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幾 何 體 中 的 軌 跡 問 題
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在近兩年的高考試題及各地的模擬試題中,偶見在空間圖形中設置動點的軌跡問題,給人亮麗新鮮之感,其中以判斷動點的軌跡形狀居多,求解這類問題的辦法就是化空間為平面的思想,充分地利用幾何定義及關系式解決問題.
1．在正方體中,P是側面一動點,若P到直線BC與直線 的距離相等,則動點P的軌跡所在的曲線是
A. 直線 B. 圓 C. 雙曲線 D. 拋物線.
2．在正四棱柱中,E,F,G,H分別為棱的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH及其內部運動,則M只需滿足條件 ,時,就有
3．如圖:所在的平面和四邊形ABCD所在的平面垂直,且,AB=4,BC=8,AB=6,,則點P在平面內的軌跡是
A. 圓的一部分 B. 橢圓的一部分
C. 雙曲線的一部分 D. 拋物線的一部分
4．若三棱錐A-BCD的側面ABC內一動點P到底面BCD
的距離與到棱AB的距離相等,則動點P的軌跡與組
成的圖形可能是
5．已知正四棱錐S-ABCD中,各邊長均為2,P是平面SBD內一點,若滿足,則點P的軌跡類型是
A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線 D. 拋物線
6．P為四面體S-ABC的側面SBC內一點,若動點P到底面ABC的距離與到點S的距離相等,則動點P的軌跡是側面SBC內的
A. 線段或圓的一部分 B. 橢圓或雙曲線的一部分
C. 雙曲線或拋物線的一部分 D. 拋物線或橢圓的一部分
7．已知點P是棱長為的正八面體的一個對角面上的一個動點,若P到不在該對角面上
的一個頂點的距離是它到該對角面上的某個頂點的距離的倍,則動點P的軌跡是
A. 圓的一部分 B. 橢圓的一部分
C. 雙曲線的一部分 D. 拋物線的一部分
8．正方體的棱長為1,在正方體表面上與點A距離是的點形成一條曲線,這條曲線的長度是
A. B. C. D.
9．若正四面體S-ABC的面ABC內有一動點,P到平面SAB,平面SBC,平面SCA的距離依次成等差數列,則點P的軌跡是
A. 一條線段 B. 一個點 C. 一段圓弧 D. 拋物線的一段
10．若A.B為平面內的兩個定點,點,動點C(異于A.B)在平面內,且,則動點C在平面內的軌跡是
11．已知直平行六面體的各條棱長都為3,,長為2的線段MN的一個端點M在上運動,另一個端點N在底面ABCD上運動,則MN的中點P的軌跡與共頂點D的三個面所圍成的幾何體的體積為
12．如圖所示.點A是的二面角的半平面內一定點,A到直線的距離為3,過A作于B,O在BA的延長線上,內一點P到平面的距離等于P到點A的距離,試建立適當的直角坐標系,求點P的軌跡方程.
二．如圖：在正四棱錐S－ABCD中，E是BC的中點，P點在側面內及其邊界上運動，并且總是保持PEAC.
（1）指出動點P的軌跡（即說明動點P在滿足給定的條件下運動時所形成的圖形），證明你的結論；
（2）以軌跡上的動點P為頂點的三棱錐P－CDE的最大體積是正四棱錐S－ABCD體積的幾分之幾？
（3）設動點P在G點的位置時三棱錐P－CDE的體積取最大值V1，二面角G－DE－C的大小為，二面角G－CE－D的大小為，求的值.
（4）若將“E是BC的中點”改為“E是BC上異于B、C的一定點”，其它條件不變，請指出P的軌跡,證明你的結論.
“立幾”中的計數問題求解策略
湖北省浠水縣第一中學 陳火焱
在近幾年的高考試題和各地模擬試題中頻繁出現以“立幾”中的點、線、面的位置關系為背景的計數問題，這類問題題型新穎、解法靈活、多個知識點交織在一起，綜合性強，能力要求高，有一定的難度，它不僅考查相關的基礎知識，而且注重對數學思想方法和數學能力的考查。現結合具體例子談談這種問題的求解策略。
直接求解
例1：從平面上取6個點，從平面上取4個點，這10個點最多可以確定多少個三棱錐？
解析: 利用三棱錐的形成將問題分成平面上有1個點、2個點、3個點三類直接求解共有個三棱錐
例2: 在四棱錐P-ABCD中，頂點為P，從其它的頂點和各棱的中點中取3個，使它們和點P在同一平面上，不同的取法有 A.40 B. 48 C. 56 D. 62種
解析: 滿足題設的取法可以分成三類
在四棱錐的每一個側面上除P點外取三點有種不同取法；
在兩個對角面上除點P外任取3點，共有種不同取法；
過點P的每一條棱上的3點和與這條棱異面的棱的中點也共面，共有種不同取法,故共有40+8+8=56種
評注：這類問題應根據立體圖形的幾何特點，選取恰當的分類標準，做到分類不重復、不遺漏。
結合“立幾”概念求解
例3: 空間10個點無三點共線，其中有6個點共面，此外沒有任何四個點共面，則這些點可以組成多少個四棱錐？
解析:
結合“立幾”圖形求解
如果把兩條異面直線看作“一對”，那么六棱錐的棱和底面所有的12條直線中，異面直線有
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 B
用正五棱柱的10個頂點中的5個頂點作四棱錐的5個頂點，共可得多少個四棱錐？
分類：以棱柱的底面為棱錐的底面 ;
以棱柱的側面為棱錐的底面
以棱柱的對角面為棱錐的底面
以圖中(梯形)為棱錐的底面
構造幾何模型求解
在正方體的8個頂點的所有連線中，有多少對異面直線？
與空間不共面的四點距離相等的平面有多少個？
（05年湖北）以平面六面體的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率為
A. B. C. D. A
在知識的網絡交匯點初設計命題是近幾年高考命題改革強調的重要觀念之一，在復習備考中，要把握好知識間的縱橫聯系和綜合，使所學知識真正融會貫通，運用自如，形成有序的網絡化知識體系。
對于已知直線a,如果直線b同時滿足下列三個條件: ① 與直線a異面;② 與直線a所成的角為定值;③ 與直線a的距離為定值d.那么這樣的直線b有
A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 無數條
2. 如果一條直線與一個平面垂直,那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是
A. 48 B. 36 C. 24 D. 18
3. 設四棱錐P-ABCD的底面不是平行四邊形,用平面去截這個四棱錐,使得截面四邊形是平行四邊形,則這樣的平面
A. 不存在 B. 只有1個 C. 恰有4個 D. 有無窮多個
4. 如圖,點分別是四面體的頂點或棱的中點,那么在同一平面上的四點組共有 個
5. 在正方體的一個面所在的平面內,任意畫一條直線,則與它異面的正方體的棱的條數是
6. 正方體的8個頂點中任取4個不在同一平面上的頂點組成的二面角為的大小可能值有 個.
