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2009年高考數(shù)學(xué)能力備考之填空題解題策略
云南省文山州硯山一中 (663100) 馬興奎
一、考情分析
填空題是高考數(shù)學(xué)的三種基本題型之一，高考題的命制對(duì)于填空題來(lái)說(shuō)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，幾乎可以滲透到高中數(shù)學(xué)的每個(gè)章節(jié)，填空題的類型一般可分為：完形填空題、多選填空題、條件與結(jié)論開(kāi)放的填空題. 這說(shuō)明了填空題是數(shù)學(xué)高考命題創(chuàng)新改革的“試驗(yàn)田”，將各類新定義題、開(kāi)放題、探索題等來(lái)命制題目，出題靈活，注重對(duì)能力的考查。近年高考對(duì)填空題的題量及分值有增無(wú)減的趨勢(shì)。預(yù)測(cè)2009年創(chuàng)新型的填空題將會(huì)出現(xiàn)情境創(chuàng)新題，因此，我們?cè)趥淇紩r(shí)，既要把關(guān)注這一新動(dòng)向，又要做好應(yīng)試的技能準(zhǔn)備。填空題是高考題中客觀性題型之一，具有小巧靈活，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，概念性強(qiáng),運(yùn)算不大，不需要寫出求解過(guò)程而只需直接寫出結(jié)論等特點(diǎn)。雖然量少（目前只有題），但考生的得分率較低，不很理想。究其原因，考生還不能達(dá)到《考試說(shuō)明》中對(duì)解答填空題提出的基本要求：“正確、合理、迅速”。那么，怎樣才能做到“正確、合理、迅速”地解答填空題，為做后面的題贏得寶貴的時(shí)間呢？要做到：快——運(yùn)算要快，力戒小題大作；穩(wěn)——變形要穩(wěn)，不可操之過(guò)急；全——答案要全，力避殘缺不齊；活——解題要活，不要生搬硬套；細(xì)——審題要細(xì)，不能粗心大意。
二、高考數(shù)學(xué)填空題的特點(diǎn)
1.與選擇題相比填空題缺少選擇項(xiàng)的信息，更像一道解答題,故解答題的求解思路可以原封不動(dòng)地移植到填空題上，如解答填空題的直接運(yùn)算推理法.
2.與解答題相比，填空題又不用說(shuō)明理由,又無(wú)需書寫過(guò)程，在這一方面，填空題更接近于選擇題,因而解選擇題的有關(guān)策略、方法有時(shí)也適合于填空題.
3.由于填空題常用來(lái)考查基本概念、基本運(yùn)算、大多是一些能在課本中找到原型或背景的題目,故可以通過(guò)觀察、分析、轉(zhuǎn)化、變?yōu)橐阎念}目或非常熟悉的基本題型,這是填空題區(qū)別于某些高檔綜合題的重要所在.
4. 填空題無(wú)需解答過(guò)程，因而解答過(guò)程的每一步必須百分之百地準(zhǔn)確，一步失誤，全題零分，從考試的角度看，填空題相比選擇題和解答題更容易失分.
三、解答策略
同選擇題一樣，填空題也屬于“小靈通”題，其解題“不講道理”，所以解答填空題的基本原則是“不擇手段”、“小題不能大做”，小題需小做、繁題會(huì)簡(jiǎn)做、難題要巧做，解答大部分填空題的基本方法是“直接運(yùn)算推理法”，部分填空題也可用等價(jià)轉(zhuǎn)化法、特例求解法(特殊值法、特殊函數(shù)法、特殊角法、特殊數(shù)列法、特殊位置法、特殊模型法等)、數(shù)形互助法、合理構(gòu)造法、以題攻題法、規(guī)律發(fā)現(xiàn)法、逐一判斷法、驗(yàn)證法。解題應(yīng)突出轉(zhuǎn)化的思想(轉(zhuǎn)化為圖象、轉(zhuǎn)化為特殊圖形、轉(zhuǎn)化為易于解決的問(wèn)題等)，力爭(zhēng)小題小做或小題巧做。
1.直接運(yùn)算推理法
對(duì)所給問(wèn)題比較簡(jiǎn)單或比較熟悉時(shí),可直接利用課本中的定義,性質(zhì),定理,公式等,進(jìn)行推理演算而得到正確答案.
【例1】（2008年，遼寧卷）設(shè)則函數(shù)的最小值為 .
【分析及解】由二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得：
=，
∵∴，利用均值定理，，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取“=”，∴，所以應(yīng)填.
