資源簡介

　代數(shù)式、整式與因式分解
1. 根據(jù)下列實(shí)際問題列代數(shù)式：
(1)一臺(tái)電視機(jī)原價(jià)是2 500元，現(xiàn)按原價(jià)的八折出售，則購買a臺(tái)這樣的電視機(jī)需要___________元；
(2)購買一個(gè)籃球需要80元，購買一個(gè)足球需要100元，則購買m個(gè)籃球和n個(gè)足球共需____________元；
(3)長方形綠地的長是a m，寬是b m，若長增加了x m，則增加后的綠地面積是________m2.
2. 求下列代數(shù)式的值：
(1)若a＝3，則代數(shù)式a2－2a的值為________；
(2)若a2＋2a＝1，則代數(shù)式2a2＋4a－3的值為________；
(3)已知實(shí)數(shù)a，b滿足(a－2)2＋|b＋1|＝0，則ab＝________．
3. 計(jì)算：
(1)4a＋2a－3a＝________； (2)3a2b－a2b＝________；
(3)(xy3)m＝________； (4)(－4a2)3＝________．
4. 計(jì)算：
(1)6x2·3xy＝________； (2)2x2y·(－xy2)3＝________；
(3)2b·(4a－b2)＝________； (4)(4y－1)(5－y)＝________．
5. 人教八上P104習(xí)題改編分解因式：
(1)2x－2y＝________；(2)x2－4y2＝________；(3)x2－6x＋9＝________．
6. 現(xiàn)有甲、乙兩種不同的正方形紙片如圖所示擺放，甲，乙的邊長分別為a，b.
(1)用含a，b的代數(shù)式表示圖中陰影部分面積________；
　第6題圖
(2)若a＋b＝3，a－b＝1，求圖中陰影部分面積．
知識(shí)逐點(diǎn)過
考點(diǎn)1 列代數(shù)式及求值
列代數(shù)式 找出問題中的數(shù)量關(guān)系及公式，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來
代數(shù)式求值 1. 直接代入法：把已知字母的值代入代數(shù)式，并按原來的運(yùn)算順序計(jì)算求值2. 整體代入法：(1)觀察已知條件和所求代數(shù)式的關(guān)系；(2)將所求代數(shù)式變形成含有已知等式或部分項(xiàng)的形式，一般會(huì)用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式；(3)把已知等式或部分項(xiàng)之和看成一個(gè)整體代入所求代數(shù)式中求值
考點(diǎn)2 　整式的相關(guān)概念
單項(xiàng)式 1．概念：由數(shù)字與字母或字母與字母的乘積所組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式．單獨(dú)一個(gè)數(shù)字或字母也是單項(xiàng)式；2．單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)；3．單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)之和
多項(xiàng)式 1.概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；2．多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，如2x＋x2y的次數(shù)是①________
整式 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式
考點(diǎn)3 　整式的運(yùn)算(
1. 整式的加減運(yùn)算(實(shí)質(zhì)：合并同類項(xiàng))
同類項(xiàng) 所含字母相同，并且相同字母的②________也相同
合并同類項(xiàng) (1)字母和字母的③________不變；(2)④________相加減作為新的系數(shù)
去括號(hào)法則 若括號(hào)前是“＋”，去括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)不變號(hào)，如a＋(b－c)＝a＋b－c；若括號(hào)前是“－”，去括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)都變號(hào)，如a－(b－c)＝a－b＋c(“＋”不變，“－”變)
【溫馨提示】整式加減運(yùn)算可歸納為：先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)
2. 冪的運(yùn)算
同底數(shù)冪相乘 底數(shù)不變，指數(shù)相加，如a3·a2＝⑤________
同底數(shù)冪相除 底數(shù)不變，指數(shù)相減，如a3÷a2＝⑥________
冪的乘方 底數(shù)不變，指數(shù)相乘，如(a3)2＝⑦_(dá)_______
積的乘方 先把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，如(a2b)2＝⑧________
3. 整式的乘除運(yùn)算
單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式 把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘作為積的一個(gè)因式，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式
單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式 用單項(xiàng)式分別去乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加
多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式 先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加
乘法公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑨________；完全平方公式：(a±b)2＝⑩________
單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式中含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式
考點(diǎn)4 　因式分解
定義 把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的 ________的形式，像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解
基本方法 1. 提公因式法：ma＋mb＋mc＝ ________；2. 公式法：(1)a2－b2＝ ________；(2)a2±2ab＋b2＝ ________
一般步驟
【溫馨提示】1.確定公因式的步驟：(1)系數(shù)：取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)字母：取各項(xiàng)中相同的字母；(3)指數(shù)：取各項(xiàng)相同字母的最低次冪；2．因式分解的結(jié)果必須是最簡因式：(1)每個(gè)因式都必須是整式；(2)每個(gè)因式中不能再有公因式
考點(diǎn)5 　常見非負(fù)數(shù)及其性質(zhì)
常見的非負(fù)數(shù) 1.實(shí)數(shù)的絕對值：|a| ________0；2.實(shí)數(shù)的平方：a2 ________0；3．二次根式： ________0(a≥0)
性質(zhì) 若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)的值均為0.如a2＋|b|＋＝0，則有a2＝0，|b|＝0，＝0，則a＝b＝c＝ ________
真題演練
命題點(diǎn)1 列代數(shù)式及求值
1. 已知x＝2y＋3，則代數(shù)式4x－8y＋9的值是________．
2. 已知x＝5－y，xy＝2.計(jì)算3x＋3y－4xy的值為________.