1. D 2. B 3. D 4. 33 5. 4或6或7或8 6. 8個

專題 直線與圓錐直線

專題（一） 線性規劃 直線與圓
主干知識整合：
本節以直線方程的確定和直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系為重點考查內容.新高考還增加了線性規劃知識點的考查.2008年幾乎每省份都有一道線性規劃的客觀試題.但作為2009年的高考,除上述仍為熱點外,還須重視線性規劃在解決生產、生活中應用題中的工具性.
主要考點為：
直線的傾斜角與斜率，直線方程的點斜式和兩點式及一般式。兩直線平行與垂直的條件。兩直線的夾角。點到直線的距離。
簡單的線性規劃問題。
曲線與方程的概念。由已知條件列出曲線方程。
圓的標準方程和一般方程。圓的參數方程。
經典真題感悟：
1.（全國一10）若直線通過點，則（ D ）
A． B．C． D．
2.（山東卷12）設二元一次不等式組所表示的平面區域為M，使函數y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象過區域M的a的取值范圍是C
（A）[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9]
3.（湖北卷9）過點作圓的弦，其中弦長為整數的共有C
A.16條 B. 17條 C. 32條 D. 34條
熱點考點探究：
考點一：直線的斜率與傾斜角，直線方程的探求
例1.已知點A(1,2x)、B(2,x2-3),試討論：實數x為何值時，過A、B兩點的直線的傾斜角為0°、銳角、鈍角？
例2 已知兩圓⊙和⊙都經過點A(2,－1),則同時經過點(D1,E1)和點(D2,E2)的直線方程為( )
A. B.
C. D.
考點二：直線與圓的位置關系
例3. 將圓按向量平移后得⊙O,直線與⊙O相交于A、B兩點,若⊙O在上存在一點C,使,求直線的方程及對應的點C的坐標.
考點三：線性規劃
例4. (1)在平面直角坐標系中,對于點(),滿足: ,目標函數,那么滿足的解 ()有 ( )
A. 0個 B. 1個 C.2個 D. 無數個
(2)已知實數系數方程的兩個實根分別為,且,則的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
考點四：求圓的方程
例5.（江蘇卷18）設平面直角坐標系中，設二次函數的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C．求：
（Ⅰ）求實數b 的取值范圍；
（Ⅱ）求圓C 的方程；
（Ⅲ）問圓C 是否經過某定點（其坐標與b 無關）？請證明你的結論．
規律總結
1. 出現含參數的直線或圓的方程為條件時,要從方程形式的代數特征入手,挖掘參數的幾何特征,尤其對討論位置關系問題,把握好參數幾何特征,結合幾何圖形的背景可大大簡化計算.
2. 圓的方程呈現多種形式,一般方程、參數方程及標準方程,它們分別顯現不同的代數特征和三角特征.我們運用圓方程時,恰當選擇,可以方便求方程或討論圓的性質.
3.線性規劃是概念性極強的內容:可行域實質上是約束條件的交集;可行解是可行域內的點的坐標;而最優解是可行域內的極限點,最后還要優中選優(尤其對與線性規劃相關的應用問題求解更應注意這一點).
專題能力訓練：
選擇題：
1、若是直線的傾斜角，則sin(45o-)的值屬于 D
A B[-,] C(-1, ) D[-1, ]
2、兩條直線ax+y-4=與x-y-2=0相交于第一象限，則實數a的取值范圍是 （ A ）
A -1-1 C a<2 D　a<-1或a>2
3、曲線y2=4x關于直線x=2對稱的曲線方程是 C
A、y2=8－4x B、y2=4x－8 C、y2=16－4x D、y2=4x －16
4、是的__C____條件
A、充分不必要條件 B、充要條件
C 必要不充分條件 D、既不充分也不必要條件
5、方程所表示的曲線是 D
A．一個圓 B．兩個圓 C．半個圓 D．兩個半圓
填空題：
6．如圖，是直線上的兩點，且．兩個半徑相等的動圓分別與相切于點，是這兩個圓的公共點，則圓弧，與線段圍成圖形面積的取值范圍是 ．

7．設有一組圓．下列四個命題：
Ａ．存在一條定直線與所有的圓均相切
Ｂ．存在一條定直線與所有的圓均相交
Ｃ．存在一條定直線與所有的圓均不相交
Ｄ．所有的圓均不經過原點
其中真命題的代號是 BD ．（寫出所有真命題的代號）
解答題：
8．設有半徑為3的圓形村落，、兩人同時從村落中心出發，向北直行，先向東直行，出村后不久，改變前進方向，沿著與村落周界相切的直線前進，后來恰與相遇.設、兩人速度一定，其速度比為，問兩人在何處相遇？
9．已知圓的圓心為，圓的圓心為，一動圓與這兩個圓都外切.
（1）求動圓圓心的軌跡方程；
（2）若過點的直線與（1）中所求軌跡有兩個交點、，求的取值范圍.
10．在平面直角坐標系中，在軸的正半軸上給定、兩點，在軸正半軸上求一點，使取得最大值．
11．如圖，已知：射線為，射線為，動點在的內部，于，于，四邊形的面積恰為.
當為定值時，動點的縱坐標是橫坐
標的函數，求這個函數的解析式；
（2）根據的取值范圍，確定的定義域.


專題 （二） 直線與圓錐曲線
主干知識整合：
直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.
經典真題感悟：
1.（江西卷15）過拋物線的焦點作傾角為的直線，與拋物線分別交于、兩點（在軸左側），則 ．
2.(2008年安徽卷)若過點A(4,0)的直線與曲線有公共點,則直線的斜率的取值范圍為 ( )
A. B. C. D.
3(2008年海南---寧夏卷)設雙曲線的右頂點為A,右焦點為F,過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B,則三角形AFB的面積為___________.