【評(píng)述】運(yùn)用直接法，必須根據(jù)題設(shè)條件聯(lián)想相應(yīng)的知識(shí)進(jìn)行求解，本題的關(guān)鍵是明確化簡(jiǎn)變形的方向，即將式子化為只含一個(gè)變量，利用齊次式化為正切進(jìn)行統(tǒng)一變量，然后根據(jù)特點(diǎn)運(yùn)用均值定理進(jìn)行求解。
2.等價(jià)轉(zhuǎn)化法
對(duì)所給的問(wèn)題較為復(fù)雜或較為陌生時(shí)，可通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一種容易理解的語(yǔ)言，或通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化為容易求解的形式,再求解
【例2】(2006年,全國(guó)I卷)過(guò)點(diǎn)（1，）的直線l將圓分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k= 。
【分析及解】由已知點(diǎn)在圓的內(nèi)部,圓心為,要使得劣弧所對(duì)的圓心角最小,等價(jià)于過(guò)點(diǎn)的弦最短,顯然只能是直線,由斜率關(guān)系,得,所以應(yīng)填.
【評(píng)述】本題初看很難,運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化,即過(guò)點(diǎn)的弦最短,可迅速解決問(wèn)題.
3.特例求解法
當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或其值為定值時(shí)，我們只須把題中的參變量用特殊值（或特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、圖形特殊位置、特殊點(diǎn)、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到結(jié)論。一般用于所給的問(wèn)題比較抽象，或具有一般性時(shí)，可通過(guò)具體化和特殊化而獲得解決。
【例3】（2007年，江西卷）已知數(shù)列{an}對(duì)于任意p，q ∈N*，有ap+aq=ap+q，若a1=，則a36＝ ．
【分析及解】取特殊數(shù)列，又a1=，得，即，∴，故應(yīng)填
【評(píng)述】運(yùn)用常規(guī)方法費(fèi)時(shí)費(fèi)力，取特殊值數(shù)列即可輕松解決。
4.數(shù)形互助法
借助圖形的直觀形，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法，迅速作出判斷的方法稱為圖像法。文氏圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖像及方程的曲線等，都是常用的圖形。數(shù)形互助法是以數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)的一個(gè)解題方法.由于填空題不必寫出論證過(guò)程，因而畫出輔助圖像、方程的曲線或借助表格等進(jìn)行分析并解答。
【例4】(2008年,湖北卷)方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為 .
【分析及解】∵,∴,
令和,其兩函數(shù)的圖象如圖所示,
由圖可得方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為2.
【評(píng)述】求方程解的個(gè)數(shù)，可以畫出方程兩邊的函數(shù)的圖象，
通過(guò)觀察圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)研究方程解的個(gè)數(shù).
5.合理構(gòu)造法
是指根據(jù)題意合理構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、復(fù)數(shù)及圖形和有關(guān)命題，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化，特別適合解決開(kāi)放性的填空題。
【例5】（2008年,福建卷）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是　　　　.
【分析及解】如圖所示，以側(cè)棱為棱長(zhǎng)補(bǔ)成正方體,
則正方體的對(duì)角線恰為外接球的直徑，
所以(為正方體棱長(zhǎng)).即,
所以
【評(píng)述】對(duì)于共點(diǎn)三條棱兩兩垂直的三棱錐，可以此三條棱為邊補(bǔ)成正方體，從而使線面關(guān)系納入正方體中解決。
6.以題攻題法
由于填空題不需要過(guò)程，故可挖掘課本例題、習(xí)題潛在的功能及常用結(jié)論，可以達(dá)到以題攻題，直接得出結(jié)果。
【例6】(2006年,廣東卷)若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為 .
【分析及解】由正方體的對(duì)角線恰為球的直徑，，所以，
則球的表面積為
【評(píng)述】本題利用長(zhǎng)方體、正方體、直四棱柱的外接球直徑恰為其對(duì)角線的長(zhǎng)（即）直接解答，簡(jiǎn)潔明快。
7.規(guī)律發(fā)現(xiàn)法
對(duì)所給問(wèn)題有的比較熟悉，但直接求解又比較費(fèi)時(shí)，費(fèi)力;而有的問(wèn)題比較新穎，如情境創(chuàng)新題中定義新概念、定義新圖形、定義新數(shù)表等問(wèn)題可通過(guò)觀察，分析題目特征，探索規(guī)律，發(fā)現(xiàn)關(guān)系進(jìn)而再求解。
【例7】（2008年，江蘇卷）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
。。。。。。。。。。。。。。。。
按照以上排列的規(guī)律，第n行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)為 .