3. 若x＋＝且0＜x＜1，則x2－＝________．
4. 如圖①所示的圖形是一個(gè)軸對稱圖形，且每個(gè)角都是直角，長度如圖所示，小明按圖②所示方法玩拼圖游戲，兩兩相扣，相互間不留空隙，那么小明用9個(gè)這樣的圖形(圖①)拼出來的圖形的總長度是________(結(jié)果用含a，b代數(shù)式表示).
　
第4題圖
命題點(diǎn)2 整式的相關(guān)概念
5. 單項(xiàng)式3xy的系數(shù)為________．
6. 如果單項(xiàng)式3xmy與－5x3yn是同類項(xiàng)，那么m＋n＝________．
命題點(diǎn)3 整式的運(yùn)算
7. 下列計(jì)算正確的是(　　)
A. b6÷b3＝b2 B. b3·b3＝b9 C. a2＋a2＝2a2 D. (a3)3＝a6
8.已知9m＝3，27n＝4，則32m＋3n＝(　　)
A. 1 B. 6 C. 7 D. 12
9. 先化簡，再求值：(x＋y)2＋(x＋y)(x－y)－2x2，其中x＝，y＝.
命題點(diǎn)4 因式分解
10. (2023廣東11題3分·源于人教八上P114探究)因式分解：x2－1＝________．
11. (2020廣東11題4分)分解因式：xy－x＝________．
12. (2018廣東11題4分·源于北師八下P94第1題)分解因式：x2－2x＋1＝________．
命題點(diǎn)5 非負(fù)數(shù)
13.若|a－|＋＝0，則ab＝(　　)
A. B. C. 4 D. 9
14. 已知＋|b－1|＝0，則a＋1＝________．
15. 若＋|b＋1|＝0，則(a＋b)2020＝________．
基礎(chǔ)過關(guān)
1.代數(shù)式－7x的意義可以是(　　)
A. －7與x的和 B. －7與x的差 C. －7與x的積 D. －7與x的商
2. 下列整式與ab2為同類項(xiàng)的是(　　)
A. a2b B. －2ab2 C. ab D. ab2c
3. 計(jì)算：(3a)2＝(　　)
A. 5a B. 3a2 C. 6a2 D. 9a2
4. 若(　　)·2a2b＝2a3b，則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的單項(xiàng)式是(　　)
A. a B. 2a C. ab D. 2ab
5. 計(jì)算：6xy3·(－x3y2)＝(　　)
A. 3x4y5 B. －3x4y5 C. 3x3y6 D. －3x3y6
6. 下列計(jì)算正確的是(　　)
A. (a2)3＝a6 B. a6÷a2＝a3 C. a3·a4＝a12 D. a2－a＝a
7. 下列因式分解正確的是(　　)
A. 2a2－4a＋2＝2(a－1)2 B. a2＋ab＋a＝a(a＋b)
C. 4a2－b2＝(4a＋b)(4a－b) D. a3b－ab3＝ab(a－b)2
8. 若單項(xiàng)式2xay3與xy2b－a的和仍為單項(xiàng)式，則b－a＝__________．
9. 分解因式：a2＋5a＝__________．
10. 分解因式：x2y－y3＝__________．
11. 一個(gè)多項(xiàng)式，把它因式分解后有一個(gè)因式為(x＋1)，請你寫出一個(gè)符合條件的多項(xiàng)式__________．
12. 2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學(xué)參加了7.5公里健康跑項(xiàng)目，他從起點(diǎn)開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時(shí)他離健康跑終點(diǎn)的路程為__________公里(用含x的代數(shù)式表示).
13. 已知y2－my＋1是完全平方式，則m的值是__________．
14. 已知a，b滿足|a＋3|＋＝0，則(a＋b)2 023＝__________．
15. 如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個(gè)大小相同的圓片組成．第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，…，依此規(guī)律，第n個(gè)圖案中有__________個(gè)白色圓片(用含n的代數(shù)式表示).