熱點考點探究：
考點一：直線與曲線交點問題
例1.已知雙曲線C：2x2－y2=2與點P(1，2)
(1)求過P(1，2)點的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點.
(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點的弦是否存在.
考點二：圓錐曲線中的最值問題
對于圓錐曲線問題上一些動點，在變化過程中會引入一些相互聯系、相互制約的變量，從而使變量與其中的參變量之間構成函數關系，此時，用函數思想與函數方法處理起來十分方便。
例2 直線：和雙曲線的左支交于A、B兩點，直線過P（）和AB線段的中點M，求在軸上的截距的取值范圍。
考點三：弦長問題
涉及弦長問題，應熟練地利用韋達定理設而不求計算弦長，涉及垂直關系往往也是利用韋達定理，設而不求簡化運算.
例3.如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積最大時直線l的方程，并求△AMN的最大面積.
考點4：圓錐曲線關于直線對稱問題
例4. 已知橢圓的中心在圓點,一個焦點是F(2,0),且兩條準線間的距離為,
(I)求橢圓的方程;
(II)若存在過點A(1,0)的直線,使點F關于直線的對稱點在橢圓上,求的取值范圍.
規律總結
1. 判定直線與圓錐曲線位置關系時,應將直線方程與圓錐曲線C的方程聯立,消去(也可消去)得一個關于變量的一元方程
①當時,若有,則與C相交;若,則與C相切;若,則與C相離.
②當時,得到一個一元一次方程,若方程有解,則有直線與C相交,此時只有一個公共點;若C為雙曲線,則平行于雙曲線的漸近線;若C為拋物線,則平行于拋物線的軸.所以只有當直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時,直線與雙曲線、拋物線可能相切,也可能相交.
2. “設而不求”的方法
若直線與圓錐曲線C有兩個交點A和B時,一般地,首先設出交點A()、B(),它們是過渡性參數,不須求出,有時運用韋達定理解決問題,有時利用點在曲線上代入曲線方程整體運算求解.
3. 韋達定理與弦長公式
斜率為的直線被圓錐曲線截得弦AB,若A(),B()則 ,然后再結合韋達定理可求出弦長等.
專題能力訓練：
一、選擇題
1.斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點，則|AB|的最大值為( )
A.2 B. C. D.
2.拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k≠0)交于A、B兩點，且此兩點的橫坐標分別為x1,x2,直線與x軸交點的橫坐標是x3,則恒有( )
A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3
C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0
3.斜率為2的直線過雙曲線的右焦點,且與雙曲線的左、右兩支分別相交,則雙曲線的離心率的取值范圍是 ( D )
A. B. C. D.
4.過點A(4,0)的直線與拋物線交于另外兩點B、C,O是坐標原點,則三角形BOC是 ( C )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C. 直角三角形 D.形狀不確定
二、填空題
5.已知兩點M(1，)、N(－4，－)，給出下列曲線方程：①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_________.
6.正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點在拋物線y2=x上，則正方形ABCD的面積為_________.
7.在拋物線y2=16x內，通過點(2，1)且在此點被平分的弦所在直線的方程是_________.
三、解答題
8.已知拋物線y2=2px(p＞0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|≤2p.
(1)求a的取值范圍.
(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值.
9.已知中心在原點，頂點A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點P(6，6).
(1)求雙曲線方程.
(2)動直線l經過△A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問：是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結論.
10.已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點，且都以點A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A1與A點關于直線y=x對稱.
(1)求雙曲線C的方程.
(2)設直線l過點A，斜率為k,當0＜k＜1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為，試求k的值及此時B點的坐標.
11. 已知過雙曲線方程
(1)過M(1,1)的直線交雙曲線于A、B兩點,若M為弦AB的中點,求直線AB的方程;
(2)是否存在直線,使為被雙曲線所截得弦的中點,若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.

專題（三）圓錐曲線及軌跡問題
主干知識整合：
求曲線軌跡方程的思想方法體現了解析幾何最基本也是重要的解題思想方法,因而求曲線軌跡方程成為新高考的熱點內容.試題多以解答題形式出現,它是考查我們根據曲線的幾何特征熟練地運用解析幾何知識將其轉化為數量關系,再運用代數(如函數與方程)的知識作答的能力.
經典真題感悟：
1.（08陜西卷8）雙曲線（，）的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（ B ）
A． B． C． D．
2.（08遼寧卷10）已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為（ A ）
A． B． C． D．
3.（08湖南卷12）已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點為F,右準線為,離心率e=過頂點A(0,b)作AM,垂足為M，則直線FM的斜率等于 .
熱點考點探究：
考點一：定義法求軌跡
例1： 已知雙曲線的兩個焦點分別為F1、F2，其中F1又是拋物線 y2 = 4 x的一個焦點，且點A(-1, 2)，B(3, 2)在雙曲線上．
(1)求點F2的軌跡;
(2)是否存在直線y = x+m與點F2的軌跡有且只有兩個公共點，若存在，求出實數m的值，若不存在，說明理由．
點評 這是“定義法”求軌跡的問題．對于軌跡問題的求解，務必要注意軌跡的純粹性與完備性，這是我們最易忽略的．
考點二：交軌法求軌跡
例2.已知常數a > 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，經過原點O，以c +λi為方向向量的直線與經過定點A(0 , a)，以i - 2λc為方向向量的直線交于點P，其中λ∈R，試問：是否存在兩個定點E , F，使得 | PF | + | PF | 為定值，若存在，求出E, F的坐標，若不存在，說明理由．
點評 這是“交軌法”求軌跡的問題．將向量c +λi與i- 2λc分別用坐標表出是解題的關鍵．回答問題時必須要分別回答，這是題目的要求．對于①也可用直線的點斜式方程求得，讀者不妨試一試．
考點三：代入法(相關點法)
例3 如圖, 兩點分別在射線OS,OT上移動,
且,O為坐標原點,動點P滿足.
(1)求的值
(2)求點P的軌跡C的方程,并說明它表示怎樣的曲線.
考點四：與軌跡有關的綜合題
例4 O為坐標原點, 和兩點分別在射線 上移動,且,動點P滿足,記點P的軌跡為C.
