式代入②式，得，整理得．
此方程有兩個(gè)一等實(shí)根，于是，且．整理得．　③
由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足
，．
從而線段的垂直平分線方程為．
此直線與軸，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．由題設(shè)可得．整理得，．
將上式代入③式得，整理得，．
解得或．
所以的取值范圍是．
22．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無(wú)效）
數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知
（Ⅰ）寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。
解：由得：，即，所以，對(duì)成立。
由，，…，相加得：，又，所以，當(dāng)時(shí)，也成立。
（Ⅱ）由，得。
而，
，
A．
O
t
s
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．
D
B
C
A
s
t
O
A．
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．
D
B
C
A
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高考數(shù)學(xué)必勝秘訣在哪？
――概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)
五、平面向量
1、向量有關(guān)概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別．向量常用有向線段來(lái)表示，注意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）．如已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））
（2）零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；
（3）單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；
（4）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；
（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行．提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無(wú)傳遞性！（因?yàn)橛?；④三點(diǎn)共線共線；
（6）相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量．的相反向量是－．
如下列命題：（1）若，則．（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同．（3）若，則是平行四邊形．（4）若是平行四邊形，則．（5）若，則．（6）若，則．其中正確的是_______（答：（4）（5））
2、向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；（2）符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來(lái)表示，如，，等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，＝叫做向量的坐標(biāo)表示．如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同．
3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e1＋e2．如（1）若
，則______（答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_(kāi)____（答：）；（4）已知中，點(diǎn)在邊上，且，，則的值是___（答：0）
4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)＝0時(shí)，，注意：≠0．
5、平面向量的數(shù)量積：
（1）兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，，作，
稱為向量，的夾角，當(dāng)＝0時(shí)，，同向，當(dāng)＝時(shí)，，反向，當(dāng)＝時(shí)，，垂直．
（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即＝．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量．如（1）△ABC中，，，，則_________（答：－9）；（2）已知，與的夾角為，則等于____（答：1）；（3）已知，則等于____（答：）；（4）已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_(kāi)___（答：）
（3）在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0．如已知，，且，則向量在向量上的投影為_(kāi)_____（答：）
（4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積．
（5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，，其夾角為，則：
①；
②當(dāng)，同向時(shí)，＝，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，＝－；當(dāng)為銳角時(shí)，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；
③非零向量，夾角的計(jì)算公式：；④．如（1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或且）；（2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_________（答：）；（3）已知與之間有關(guān)系式，①用表示；②求的最小值，并求此時(shí)與的夾角的大小（答：①；②最小值為，）
6、向量的運(yùn)算：
（1）幾何運(yùn)算：
①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；
②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)．注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同．如（1）化簡(jiǎn)：①___；②____；③_____（答：①；②；③）；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為1，，則＝_____（答：）；（3）若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為_(kāi)___（答：直角三角形）；（4）若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為_(kāi)__（答：2）；（5）若點(diǎn)是的外心，且，則的內(nèi)角為_(kāi)___（答：）；
（2）坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：
①向量的加減法運(yùn)算：，．如（1）已知點(diǎn)，，若，則當(dāng)＝____時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上（答：）；（2）已知，，則 （答：或）；（3）已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力，則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是 （答：（9,1））
②實(shí)數(shù)與向量的積：．
③若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)．如設(shè)，且，，則C、D的坐標(biāo)分別是__________（答：）；
④平面向量數(shù)量積：．如已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）．（1）若x＝，求向量、的夾角；（2）若x∈，函數(shù)的最大值為，求的值（答：或）；
⑤向量的模：．如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____（答：）；
⑥兩點(diǎn)間的距離：若，則．如如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為．（1）若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（2，－2），求P到O的距離｜PO｜；（2）求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程．（答：（1）2；（2））；
7、向量的運(yùn)算律：（1）交換律：，，；(2)結(jié)合律：，；（3）分配律：，．如下列命題中：① ；② ；③
；④ 若，則或；⑤若則；⑥；⑦；⑧；⑨．其中正確的是______（答：①⑥⑨）
提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？
8、向量平行(共線)的充要條件：＝0．如(1)若向量，當(dāng)＝_____時(shí)與共線且方向相同（答：2）；（2）已知，，，且，則x＝______（答：4）；（3）設(shè)，則k＝_____時(shí)，A,B,C共線（答：－2或11）
9、向量垂直的充要條件： .特別地．如(1)已知，若，則 （答：）；（2）以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________ （答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知向量，且，則的坐標(biāo)是________ （答：）
10.線段的定比分點(diǎn)：
（1）定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線PP上異于P、P的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù) ，使，則叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段的以定比為的定比分點(diǎn)；
（2）的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段 PP上時(shí)>0；當(dāng)P點(diǎn)在線段 PP的延長(zhǎng)線上時(shí)<－1；當(dāng)P點(diǎn)在線段PP的延長(zhǎng)線上時(shí)；若點(diǎn)P分有向線段所成的比為，則點(diǎn)P分有向線段所成的比為．如若點(diǎn)分所成的比為，則分所成的比為_(kāi)______（答：）
（3）線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)、，分有向線段所成的比為，則，特別地，當(dāng)＝1時(shí)，就得到線段PP的中點(diǎn)公式．在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確，、的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)．在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比．如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)______（答：）；（2）已知，直線與線段交于，且，則等于_______（答：２或－４）
11.平移公式：如果點(diǎn)按向量平移至，則；曲線按向量平移得曲線.注意：（1）函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了啊！如（1）按向量把平移到，則按向量把點(diǎn)平移到點(diǎn)______（答：（－８，３））；（2）函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則＝________（答：）
12、向量中一些常用的結(jié)論：
（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；
（2），特別地，當(dāng)同向或有
；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類似).
（3）在中，①若，則其重心的坐標(biāo)為．如若⊿ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1）、（-3，4）、　　　（-1，-1），則⊿ABC的重心的坐標(biāo)為_(kāi)______（答：）；
②為的重心，特別地為的重心；
③為的垂心；
④向量所在直線過(guò)的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；
⑤的內(nèi)心；
（3）若P分有向線段所成的比為，點(diǎn)為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則，特別地為的中點(diǎn)；
（4）向量中三終點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得且.如平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn),,若點(diǎn)滿足,其中且,則點(diǎn)的軌跡是_______（答：直線AB）
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高考數(shù)學(xué)必勝秘訣在哪？
――概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)
八、圓錐曲線
1.圓錐曲線的兩個(gè)定義：
（1）第一定義中要重視“括號(hào)”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時(shí)，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)小于時(shí)，無(wú)軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對(duì)值”與＜|FF|不可忽視．若＝|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點(diǎn)的兩條射線，若﹥|FF|，則軌跡不存在．若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支．如（1）已知定點(diǎn)，在滿足下列條件的平面上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中是橢圓的是 A． B． C． D．（答：C）；（2）方程表示的曲線是_____（答：雙曲線的左支）
（2）第二定義中要注意定點(diǎn)和定直線是相應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，且“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，其商即是離心率．圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與此點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運(yùn)用第二定義對(duì)它們進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化．如已知點(diǎn)及拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_____（答：2）
2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：
（1）橢圓：焦點(diǎn)在軸上時(shí)（）（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點(diǎn)在軸上時(shí)＝1（）．方程表示橢圓的充要條件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同號(hào)，A≠B）．如（1）已知方程表示橢圓，則的取值范圍為_(kāi)___（答：）；（2）若，且，則的最大值是____，的最小值是___（答：）
（2）雙曲線：焦點(diǎn)在軸上： =1，焦點(diǎn)在軸上：＝1（）．方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC≠0，且A，B異號(hào)）．如（1）雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程_______（答：）；（2）設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上，離心率的雙曲線C過(guò)點(diǎn)，則C的方程為_(kāi)______（答：）
（3）拋物線：開(kāi)口向右時(shí)，開(kāi)口向左時(shí)，開(kāi)口向上時(shí)，開(kāi)口向下時(shí)．
3.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：
（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上．如已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是__（答：）
（2）雙曲線：由,項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；
（3）拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開(kāi)口方向．
特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)F，F(xiàn)的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個(gè)參數(shù)，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷開(kāi)口方向；（2）在橢圓中，最大，，在雙曲線中，最大，．
4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：
（1）橢圓（以（）為例）：①范圍：；②焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；③對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），四個(gè)頂點(diǎn)，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為2；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； ⑤離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁．如（1）若橢圓的離心率，則的值是__（答：3或）；（2）以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為_(kāi)_（答：）
（2）雙曲線（以（）為例）：①范圍：或；②焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；③對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），兩個(gè)頂點(diǎn)，其中實(shí)軸長(zhǎng)為2，虛軸長(zhǎng)為2，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； ⑤離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開(kāi)口越小，越大，開(kāi)口越大；⑥兩條漸近線：．如（1）雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于______（答：或）；（2）雙曲線的離心率為，則= （答：4或）；（3）設(shè)雙曲線（a>0,b>0）中，離心率e∈[,2],則兩條漸近線夾角θ的取值范圍是________（答：）；
（3）拋物線（以為例）：①范圍：；②焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)，其中的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；③對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸，沒(méi)有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（0,0）；④準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線； ⑤離心率：，拋物線．如設(shè)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______（答：）；
5、點(diǎn)和橢圓（）的關(guān)系：（1）點(diǎn)在橢圓外；（2）點(diǎn)在橢圓上＝1；（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi)