第15題圖
16. (2023深圳)已知實(shí)數(shù)a，b，滿足a＋b＝6，ab＝7，則a2b＋ab2的值為__________．
17. 若m，n滿足3m－n－4＝0，則8m÷2n＝__________．
18. 化簡：(x－2y)2－x(x－4y).
19. 已知a2＋3ab＝5，求(a＋b)(a＋2b)－2b2的值．
20. 先化簡，再求值(2－a)(2＋a)－2a(a＋3)＋3a2，其中a＝－.
綜合提升
21. 已知x＋2y－1＝0，則代數(shù)式的值為__________．
22. (數(shù)學(xué)文化)如圖是著名的斐波那契螺旋線，若正方形ABCD的邊長為1，以點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑畫，記為l1；以AD為邊長，在右側(cè)作正方形ADEF，以點(diǎn)A為圓心，AD的長為半徑畫，記為l2；以BF為邊長，在上方作正方形BFGH，以點(diǎn)B為圓心，BF的長為半徑畫，記為l3，…，以此類推，按逆時(shí)針方向不斷地在正方形內(nèi)畫圓弧，則l8的長為__________．
第22題圖
新考法推薦
23. 設(shè)有邊長分別為a和b(a>b)的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個(gè)邊長為a＋b的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個(gè)長為3a＋b、寬為2a＋2b的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為(　　)
ABCD
第23題圖
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
　代數(shù)式、整式與因式分解
1. (1)2 000a　【解析】2 500a×80%＝2 000a(元).
(2)(80m＋100n)
(3)b(a＋x)
2. (1)3　【解析】原式＝a(a－2)＝3×(3－2)＝3.
(2)－1　【解析】2a2＋4a－3＝2(a2＋2a)－3＝2×1－3＝－1.
(3)　【解析】∵(a－2)2＋|b＋1|＝0，∴a－2＝0且b＋1＝0，解得a＝2，b＝－1，∴ab＝2－1＝.
3. (1)3a；(2)2a2b；(3)xmy3m；(4)－64a6.
4. (1)18x3y；(2)－2x5y7；(3)8ab－2b3；(4)－4y2＋21y－5.
5. (1)2(x－y)；(2)(x＋2y)(x－2y)；(3)(x－3)2.
6. 解：(1)a2－b2；
(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝3×1＝3.
知識(shí)逐點(diǎn)過
①3　②指數(shù)　③指數(shù)　④同類項(xiàng)的系數(shù)　⑤a5　⑥a　⑦a6　⑧a4b2
⑨a2－b2　⑩a2±2ab＋b2　 乘積　 m(a＋b＋c)　 (a＋b)(a－b)　 (a±b)2　 ≥　 ≥　 ≥　 0
真題演練
1. 21　【解析】∵x＝2y＋3，∴x－2y＝3，∴4x－8y＋9＝4×3＋9＝21.
2. 7　【解析】∵x＝5－y，∴x＋y＝5，又∵xy＝2，∴原式＝3(x＋y)－4xy＝3×5－4×2＝15－8＝7.
3. －　【解析】∵x＋＝，∴(x－)2＝(x＋)2－4＝()2－4＝，∵0＜x＜1，∴x－＜0，∴x－＝－，∴x2－＝(x＋)(x－)＝×(－)＝－.
4. a＋8b　【解析】由拼成的圖案可知，9個(gè)水平正放置的基本圖案的長度為9a，上下圖形拼接部分的長度共為8(a－b)，∴拼成的圖形的總長度為9a－8(a－b)＝a＋8b.
5. 3
6. 4　【解析】∵單項(xiàng)式3xmy與－5x3yn是同類項(xiàng)，∴m＝3，n＝1，∴m＋n＝3＋1＝4.
7. C　【解析】逐項(xiàng)分析如下：
選項(xiàng) 逐項(xiàng)分析 正誤
A b6÷b3＝b6－3＝b3≠b2 ×
B b3·b3＝b3＋3＝b6≠b9 ×
C a2＋a2＝2a2 √
D (a3)3＝a3×3＝a9≠a6 ×
8. D　【解析】32m＋3n＝32m×33n＝9m×27n＝3×4＝12.
9. 解：原式＝x2＋2xy＋y2＋x2－y2－2x2
＝2xy，(3分)
當(dāng)x＝，y＝時(shí)，
原式＝2××＝2.(6分)
10. (x＋1)(x－1)
11. x(y－1)
12. (x－1)2
13. B　【解析】∵|a－|＋
＝|a－|＋＝0，
∴解得
∴ab＝×＝.
