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2009年高考數學能力備考之選擇題解題策略
云南省文山州硯山一中（663100）馬興奎
一、考情分析
在整個高考數學試卷中，選擇題約占總分的至，所以，選擇題的答題成功與否，對整個數學成績有著舉足輕重的地位，數學選擇題通常是由一個題干和四個可供選擇的選項組成,要求解答者從中選出一個符合題目要求的選項,即通常說的“四選一”的選擇題。高考選擇題注重多個知識點的小型綜合，滲透各種數學思想和方法，能充分考查學生靈活應用基礎知識解決數學問題的能力，既考查基礎又考查能力的導向，使作為中低檔題的選擇題成為具備較佳區分度的基本題型。能夠準確地,迅速地解答選擇題是思維結構優化的體現,從思維的角度來看,解選擇題是邏輯思維與直覺思維的結合,精算能力與估算能力的結合,信息提取能力與信息處理能力的結合,數的精確與形的直觀的結合,因此,研究選擇題的解題策略,加強選擇題的求解訓練是很有必要的. 解一道選擇題有一個思維選擇和解法選擇的問題,要正確,迅速地解選擇題,就必須有效、合理的運用、合情的推理、簡縮的思維、合理的策略和正確的算理進行求解.
二、考查功能
由于作為試題的選擇題比較短小,可容納較多的題量,試題的思辨性強及評分準確等特點,所以,選擇試題具有較多的考查功能。
1.能在較大的知識范圍內,考查基礎知識,基本技能和基本思想方法;
2.能比較確切地測試考生對數學概念,性質,定理,法則和公式的理解,掌握和熟練的程度;
3.能有效地考查考生演繹證明,計算求解,直覺猜想等理性思維能力以及綜合運用數學知識解決問題的能力;
4.通過對選擇題的開放性,探究性和創造性設計,有利于考查考生的學習潛能和后繼學習能力;
5.能比較容易地考查考生的思維速度,解題速度和思維水平的差異.
三、解答策略
選擇題是屬于“小靈通”題，其解題“不講道理”，所以解答選擇題的基本策略是“不擇手段”、“小題不能大做”，小題需小做、繁題會簡做、難題要巧做，解答大部分選擇題的基本策略是“直接求解策略”，直接求解策略是由題干給出的條件出發,進行演繹推理,直接得出結論,再將該結論與四個選項做比較,從而決定出應該選擇的符合題目要求的選項的求解策略.這種策略多數用于一些定量性的問題,是解選擇題最常用的策略。其次，部分選擇題還可用“間接求解策略”，間接求解策略是充分利用選擇題給出的全部信息:包括題干給出的信息,四個選項提供的信息以及四個選項中只有一個是符合題目要求的信息,不進行或少進行直接運算,而進行選擇的策略。 間接求解策略包括逆向化策略,特殊化策略,圖形化策略,極限化策略，整體化策略及其他策略，在解選擇題時要根據題干和選擇支兩個方面的特點靈活運用上述一種或幾種策略“巧解”，在“小題小做”、“小題巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接求解策略。另外，由于選擇題供選答案多、信息量大、正誤混雜、迷惑性強，稍不留心就會掉下“陷阱”，應該從正反兩個方面肯定、否定、篩選、驗證，既謹慎選擇，又大膽跳躍。作為平時訓練，解完一道題后，還要引導學生考慮一下能不能用其他方法進行“巧算”，并注意及時總結，這樣才能有效地提高解選擇題的能力。
1．直接求解策略
有些選擇題是由計算題、應用題、證明題、判斷題改編而成的。這類題型可直接從題設的條件出發，利用已知條件、相關公式、公理、定理、法則通過準確的運算、嚴謹的推理、合理的驗證得出正確的結論，然后與選擇支對照，從而作出相應的選擇。這種方法稱之為直接求解策略。
【例1】（2008年，四川卷）設定義在上的函數滿足，若
，則
（A）13 （B）2 （C） （D）
【分析及解】∵，∴
∴函數為周期函數，且，∴
故選（C）
評述：直接求解策略是解選擇題的最基本方法，運用直接求解策略時，要注意充分挖掘題設條件的特點，利用有關性質和已有的結論，加快得到所需結論，如本題通過分析條件得到是周期為4的函數，利用周期性是快速解答此題的關鍵。一般說來，當選擇支提供的信息對正確選擇無多大幫助時，可考慮運用直接求解策略。
2．逆向化策略
在解選擇題時, 四個選項以及四個選項中只有一個是符合題目要求的都是解題重要的信息。 逆向化策略是把四個選項作為首先考慮的信息，解題時，要“盯住選項”，著重通過對選項的分析，考查，驗證，推斷進行否定或肯定，或者根據選項之間的關系進行邏輯分析和篩選，找到所要選擇的，符合題目要求的選項。逆向化策略與直接求解策略的解題方向相反，是充分利用題目中的選項信息進行解題的一種策略，但是在解題時，逆向化策略常常與其他解題策略結合起來使用。
【例2】（2008年，江西卷）已知函數，若對于任一實數與的值至少有一個為正數，則實數的取值范圍是
A．（0，2） B．（0，8）
C．（2，8） D．（，0）
【分析及解】觀察四個選項中有三個答案不含2，那么就取代入驗證是否符合題意即可，取，則有 ，這個二次函數的函數值 對且恒成立，現只需考慮當時函數值是否為正數即可。這顯然為正數。故符合題意，排除不含的選項A、C、D。所以選B
評析：本題雖然是考生比較熟悉的一次函數和二次函數問題，主要考查函數、方程、不等式等知識解決問題的能力，運用直接求解策略解答難度較大，但運用逆向化策略則顯得簡潔明快。
3．特殊化策略
在求解數學問題時，如果要證明一個問題是正確的，就要證明該問題在所有可能的情況下都正確，但是要否定一個問題，則只要舉出一個反例就夠了，基于這一原理，在解選擇題時，可以通過取一些特殊數值，特殊點，特殊函數，特殊數列，特殊圖形，特殊位置，特殊向量等對選項進行驗證，從而可以否定和排除不符合題目要求的選項，再根據4個選項中只有一個選項符合題目要求這一信息，就可以間接地得到符合題目要求的選項，這是一種解選擇題的特殊化策略.