6．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：
（1）相交：直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件．如（1）若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_______（答：(-,-1)）；（2）直線y―kx―1=0與橢圓恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若│AB︱＝4，則這樣的直線有_____條（答：3）；
（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；
（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離．
特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交．如果直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交,但只有一個(gè)交點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時(shí),直線與拋物線相交,也只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）過(guò)雙曲線＝1外一點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：①P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；（3）過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線．如（1）過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有______（答：2）；（2）過(guò)點(diǎn)(0,2)與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為_(kāi)_____（答：）；（3）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若4，則滿足條件的直線有____條（答：3）；（4）對(duì)于拋物線C：，我們稱滿足的點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，若點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，則直線：與拋物線C的位置關(guān)系是_______（答：相離）；（5）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是、，則_______（答：1）；（6）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，設(shè)某直線交其左支、右支和右準(zhǔn)線分別于，則和的大小關(guān)系為_(kāi)__________(填大于、小于或等于) （答：等于）；（7）求橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離（答：）；（8）直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)．①當(dāng)為何值時(shí)，、分別在雙曲線的兩支上？②當(dāng)為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？（答：①；②）；
7、焦半徑（圓錐曲線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離）的計(jì)算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離．如（1）已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為_(kāi)___（答：）；（2）已知拋物線方程為，若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于____；（3）若該拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____（答：）；（4）點(diǎn)P在橢圓上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為_(kāi)______（答：）；（5）拋物線上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離和是5，則線段AB的中點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)_____（答：2）；（6）橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使 之值最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)______（答：）；
8、焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問(wèn)題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解．設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦點(diǎn)的面積為，則在橢圓中， ①＝，且當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大為＝；②，當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí)，的最大值為bc；對(duì)于雙曲線的焦點(diǎn)三角形有：①；②．如（1）短軸長(zhǎng)為，離心率的橢圓的兩焦點(diǎn)為、，過(guò)作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_______（答：6）；（2）設(shè)P是等軸雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，若，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為 （答：）；（3）橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)·<0時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 （答：）；（4）雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率e＝，F(xiàn)1、F2是它的左右焦點(diǎn)，若過(guò)F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，且是與等差中項(xiàng)，則＝__________（答：）；（5）已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且，．求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（答：）；
9、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦， M為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則∠AMF＝∠BMF；（3）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A，B，若P為AB的中點(diǎn)，則PA⊥PB；（4）若AO的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于C，則BC平行于x軸，反之，若過(guò)B點(diǎn)平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點(diǎn)，則A，O，C三點(diǎn)共線．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10、弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則＝，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則＝，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則＝．特別地，焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解．如（1）過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（2）過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，已知|AB|=10，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則ΔABC重心的橫坐標(biāo)為_(kāi)______（答：3）；
11、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解．在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=－；在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=．如（1）如果橢圓弦被點(diǎn)A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是 （答：）；（2）已知直線y=－x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線L：x－2y=0上，則此橢圓的離心率為_(kāi)______（答：）；（3）試確定m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱（答：）；
特別提醒：因?yàn)槭侵本€與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問(wèn)題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)！
12．你了解下列結(jié)論嗎？
（1）雙曲線的漸近線方程為；
（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù)，≠0）．如與雙曲線有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程為_(kāi)______（答：）
（3）中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為；
（4）橢圓、雙曲線的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦）為，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為，拋物線的通徑為，焦準(zhǔn)距為；
（5）通徑是所有焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）中最短的弦；
（6）若拋物線的焦點(diǎn)弦為AB，，則①；②
（7）若OA、OB是過(guò)拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)
13．動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：
（1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍；
（2）求軌跡方程的常用方法：
①直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系；如已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程．（答：或）；
②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)．如線段AB過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0），端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對(duì)稱軸，過(guò)A、O、B三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為 （答：）；　
③定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；如(1)由動(dòng)點(diǎn)P向圓作兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，∠APB=600，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 （答：）；（2）點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點(diǎn)M的軌跡方程是_______ （答：）；(3) 一動(dòng)圓與兩圓⊙M：和⊙N：都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為 （答：雙曲線的一支）；
④代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程；如動(dòng)點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為,點(diǎn)M分所成的比為2，則M的軌跡方程為_(kāi)_________（答：）；
⑤參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）．如（1）AB是圓O的直徑，且|AB|=2a，M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，作MN⊥AB，垂足為N，在OM上取點(diǎn)，使，求點(diǎn)的軌跡．（答：）；（2）若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的軌跡方程是____（答：）；（3）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是________（答：）；
注意：①如果問(wèn)題中涉及到平面向量知識(shí)，那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化．如已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足（1）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；（2）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；（3）試問(wèn)：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （答：（1）略；（2）；（3）當(dāng)時(shí)不存在；當(dāng)時(shí)存在，此時(shí)∠F1MF2＝2）
②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時(shí)應(yīng)注意軌跡上特殊點(diǎn)對(duì)軌跡的“完備性與純粹性”的影響.
③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份――對(duì)稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.
④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)”，那么可選擇應(yīng)用“斜率或向量”為橋梁轉(zhuǎn)化.
14、解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量?jī)?nèi)容：
（1） 給出直線的方向向量或；
（2）給出與相交,等于已知過(guò)的中點(diǎn);
（3）給出,等于已知是的中點(diǎn);
（4）給出,等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;
（5） 給出以下情形之一：①；②存在實(shí)數(shù)；③若存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線.
（6） 給出，等于已知是的定比分點(diǎn)，為定比，即
（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角,
（8）給出,等于已知是的平分線/
（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;
（10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;
（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）；
（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）；
（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）；
（14）在中，給出等于已知通過(guò)的內(nèi)心；
（15）在中，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)）；
（16） 在中，給出,等于已知是中邊的中線;
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高考數(shù)學(xué)必勝秘訣在哪？
――概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)
三、數(shù)　　列
1、數(shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．如（1）已知，則在數(shù)列的最大項(xiàng)為_(kāi)_（答：）；（2）數(shù)列的通項(xiàng)為，其中均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為_(kāi)__（答：）；（3）已知數(shù)列中，，且是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍（答：）；（4）一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是 （）（答：A）
A B C D
2.等差數(shù)列的有關(guān)概念：
（1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法或．如設(shè)是等差數(shù)列，求證：以bn= 為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列．
（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)：或．如(1)等差數(shù)列中，，，則通項(xiàng)　　　　（答：）；（2）首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______（答：）
（3）等差數(shù)列的前和：，．如（1）數(shù)列 中，，，前n項(xiàng)和，則＝＿，＝＿（答：，）；（2）已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和（答：）.
（4）等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且．
提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、、、及，其中、稱作為基本元素．只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2．（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，…（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，,…（公差為2）
3.等差數(shù)列的性質(zhì)：
（1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.
（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列．
（3）當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.如（1）等差數(shù)列中，，則＝____（答：27）；（2）在等差數(shù)列中，，且，是其前項(xiàng)和，則A、都小于0，都大于0　　B、都小于0，都大于0　　C、都小于0，都大于0　　D、都小于0，都大于0　（答：B）
(4) 若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、、 ，…也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. 如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為 ．（答：225）
（5）在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，，（這里即）；．如（1）在等差數(shù)列中，S11＝22，則＝______（答：2）；（2）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（答：5；31）.