14. 2　【解析】∵＋|b－1|＝0，∴，解得，∴a＋1＝2.
15. 1　【解析】∵＋|b＋1|＝0，∴解得∴(a＋b)2020＝(2－1)2020＝1.
基礎(chǔ)過關(guān)
1. C　【解析】－7x表示－7與x的積.
2. B　【解析】根據(jù)“字母相同，相同字母的指數(shù)也相同的兩個(gè)單項(xiàng)式是同類項(xiàng)”可知－2ab2與ab2是同類項(xiàng)．
3. D　【解析】(3a)2＝9a2.
4. A　【解析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則，a·2a2b＝2a3b.
5. B　【解析】 原式＝－×6x1＋3·y3＋2＝－3x4y5.
6. A　【解析】逐項(xiàng)分析如下：
選項(xiàng) 逐項(xiàng)分析 正誤
A (a2)3＝a6 √
B a6÷a2＝a4≠a3 ×
C a3·a4＝a7≠a12 ×
D a2與a不是同類項(xiàng)，不能合并 ×
7. A　【解析】逐項(xiàng)分析如下：
選項(xiàng) 逐項(xiàng)分析 正誤
A 2a2－4a＋2＝2(a2－2a＋1)＝2(a－1)2 √
B a2＋ab＋a＝a(a＋b＋1)≠a(a＋b) ×
C 4a2－b2＝(2a＋b)(2a－b)≠(4a＋b)(4a－b) ×
D a3b－ab3＝ab(a＋b)(a－b)≠ab(a－b)2 ×
8. 1　【解析】∵單項(xiàng)式2xay3與xy2b－a的和仍為單項(xiàng)式，∴2xay3與xy2b－a為同類項(xiàng)，∴a＝1，2b－a＝3，∴b＝2，∴b－a＝1.
9. a(a＋5)　【解析】a2＋5a＝a(a＋5).
10. y(x＋y)(x－y)　【解析】x2y－y3＝y(tǒng)(x2－y2)＝y(tǒng)(x＋y)(x－y).
11. x2－1(答案不唯一)　【解析】∵x2－1＝(x＋1)(x－1)，因式分解后有一個(gè)因式為(x＋1)，∴這個(gè)多項(xiàng)式可以是x2－1.
12. (7.5－10x)　【解析】由題意可得，他從起點(diǎn)開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時(shí)他離健康跑終點(diǎn)的路程為(7.5－10x)公里．
13. ±2　【解析】∵y2－my＋1是完全平方式，∴－m＝±2，解得m＝±2.
14. －1　【解析】根據(jù)題意得，a＋3＝0，b－2＝0，解得a＝－3，b＝2，∴(a＋b)2 023＝(－3＋2)2 023＝－1.
15. (2n＋2) 　【解析】由題圖得，第1個(gè)圖案中有2×1＋2＝4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有2×2＋2＝6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有2×3＋2＝8個(gè)白色圓片，∴第n個(gè)圖案中有(2n＋2)個(gè)白色圓片.
16. 42　【解析】 a2b＋ab2＝ab(a＋b)，∵a＋b＝6，ab＝7，∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝42.
17. 16　【解析】∵3m－n－4＝0，∴3m－n＝4，∴8m÷2n＝23m÷2n＝23m－n＝24＝16.
18. 解：原式＝x2－4xy＋4y2－x2＋4xy
＝4y2.
19. 解：原式＝a2＋2ab＋ab＋2b2－2b2
＝a2＋3ab，
∵a2＋3ab＝5，
∴原式＝5.
20. 解：(2－a)(2＋a)－2a(a＋3)＋3a2
＝4－a2－2a2－6a＋3a2
＝4－6a，
當(dāng)a＝－時(shí)，原式＝4－6×(－)
＝6.
21. 2　【解析】 原式＝＝，∵x＋2y－1＝0，∴x＋2y＝1，∴原式＝＝2.
22. π　【解析】由題可知，l1所在圓的半徑為1，l2所在圓的半徑為1，l3所在圓的半徑為2，l4所在圓的半徑為3，l5所在圓的半徑為5，l6所在圓的半徑為8，∴圓弧所在圓的半徑規(guī)律為ln所在圓的半徑等于ln－1所在圓的半徑加上ln－2所在圓的半徑(n為正整數(shù)，n≥3)，∴l(xiāng)7所在圓的半徑為13，l8所在圓的半徑為21，由題意可知，圓弧所對的圓心角為90°，∴l(xiāng)8＝×π×21＝π.
23. C　【解析】長為(3a＋b)，寬為(2a＋2b)的矩形的面積為(3a＋b)(2a＋2b)＝6a2＋2b2＋8ab，需要6張A類紙片，2張B類紙片和8張C類紙片．

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