資源簡介

專題 立體幾何
高考對這一部分的考察主要是一大一小兩種命題形式。主要考查學生的空間想象能力和推理運算能力以及應用向量知識解決數學問題的能力．
專題（一）空間點線面的位置關系
主干知識整合：
在高考中,立體幾何往往有兩個小題和一個大題,而小題中,一般會有一道專門考查空間點線面的位置關系的題目,大題則通常在進行鑒定會間角與距離的計算前要先進行位置關系的判斷.而在方法的選擇上,既可以用幾何法,也可以用向量法,估計在2009年的高考中,仍將出現這種特點.因此,我們要既能對空間點線面的位置關系進行推理判斷,也要熟練掌握向量方法.
平面的基本性質。
兩直線平行與垂直的判定定理和性質定理。
直線與平面平行與垂直的判定定理和性質定理。
兩平面平行與垂直的判定定理和性質定理。
經典真題感悟：
（08上海卷13） 給定空間中的直線l及平面(，條件“直線l與平面(內無數條直線都垂直”是“直線l與平面(垂直”的（ C ）條件
A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要
2.（07江西?理?7題）如圖，正方體AC1的棱長為1，
過點A作平面A1BD的垂線，垂足為點H．則以下命題中，錯誤的命題是（ D ）
A．點H是△A1BD的垂心 B．AH垂直平面CB1D1
C．AH的延長線經過點C1 D．直線AH和BB1所成角為45°
3.（08海南卷15）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，那么這個球的體積為 ______
熱點考點探究：
考點一：空間想象能力與空間概念
例1 (1)如圖,A,B到的距離分別是,AB與所成的角分別是,AB在內的射影分別是和.若,則 ( D)
A.
B.
C.
D.
(2) 空間直線是600角的異面直線,分別過作平面,使平面也成600角,這樣的面平 ( A )
A. 有無窮對 B. 只有5對 C. 只有3對 D. 只有1對
【解析】(1)選D.
∵
∵
又∵,
(2)選A
過直線任作一平面,記為,因為與異面,且與成600角,故過直線作平面,與成600角,然后交換的位置(繞直線旋轉),就會得到相應的,從而符合要求的平面有無數對.
考點二：空間線面平行、垂直等位置的判定與證明
例2 (1)在三棱柱ABC－A/B/C/中,點E、F、H、K分別為AC/、CB/、A/B、B/C/的中點,G為三角形ABC的重心,從K、H、G、B/中取一點作為P,使得棱柱恰有2條棱與平面PEF平行,則P為 ( )
A.K B. H C. G D.B/
(2)下列5個正方體圖形中, 是正方體的一條對角線,點M、N、P分別為其所在棱的中點,能得出垂直面MNP的圖形的序號是__________(寫出所有符合要求的圖形序號).


【解析】(1)選C.
現按各選項順序逐圖畫出.