（6）若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則.如設(shè){}與{}是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，若，那么___________（答：）
(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和．法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性．上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？如（1）等差數(shù)列中，，，問(wèn)此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值．（答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169）；（2）若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，
，則使前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是 （答：4006）
(8)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究.
4.等比數(shù)列的有關(guān)概念：
（1）等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或
．如（1）一個(gè)等比數(shù)列{}共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則為_(kāi)___（答：）；（2）數(shù)列中，=4+1 ()且=1，若 ，求證：數(shù)列｛｝是等比數(shù)列．
（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)：或．如設(shè)等比數(shù)列中，，，前項(xiàng)和＝126，求和公比. （答：，或2）
（3）等比數(shù)列的前和：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
．如（1）等比數(shù)列中，＝2，S99=77，求（答：44）；（2）的值為_(kāi)_________（答：2046）；
特別提醒：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要對(duì)分和兩種情形討論求解．
（4）等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項(xiàng)．提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)．如已知兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為_(kāi)_____（答：A＞B）
提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、、、及，其中、稱作為基本元素．只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2；（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為…，…（公比為）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為…，…，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為．如有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)．（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比數(shù)列的性質(zhì)：
（1）當(dāng)時(shí)，則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.如（1）在等比數(shù)列中，，公比q是整數(shù)，則=___（答：512）；（2）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 （答：10）．
(2) 若是等比數(shù)列，則、、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，…也是等比數(shù)列．當(dāng)，且為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列 ，…是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 如（1）已知且，設(shè)數(shù)列滿足，且，則　　　　　. （答：）；（2）在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則的值為_(kāi)_____（答：40）
(3)若，則為遞增數(shù)列；若, 則為遞減數(shù)列；若 ，則為遞減數(shù)列；若, 則為遞增數(shù)列；若，則為擺動(dòng)數(shù)列；若，則為常數(shù)列.
(4) 當(dāng)時(shí)，，這里，但，這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列．如若是等比數(shù)列，且，則＝ （答：－1）
(5) .如設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則的值為 _____（答：－2）
(6) 在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，.
(7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件．如設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（）， 關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：①若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若，則是等差數(shù)列；③若，則是等比數(shù)列．這些命題中，真命題的序號(hào)是 （答：②③）
6.數(shù)列的通項(xiàng)的求法：
⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式．如已知數(shù)列試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：__________（答：）
⑵已知（即）求，用作差法：．如①已知的前項(xiàng)和滿足，求（答：）；②數(shù)列滿足，求（答：）
⑶已知求，用作商法：．如數(shù)列中，對(duì)所有的都有，則______（答：）
⑷若求用累加法：
．如已知數(shù)列滿足，，則=________（答：）
⑸已知求，用累乘法：．如已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和，若，求（答：）
⑹已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地，（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求．如①已知，求（答：）；②已知，求（答：）；（2）形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)．如①已知，求（答：）；②已知數(shù)列滿足=1，，求（答：）
注意：（1）用求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當(dāng)時(shí)，）；（2）一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解．如數(shù)列滿足，求（答：）
7.數(shù)列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.；③常用公式：，，.如（1）等比數(shù)列的前項(xiàng)和Sｎ＝2ｎ－１，則＝_____（答：）；（2）計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的．二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是，那么將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是_______（答：）
（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和. 如求：（答：）
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）. 如①求證：；②已知，則＝______（答：）
（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）. 如（1）設(shè)為等比數(shù)列，，已知，，①求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；②求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（答：①，；②）；（2）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足：
，①求證：數(shù)列是等比數(shù)列；②令
，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，并比較與的大小．（答：①略；②，當(dāng)時(shí)，＝；當(dāng)時(shí)，<；當(dāng)時(shí)，>）
（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：
①； ②；
③，；
④ ；⑤；
⑥.
如（1）求和： （答：）；（2）在數(shù)列中，，且Sｎ＝９，則n＝_____（答：99）；
（6）通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和．如①求數(shù)列1×4，2×5，3×6，…，，…前項(xiàng)和= 　（答：）；②求和： （答：）
8. “分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問(wèn)題
(1)這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題.但在求解過(guò)程中，務(wù)必“卡手指”，細(xì)心計(jì)算“年限”.對(duì)于“森林木材”既增長(zhǎng)又砍伐的問(wèn)題，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.
(2)利率問(wèn)題：①單利問(wèn)題：如零存整取儲(chǔ)蓄（單利）本利和計(jì)算模型：若每期存入本金元，每期利率為，則期后本利和為：
（等差數(shù)列問(wèn)題）；②復(fù)利問(wèn)題：按揭貸款的分期等額還款（復(fù)利）模型：若貸款（向銀行借款）元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，分期還清．如果每期利率為（按復(fù)利），那么每期等額還款元應(yīng)滿足：（等比數(shù)列問(wèn)題）.
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二、函　數(shù)
1.映射: AB的概念．在理解映射概念時(shí)要注意：⑴A中元素必須都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一．如（1）設(shè)是集合到的映射，下列說(shuō)法正確的是　A、中每一個(gè)元素在中必有象 B、中每一個(gè)元素在中必有原象　　C、中每一個(gè)元素在中的原象是唯一的 　D、是中所在元素的象的集合（答：A）；（2）點(diǎn)在映射的作用下的象是，則在作用下點(diǎn)的原象為點(diǎn)________（答：（2，－1））；（3）若，，，則到的映射有 個(gè)，到的映射有 個(gè)，到的函數(shù)有 個(gè)（答：81,64,81）；（4）設(shè)集合，映射滿足條件“對(duì)任意的，是奇數(shù)”，這樣的映射有____個(gè)（答：12）；（5）設(shè)是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，則一定是_____（答：或{1}）.