【例3】（2008年，江西卷）若，且，則下列代數式中值最大的是
A． B． C． D．
【分析及解】取，，，，則，
，，∵，排除、、，
故選A
評析：本題運用直接求解策略解答難度較大，費時且易出錯，運用特殊化策略則能達到準確、迅速解題的目的。
【例4】（2008年，北京卷）已知數列{an}對任意的滿足，且,那么a10等于
（A） （B） （C） （D）
【分析及解】.取，容易計算滿足題設，又，∴，即，∴，故選（C），
評述：本題的直接求解策略是比較難于下筆的,選取一個符合題目要求的特殊數列可以把抽象問題具體化。從而迅速破解。
運用特殊化策略是解高考數學選擇題的最佳策略，解題時，要注意：①所選取的特例一定要簡單，且符合題設條件；②特殊只能否定一般，不能肯定一般；③當選取某一特例出現兩個或兩個以上的選項都正確時，這是要根據題設要求選擇另外的特例代入檢驗，直到排除所有的錯誤選項達到正確選擇為止。
4．圖形化策略
據題設條件作出所研究問題的曲線或有關圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷，習慣上也叫數形結合法，有的選擇題可通過命題條件的函數關系或幾何意義，作出函數的圖象或幾何圖形，借助于圖象或圖形的作法、形狀、位置、性質，綜合圖象的特征，得出結論，圖形化策略是以數形結合的數學思想為指導的一種解題策略。
【例5】(2007年，天津卷)
設均為正數,且則
(A) (B) (C) (D)
【分析及解】由題意畫出函數
的圖象，從圖象可得,故選(A).
評析：圖形化策略是依靠圖形的直觀進行選擇的,用這種策略解題比直接計算求解,更能抓住問題的實質,簡捷迅速地得到結果.
5．極限化策略
有一些選擇題中,有一些任意選取或者變化的元素,我們對這些元素的變化趨勢進行研究,分析它們的極限情況或者極端位置,并進行估算,以此來判斷選擇的結果.這種通過動態變化,或對極端取值來解選擇題的策略是一種極限化策略.
【例6】正三棱錐中，在棱上，在棱上，使，
設為異面直線與所成的角，為異面直線與所成的角，則的值是
A． B． C． D．
【分析及解】當時，，且，從而。因為，排除選擇支故選D（或時的情況，同樣可排除）
評析： 用極限法是解選擇題的一種有效方法，也是在選擇題中避免“小題大做”的有效途徑。它根據題干及選擇支的特征，考慮極端情形，有助于縮小選擇面，計算簡便，迅速找到答案。
6．整體化策略
在解選擇題時,有時并不需要把題目精解出來,而是從題目的整體去觀察,分析和把握,通過整體反映的性質或者對整體情況的估算,確定具體問題的結果,例如,對函數問題,有時只需要研究它的定義域,值域,而不一定關心它的解析示式,對函數圖象,有時可以從它的整體變化趨勢去觀察,而不一定思考具體的對應關系,或者對4個選項進行比較以得出結論,或者從整體,從全局進行估算,而忽略具體的細節等等,都可以縮短解題過程,這是一種從整體出發進行解題的策略.
【例7】(2002年,全國卷)據2002年3月5日九屆人大五次會議《政府工作報告》指出“2001年國內生產總值達到95933億元,比上一年增長7.3%.”如果“十·五”期間(2001-2005年)每年的國內生產總值按此年增長率增長,那么,到“十·五”末,我國國內生產總值約為
（A）115000億元 (B)120000億元
(C) 127000億元 (D)135000億元
【分析及解】 注意到已知條件給出的數據非常精確, 2001年國內生產總值達到億元,精確到億元,而四個選項提供的數據都是近似值, 精確到千億元,即后三位都是0,因此,可以從整體上看問題,忽略一些局部的細節.
