資源簡介

　一元二次方程及其應(yīng)用
1. 已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋mx＋1＝0.
(1)當(dāng)m＝1時(shí)，此方程根的情況為________；
(2)若此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________；
(3)若此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為________；
(4)若此方程沒有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．
2. 已知方程x2－3x＋2＝0的兩根分別是x1，x2，則x1＋x2＝________；x1x2＝________；x＋x＝________；(x1－x2)2＝________；＋＝________．
3. 根據(jù)下列問題列方程：
(1)為了滿足師生的閱讀需求，某校圖書館的藏書從2021年到2023年兩年內(nèi)由5萬冊(cè)增加到7.2萬冊(cè)．設(shè)這兩年藏書的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程為____________；
(2)學(xué)校組織一次足球賽，要求每兩隊(duì)之間都要賽一場(chǎng)．若共賽了28場(chǎng)，則有幾支球隊(duì)參賽？設(shè)有x支球隊(duì)參賽，根據(jù)題意可列方程為____________；
(3)在“文博會(huì)”期間，某公司展銷如圖所示的矩形工藝品，該工藝品長60 cm，寬40 cm.中間鑲有寬度相同的三條絲綢花邊．若絲綢花邊的面積為650 cm2，設(shè)絲綢花邊的寬為x cm，根據(jù)題意可列方程為____________；
第3題圖
(4)商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元/件的某種商品以60元/件出售時(shí)每天能賣出20件，若每降價(jià)1元，則每天可多賣出4件，若降價(jià)x元，每 天盈利1 200元，則可列方程為____________．
4. 請(qǐng)用如下三種不同的方法解方程：x2－3x＋2＝0.
解法一(因式分解法)：　　　　　　解法二(配方法)：　　　　　　解法三(公式法)：
知識(shí)逐點(diǎn)過
考點(diǎn)1 　一元二次方程的相關(guān)概念
概念 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是①______的整式方程
一般形式
考點(diǎn)2 　一元二次方程的解法
解法 適用情況或步驟
直接開平方法 1. 當(dāng)方程缺少一次項(xiàng)時(shí)，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)；2. 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程
因式分解法 1. 常數(shù)項(xiàng)為0，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)；2. 一元二次方程的一邊為0，而另一邊是易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積注：方程求解過程中，等式兩邊不能同時(shí)約去含有相同未知數(shù)的因式
公式法 1. 要先把一元二次方程化為一般形式；2. 確定a，b，c的值時(shí)要帶符號(hào)；3. 判斷：若b2－4ac≥0，則利用求根公式x＝②________；若b2－4ac＜0，則原方程無解
配方法 1. 適用情況：(1)二次項(xiàng)系數(shù)化為1后，一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)的一元二次方程；(2)各項(xiàng)的系數(shù)比較小且便于配方的情況2. 步驟：(1)把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；(2)把常數(shù)項(xiàng)移到方程等號(hào)的另一邊，即x2＋px＝－q；(3)方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程整理成(x＋)2＝－q＋()2的形式；(4)運(yùn)用直接開平方法解方程
考點(diǎn)3 　一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系
概念 一般地，式子③________叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判別式
根的情況與判別式的關(guān)系 1.b2－4ac④________0 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；2．b2－4ac⑤________0 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；3．b2－4ac＜0 方程⑥________實(shí)數(shù)根
根與系數(shù)的關(guān)系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的兩實(shí)根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－，x1·x2＝
考點(diǎn)4 　一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
平均變化率問題 1. 變化率＝×100%；2. 設(shè)a為原來量，當(dāng)m為平均增長率，增長次數(shù)為2，b為增長后的量時(shí)，則⑦_(dá)_____＝b；3. 設(shè)a為原來量，當(dāng)m為平均下降率，下降次數(shù)為2，b為下降后的量時(shí)，則⑧______＝b
利潤問題 1. 利潤＝售價(jià)－成本；2. 利潤率＝×100%
每每問題 單價(jià)每漲a元，少賣b件．若漲價(jià)y元，則少賣的數(shù)量為·y件
面積問題 S陰影＝(a－2x)(b－2x) S陰影＝(a－x)(b－x) S陰影＝(a－x)(b－x)
真題演練
命題點(diǎn)1 一元二次方程的解法
1. 若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，則a＝________．
2. 若一元二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c為常數(shù))的兩根x1，x2滿足－3＜x1＜－1，1＜x2＜3，則符合條件的一個(gè)方程為____________．
命題點(diǎn)2 一元二次方程根的判別式
3. 關(guān)于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A. m＜ B. m≤ C. m＞ D. m≥－
命題點(diǎn)3 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
4. 已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)
A. x1≠x2 B. x－2x1＝0 C. x1＋x2＝2 D. x1·x2＝2
基礎(chǔ)過關(guān)
1. 用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是(　　)
A. (x＋6)2＝28 B. (x－6)2＝28 C. (x＋3)2＝1 D. (x－3)2＝1
2. 一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判別式的值是(　　)