2.函數(shù): AB是特殊的映射．特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，但與軸垂線的公共點(diǎn)可能沒(méi)有，也可能有任意個(gè)．如（1）已知函數(shù)，，那么集合中所含元素的個(gè)數(shù)有 個(gè)（答： 0或1）；（2）若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間，則＝ （答：2）
3. 同一函數(shù)的概念．構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則．而值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為同一函數(shù)．如若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，那么解析式為，值域?yàn)閧4，1}的“天一函數(shù)”共有______個(gè)（答：9）
4. 求函數(shù)定義域的常用方法（在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立定義域優(yōu)先的原則）：
（1）根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開(kāi)方大于零，分母不能為零，對(duì)數(shù)中且，三角形中, 最大角，最小角等．如（1）函數(shù)的定義域是____(答：)；（2）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則_______(答：)；（3）函數(shù)的定義域是，，則函數(shù)的定義域是__________(答：)；（4）設(shè)函數(shù)，①若的定義域是R，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若的值域是R，求實(shí)數(shù)的取值范圍（答：①；②）
（2）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求確定自變量的范圍．
（3）復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知的定義域?yàn)?其復(fù)合函數(shù)的定義域由不等式解出即可；若已知的定義域?yàn)?求的定義域，相當(dāng)于當(dāng)時(shí)，求的值域（即的定義域）．如（1）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)開(kāi)_________（答：）；（2）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______（答：[1,5]）．
5.求函數(shù)值域（最值）的方法：
（1）配方法――二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問(wèn)題．求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開(kāi)口方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系），如（1）求函數(shù)的值域（答：[4,8]）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)取得最大值，則的取值范圍是___（答：）；（3）已知的圖象過(guò)點(diǎn)（2,1），則的值域?yàn)開(kāi)_____（答：[2, 5]）
（2）換元法――通過(guò)換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單易求值域的函數(shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如（1）的值域?yàn)開(kāi)____（答：）；（2）的值域?yàn)開(kāi)____（答：）（令，．運(yùn)用換元法時(shí)，要特別要注意新元的范圍）；（3）的值域?yàn)開(kāi)___（答：）；（4）的值域?yàn)開(kāi)___（答：）；
（3）函數(shù)有界性法――直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如求函數(shù)，，的值域（答： 、（0,1）、）；
（4）單調(diào)性法――利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如求，，的值域?yàn)開(kāi)_____（答：、、）；
（5）數(shù)形結(jié)合法――函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等，如（1）已知點(diǎn)在圓上，求及的取值范圍（答：、）；（2）求函數(shù)的值域（答：）；（3）求函數(shù)及的值域（答：、）注意：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，則要使兩定點(diǎn)在軸的同側(cè)．
（6）判別式法――對(duì)分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過(guò)部分分式后，再利用均值不等式：
①型，可直接用不等式性質(zhì)，如求的值域（答：）
②型，先化簡(jiǎn)，再用均值不等式，如（1）求的值域（答：）；（2）求函數(shù)的值域（答：）
③型，通常用判別式法；如已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，2]，求常數(shù)的值（答：）
④型，可用判別式法或均值不等式法，如求的值域（答：）
（7）不等式法――利用基本不等式求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧．如設(shè)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是____________.（答：）．
（8）導(dǎo)數(shù)法――一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)，如求函數(shù)，的最小值．（答：－48）
提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？
6.分段函數(shù)的概念．分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)．在求分段函數(shù)的值時(shí)，一定首先要判斷屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集．如（1）設(shè)函數(shù)，則使得的自變量的取值范圍是__________（答：）；（2）已知，則不等式的解集是________（答：）
7.求函數(shù)解析式的常用方法：
（1）待定系數(shù)法――已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：；頂點(diǎn)式：；零點(diǎn)式：，要會(huì)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)形式）．如已知為二次函數(shù)，且 ，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2,求的解析式 ．（答：）
（2）代換（配湊）法――已知形如的表達(dá)式，求的表達(dá)式．如（1）已知求的解析式（答：）；（2）若，則函數(shù)=_____（答：）；（3）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，=________（答：）. 這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價(jià)性，即的定義域應(yīng)是的值域．
（3）方程的思想――已知條件是含有及另外一個(gè)函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對(duì)等式的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于及另外一個(gè)函數(shù)的方程組．如（1）已知，求的解析式（答：）；（2）已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且+= ,則= __（答：）．
8. 反函數(shù)：
（1）存在反函數(shù)的條件是對(duì)于原來(lái)函數(shù)值域中的任一個(gè)值，都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，故單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但反之不成立；偶函數(shù)只有有反函數(shù)；周期函數(shù)一定不存在反函數(shù)．如函數(shù)在區(qū)間[1, 2]上存在反函數(shù)的充要條件是A、　B、　　C、　　D、　（答：D）
（2）求反函數(shù)的步驟：①反求；②互換 、；③注明反函數(shù)的定義域（原來(lái)函數(shù)的值域）．注意函數(shù)的反函數(shù)不是，而是．如設(shè).求的反函數(shù)（答：）．
（3）反函數(shù)的性質(zhì)：
①反函數(shù)的定義域是原來(lái)函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來(lái)函數(shù)的定義域．如單調(diào)遞增函數(shù)滿足條件= x ，其中≠ 0 ，若的反函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域是____________（答：[4,7]）.
②函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，注意函數(shù)的圖象與的圖象相同．如（1）已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,1),那么的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)_____（答：（1,3））；（2）已知函數(shù)，若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求的值（答：）；
③．如（1）已知函數(shù)，則方程的解______（答：1）；（2）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,2）對(duì)稱，且存在反函數(shù)，f (4)＝0，則＝　 （答：－2）
④互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性和奇函數(shù)性．如已知是上的增函數(shù)，點(diǎn)在它的圖象上，是它的反函數(shù)，那么不等式的解集為_(kāi)_______（答：（2,8））；
⑤設(shè)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則有，
，但．
9.函數(shù)的奇偶性．
（1）具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．如若函數(shù)，
為奇函數(shù)，其中，則的值是 （答：0）；
（2）確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性）：
①定義法：如判斷函數(shù)的奇偶性____（答：奇函數(shù)）．
②利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：或（）．如判斷的奇偶性___.（答：偶函數(shù)）
③圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．
（3）函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：
①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.
②如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).
③若為偶函數(shù)，則.如若定義在R上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，且=2，則不等式的解集為_(kāi)_____.（答：）
④若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件．如若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)＝____（答：1）.
⑤定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和（或差）”．如設(shè)是定義域?yàn)镽的任一函數(shù)， ，．①判斷與的奇偶性； ②若將函數(shù)，表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和，則＝____（答：①為偶函數(shù)，為奇函數(shù)；②＝）
⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.
⑦既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)（，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集）.
10.函數(shù)的單調(diào)性．
（1）確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：
①在解答題中常用：定義法（取值――作差――變形――定號(hào)）、導(dǎo)數(shù)法（在區(qū)間內(nèi)，若總有，則為增函數(shù)；反之，若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，則，請(qǐng)注意兩者的區(qū)別所在．如已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是____(答：）)；
②在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意
型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為，減區(qū)間為.如（1）若函數(shù) 在區(qū)間（－∞，4] 上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______(答：）)；（2）已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍_____（答：）；（3）若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______(答：且）)；
③復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是同增異減，如函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________(答：（1,2）)．
（2）特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域，如若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍（答：）；二是在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號(hào)“”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示．
（3）你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎 （①比較大小；②解不等式；③求參數(shù)范圍）.如已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（答：）
11. 常見(jiàn)的圖象變換
①函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位得到的．如設(shè)的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，的圖像由的圖像向右平移1個(gè)單位得到，則為_(kāi)_________(答： )
②函數(shù)(的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位得到的．如（1）若，則函數(shù)的最小值為_(kāi)___(答：2)；（2）要得到的圖像，只需作關(guān)于_____軸對(duì)稱的圖像，再向____平移3個(gè)單位而得到(答：；右)；（3）函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有____個(gè)(答：2)
③函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向上平移個(gè)單位得到的；
④函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向下平移個(gè)單位得到的；如將函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位后又向下平移2個(gè)單位,所得圖象如果與原圖象關(guān)于直線對(duì)稱,那么 　　(答：C)
⑤函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來(lái)的得到的．如（1）將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將此圖像沿軸方向向左平移2個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為_(kāi)____(答：)；（2）如若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對(duì)稱軸方程是_______(答：)．
⑥函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來(lái)的倍得到的.
12. 函數(shù)的對(duì)稱性．
①滿足條件的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．如已知二次函數(shù)滿足條件且方程有等根，則＝_____(答：)；
②點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于軸的對(duì)稱曲線方程為；
③點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于軸的對(duì)稱曲線方程為；
④點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為；
⑤點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的方程為．特別地，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的方程為
；點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的方程為．如己知函數(shù),若的圖像是,它關(guān)于直線對(duì)稱圖像是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像為對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是___________（答：）；
⑥曲線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱曲線的方程為．如若函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，3）對(duì)稱，則＝______（答：）
⑦形如的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線
(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定)，對(duì)稱中心是點(diǎn)．如已知函數(shù)圖象與關(guān)于直線對(duì)稱，且圖象關(guān)于點(diǎn)（2，－3）對(duì)稱，則a的值為_(kāi)_____（答：2）
⑧的圖象先保留原來(lái)在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關(guān)于軸的對(duì)稱圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的圖象關(guān)于軸的對(duì)稱圖形得到．如（1）作出函數(shù)及的圖象；（2）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于____對(duì)稱 （答：軸）　　
提醒：（1）從結(jié)論②③④⑤⑥可看出，求對(duì)稱曲線方程的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題；（2）證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；（3）證明圖像與的對(duì)稱性，需證兩方面：①證明上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在上；②證明上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在上．如（1）已知函數(shù)．求證：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形；（2）設(shè)曲線C的方程是,將C沿軸, 軸正方向分別平行移動(dòng)單位長(zhǎng)度后得曲線．①寫出曲線的方程（答：）；②證明曲線C與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．
13. 函數(shù)的周期性．
（1）類比“三角函數(shù)圖像”得：
①若圖像有兩條對(duì)稱軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為；
②若圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心，則是周期函數(shù)，且一周期為；
③如果函數(shù)的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心和一條對(duì)稱軸，則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為；
如已知定義在上的函數(shù)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程在上至少有__________個(gè)實(shí)數(shù)根（答：5）
（2）由周期函數(shù)的定義“函數(shù)滿足，則是周期為的周期函數(shù)”得：
①函數(shù)滿足，則是周期為2的周期函數(shù)；
②若恒成立，則；
③若恒成立，則.