(I)求的值;
(II)求P點的軌跡C的方程,并說明它表示怎樣的曲線?
(III)設點G(－1,0),若直線與曲線C交于M、N兩點,且M、N兩點都在以G為圓心的圓上,求的取值范圍.
規律總結：
1.求曲線軌跡方程是解析幾何兩大基本問題之一,其實質就是根據已知條件先列出軌跡滿足的”幾何量關系”,然后通過坐標化轉化為動點的坐標滿足的方程,然后根據軌跡的”純粹性”和”完備性”進行”去”和”留”.
2.探求軌跡有兩大類型:一種是幾何關系已知、軌跡未知,常用求軌跡的方法有直接法、相關點法(又稱代入法)和參數法;另一種是曲線的類型(形狀)已知,軌跡未知,常采用定義法和特定系數法.
3.如果題設條件是坐標系未確定情形,應根據條件適當選擇坐標系,即保持問題一般性,又要使求出軌跡方程簡煉,反映曲線的一些本質特征(如對稱性等).
專題能力訓練：
選擇題：
1.(2008年浙江卷)如圖,AB是平面的斜線段,A為斜足,若點P在平面內運動,使得三角形ABP的面積為定值,則動點P的軌跡是 ( )
A. 圓
B. 橢圓
C. 一條直線
D.兩條平行直線
2設,常數,定義運算”*”; ,若,則動點的軌跡是 ( D )
A. 圓 B. 橢圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分
3已知分別是雙曲線的左、右焦點,P為雙曲線上一點,過的平分線的垂線,垂足為H,則點H的軌跡為 (C )
A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 圓 D. 拋物線
4.（08全國二9）設，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ B ）
A． B． C． D．
5.（山東卷(10)設橢圓C1的離心率為，焦點在X軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為A
（A） (B)
(C) (D)
填空題：
6.與圓外切,又與軸相切的圓心的軌跡方程為____或.______
7.已知雙曲線過A(－2,4)和B(4,4),它的一個焦點為F(1,0),則它的另一個焦點軌跡方程為_________
三．解答題
8.如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持| PA |+| PB |的值不變.
（1）建立適當的坐標系，求曲線E的方程；
（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設，試確定實數的取值范圍．
9. 如圖, 兩點分別在射線OS,OT上移動,且,O為坐標原點,動點P滿足.
(1)求的值
(2)求點P的軌跡C的方程,并說明它表示怎樣的曲線.
10.已知拋物線的方程為,過點的直線與拋物線相交于A、B兩點,分別過點A、B作拋物線的兩條切線和,記和相交于點M.
(I) 證明:直線和的斜率之積為定值;
(II) 求點M的軌跡方程.
專題 直線與圓錐直線

專題（一） 線性規劃 直線與圓
主干知識整合：
本節以直線方程的確定和直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系為重點考查內容.新高考還增加了線性規劃知識點的考查.2008年幾乎每省份都有一道線性規劃的客觀試題.但作為2009年的高考,除上述仍為熱點外,還須重視線性規劃在解決生產、生活中應用題中的工具性.
主要考點為：
直線的傾斜角與斜率，直線方程的點斜式和兩點式及一般式。兩直線平行與垂直的條件。兩直線的夾角。點到直線的距離。
簡單的線性規劃問題。
曲線與方程的概念。由已知條件列出曲線方程。
圓的標準方程和一般方程。圓的參數方程。
經典真題感悟：
1.（全國一10）若直線通過點，則（ D ）
A． B．C． D．
2.（山東卷12）設二元一次不等式組所表示的平面區域為M，使函數y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象過區域M的a的取值范圍是C
（A）[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9]
3.（湖北卷9）過點作圓的弦，其中弦長為整數的共有C
A.16條 B. 17條 C. 32條 D. 34條
熱點考點探究：
考點一：直線的斜率與傾斜角，直線方程的探求
例1.已知點A(1,2x)、B(2,x2-3),試討論：實數x為何值時，過A、B兩點的直線的傾斜角為0°、銳角、鈍角？
解：過A、B兩點的直線的斜率為k==x2-2x-3.
傾斜角為0°時，k=x2-2x-3=0，解得x=3或-1；傾斜角為銳角時，k=x2-2x-3＞0，解得x＞3或x＜-1；傾斜角為鈍角時，k=x2-2x-3＜0，解得-1＜x＜3.
綜上，x=3或-1時，過A、B兩點的直線的傾斜角為0°；x＞3或x＜-1時，過A、B兩點的直線的傾斜角為銳角；-1＜x＜3時，過A、B兩點的直線的傾斜角為鈍角.
例2 已知兩圓⊙和⊙都經過點A(2,－1),則同時經過點(D1,E1)和點(D2,E2)的直線方程為( )
A. B.
C. D.
解析】選A.
將點A(2,－1)代入方程得,即直線過點(D1,E1)和點(D2,E2).
【點評】上述求直線方程運用了”設而不求”,這是解析幾何中一種十分重要的解法.
考點二：直線與圓的位置關系
例3. 將圓按向量平移后得⊙O,直線與⊙O相交于A、B兩點,若⊙O在上存在一點C,使,求直線的方程及對應的點C的坐標.
【解析】將圓化為標準方程為
按向量平移后得⊙O方程為.
∵,且,
,設直線的方程為
由
將(1)代入(2),整理得,設,則
因為點C在圓上,故
,解之得,此時(*)式.
所求的直線的方程為,對應C點坐標為(－1,2),或直線方程為,相應C點坐標為(1,－2).
【點評】本題解答的關鍵是對條件的解讀,即由與,可推理出,而,近兩年新高考中把解析幾何與向量綜合起來,解答時準確讀向量的條件往往是破題的關鍵.
考點三：線性規劃
例4. (1)在平面直角坐標系中,對于點(),滿足: ,目標函數,那么滿足的解 ()有 ( )
A. 0個 B. 1個 C.2個 D. 無數個
(2)已知實數系數方程的兩個實根分別為,且,則的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
【解析】(1)選B
據已知可得關于的約束條件為
或,故可行域如圖:
由于
故使得即為使得
即使得可行域內的點與點連線的斜率為－2,易知過且斜率為－2的直線與可行域只有一個交點,故解的個數也只有1個.