【分析及解】該數(shù)陣的第1行有1個(gè)數(shù)，第二行有2個(gè)數(shù)，。。。第行有個(gè)數(shù)，故第行的最后一個(gè)數(shù)為，故第行的第3個(gè)數(shù)為
【點(diǎn)評(píng)】數(shù)表是對(duì)數(shù)列的一種拆分，不同的分拆方式就會(huì)產(chǎn)生不同的數(shù)表，本題中的數(shù)陣是
對(duì)正整數(shù)的一種重排，只要找出其規(guī)律便不難求得答案。近年來(lái)“數(shù)表問(wèn)題”頻頻出現(xiàn)在高
考試卷上，它與組合數(shù)知識(shí)、數(shù)列知識(shí)強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)手，奏出一曲曲優(yōu)美的“樂(lè)章”，而楊輝三角
的規(guī)律很多，內(nèi)容豐富，設(shè)問(wèn)較多且題型靈活，解法巧妙。希望讀者試著總結(jié)。
【例8】(2002年,全國(guó)卷)已知函數(shù)
那么 .
【分析及解】因?yàn)椋谑撬螅瑧?yīng)填
【評(píng)述】容易發(fā)現(xiàn)，這就是我們找出的有用的規(guī)律。而不是把每個(gè)值都代入函數(shù)解析式算一算，然后在加一加而得.
8.開(kāi)放題的解法
填空題中的開(kāi)放題有結(jié)論開(kāi)放（含組合型多選題）、條件開(kāi)放、綜合開(kāi)放，答案往往不唯一，解題時(shí)注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.
【例9】(2008年,全國(guó)II卷)平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊分別平行.類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件；
充要條件① ；
充要條件② .
（寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件）
【分析及解】本題給出四邊形為平行四邊形的充要條件，,類比空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件，這類結(jié)論開(kāi)放性題目,往往結(jié)論是不唯一的，如: 兩組相對(duì)側(cè)面分別平行；一組相對(duì)側(cè)面平行且全等；對(duì)角線交于一點(diǎn)；底面是平行四邊形等等均是其充要條件。
【點(diǎn)評(píng)】本題是歸納類比型問(wèn)題 ，這種題目的特點(diǎn)是給出一個(gè)數(shù)學(xué)情景或一個(gè)數(shù)學(xué)命題，要求解題者用發(fā)散思維去聯(lián)想、類比、推廣、轉(zhuǎn)化,在解題中發(fā)現(xiàn)屬性、發(fā)現(xiàn)關(guān)系、發(fā)現(xiàn)相似性，從而找出類似的命題,推廣的命題、深入的命題或根據(jù)一些特殊的數(shù)據(jù)，特殊的情況去歸納出一般的規(guī)律.
四.教學(xué)建議
數(shù)學(xué)填空題的特點(diǎn)是只注重結(jié)果，不考慮過(guò)程，雖然省去過(guò)程給解題帶來(lái)了速度，但是一旦結(jié)果有誤就“全軍覆沒(méi)”，結(jié)果有誤通常都是“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”所致，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意以下幾點(diǎn)。
1．審題要仔細(xì)
這是解答好填空題的前提，要從看清題目中的每一個(gè)字、詞、數(shù)據(jù)、符號(hào)到理解題意、分析隱含條件，尋求簡(jiǎn)潔的解題方法，以及推理運(yùn)算做到準(zhǔn)確無(wú)誤。
2．明確要求,看清題意
要作答的要求要看清楚，如：“正確的是”、“不正確的是”、“精確到”、“用數(shù)字作答”、
“填上你認(rèn)為正確的一種條件即可”、“把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上”、“結(jié)果保留”等等，由于填空題沒(méi)有解答過(guò)程，沒(méi)有步驟分，一筆失誤，則徒勞無(wú)功，前功盡棄。
3．書寫要規(guī)范
是指以下幾個(gè)方面：①對(duì)于計(jì)算填空題，結(jié)果往往要化為最簡(jiǎn)形式，特殊角的三角函數(shù)要寫出函數(shù)值，近似計(jì)算要達(dá)到精確度要求，如：不能寫成或等；②所填結(jié)果要完整，如：條件型填空題，不能漏填，有條件限制的求反函數(shù)，不能缺少定義域；求三角函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間等，不能缺少，如集合不能寫為
③要符合現(xiàn)行數(shù)學(xué)習(xí)慣書寫格式，如分?jǐn)?shù)書寫常用分?jǐn)?shù)線，而不用斜線形式；求不等式的解集、求函數(shù)的定義域、值域，結(jié)果寫成集合或區(qū)間形式。
4．要重視對(duì)所求結(jié)果的檢驗(yàn)
針對(duì)填空題錯(cuò)誤的個(gè)有效的招術(shù)，就是檢驗(yàn)，根據(jù)題型的不同，檢驗(yàn)的方式各不相同，有特殊值檢驗(yàn)、逆代檢驗(yàn)、圖形檢驗(yàn)等。
五、習(xí)題精選
1．(2006年,全國(guó)I卷)設(shè)函數(shù) 若是奇函數(shù)，則= .