如(1) 設(shè)是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則等于_____(答：)；(2)定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，若是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則的大小關(guān)系為_(kāi)________(答：)；（3）已知是偶函數(shù)，且=993，=是奇函數(shù)，求的值(答：993)；（4）設(shè)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且，又，則= (答：)
14.指數(shù)式、對(duì)數(shù)式：
，，，，，，，，，，， ．如（1）的值為_(kāi)_______(答：8)；（2）的值為_(kāi)_______(答：)
15. 指數(shù)、對(duì)數(shù)值的大小比較：（1）化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；（2）作差或作商法；（3）利用中間量（0或1）；（4）化同指數(shù)（或同真數(shù)）后利用圖象比較．
16. 函數(shù)的應(yīng)用．（1）求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟：①審題――認(rèn)真讀題，確切理解題意，明確問(wèn)題的實(shí)際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系；②建模――通過(guò)抽象概括，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，別忘了注上符合實(shí)際意義的定義域；③解模――求解所得的數(shù)學(xué)問(wèn)題；④回歸――將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實(shí)際問(wèn)題中去．（2）常見(jiàn)的函數(shù)模型有：①建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型；②建立分段函數(shù)模型；③建立指數(shù)函數(shù)模型；④建立型．
17. 抽象函數(shù)：抽象函數(shù)通常是指沒(méi)有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)問(wèn)題．求解抽象函數(shù)問(wèn)題的常用方法是：
（1）借鑒模型函數(shù)進(jìn)行類比探究．幾類常見(jiàn)的抽象函數(shù) ：
①正比例函數(shù)型： ---------------；
②冪函數(shù)型： --------------，；
③指數(shù)函數(shù)型： ------------，；
④對(duì)數(shù)函數(shù)型： -----，；
⑤三角函數(shù)型： ----- ．如已知是定義在R上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期為T，則____（答：0）
（2）利用函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等）進(jìn)行演繹探究：如（1）設(shè)函數(shù)表示除以3的余數(shù)，則對(duì)任意的，都有　A、 B、 C、 D、（答：A）；（2）設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足，如果，，求（答：1）；（3）如設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，證明：直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸；（4）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．如果，且，則的值的符號(hào)是____（答：負(fù)數(shù)）
（3）利用一些方法（如賦值法（令＝0或1，求出或、令或等）、遞推法、反證法等）進(jìn)行邏輯探究．如（1）若，滿足
，則的奇偶性是______（答：奇函數(shù)）；（2）若，滿足
，則的奇偶性是______（答：偶函數(shù)）；（3）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖像如右圖所示，那么不等式的解集是_____________（答：）；（4）設(shè)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意，都有，且時(shí)，，又，①求證為減函數(shù)；②解不等式.（答：）．
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高考數(shù)學(xué)必勝秘訣在哪？
――概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)
四、三角函數(shù)
1、角的概念的推廣：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖形．按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，稱它形成一個(gè)零角．射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊．
2、象限角的概念：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限．
3. 終邊相同的角的表示：
（1）終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.如與角的終邊相同，且絕對(duì)值最小的角的度數(shù)是＿＿＿，合＿＿＿弧度．（答：；）
（2）終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上) .
（3）終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱.
（4）終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱.
（5）終邊與終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
（6）終邊在軸上的角可表示為：；終邊在軸上的角可表示為：；終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為：.如的終邊與的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，則＝____________．（答：）
4、與的終邊關(guān)系：由“兩等分各象限、一二三四”確定.如若是第二象限角，則是第_____象限角（答：一、三）
5.弧長(zhǎng)公式：，扇形面積公式：，1弧度(1rad). 如已知扇形AOB的周長(zhǎng)是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積．（答：2）
6、任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)是任意一個(gè)角，P是的終邊上的任意一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），它與原點(diǎn)的距離是，那么，，，，．三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)．如（1）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5，－12)，則的值為＿＿．（答：）；（2）設(shè)是第三、四象限角，，則的取值范圍是_______（答：（－1，）；（3）若，試判斷的符號(hào)（答：負(fù)）
7.三角函數(shù)線的特征是：正弦線MP“站在軸上(起點(diǎn)在軸上)”、余弦線OM“躺在軸上(起點(diǎn)是原點(diǎn))”、正切線AT“站在點(diǎn)處(起點(diǎn)是)”.三角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式．如（1）若，則的大小關(guān)系為_(kāi)____(答：)；（2）若為銳角，則的大小關(guān)系為_(kāi)______ （答：）；（3）函數(shù)的定義域是_______（答：）
8.特殊角的三角函數(shù)值：
30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15° 75°
0 1 0 －1
1 0 －1 0
1 0 0 2- 2+
1 0 0 2+ 2-
9. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：
（1）平方關(guān)系：
（2）倒數(shù)關(guān)系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
（3）商數(shù)關(guān)系：
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是，已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值．在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí)，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進(jìn)行定號(hào)；在具體求三角函數(shù)值時(shí)，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào)，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對(duì)值．如（1）函數(shù)的值的符號(hào)為_(kāi)___（答：大于0）；（2）若，則使成立的的取值范圍是____（答：
）；（3）已知，，則＝____（答：）；（4）已知，則＝____；＝_________（答：；）；（5）已知，則等于　　A、　　B、　　C、　　　D、（答：B）；（6）已知，則的值為_(kāi)_____（答：－1）．
10.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式（）的本質(zhì)是：奇變偶不變（對(duì)而言，指取奇數(shù)或偶數(shù)），符號(hào)看象限（看原函數(shù)，同時(shí)可把看成是銳角）.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（1）負(fù)角變正角，再寫成2k+,；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)．如（1）的值為_(kāi)_______（答：）；（2）已知，則______，若為第二象限角，則________．（答：；）
11、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
如（1）下列各式中，值為的是 A、 　B、　C、　　D、　（答：C）；（2）命題P：，命題Q：，則P是Q的　A、充要條件　　B、充分不必要條件　　　C、必要不充分條件　D、既不充分也不必要條件（答：C）；（3）已知，那么的值為_(kāi)___（答：）；（4）的值是______（答：4）；(5)已知，求的值（用a表示）甲求得的結(jié)果是，乙求得的結(jié)果是，對(duì)甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是______（答：甲、乙都對(duì)）
12. 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)．即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通常“切化弦”；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．基本的技巧有:
（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如，，，，等），如（1）已知，，那么的值是_____（答：）；（2）已知，且，，求的值（答：）；（3）已知為銳角，，，則與的函數(shù)關(guān)系為_(kāi)_____（答：）
(2)三角函數(shù)名互化(切割化弦)，如（1）求值（答：1）；（2）已知，求的值（答：）
(3)公式變形使用（．如（1）已知A、B為銳角，且滿足，則＝_____（答：）；(2)設(shè)中，，，則此三角形是____三角形（答：等邊）
(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升(降冪公式：，與升冪公式：，)．如(1)若，化簡(jiǎn)為_(kāi)____（答：）；（2）函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)__________（答：）
(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對(duì)角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同)．如（1）
（答：）；（2）求證：；（3）化簡(jiǎn)：（答：）
(6)常值變換主要指“1”的變換（
等），如已知，求（答：）.