(2)選A.
設,由已知有
∵表示如圖中區域點與原點連線的斜率,故可求得.
考點四：求圓的方程
例5.（江蘇卷18）設平面直角坐標系中，設二次函數的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C．求：
（Ⅰ）求實數b 的取值范圍；
（Ⅱ）求圓C 的方程；
（Ⅲ）問圓C 是否經過某定點（其坐標與b 無關）？請證明你的結論．
【解析】本小題主要考查二次函數圖象與性質、圓的方程的求法．
（Ⅰ）令＝0，得拋物線與軸交點是（0，b）；
令，由題意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
（Ⅱ）設所求圓的一般方程為
令＝0 得這與＝0 是同一個方程，故D＝2，F＝．
令＝0 得＝0，此方程有一個根為b，代入得出E＝―b―1．
所以圓C 的方程為.
（Ⅲ）圓C 必過定點（0，1）和（－2，1）．
證明如下：將（0，1）代入圓C 的方程，得左邊＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右邊＝0，
所以圓C 必過定點（0，1）．
同理可證圓C 必過定點（－2，1）．
規律總結
1. 出現含參數的直線或圓的方程為條件時,要從方程形式的代數特征入手,挖掘參數的幾何特征,尤其對討論位置關系問題,把握好參數幾何特征,結合幾何圖形的背景可大大簡化計算.
2. 圓的方程呈現多種形式,一般方程、參數方程及標準方程,它們分別顯現不同的代數特征和三角特征.我們運用圓方程時,恰當選擇,可以方便求方程或討論圓的性質.
3.線性規劃是概念性極強的內容:可行域實質上是約束條件的交集;可行解是可行域內的點的坐標;而最優解是可行域內的極限點,最后還要優中選優(尤其對與線性規劃相關的應用問題求解更應注意這一點).
專題能力訓練：
選擇題：
1、若是直線的傾斜角，則sin(45o-)的值屬于 D
A B[-,] C(-1, ) D[-1, ]
2、兩條直線ax+y-4=與x-y-2=0相交于第一象限，則實數a的取值范圍是 （ A ）
A -1-1 C a<2 D　a<-1或a>2
3、曲線y2=4x關于直線x=2對稱的曲線方程是 C
A、y2=8－4x B、y2=4x－8 C、y2=16－4x D、y2=4x －16
4、是的__C____條件
A、充分不必要條件 B、充要條件
C 必要不充分條件 D、既不充分也不必要條件
5、方程所表示的曲線是 D
A．一個圓 B．兩個圓 C．半個圓 D．兩個半圓
填空題：
6．如圖，是直線上的兩點，且．兩個半徑相等的動圓分別與相切于點，是這兩個圓的公共點，則圓弧，與線段圍成圖形面積的取值范圍是 ．

7．設有一組圓．下列四個命題：
Ａ．存在一條定直線與所有的圓均相切
Ｂ．存在一條定直線與所有的圓均相交
Ｃ．存在一條定直線與所有的圓均不相交
Ｄ．所有的圓均不經過原點
其中真命題的代號是 BD ．（寫出所有真命題的代號）
解答題：
8．設有半徑為3的圓形村落，、兩人同時從村落中心出發，向北直行，先向東直行，出村后不久，改變前進方向，沿著與村落周界相切的直線前進，后來恰與相遇.設、兩人速度一定，其速度比為，問兩人在何處相遇？
9．已知圓的圓心為，圓的圓心為，一動圓與這兩個圓都外切.
（1）求動圓圓心的軌跡方程；
（2）若過點的直線與（1）中所求軌跡有兩個交點、，求的取值范圍.
10．在平面直角坐標系中，在軸的正半軸上給定、兩點，在軸正半軸上求一點，使取得最大值．
11．如圖，已知：射線為，射線為，動點在的內部，于，于，四邊形的面積恰為.
當為定值時，動點的縱坐標是橫坐
標的函數，求這個函數的解析式；
（2）根據的取值范圍，確定的定義域.
8. 解：如圖建立平面直角坐標系，由題意
可設A、B兩人速度分別為3v千米/小時 ，
v千米/小時，再設出發x0小時，在點P改變
方向，又經過y0小時，在點Q處與B相遇.
則P、Q兩點坐標為（3vx0, 0），（0,vx0+vy0）.
由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，………………3分
（3vx0）2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2,
即.
……①………………6分
將①代入……………8分
又已知PQ與圓O相切，直線PQ在y軸上的截距就是兩個相遇的位置.
設直線相切，
則有……………………11分
答：A、B相遇點在離村中心正北千米處………………12分
9.解：（1）∵|PM1|-5=|PM2|-1，∴|PM1| - |PM2|=4
∴動圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點的雙曲線的右支。
c=4，a=2，b2=12，
故所求軌跡方程為－=1（x≥2）。 …………4分
（2）當過M2的直線傾斜角不等于時，設其斜率為k，
直線方程為 y=k(x-4)
與雙曲線 3x2-y2-12=0聯立，消去y化簡得
(3-k2)x2+8k2x-16k2-12=0 …………6分
又設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0
由解得 k2>3。…………8分
由雙曲線左準線方程 x=-1且e=2，有|AM1|·|BM1|=e|x1+1|·e|x2+1|=4[x1x2+(x1+x2)+1]
=4(++1)=100+ …………10分
∵k2-3>0，∴|AM1|×|BM1|>100
又當直線傾斜角等于時，A(4，y1)，B(4，y2)，|AM1|=|BM1|=e(4+1)=10
|AM1|·|BM1|=100 故 |AM1|·|BM1|≥100。…………12分
10．解：設，再設、B（0，b）、C（x，0）．
則 ． …………3分
．…………10分
當且僅當∵∴有最大值,最大值為，
∴ 在內為增函數．
∴ 角α的最大值為．此時C點的做標為…………12分
11. 解：（1）設M(a，ka)，N(b，-kb)，(a>0，b>0)。
則|OM|=a，|ON|=b。
由動點P在∠AOx的內部，得0∴|PM|==，|PN |==
∴S四邊形ONPM=S△ONP+S△OPM=（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）
=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x - (a-b)y]=k
∴k(a+b)x-(a-b)y=2k ①
又由kPM= -=， kPN==，
分別解得，，代入①式消a、b，并化簡得x2-y2=k2+1。
∵y>0，∴
（2）由0 (*)
當k=1時，不等式②為0<2恒成立，∴(*)x>。
當0當k>1時，由不等式②得，且，∴(*)
但垂足N必須在射線OB上，否則O、N、P、M四點不能組成四邊形，所以還必須滿足條件：，將它代入函數解析式，得
解得 (k>1)，或x∈k（0綜上：當k=1時，定義域為{x|x>}；
當0當k>1時，定義域為{x|}.