把億元近似地視為億元,又把近似地視為,這樣一來,就有

四、教學建議
1．抓住學生的盲點，重視審題訓練和細節訓練
在高考中往往是審題決定成敗，細節決定成敗，審題和細節往往也是學生在復習中重視不夠的地方。在高考這樣十分緊張的考試中,對于平時已經進行了認真復習的同學來說, 審題決定成敗,或者說,成也審題, 敗也審題,注意審題是在高考中取得選擇題高分成績的關鍵。讓學生明確目的，關鍵在于審題與細節，正確審題，注意陷阱；深入審題，注意隱蔽條件；全面審題，注意特殊情況，提高解題的正確率。
2．高考數學中教師要明確學生解答選擇題的錯誤類型
從目前學生解答選擇題的情況看，主要有以下一些錯誤類型出現，教師在進行這一專題的教學時，應注意結合實例分析產生下列錯誤的原因，使學生明其理，知其因，防患于末然，盡量不出錯，得高分。
（1）由于緊張，速度過快而導致基礎知識應用有誤，公式定理記不清。
（2）審題匆忙，計算不仔細。
（3）對能力和思想方法要求較高的問題，不能耐心分析、探究、轉化而直接亂猜一個答案。
（4）不善于把得到的結果進行有效檢驗或比較而丟分。
3．使學生熟練掌握最常規的解題策略
解選擇題的最常規解題策略是直接求解策略，實踐證明，大部分選擇題都是用此策略解答，但教學中，教師應強化逆向化策略、特殊化策略、圖形化策略、極限化策略、整體化策略及其它策略的應用和訓練，從而有效地提高學生解答選擇題的能力。
4．幫助學生形成解題的策略意識
求解選擇題從大處著想，從小處入手，力爭小題不丟分，認真對待，在保證正確的基礎上再求速度，注重運算過程，在草稿紙上留下較規范的書寫痕跡或關鍵步驟，力爭一次解決，感覺有問題則回頭檢驗。
5．強化基礎知識和基本技能的訓練，抓好基礎，整理錯誤，關注細節
在高考復習中，基礎知識和基本技能的復習是最關鍵的，這是因為在解題中遇到的障礙，出現的錯誤，在大多數情況下都與基礎知識理解和掌握得是否扎實有關，所以，不論是第一輪，第二輪還是沖刺階段，都要隨時檢查自己對基礎知識理解和掌握的情況。在細節上容易出現的問題是多方面的。①審題方面的細節.②基礎知識方面的細節. ③運算方面的細節。忽略了細節，可能會造成錯選，應引起注意。在細節上出現的問題會因人而異,因此,要根據自己的具體情況加以分析和解決,把自己曾經做過的題進行整理,特別是把曾經出現的錯誤進行分析,找出原因,爭取在高考中不再犯同樣的錯誤,關注細節,重視細節,通過細節的不失誤使答題獲得成功。在復習的最后階段，要特別注意把自己曾經做過的題目再整理一下，重點是出現錯誤的地方，要分析和反思出現錯誤的原因，有針對性地進行再糾正，對一些在細節上出現的問題尤其要關注。
五、習題精選
1．（2007年，陜西卷）各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2,S3n=14, 則S4n等于
（A）80 （B）30 （C）26 （D）16
2．（2007年安徽）若對任意x∈R,不等式恒成立，則實數的取值范圍是
（A）<－1 （B）||≤1 （C）||<1 （D）≥1
3．（2002年，高考卷）一個四面體的所有棱長都為，四個項點在同一球面上，則此球的表面積為
（A）3 （B）4 （C）3 （D）6
4．（2007年，安徽卷）定義在R上的函數既是奇函數，又是周期函數，T是它的一個正周期，若將方程f(x)=0在閉區間[－T，T]上的根的個數記為n，則n可能為
（A）0 （B）1 （C）3 （D）5
5．（2004年，湖北卷）已知的解析式可取為
A． B． C． D．
6．（2007年，江西卷）設函數f(x)是R上以5為周期的可導偶函數，則曲線y＝f(x)在x＝5處的切線的斜率為
A．－ B．0 C． D．5
7．（2007年，天津卷）設等差數列的公差不為0，．若是與的等比中項，則（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．(1996年,全國卷)等差數列{}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（ ）
（A）130 （B）170 （C）210 （D）260
參考答案及提示
1．取 則 又 即
∴ 即 ∴
解之得：（舍去）， 故所求為故選B
2． 化為，顯然恒成立，由此排除答案A、D
化為，也顯然恒成立， 故排除C，所以選B；
3．如圖所示，將正四面體ABCD補形成正方體，則正四面體、正方體的中
心與其外接球的球心共一點.因為正四面體棱長為，所以正方體棱長為1，
從而外接球半徑R＝.故S球＝3.
所以選（A）
4．設滿足條件的函數為： 則 而從在上可能有5個根。故選D
5．在所給解析式中取，則有，對同一法則來說。用特殊值進行排除，A中，B中，C中，D中，只有C滿足。故選C
6．可令，，∴，故選（B）
7．由于結果與公差無關,可設.
于是,即,解得或（舍去）故選(B).
8．取m＝1，依題意＝30，＋＝100，則＝70，又{}是等差數列，∴＝110，故所求為S3＝210，選（C）.

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