(7)正余弦“三兄妹—”的內(nèi)存聯(lián)系――“知一求二”，如（1）若 ，則 __（答：)，特別提醒：這里；（2）若，求的值．（答：）；（3）已知，試用表示的值（答：）．
13、輔助角公式中輔助角的確定：(其中角所在的象限由a, b的符號(hào)確定，角的值由確定)在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用．如（1）若方程有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是___________.（答：[－2,2]）；（2）當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，的值是______(答：)；（3）如果是奇函數(shù)，則= (答：－2)；（4）求值：________(答：32)
14、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的作圖方法：五點(diǎn)法：先取橫坐標(biāo)分別為0，的五點(diǎn)，再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連接起來(lái)，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．
15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)：
（1）定義域：都是R．
（2）值域：都是，對(duì)，當(dāng)時(shí)，取最大值1；當(dāng)時(shí)，取最小值－1；對(duì)，當(dāng)時(shí)，取最大值1，當(dāng)時(shí)，取最小值－1．如（1）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則__，＿（答：或）；（2）函數(shù)（）的值域是____（答：[－1, 2]）；（3）若，則的最大值和最小值分別是____ 、_____（答：7；－5）；（4）函數(shù)的最小值是_____，此時(shí)＝__________（答：2；）；（5）己知，求的變化范圍（答：）；（6）若，求的最大、最小值（答：，）．特別提醒：在解含有正余弦函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，你深入挖掘正余弦函數(shù)的有界性了嗎？
（3）周期性：①、的最小正周期都是2；②和的最小正周期都是．如(1)若，則＝___（答：0）；(2) 函數(shù)
的最小正周期為_(kāi)___（答：）；(3) 設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意都有成立，則的最小值為_(kāi)___（答：2）
（4）奇偶性與對(duì)稱性：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是，對(duì)稱軸是直線；余弦函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)稱中心是，對(duì)稱軸是直線（正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于軸的直線，對(duì)稱中心為圖象與軸的交點(diǎn)）．如（1）函數(shù)的奇偶性是______（答：偶函數(shù)）；（2）已知函數(shù)為常數(shù)），且，則______（答：－5）；（3）函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸分別是__________、____________（答：、）；（4）已知為偶函數(shù)，求的值．（答：）
（5）單調(diào)性：上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．特別提醒，別忘了！
16、形如的函數(shù)：
（1）幾個(gè)物理量：A―振幅；―頻率（周期的倒數(shù)）；―相位；―初相；
（2）函數(shù)表達(dá)式的確定：A由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點(diǎn)確定，如，的圖象如圖所示，則＝_____（答：）；
（3）函數(shù)圖象的畫(huà)法：①“五點(diǎn)法”――設(shè)，令＝0，求出相應(yīng)的值，計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象；②圖象變換法：這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法．
（4）函數(shù)的圖象與圖象間的關(guān)系：①函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左（>0）或向右（<0）平移個(gè)單位得的圖象；②函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到函數(shù)的圖象；③函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，得到函數(shù)的圖象；④函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上（）或向下（），得到的圖象．要特別注意，若由得到的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移個(gè)單位，如（1）函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換才能得到的圖象？（答：向上平移1個(gè)單位得的圖象，再向左平移個(gè)單位得的圖象，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍得的圖象，最后將縱坐標(biāo)縮小到原來(lái)的即得的圖象）；(2) 要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象向___平移____個(gè)單位（答：左；）；（3）將函數(shù)圖像，按向量平移后得到的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這樣的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量）；（4）若函數(shù)的圖象與直線有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是 （答：）
（5）研究函數(shù)性質(zhì)的方法：類比于研究的性質(zhì)，只需將中的看成中的，但在求的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意A和的符號(hào)，通過(guò)誘導(dǎo)公式先將化正．如（1）函數(shù)的遞減區(qū)間是______（答：）；（2）的遞減區(qū)間是_______（答：）；（3）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，它的周期是，則A、　B、在區(qū)間上是減函數(shù)　　C、　　D、的最大值是A（答：C）；（4）對(duì)于函數(shù)給出下列結(jié)論：①圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；②圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱；③圖象可由函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到；④圖像向左平移個(gè)單位，即得到函數(shù)的圖像．其中正確結(jié)論是_______（答：②④）；（5）已知函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)中，距離最近兩點(diǎn)間的距離為，那么此函數(shù)的周期是_______（答：）
17、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)：
（1）定義域：．遇到有關(guān)正切函數(shù)問(wèn)題時(shí)，你注意到正切函數(shù)的定義域了嗎？
（2）值域是R，在上面定義域上無(wú)最大值也無(wú)最小值；
（3）周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期．絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說(shuō)來(lái)，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定． 如的周期都是, 但
的周期為，而，的周期不變；
（4）奇偶性與對(duì)稱性：是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是，特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對(duì)稱中心有兩類：一類是圖象與軸的交點(diǎn)，另一類是漸近線與軸的交點(diǎn)，但無(wú)對(duì)稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處．
（5）單調(diào)性：正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)．但要注意在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性．如下圖：
18. 三角形中的有關(guān)公式：
(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問(wèn)題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.
(2)正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一些變式：；
；；②已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.
(3)余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.
(4)面積公式：（其中為三角形內(nèi)切圓半徑）.如中，若，判斷的形狀（答：直角三角形）．
特別提醒：（1）求解三角形中的問(wèn)題時(shí)，一定要注意這個(gè)特殊性：；（2）求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化．如（1）中，A、B的對(duì)邊分別是，且，那么滿足條件的 A、 有一個(gè)解 B、有兩個(gè)解 C、無(wú)解 D、不能確定（答：C）；（2）在中，A＞B是成立的_____條件（答：充要）；（3）在中， ，則＝_____（答：）；(4)在中，分別是角A、B、C所對(duì)的邊，若，則＝____（答：）；（5）在中，若其面積，則=____（答：）；（6）在中，，這個(gè)三角形的面積為，則外接圓的直徑是_______（答：）；（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的對(duì)邊，= ，的最大值為 （答：）；（8）在△ABC中AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是 （答：）；（9）設(shè)O是銳角三角形ABC的外心，若，且的面積滿足關(guān)系式，求（答：）．
19.反三角函數(shù)：（1）反三角函數(shù)的定義（以反正弦函數(shù)為例）：表示一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為,且這個(gè)角在內(nèi)．(2)反正弦、反余弦、反正切的取值范圍分別是.
在用反三角表示兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角、直線的傾斜角、到的角、與的夾角以及兩向量的夾角時(shí)，你是否注意到了它們的范圍？，， ．
20、求角的方法：先確定角的范圍，再求出關(guān)于此角的某一個(gè)三角函數(shù)（要注意選擇，其標(biāo)準(zhǔn)有二：一是此三角函數(shù)在角的范圍內(nèi)具有單調(diào)性；二是根據(jù)條件易求出此三角函數(shù)值）．如（1）若，且、是方程的兩根，則求的值______（答：）；（2）中，，則＝_______（答：）；（3）若且，，求的值（答：）.
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六、不等式
1、不等式的性質(zhì)：（1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；（3）左右同正不等式：兩邊可以同時(shí)乘方或開(kāi)方：若，則或；（4）若，，則；若，，則．如（1）對(duì)于實(shí)數(shù)中，給出下列命題：①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧，則．其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知，，則的取值范圍是______（答：）；（3）已知，且則的取值范圍是______（答：）
2. 不等式大小比較的常用方法：（1）作差：作差后通過(guò)分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法 ；(8)圖象法．其中比較法（作差、作商）是最基本的方法．如（1）設(shè)，比較的大小（答：當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等號(hào)））；（2）設(shè)，，，試比較的大小（答：）；（3）比較1+與的大小（答：當(dāng)或時(shí)，1+＞；當(dāng)時(shí)，1+＜；當(dāng)時(shí)，1+＝）
3. 利用重要不等式求函數(shù)最值時(shí)，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針．如（1）下列命題中正確的是A、的最小值是2 B、的最小值是2 C、的最大值是 D、的最小值是（答：C）；（2）若，則的最小值是______（答：）；（3）正數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)_____（答：）；
4.常用不等式有：（1）(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用) ；（2）a、b、cR，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）；（3）若，則（糖水的濃度問(wèn)題）．如如果正數(shù)、滿足，則的取值范圍是 _________（答：）
5、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過(guò)分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1的大小，然后作出結(jié)論．).
常用的放縮技巧有：
　　　　　　　　　　
如（1）已知，求證： ；(2) 已知，求證：；（3）已知，且，求證：；(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：；（5）已知，求證：
；(6)若，求證：；(7)已知，求證：；（8）求證：．
6.簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；（2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫(huà)曲線；并注意奇穿過(guò)偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集．如（1）解不等式．（答：或）；（2）不等式的解集是____（答：或）；（3）設(shè)函數(shù)、的定義域都是R，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為_(kāi)_____（答：）；（4）要使?jié)M足關(guān)于的不等式（解集非空）的每一個(gè)的值至少滿足不等式中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.（答：）
7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解．解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母．如（1）解不等式（答：）；（2）關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)___________（答：）.
8.絕對(duì)值不等式的解法：（1）分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如解不等式（答：）；（2）利用絕對(duì)值的定義；（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等式（答：）（4）兩邊平方：如若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．（答：）
9、含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤幔瘮?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵．”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…”．注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集. 如（1）若，則的取值范圍是__________（答：或）；（2）解不等式（答：時(shí)，；時(shí)，或；時(shí)，或）
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值．如關(guān)于的不等式 的解集為，則不等式的解集為_(kāi)_________（答：（－1,2））
11.含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：
同號(hào)或有；
異號(hào)或有.