專題 （二） 直線與圓錐曲線
主干知識整合：
直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.
經典真題感悟：
1.（江西卷15）過拋物線的焦點作傾角為的直線，與拋物線分別交于、兩點（在軸左側），則 ．
2.(2008年安徽卷)若過點A(4,0)的直線與曲線有公共點,則直線的斜率的取值范圍為 ( )
A. B. C. D.
3(2008年海南---寧夏卷)設雙曲線的右頂點為A,右焦點為F,過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B,則三角形AFB的面積為___________.
熱點考點探究：
考點一：直線與曲線交點問題
例1.已知雙曲線C：2x2－y2=2與點P(1，2)
(1)求過P(1，2)點的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點.
解：(1)當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點.當l的斜率存在時，設直線l的方程為y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得
(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 (*)
(ⅰ)當2－k2=0,即k=±時，方程(*)有一個根，l與C有一個交點
(ⅱ)當2－k2≠0,即k≠±時
Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)
①當Δ=0,即3－2k=0,k=時，方程(*)有一個實根，l與C有一個交點.
②當Δ＞0,即k＜,又k≠±,故當k＜－或－＜k＜或＜k＜時，方程(*)有兩不等實根，l與C有兩個交點.
③當Δ＜0，即k＞時，方程(*)無解，l與C無交點.
綜上知：當k=±,或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點；
當＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時，l與C有兩個交點；
當k＞時，l與C沒有交點.
(2)假設以Q為中點的弦存在，設為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12－y12=2,2x22－y22=2兩式相減得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2
∴2(x1－x2)=y1－y1
即kAB==2
但漸近線斜率為±,結合圖形知直線AB與C無交點，所以假設不正確，即以Q為中點的弦不存在.
(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點的弦是否存在.
考點二：圓錐曲線中的最值問題
對于圓錐曲線問題上一些動點，在變化過程中會引入一些相互聯系、相互制約的變量，從而使變量與其中的參變量之間構成函數關系，此時，用函數思想與函數方法處理起來十分方便。
例2 直線：和雙曲線的左支交于A、B兩點，直線過P（）和AB線段的中點M，求在軸上的截距的取值范圍。
解：由消去得，由題意，有：
設M（），則
由P（）、M（）、Q（）三點共線，可求得
設，則在上為減函數。
所以，且
所以 所以或
考點三：弦長問題
涉及弦長問題，應熟練地利用韋達定理設而不求計算弦長，涉及垂直關系往往也是利用韋達定理，設而不求簡化運算.
例3.如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積最大時直線l的方程，并求△AMN的最大面積.
解：由題意，可設l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.
由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①
∵直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，
∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)
設M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,
∴|MN|=4.
點A到直線l的距離為d=.
∴S△=2(5+m),從而S△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.
∴S△≤8,當且僅當2－2m=5+m,即m=－1時取等號.
故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8.
考點4：圓錐曲線關于直線對稱問題
例4. 已知橢圓的中心在圓點,一個焦點是F(2,0),且兩條準線間的距離為,
(I)求橢圓的方程;
(II)若存在過點A(1,0)的直線,使點F關于直線的對稱點在橢圓上,求的取值范圍.
【解析】(I)設橢圓的方程為
由條件知,
故橢圓的方程是
(II)依題意,直線的斜率存在且不為0,記為,則直線的方程是,設點F(2,0)關于直線的對稱點為,則
因為在橢圓上,所以
即
故,則
因為
于是,當且僅當(*)
上述方程存在正實根,即直線存在.
解(*)得
即的取值范圍是
規律總結
1. 判定直線與圓錐曲線位置關系時,應將直線方程與圓錐曲線C的方程聯立,消去(也可消去)得一個關于變量的一元方程
①當時,若有,則與C相交;若,則與C相切;若,則與C相離.
②當時,得到一個一元一次方程,若方程有解,則有直線與C相交,此時只有一個公共點;若C為雙曲線,則平行于雙曲線的漸近線;若C為拋物線,則平行于拋物線的軸.所以只有當直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時,直線與雙曲線、拋物線可能相切,也可能相交.
2. “設而不求”的方法
若直線與圓錐曲線C有兩個交點A和B時,一般地,首先設出交點A()、B(),它們是過渡性參數,不須求出,有時運用韋達定理解決問題,有時利用點在曲線上代入曲線方程整體運算求解.
3. 韋達定理與弦長公式
斜率為的直線被圓錐曲線截得弦AB,若A(),B()則 ,然后再結合韋達定理可求出弦長等.
專題能力訓練：
一、選擇題
1.斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點，則|AB|的最大值為( )
A.2 B. C. D.
2.拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k≠0)交于A、B兩點，且此兩點的橫坐標分別為x1,x2,直線與x軸交點的橫坐標是x3,則恒有( )
A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3
C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0
1.解析：弦長|AB|=≤.
答案：C
2.解析：解方程組,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=,x1x2=－,x3=－,代入驗證即可.
答案：B
3.斜率為2的直線過雙曲線的右焦點,且與雙曲線的左、右兩支分別相交,則雙曲線的離心率的取值范圍是 ( D )
A. B. C. D.
4.過點A(4,0)的直線與拋物線交于另外兩點B、C,O是坐標原點,則三角形BOC是 ( C )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C. 直角三角形 D.形狀不確定
二、填空題
5.已知兩點M(1，)、N(－4，－)，給出下列曲線方程：①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_________.
.解析：點P在線段MN的垂直平分線上，判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點.
答案：②③④
6.正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點在拋物線y2=x上，則正方形ABCD的面積為_________.
7.在拋物線y2=16x內，通過點(2，1)且在此點被平分的弦所在直線的方程是_________.
6解析：設C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長公式可求出|CD|的長，利用|CD|的長等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離，求出b的值，再代入求出|CD|的長.