A. 33 B. 23 C. 17 D.
3.關(guān)于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情況是(　　)
A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D. 沒有實(shí)數(shù)根
4. 若關(guān)于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A. －9 B. － C. D. 9
5. 若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的兩個(gè)根，則(　　)
A. x1＋x2＝6 B. x1＋x2＝－6 C. x1x2＝ D. x1x2＝7
6. 據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設(shè)2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為(　　)
A. 3.2(1－x)2＝3.7 B. 3.2(1＋x)2＝3.7
C. 3.7(1－x)2＝3.2 D. 3.7(1＋x)2＝3.2
7. 若關(guān)于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是(　　)
A. k>且k≠1 B. k> C. k≥且k≠1 D. k≥
8. 已知關(guān)于x的方程x2＋mx－20＝0的一個(gè)根是－4，則它的另一個(gè)根是___________．
9.在某次會(huì)議期間，為達(dá)成友好合作，每兩個(gè)人見面都會(huì)互送名片，若共送名片380張，設(shè)參加這次會(huì)議的有x人，則可列方程為__________．
10. 若實(shí)數(shù)a，b分別滿足a2－3a＋2＝0，b2－3b＋2＝0，且a≠b，則＋＝__________．
11. 解方程：x2－2x＝0.
綜合提升
12. 已知a，b是方程x2＋3x－4＝0的兩根，則a2＋4a＋b－3＝__________．
13. 已知關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，且a≠0).
(1)若a＝，b＝1，c＝－，求x的值；
(2)若b＝a＋c，求證：方程總有實(shí)數(shù)根．
14. 如圖，老李想用長為70 m的柵欄，再借助房屋的外墻(外墻足夠長)圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個(gè)2 m寬的門(建在EF處，另用其他材料).
(1)當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面積能達(dá)到650 m2嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說明理由．
第14題圖
15. (開放性試題)設(shè)一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并解這個(gè)方程．
①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝－1；④b＝2，c＝2.
注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
　一元二次方程及其應(yīng)用
1. (1)沒有實(shí)數(shù)根；【解析】當(dāng)m＝1時(shí)，原方程為x2＋x＋1＝0，此時(shí)b2－4ac＜0，∴當(dāng)m＝1時(shí)，此方程沒有實(shí)數(shù)根；
(2)m＜－2或m＞2；【解析】∵一元二次方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴b2－4ac＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2；
(3)2或－2；【解析】∵一元二次方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴b2－4ac＝0，即m2－4＝0，解得m＝±2；
(4)－2＜m＜2.【解析】∵一元二次方程x2＋mx＋1＝0沒有實(shí)數(shù)根，∴b2－4ac＜0，即m2－4＜0，解得－2＜m＜2.
2. 3；2；5；1；.【解析】∵x1，x2是方程x2－3x＋2＝0的兩根，∴x1＋x2＝3，x1x2＝2；x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝9－4＝5；(x1－x2)2＝x＋x－2x1x2＝5－4＝1；＋＝＝.
3. (1)5(1＋x)2＝7.2；
(2)x(x－1)＝28；
(3)(60－2x)(40－x)＝60×40－650；
(4)(60－30－x)(20＋4x)＝1 200.
4. 解：解法一(因式分解法)：方程x2－3x＋2＝0可化為(x－1)(x－2)＝0，
∴x－1＝0或x－2＝0，
解得x1＝1，x2＝2；
解法二(配方法)：移項(xiàng)得x2－3x＝－2，
配方得x2－3x＋()2＝－2＋()2，
整理得(x－)2＝，
開方得x－＝±，
解得x1＝1，x2＝2；
解法三(公式法)：∵(－3)2－4×1×2＝1＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝1，x2＝2.