如設(shè)，實(shí)數(shù)滿足，求證：
12.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問(wèn)題：不等式恒成立問(wèn)題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）
1).恒成立問(wèn)題
若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上
若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上
如（1）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______（答：）；（2）不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍_____（答：）；（3）若不等式對(duì)滿足的所有都成立，則的取值范圍_____（答：（,））；（4）若不等式對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____（答：）；（5）若不等式對(duì)的所有實(shí)數(shù)都成立，求的取值范圍.（答：）
2). 能成立問(wèn)題
若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上；
若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上的.
如已知不等式在實(shí)數(shù)集上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍______（答：）
3). 恰成立問(wèn)題
若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價(jià)于不等式的解集為；
若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價(jià)于不等式的解集為.
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七、直線和圓
1、直線的傾斜角：（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角．當(dāng)直線與軸重合或平行時(shí)，規(guī)定傾斜角為0；（2）傾斜角的范圍．如（1）直線的傾斜角的范圍是____（答：）；（2）過(guò)點(diǎn)的直線的傾斜角的范圍值的范圍是______（答：）
2、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即＝tan(≠90°)；傾斜角為90°的直線沒(méi)有斜率；（2）斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、的直線的斜率為；（3）直線的方向向量，直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？（4）應(yīng)用：證明三點(diǎn)共線： ．如(1) 兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的____________條件（答：既不充分也不必要）；（2）實(shí)數(shù)滿足 ()，則的最大值、最小值分別為_(kāi)_____（答：）
3、直線的方程：（1）點(diǎn)斜式：已知直線過(guò)點(diǎn)斜率為，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線．（2）斜截式：已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線．（3）兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線．（4）截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)原點(diǎn)的直線．（5）一般式：任何直線均可寫成(A,B不同時(shí)為0)的形式．如（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1）且方向向量為=(－1,)的直線的點(diǎn)斜式方程是___________（答：）；（2）直線，不管怎樣變化恒過(guò)點(diǎn)______（答：）；（3）若曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是_______（答：）
提醒：(1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）；(2)直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過(guò)原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過(guò)原點(diǎn)；直線兩截距絕對(duì)值相等直線的斜率為或直線過(guò)原點(diǎn)．如過(guò)點(diǎn)，且縱橫截距的絕對(duì)值相等的直線共有___條（答：3）
4.設(shè)直線方程的一些常用技巧：（1）知直線縱截距，常設(shè)其方程為；（2）知直線橫截距，常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線)；（3）知直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時(shí)，常設(shè)其方程為，當(dāng)斜率不存在時(shí)，則其方程為；（4）與直線平行的直線可表示為；（5）與直線垂直的直線可表示為.
提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解．
5、點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離：
（1）點(diǎn)到直線的距離；
（2）兩平行線間的距離為．
6、直線與直線的位置關(guān)系：
（1）平行（斜率）且（在軸上截距）；
（2）相交；
（3）重合且．
提醒：（1） 、、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？（2）在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線與直線垂直．如（1）設(shè)直線和，當(dāng)＝_______時(shí)∥；當(dāng)＝________時(shí)；當(dāng)_________時(shí)與相交；當(dāng)＝_________時(shí)與重合（答：－1；；；3）；（2）已知直線的方程為，則與平行，且過(guò)點(diǎn)（—1，3）的直線方程是______（答：）；（3）兩條直線與相交于第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____（答：）；（4）設(shè)分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線與的位置關(guān)系是____（答：垂直）；（5）已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線外一點(diǎn)，則方程＝0所表示的直線與的關(guān)系是____（答：平行）；（6）直線過(guò)點(diǎn)（１，０），且被兩平行直線和所截得的線段長(zhǎng)為9，則直線的方程是________（答：）
7、到角和夾角公式：（1）到的角是指直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線重合所轉(zhuǎn)的角，且tan=()；（2）與的夾角是指不大于直角的角且tan=︱︱()．提醒：解析幾何中角的問(wèn)題常用到角公式或向量知識(shí)求解．如已知點(diǎn)M是直線與軸的交點(diǎn)，把直線繞點(diǎn)M逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，得到的直線方程是______（答：）
8、對(duì)稱（中心對(duì)稱和軸對(duì)稱）問(wèn)題——代入法：如（1）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)______（答：）；（2）已知直線與的夾角平分線為，若的方程為，那么的方程是___________（答：）；（3）點(diǎn)Ａ（４，５）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為Ｂ(－2,7)，則的方程是_________（答：）；（4）已知一束光線通過(guò)點(diǎn)Ａ（－３，５），經(jīng)直線:3x－4y+4=0反射．如果反射光線通過(guò)點(diǎn)Ｂ（２，15），則反射光線所在直線的方程是_________（答：）；（5）已知ΔABC頂點(diǎn)A(3，－１)，ＡＢ邊上的中線所在直線的方程為6x+10y－59=0，∠B的平分線所在的方程為x－4y+10=0，求ＢＣ邊所在的直線方程（答：）；（6）直線2x―y―4=0上有一點(diǎn)Ｐ，它與兩定點(diǎn)Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距離之差最大，則Ｐ的坐標(biāo)是______（答：（5,6））；（7）已知軸，，C（2，1），周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____（答：）．提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對(duì)稱求解．
9、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃：
（1）二元一次不等式表示的平面區(qū)域：①法一：先把二元一次不等式改寫成或的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域；法二：用特殊點(diǎn)判斷；②無(wú)等號(hào)時(shí)用虛線表示不包含直線，有等號(hào)時(shí)用實(shí)線表示包含直線；③設(shè)點(diǎn)，，若與同號(hào)，則P，Q在直線的同側(cè)，異號(hào)則在直線的異側(cè)．如已知點(diǎn)A（—2，4），B（4，2），且直線與線段AB恒相交，則的取值范圍是__________（答：）
（2）線性規(guī)劃問(wèn)題中的有關(guān)概念：
①滿足關(guān)于的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件．
②關(guān)于變量的解析式叫目標(biāo)函數(shù)，關(guān)于變量一次式的目標(biāo)函數(shù)叫線性目標(biāo)函數(shù)；
③求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，稱為線性規(guī)劃問(wèn)題；
④滿足線性約束條件的解（）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域；
⑤使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解；
（3）求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟是什么？①根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的約束條件列出不等式；②作出可行域，寫出目標(biāo)函數(shù)；③確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解．如（1）線性目標(biāo)函數(shù)z=2x－y在線性約束條件下，取最小值的最優(yōu)解是____（答：（－1，1））；（2）點(diǎn)（－２，）在直線2x－3y+6=0的上方，則的取值范圍是_________（答：）；（3）不等式表示的平面區(qū)域的面積是_________（答：8）；（4）如果實(shí)數(shù)滿足，則的最大值_________（答：21）
（4）在求解線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)要注意：①將目標(biāo)函數(shù)改成斜截式方程；②尋找最優(yōu)解時(shí)注意作圖規(guī)范．
10、圓的方程：
⑴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：．
⑵圓的一般方程：，特別提醒：只有當(dāng)時(shí)，方程才表示圓心為，半徑為的圓（二元二次方程表示圓的充要條件是什么？ （且且））；
⑶圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為．圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：；
．
⑷為直徑端點(diǎn)的圓方程
如（1）圓C與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓C的方程為_(kāi)___________（答：）；（2）圓心在直線上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________（答：或）；（3）已知是圓（為參數(shù)，上的點(diǎn)，則圓的普通方程為_(kāi)_______，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值為_(kāi)______，過(guò)P點(diǎn)的圓的切線方程是___________（答：；；）；（4）如果直線將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過(guò)第四象限，那么的斜率的取值范圍是____（答：[0，2]）；（5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)___（答：）；（6）若（為參數(shù)，，，若，則b的取值范圍是_________（答：）
11、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：已知點(diǎn)及圓，（1）點(diǎn)M在圓C外；（2）點(diǎn)M在圓C內(nèi)
；（3）點(diǎn)M在圓C上
．如點(diǎn)P(5a+1,12a)在圓(x－１)２＋y2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是______（答：）
12、直線與圓的位置關(guān)系：直線和圓
有相交、相離、相切．可從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面來(lái)判斷：（1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：相交；相離；相切；（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大小）：設(shè)圓心到直線的距離為，則相交；相離；相切．提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡(jiǎn)捷．如（1）圓與直線，的位置關(guān)系為_(kāi)___（答：相離）；（2）若直線與圓切于點(diǎn)，則的值____（答：2）；（3）直線被曲線所截得的弦長(zhǎng)等于 （答：）；（4）一束光線從點(diǎn)A(－1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）；（5）已知是圓內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以為中點(diǎn)的弦所在直線和直線，則A．，且與圓相交 　 B．，且與圓相交　　C．，且與圓相離 D．，且與圓相離（答：C）；（6）已知圓C：，直線L：．①求證：對(duì)，直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；②設(shè)L與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求L的傾斜角；③求直線L中，截圓所得的弦最長(zhǎng)及最短時(shí)的直線方程. （答：②或　　③最長(zhǎng)：，最短：）
13、圓與圓的位置關(guān)系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷）：已知兩圓的圓心分別為，半徑分別為，則（1）當(dāng)時(shí)，兩圓外離；（2）當(dāng)時(shí)，兩圓外切；（3）當(dāng)時(shí)，兩圓相交；（4）當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；（5）當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含．如雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，頂點(diǎn)為A1、A2，P是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，則分別以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓位置關(guān)系為 （答：內(nèi)切）
14、圓的切線與弦長(zhǎng)：
(1)切線：①過(guò)圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，過(guò)圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，一般地，如何求圓的切線方程？（抓住圓心到直線的距離等于半徑）；②從圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運(yùn)用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來(lái)求；③過(guò)兩切點(diǎn)的直線（即“切點(diǎn)弦”）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程；③切線長(zhǎng)：過(guò)圓（）外一點(diǎn)所引圓的切線的長(zhǎng)為（）；如設(shè)A為圓上動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|=1，則P點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_________（答：）；
（2）弦長(zhǎng)問(wèn)題：①圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算：常用弦心距，弦長(zhǎng)一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來(lái)解：；②過(guò)兩圓、交點(diǎn)的圓(公共弦)系為，當(dāng)時(shí)，方程為兩圓公共弦所在直線方程.．
15.解決直線與圓的關(guān)系問(wèn)題時(shí)，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長(zhǎng)定理、割線定理、弦切角定理等等)!