答案：18或50
7.解析：設所求直線與y2=16x相交于點A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2).
即kAB=8.
故所求直線方程為y=8x－15.
答案：8x－y－15=0
三、解答題
8.已知拋物線y2=2px(p＞0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|≤2p.
(1)求a的取值范圍.
(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值.
9.已知中心在原點，頂點A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點P(6，6).
(1)求雙曲線方程.
(2)動直線l經過△A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問：是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結論.
10.已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點，且都以點A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A1與A點關于直線y=x對稱.
(1)求雙曲線C的方程.
(2)設直線l過點A，斜率為k,當0＜k＜1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為，試求k的值及此時B點的坐標.
11. 已知過雙曲線方程
(1)過M(1,1)的直線交雙曲線于A、B兩點,若M為弦AB的中點,求直線AB的方程;
(2)是否存在直線,使為被雙曲線所截得弦的中點,若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
8解：(1)設直線l的方程為：y=x－a,代入拋物線方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0
∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2
又∵p＞0,∴a≤－.
(2)設A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點 C(x,y),
由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,
則有x==p.
∴線段AB的垂直平分線的方程為y－p=－(x－a－p),從而N點坐標為(a+2p,0）?
點N到AB的距離為
從而S△NAB=
當a有最大值－時，S有最大值為p2.
9.解：(1)如圖，設雙曲線方程為=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.
所以所求雙曲線方程為=1.
(2)P、A1、A2的坐標依次為(6,6)、(3，0)、(－3，0），
∴其重心G的坐標為(2，2）
假設存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設M(x1,y1)，N(x2,y2).則有
，∴kl=
∴l的方程為y= (x－2)+2,
由,消去y,整理得x2－4x+28=0.
∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直線l不存在.
10.解：(1)設雙曲線的漸近線為y=kx,由d==1,解得k=±1.
即漸近線為y=±x,又點A關于y=x對稱點的坐標為(0，).
∴a==b,所求雙曲線C的方程為x2－y2=2.
(2)設直線l：y=k(x－)(0＜k＜1,依題意B點在平行的直線l′上，且l與l′間的距離為.
設直線l′：y=kx+m,應有,化簡得m2+2km=2. ②
把l′代入雙曲線方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0,
由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0.可得m2+2k2=2 ③
②、③兩式相減得k=m,代入③得m2=,解設m=,k=,此時x=,y=.故B(2,).
11.解析(1)設,
則
則有…………………..①
………………………..②
①-②得
∵
∵雙曲線的一條漸近線方程為,而,
與雙曲線交于兩點.
為所求.
(2)假設過N直線交雙曲線于, 則有
,.
兩式相減得
∵
∵雙曲線的一條漸近線方程為,
直線與雙曲線沒有公共點.
以為弦中點的直線不存在.
【點評】”設而不求”是保證A、B兩交點存在的情況下,所采用整體運算求直線方程的方法,但如果是假定直線與曲線存在兩個交點A、B為前提下求出直線,則必須驗證與圓錐曲線公共點的存在性.




專題（三）圓錐曲線及軌跡問題
主干知識整合：
求曲線軌跡方程的思想方法體現了解析幾何最基本也是重要的解題思想方法,因而求曲線軌跡方程成為新高考的熱點內容.試題多以解答題形式出現,它是考查我們根據曲線的幾何特征熟練地運用解析幾何知識將其轉化為數量關系,再運用代數(如函數與方程)的知識作答的能力.
經典真題感悟：
1.（08陜西卷8）雙曲線（，）的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（ B ）
A． B． C． D．
2.（08遼寧卷10）已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為（ A ）
A． B． C． D．
3.（08湖南卷12）已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點為F,右準線為,離心率e=過頂點A(0,b)作AM,垂足為M，則直線FM的斜率等于 .
熱點考點探究：
考點一：定義法求軌跡
例1： 已知雙曲線的兩個焦點分別為F1、F2，其中F1又是拋物線 y2 = 4 x的一個焦點，且點A(-1, 2)，B(3, 2)在雙曲線上．
(1)求點F2的軌跡;
(2)是否存在直線y = x+m與點F2的軌跡有且只有兩個公共點，若存在，求出實數m的值，若不存在，說明理由．
解 (1) 由題意知F1(1, 0)，設F2(x , y)，則 | |AF1|-|AF2| | = | |BF1|-|BF2| | = 2a > 0．……………………………①
∵ A(-1, 2)，B(3, 2) 在已知雙曲線上，且 |AF1| = | BF1| =．于是
(ⅰ) 當 | AF1|-|AF2| = |BF1|-|BF2|時，有 |AF2| = |BF2| , 再代入①得：
F2的軌跡為直線 x = 1除去兩個點F1(1, 0), D(1, 4)．
(ⅱ) ∵ 當 | AF1|-|AF2| = - ( |BF1|-|BF2| ) 時，有 | AF2| + |BF2| = |AF1| + |BF1| => 4 = |AB| ,
∴ 點F2的軌跡是以A、B兩點為焦點的橢圓Q，且除去F1(1, 0)，D(1, 4)兩點，
故所求的軌跡方程為 l：x = 1與Q：( y≠0，y≠ 4 )．
(2) 設存在直線L：y = x+ m滿足條件．(ⅰ) 若L過點F1或點D，
∵ F1、D兩點既在直線l：x = 1上，又在橢圓Q上，但不在F2的軌跡上，
∴ L與F2的軌跡只有一個公共點，不合題意．
(ⅱ) )若L不過點F1和D兩點，(m≠-1, m≠3)，則L與l必有一個公共點E，且E點不在橢圓Q上，
∴ 要使L與F2的軌跡有且只有兩個公共點，則L必與Q有且只有一個公共點．
由 得 3x2 - (10 - 4m) x +2m2- 8m +1= 0,
從而，有 △= (10 - 4m) 2- 12(2m2- 8m+1) = - 8 ( m2-2m-11) ,
當△= 0時，有．即存在符合條件的直線 y = x+．
點評 這是“定義法”求軌跡的問題．對于軌跡問題的求解，務必要注意軌跡的純粹性與完備性，這是我們最易忽略的．
考點二：交軌法求軌跡
例2.已知常數a > 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，經過原點O，以c +λi為方向向量的直線與經過定點A(0 , a)，以i - 2λc為方向向量的直線交于點P，其中λ∈R，試問：是否存在兩個定點E , F，使得 | PF | + | PF | 為定值，若存在，求出E, F的坐標，若不存在，說明理由．
解 ∵ c +λi = (λ, a)，i - 2λc = (1, - 2λa) ,
由向量平行關系得 OP與AP的方程分別為λy = ax，y- a = - 2λax．…………………………………… ①
由此消去參數λ，得 點P(x ,y)滿足方程為, …………………………………………… ②
∵ a > 0 , 從而，有(1) 當時，方程②表示的是圓，不存在符合題意的兩個定點 E，F ；
(2) 當0<時，方程②表示的是橢圓，故存在符合題意的兩個定點，即為橢圓的兩個焦點：；
(3) 當時，方程②表示的是橢圓，故存在合乎題意的兩個定點，即為橢圓的兩個焦點：．
點評 這是“交軌法”求軌跡的問題．將向量c +λi與i- 2λc分別用坐標表出是解題的關鍵．回答問題時必須要分別回答，這是題目的要求．對于①也可用直線的點斜式方程求得，讀者不妨試一試．
考點三：代入法(相關點法)
例3 如圖, 兩點分別在射線OS,OT上移動,
且,O為坐標原點,動點P滿足.