2．(2006年,重慶卷)在數(shù)列中, 若（n≥1）, 則該數(shù)列的通項(xiàng)_______．
3．(2006年,全國(guó)I卷)已知函數(shù)若為奇函數(shù)，則a= .
4．（2005年，湖北卷）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 .
5．（2007年，天津卷）設(shè)等差數(shù)列的公差是2，前項(xiàng)的和為，則　　　　　　．
6．（2008年,上海卷）設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)時(shí)則滿足的的取值范圍是
7．（2008年,江西卷）不等式的解集為 ．
8． (2006年,四川卷)在三棱錐O—ABC中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且
OA=OB=OC，M是AB邊的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成角的大小是　　 　
（用反三角函數(shù)表示）.
9． (2006年,北京卷)已知函數(shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－1，2），那么a的值等于 .
10．（2007年，湖南卷，理15）將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖1所示的0—1三角數(shù)表，從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第n次全行的數(shù)都為1的是第 行；第61行中1的個(gè)數(shù)是 .
11．（2007年，福建卷）中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”、“平行關(guān)系”等等．如果集合中元素之間的一個(gè)關(guān)系“~ ”滿足以下三個(gè)條件：
（1）自反性：對(duì)于任意，都有；
（2）對(duì)稱性：對(duì)于，若，則有；
（3）傳遞性：對(duì)于，若，，則有．
則稱“~ ”是集合的一個(gè)等價(jià)關(guān)系．例如：“數(shù)的相等”是等價(jià)關(guān)系，而“直線的平行”不是等價(jià)關(guān)系（自反性不成立）．請(qǐng)你再列出三個(gè)等價(jià)關(guān)系：______．
參考答案及提示
1．由導(dǎo)數(shù)定義及法則,
=,又是奇函數(shù)，則有,即
,又,故,所以應(yīng)填.
2．由已知可等價(jià)轉(zhuǎn)化為，即是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以該數(shù)列的通項(xiàng)為
3．取，由于函數(shù)在上為奇函數(shù)，則，即，解之得
4．本題的隱含條件是運(yùn)算過(guò)程與首項(xiàng)的取值無(wú)關(guān)，即任意都行，∴取特值，，則轉(zhuǎn)化為,，成等差數(shù)列。即，即有，整理為：，解之得：（舍去）或，故應(yīng)填
5．一般的解法是,
,
這樣解,有一定的運(yùn)算量,實(shí)際上,如果概念清楚,算理清楚,就可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,因?yàn)槭翘羁疹},題意表明極限是存在且唯一的,由此可設(shè)特殊值,進(jìn)行簡(jiǎn)算，
即設(shè)則,故應(yīng)填
6．根據(jù)題意畫出函數(shù)的草圖,
由圖可知的的取值范圍是
或
7．原不等式即,從而,
即,畫出函數(shù)和的圖象,
由圖可知不等式的解集為
8．如圖所示，將此三棱錐補(bǔ)成正方體，連結(jié)，則OM與平面ABC所成角的大小就是，在中，有，
即
9．依題意，由互為反函數(shù)的結(jié)論，則有
即，解之得
10．由0—1三角數(shù)表可知：從上向下數(shù)，全行的數(shù)都為1的是第1、3、7，行，由此猜測(cè)第次全行的數(shù)都為1的是第行，驗(yàn)證成立，由上可知第行的數(shù)全為1，依據(jù)0—1三角數(shù)表和楊輝三角的性質(zhì)，可得第61、62、63行數(shù)表如下：
第61行：1 1 0 0 1 1 0 0 。。。。。1 1
第62行：1 0 1 0 1 0 1 0 。。。。。1 0 1
第63行：1 1 1 1 1 1 1 1 。。。。。1 1 1
可知61行有62個(gè)數(shù)，數(shù)字為1的有30+2=32個(gè)，故應(yīng)填，32
11．題設(shè)定義了數(shù)學(xué)中“等價(jià)關(guān)系”的這一新概念，對(duì)于中學(xué)生比較陌生，有著高等數(shù)學(xué)背景，但是中學(xué)數(shù)學(xué)中又接觸了相等、相似等“等價(jià)關(guān)系”的概念，要求考生聯(lián)想平時(shí)以學(xué)過(guò)的各種數(shù)學(xué)關(guān)系，通過(guò)比較，驗(yàn)證是否滿足題中的三個(gè)條件作出答案，本題是結(jié)論開(kāi)放性問(wèn)題，答案不唯一，如“圖形的全等”、“圖形的相似”、“非零向量的共線”、“命題的充要條件”等等均是“等價(jià)關(guān)系”。

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