資源簡介

《三角函數的奇偶性》案例分析
——探究性策略在數學教學中的應用
常州市戚墅堰實驗中學 石禮紅
[主題]
函數的奇偶性是函數的一個重要性質 ,它有助于培養學生的理解能力，推理論證能力和探索精神，在高中數學中占有重要的位置。本案例研究的主要問題有：
1、奇函數、偶函數的圖像有何特點和重要性質？
2、及型函數的對稱中心和對稱軸.
[背景]
研究函數的奇偶性對了解函數的性質非常重要 ,如果我們知道一個函數是奇函數或偶函數,則只要把這個函數的定義域分成關于坐標原點對稱的兩部分,就可得出這個函數在另一部分上的性質和圖像.函數的對稱中心和對稱軸實際上是函數奇偶性的拓展。（實際上是進一步拓寬學生的數形結合思想）
[描述]
片段一 :（奇偶函數的圖象特點和性質探究）
師：奇函數或偶函數的圖象有何特點？我們一起來看一個有趣的圖形并觀察有何特點？
生：圖（1）兩邊成對稱圖形，在圖（2）中關于y軸對稱。
師：這就是數學中的對稱美，請同學們再作出 y=-3x和y=x2+2的圖象并觀察有何特點？
生：奇函數 y=-3x的圖象是一條過原點的直線，并且關于原點成中心對稱圖形；偶函數y=x2+2的圖象是一條拋物線，頂點是（0，2）、開口方向向上，且關于y軸對稱。
師：回答得太棒了！大家再作出y=4x和y=x2的圖象，觀察是否有類似的規律？
生：y=4x的圖象也是關于原點成中心對稱圖形；y=x2與y=x2+2的圖象一樣也關于 y軸對稱。
師：到此我們猜想，奇函數的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，反之亦然；偶函數的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形，反之，如果一個函數的圖象關于y軸對稱，則這個函數是偶函數。
師：請同學們思考自學課本。
生：噢，原來如此。
師：根據奇、偶函數圖象的特點請同學們思考如何作出函數 的圖象？
生：該函數的定義域為（0，+∞）∪（-∞，0），又是偶函數，只需作出 在（0，+∞）上的圖象，但我不知該怎樣做？
生：用描點法。（主動到黑板上做圖，并根據對稱性做出另一部分。）
生（全體）：真棒！
片段二 :（對稱中心和對稱軸的探究）
師：上兩節課我們學習了正余弦函數的定義域、值域、單調性、周期性和奇偶性，請大家結合函數圖象討論是否還有其他性質。我們先從正弦函數開始。
生 1：正弦函數圖象關于原點對稱，因為它是奇函數。
生 2：正弦函數關于直線 對稱
生 3：因正弦函數是周期函數，我發現 還關于直線
…對稱，關于點 對稱，他們之間都相差 的整數倍
生 4：不對，我覺得應該是關于直線 …對稱，關于點 對稱，他們之間都相差 的整數倍。
師：太棒了。
（余弦函數的對稱中心和對稱軸的探究略）
師：好，我們下面進一步對他們進行深入研究，首先大家試試能否說出 的對稱中心和對稱軸。
生：結合函數圖象容易看到它的對稱中心是 ，對稱軸是
師： 呢？ 呢？
生：用五點點法畫出函數圖象觀察后可得，兩者對稱中心和對稱軸相同，它的對稱中心是 對稱軸是
師： good!大家發現找對稱軸和對稱中心有什么規律沒有？
生甲：（急不可待）我發現了，對稱中心實際上就是圖象與 x軸交點的坐標，而對稱軸是函數取得最大或最小值時所對應的變量x的取值。
生乙： 可用誘導公式變為 ，利用余弦函數的圖象不是更簡單嗎？
師：兩個同學說得都非常棒。生甲說出了對于求 及 型函數對稱中心和對稱軸的通法。生乙實際上發現了另外一個問題，即 和 什么時候是奇函數什么時候是偶函數。
生乙：根據誘導公式，很容易看到當 時 是偶函數，而 是奇函數，當 時， 是奇函數，而 是偶函數。
師：太棒了。（并作適當解釋）
[評析]
這節課本著“課程標準為依據，教師為主導，學生為主體”的原則進行設計與教學，通過問題激發學生求知欲，使學生主動參與數學實踐活動，在教師的有效指導下解決問題。應當說在知識的習得、能力的培養二個方面收獲都比較大，基本上達到了預期的教學目的。比如，用麥當勞圖案作為軸對稱的實際例子，調動了學生的學習積極性；通過閱讀理解、交流學習的形式導出偶函數的性質，使學生體驗了知識習得的過程。
從本堂課的教學實踐中我還深刻體會到要上好一堂課需要注意以下幾點：（ 1）帶著問題邊閱讀邊思考，目標明確，要求具體，效果好。但是閱讀自學的時間與問題的難易程度要適當，如果流于形式，那么就達不到教學目的。
（ 2）學生的學習交流需要教師的精心指導，使課堂學習交流不僅是問題解決的過程，而且是培養學生表達能力、探索精神、團結協作精神的過程。
（ 3）作為探究型課，要注重學生的學習過程，這個過程是一個不確定的過程，即使教師作了認真準備，也不可能完全預料探究的全過程，因此教師要不斷提高自己課堂教學的調控能力，善于根據學生活動情況作靈活調整。
（ 4）傳統的“接受式”教學，注重的是知識的傳授與運用，對于理性知識的習得很有作用；“探究式”學習注重實踐、探究，注重自主活動，注重學習過程，能激發學生的主體意識，有利于創新精神與實踐能力的培養。我認為一個好教師要善于使二類教學方法有機整合。
（ 5）應對學生思維活動做出及時、合理的評價。
（ 6）應貼近實際問題和生活，更加重視培養學生的數學思想方法。

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