(1)求的值
(2)求點P的軌跡C的方程,并說明它表示怎樣的曲線.
【解析】(1)由已知得
(2)設點P坐標為,得
,它表示以坐標原點為中心,焦點在軸上,且實軸長為2,焦距為4的雙曲線的右支.
【點評】 (1)的結果表示點軌跡在曲線上,為解決(2),利用,建立與參數的關系,然后解出(用表示),代入即得所求軌跡,這就是代入法.
考點四：與軌跡有關的綜合題
例4 O為坐標原點, 和兩點分別在射線 上移動,且,動點P滿足,記點P的軌跡為C.
(I)求的值;
(II)求P點的軌跡C的方程,并說明它表示怎樣的曲線?
(III)設點G(－1,0),若直線與曲線C交于M、N兩點,且M、N兩點都在以G為圓心的圓上,求的取值范圍.
【解析】 (I) ∵,分別在射線上,
即,
又∵
.
,
.
(II) 設由可得
即
兩式相減有: .
∵、不同時為0,
軌跡C的方程為,它表示焦點在軸上的雙曲線.
(III)
消去,整理得: .
∵直線與曲線C交于M、N兩點,
設
即
由(1)整理得:
由(3)有:
由(2)有.
又∵M、N在以點G為圓心的圓上,
設MN的中點為Q,則
∵,
∵
又∵
.
整理得
把(6)代入(4)中有:
由
又由(6)有
∵
于是
解得
再由.
綜合得的取值范圍為
規律總結：
1.求曲線軌跡方程是解析幾何兩大基本問題之一,其實質就是根據已知條件先列出軌跡滿足的”幾何量關系”,然后通過坐標化轉化為動點的坐標滿足的方程,然后根據軌跡的”純粹性”和”完備性”進行”去”和”留”.
2.探求軌跡有兩大類型:一種是幾何關系已知、軌跡未知,常用求軌跡的方法有直接法、相關點法(又稱代入法)和參數法;另一種是曲線的類型(形狀)已知,軌跡未知,常采用定義法和特定系數法.
3.如果題設條件是坐標系未確定情形,應根據條件適當選擇坐標系,即保持問題一般性,又要使求出軌跡方程簡煉,反映曲線的一些本質特征(如對稱性等).
專題能力訓練：
選擇題：
1.(2008年浙江卷)如圖,AB是平面的斜線段,A為斜足,若點P在平面內運動,使得三角形ABP的面積為定值,則動點P的軌跡是 ( )
A. 圓
B. 橢圓
C. 一條直線
D.兩條平行直線
2設,常數,定義運算”*”; ,若,則動點的軌跡是 ( D )
A. 圓 B. 橢圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分
3已知分別是雙曲線的左、右焦點,P為雙曲線上一點,過的平分線的垂線,垂足為H,則點H的軌跡為 (C )
A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 圓 D. 拋物線
4.（08全國二9）設，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ B ）
A． B． C． D．
5.（山東卷(10)設橢圓C1的離心率為，焦點在X軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為A
（A） (B)
(C) (D)
填空題：
6.與圓外切,又與軸相切的圓心的軌跡方程為____或.______
7.已知雙曲線過A(－2,4)和B(4,4),它的一個焦點為F(1,0),則它的另一個焦點軌跡方程為_________
三．解答題
8.如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持| PA |+| PB |的值不變.
（1）建立適當的坐標系，求曲線E的方程；
（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設，試確定實數的取值范圍．
解: （1）建立平面直角坐標系, 如圖所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | 　　y=∴動點P的軌跡是橢圓∵∴曲線E的方程是 .
（2）設直線L的方程為 , 代入曲線E的方程，得設M1（, 則

i) L與y軸重合時，
ii) L與y軸不重合時， 由①得 又∵,
∵ 或 ∴0＜＜1 ,
∴∵
而 ∴∴ ∴ ,
,∴的取值范圍是 .
9. 如圖, 兩點分別在射線OS,OT上移動,且,O為坐標原點,動點P滿足.
(1)求的值
(2)求點P的軌跡C的方程,并說明它表示怎樣的曲線.
【解析】(1)由已知得
(2)設點P坐標為,得
,它表示以坐標原點為中心,焦點在軸上,且實軸長為2,焦距為4的雙曲線的右支.
10.已知拋物線的方程為,過點的直線與拋物線相交于A、B兩點,分別過點A、B作拋物線的兩條切線和,記和相交于點M.
(I) 證明:直線和的斜率之積為定值;
(II) 求點M的軌跡方程.
【解析】(I) 依題意,直線的斜率存在,設直線的方程為
將其代入,消去整理得.
設A,B的坐標分別為,
則
將拋物線的方程改寫為,求導得.
所以過點A的切線的斜率是,過點B的切線的斜率是,
故,所以直線和的斜率之積為定值－2.
(II) 設,因為直線的方程為即
同理,直線的方程為
聯立這兩個方程,消去得
整理得,注意到,所以.
此時
由(I)知, ,所以,
所以點M的軌跡方程是.

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