知識(shí)逐點(diǎn)過
①2?、凇、踒2－4ac
④＞　⑤＝?、逈]有?、遖(1＋m)2
⑧a(1－m)2
真題演練
1. 1　【解析】將x＝1代入方程x2－2x＋a＝0中，得1－2＋a＝0，解得a＝1.
2. x2－4＝0(答案不唯一)　【解析】設(shè)x1＝－2，x2＝2，∴(x＋2)(x－2)＝0，即x2－4＝0.
3. A　【解析】∵一元二次方程x2－3x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴b2－4ac＞0，即(－3)2－4m＞0，解得m＜.
4. D　【解析】由x2－2x＝0得x1＝0，x2＝2，則x1≠x2；無論x為0或2時(shí)，均滿足x－2x1＝0；x1＋x2＝0＋2＝2；x1·x2＝0×2＝0，從而可判斷選項(xiàng)A，B，C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
基礎(chǔ)過關(guān)
1. D　【解析】∵x2－6x＋8＝0，∴x2－6x＝－8，∴x2－6x＋9＝－8＋9，∴(x－3)2＝1.
2. C　【解析】∵x2－5x＋2＝0，a＝1，b＝－5，c＝2，∴b2－4ac＝(－5)2－4×1×2＝25－8＝17.
3. A　【解析】∵b2－4ac＝m2－4×(－8)＝m2＋32＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
4. C　【解析】∵x2－3x＋m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴b2－4ac＝(－3)2－4m＝0，∴m＝.
5. A　【解析】∵x1，x2是方程x2－6x－7＝0的兩個(gè)根，∴x1＋x2＝6，x1x2＝－7.
6. B
7. A　【解析】根據(jù)題意列出方程組，解得k>且k≠1.
8. 5　【解析】設(shè)方程的另一個(gè)根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得－4t＝－20，解得t＝5，即方程的另一個(gè)根為5.
9. x(x－1)＝380
10. 　【解析】根據(jù)題意，∵a≠b，∴a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2－3x＋2＝0的不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解方程x2－3x＋2＝0，得x1＝1，x2＝2，即a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，∴＋＝1＋＝或＋＝＋1＝.
11. 解：x2－2x＝0，
因式分解，得x(x－2)＝0，
∴x＝0或x－2＝0，
∴x1＝0，x2＝2.
12. －2　【解析】∵a，b是方程x2＋3x－4＝0的兩根，∴a2＋3a＝4，a＋b＝－3，∴原式＝a2＋3a＋a＋b－3＝4＋(－3)－3＝－2.
13. (1)解：∵a＝，b＝1，c＝－，
∴原方程為x2＋x－＝0，
即x2＋2x－3＝0，
配方，得(x＋1)2＝4，
∴x＋1＝2或x＋1＝－2，
解得x1＝1，x2＝－3，
∴x的值為1或－3；
(2)證明：∵b＝a＋c，
∴原方程可轉(zhuǎn)化為ax2＋(a＋c)x＋c＝0，
∴(a＋c)2－4ac＝a2＋2ac＋c2－4ac＝a2－2ac＋c2＝(a－c)2≥0，
∴方程總有實(shí)數(shù)根．
14. 解：(1)設(shè)半圈的寬為x m，則長為70－2x＋2＝(72－2x) m，
根據(jù)題意，得x(72－2x)＝640，
化簡，得x2－36x＋320＝0，
解得x1＝16，x2＝20，
當(dāng)x＝16時(shí)，72－2x＝72－32＝40；
當(dāng)x＝20時(shí)，72－2x＝72－40＝32.
答：當(dāng)羊圈的長為40 m，寬為16 m或長為32 m，寬為20 m時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640 m2的羊圈；
(2)不能，理由如下：
由題意得x(72－2x)＝650，
化簡得x2－36x＋325＝0.
∵b2－4ac＝(－36)2－4×1×325＝－4<0，
∴一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，
∴羊圈的面積不能達(dá)到650 m2.
15. 解：∵使這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴b2－4ac＞0，即b2＞4c，
∴②③均可，
選②解方程，則這個(gè)方程為x2＋3x＋1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
選③解方程，則這個(gè)方程為x2＋3x－1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.

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