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高考數(shù)學(xué)必勝秘訣在哪？
――概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)
基本概念、公式及方法是數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)工具和基本技能，為此作為臨考前的高三學(xué)生，務(wù)必首先要掌握高中數(shù)學(xué)中的概念、公式及基本解題方法，其次要熟悉一些基本題型，明確解題中的易誤點(diǎn)，還應(yīng)了解一些常用結(jié)論，最后還要掌握一些的應(yīng)試技巧．本資料對(duì)高中數(shù)學(xué)所涉及到的概念、公式、常見(jiàn)題型、常用方法和結(jié)論及解題中的易誤點(diǎn)，按章節(jié)進(jìn)行了系統(tǒng)的整理，最后闡述了考試中的一些常用技巧，相信通過(guò)對(duì)本資料的認(rèn)真研讀，一定能大幅度地提升高考數(shù)學(xué)成績(jī)．
一、集合與簡(jiǎn)易邏輯
1.集合元素具有確定性、無(wú)序性和互異性. 在求有關(guān)集合問(wèn)題時(shí)，尤其要注意元素的互異性，如（1）設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q=，若，，則P+Q中元素的有________個(gè)．（答：8）（2）設(shè)，，，那么點(diǎn)的充要條件是________（答：）；（3）非空集合，且滿足“若，則”，這樣的共有_____個(gè)（答：7）
2.遇到時(shí)，你是否注意到“極端”情況：或；同樣當(dāng)時(shí)，你是否忘記的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．如集合，，且，則實(shí)數(shù)＝______.（答：）
3.對(duì)于含有個(gè)元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為 如滿足集合M有______個(gè)．　（答：7）
4.集合的運(yùn)算性質(zhì)：　⑴；　⑵；⑶
； ⑷； ⑸； ⑹
；⑺.如設(shè)全集，若，，，則A＝_____，B＝___.（答：，）
5. 研究集合問(wèn)題，一定要理解集合的意義――抓住集合的代表元素．如：—函數(shù)的定義域；—函數(shù)的值域；—函數(shù)圖象上的點(diǎn)集，如（1）設(shè)集合，集合N＝，則___（答：）；（2）設(shè)集合，，
，則_____（答：）　
6. 數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，在具體計(jì)算時(shí)不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問(wèn)題．如已知函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．　（答：）
7.復(fù)合命題真假的判斷．“或命題”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點(diǎn)是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點(diǎn)是“真假相反”．如在下列說(shuō)法中：⑴“且”為真是“或”為真的充分不必要條件；⑵“且”為假是“或”為真的充分不必要條件；⑶“或”為真是“非”為假的必要不充分條件；⑷“非”為真是“且”為假的必要不充分條件．其中正確的是__________（答：⑴⑶）
8.四種命題及其相互關(guān)系．若原命題是“若p則q”，則逆命題為“若q則p”；否命題為“若﹁p 則﹁q” ；逆否命題為“若﹁q 則﹁p”．提醒：（1）互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題，即原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假．但原命題與逆命題、否命題都不等價(jià)；（2）在寫出一個(gè)含有“或”、“且”命題的否命題時(shí)，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”：否命題要對(duì)命題的條件和結(jié)論都否定，而命題的否定僅對(duì)命題的結(jié)論否定；（4）對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否定式的命題，一般利用等價(jià)關(guān)系“”判斷其真假，這也是反證法的理論依據(jù)．（5）哪些命題宜用反證法？如（1）“在△ABC中，若∠C=900，則∠A、∠B都是銳角”的否命題為 （答：在中，若，則不都是銳角）；（2）已知函數(shù)，證明方程沒(méi)有負(fù)數(shù)根．
9.充要條件．關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論（劃主謂賓），由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成立的充分條件；由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)論成立的必要條件．從集合角度解釋，若，則A是B的充分條件；若，則A是B的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件．如（1）給出下列命題：①實(shí)數(shù)是直線與平行的充要條件；②若是成立的充要條件；③已知，“若，則或”的逆否命題是“若或則”；④“若和都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題是假命題 ．其中正確命題的序號(hào)是_______（答：①④）；（2）設(shè)命題p：；命題q:．若┐p是┐q的必要而不充分的條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （答：）
10. 一元一次不等式的解法：通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟化為的形式，若,則；若,則；若,則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．如已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)______（答：）
11. 一元二次不等式的解集（聯(lián)系圖象）．尤其當(dāng)和時(shí)的解集你會(huì)正確表示嗎？設(shè),是方程的兩實(shí)根，且，則其解集如下表：
或 或
R
R R
如解關(guān)于的不等式：．（答：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，）
12. 對(duì)于方程有實(shí)數(shù)解的問(wèn)題．首先要討論最高次項(xiàng)系數(shù)是否為0，其次若，則一定有．對(duì)于多項(xiàng)式方程、不等式、函數(shù)的最高次項(xiàng)中含有參數(shù)時(shí)，你是否注意到同樣的情形？如：（1）對(duì)一切恒成立，則的取值范圍是_______（答：）；（2）關(guān)于的方程有解的條件是什么？(答：，其中為的值域)，特別地，若在內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根滿足等式，則實(shí)數(shù)的范圍是_______.（答：）
13.一元二次方程根的分布理論．方程在上有兩根、在上有兩根、在和上各有一根的充要條件分別是什么？
（、、）．根的分布理論成立的前提是開(kāi)區(qū)間，若在閉區(qū)間討論方程有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開(kāi)區(qū)間上實(shí)根分布的情況，得出結(jié)果，再令和檢查端點(diǎn)的情況．如實(shí)系數(shù)方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，則的取值范圍是_________（答：（，1））
14.二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)系你了解了嗎？二次方程的兩個(gè)根即為二次不等式的解集的端點(diǎn)值，也是二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．如（1）不等式的解集是，則=__________（答：）；（2）若關(guān)于的不等式的解集為，其中，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)_______（答：）；（3）不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______（答：）．
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