圖(a)中過KEF的截面為平行四邊行PKNM,顯然三側棱均與此戴面平行,圖(b)中,過HEF的截面為三角形PQR,其中P、Q、R為各側棱中點,顯然三棱柱底面各棱均與此截面平行.圖(C)中,過GEF的截面為梯形MNQP,其中各項點M、N、Q、P均為所在棱的三等分點,顯然該棱柱恰有兩棱AB、A/B/與這個截面平行.圖(d)中,過B/EF的截面三角形A/B/C/,此棱柱只有一個棱AB與此截面平行.
考點三：空間點、線、面關系中探究性問題
例3 如圖,設動點P在棱長為1的正方體
ABCD－A1B1C1D1的對角線BD1上,記
為鈍角時,求的取值范圍.
【解析】由題設可知,以、、為單位正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標系,則有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,1).
由
所以
顯然不是平角,所以為鈍角等價于
,這等價于
因此,
【點評】本題屬空間探索性問題,通過建立空間直角坐標系轉化為代數問題,充分體現了空間向量的工具性.
考點四： 平面圖形的翻折
例5 如圖所示,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿對角線AC把矩形折成二面角D－AC－B,并且D在 平面ABC內的射影落在AB上.
(1)求證:AD⊥平面DBC;
(2)求二面角D－AC－B的大小.
【解析】(1)設D在AB上的射影為H,則DH⊥平面ABC,
∵DH⊥BC,又BC⊥AB,
∴BC⊥平面ADB.
于是AD⊥BC ,
又AD⊥DC,∴AD⊥平面DBC.
(2)在平面ABC內作HE⊥AC,垂足為E,連結DE,則DE⊥AC,故∠DEF為二面角D－AC－B的平面角.
在
在
在
即二面角D－AC－B的平面角為.
規律總結
1. 畫幾何的截面形狀,就是要畫出這個截面與幾何體各表面的交線,這就要求先找到截面與各表面的兩個公共點,或者先找到一個公共點,再根據條件過此點作某線的平行線.
2.在解決空間位置關系的問題的過程中,注意幾何法與向量法結合起來使用.若圖形易找(例如,平面的垂線易作等),則用幾何法較簡便,否則用向量法.而用向量法,一般要求先求出直線的方向向量以及平面的法向量,然后考慮兩個相關的向量是否平行或垂直.
3.對于空間線面位置的探索性問題,有的是運用幾何直觀大膽猜測后推是驗證,有的是直接建系后進行計算,有時兩種辦法相結合,它因結果的不確定性,增強能力考查,而成為新高考的熱點
專題能力訓練：
一、選擇題
1．一條直線與一個平面所成的角等于，另一直線與這個平面所成的角是. 則這兩條直線的位置關系 （ D ）
A．必定相交 B．平行 C．必定異面 D．不可能平行
2．下列說法正確的是 B 。
A．直線a平行于平面M，則a平行于M內的任意一條直線
B．直線a與平面M相交，則a不平行于M內的任意一條直線
C．直線a不垂直于平面M，則a不垂直于M內的任意一條直線
D．直線a不垂直于平面M，則過a的平面不垂直于M
3．[2008年普通高等學校統一考試（海南、寧夏卷）數學（文科）第12題]已知平面平面，，點，，直線，直線，直線，則下列四種位置關系中，不一定成立的是（D ）
A． B． C． D．
4.三棱錐的側面兩兩垂直，且所有側棱之和為3，則三棱錐的體積的最大值為（ B ）
（A） （B） （C） （D）
5.從正方體的棱和各個面上的對角線中選出K條，使得其中任意兩條線段所在直線都是異面直線,則K的最大值是 4
二．填空題：
6．一個正方體的棱長為2，將八個直徑各為1的球放進去之后，正中央空間能放下的最大的球的直徑為
7.（全國二16）平面內的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：
充要條① ；
充要條② ．
（寫出你認為正確的兩個充要條件）（兩組相對側面分別平行；一組相對側面平行且全等；對角線交于一點；底面是平行四邊形．注：上面給出了四個充要條件．如果考生寫出其他正確答案，同樣給分．）
三．解答題：
8. 已知在四面體中，，，，∈平面．
（1）若為△的重心，試證明；
（2）試問（1）的逆命題是否成立？并證明你的結論．
8. 解：(1)連交于,則平分,且分所成的比為2∶1，從而
又，故．
(2)逆命題成立，證明如下：設分所成的比為，分所成的比為．則,
,于是,
= 因,故,
解得,于是為△的重心．
9. 08陜西卷19．
三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，，平面，，，，，．
（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
解法二：（Ⅰ）如圖，建立空間直角坐標系，
則，
，．
點坐標為．
，．
，，，，又，
平面，又平面，平面平面．
（Ⅱ）平面，取為平面的法向量，
設平面的法向量為，則．
，
如圖，可取，則，
，
即二面角為．
10. 解析】本小題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關系的判定．
（Ⅰ）∵ E,F 分別是AB,BD 的中點，
∴EF 是△ABD 的中位線，∴EF∥AD，
∵EF面ACD ，AD 面ACD ，∴直線EF∥面ACD ．
（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD.
∵CB=CD, F 是BD的中點，∴CF⊥BD.
又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．
（2005湖北）如圖在四棱錐中，底面為矩形，側棱，為的中點，在側面內，找一點使。
分析1：把四棱錐補成長方體
設是它的一個中截面，不難看到當
延長交于則為所求。
解法1：如圖設分別是棱的
中點，連結，是
棱的中點，是矩形，，，，而，，四邊形是矩形，
平面，在面內作延長交于，，在矩形中，，在中，，所以當點在的中位線上，且時，。
分析2：以點為坐標原點，分別以直線為軸，y軸,z軸;正方向建立空間直角坐標系，設，其中，由，轉化為，且，再求出的值，從而確定平面內點de 位置。解法2：如圖在四棱錐中底面為矩形，，以為坐標原點分別以直線為軸，y軸,z軸;正方向建立空間直角坐標系，設，其中
則，，
,
要使，只需
，所以在側面內，當點時，。
總結：用向量方法探討線面垂直，就是利用這條直線與平面內的兩條相交直線垂直，即然后求出點的坐標。
專題 (二) 空間距離
主干知識整合：
這塊內容歷來是高考考查的重點。同時貫穿著位置關系的判斷。
兩點的距離。異面直線間的距離。
線面間的距離。面面間的距離
經典真題感悟：
1.（湖南卷9）長方體ABCD－A1B1C1D1的8個頂點在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,則頂點A、B間的球面距離是( C )
A.2 B. C. D.
（江蘇?理?14題）正三棱錐高為2，側棱與底面所成角為，則點到側面的距離是　　　　．
3．（湖南?理?8題）棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（ D ）
A． B． C． D．
熱點考點探究：
考點一：定義法——直奔問題核心
空間距離的概念：圖形F1內的任一點與圖形F2內的任一點間的距離中的最小值叫做圖形F1與圖形F2 的距離.它可以看成是兩個點集的元素之間距離的最小值.
【題1】 如圖（13），正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直.點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=x ,BN=y,
（1）求MN的長(用x,y表示)；
（2）求MN長的最小值，該最小值是否是異面直線AC，BF之間的距離
【解析】 在面ABCD中作MPAB于P，連PN，則MP面ABEF，所以MPPN，PB=1-AP=在PBN中，由余弦定理得：
PN2=，
在中，MN=
；
（2）MN=，
故當，時，MN有最小值.
且該最小值是異面直線AC，BF之間的距離.

考點二：向量法——化證明為計算
空間向量要把平面向量的知識遷移過來，加以類比，實際上它們本質上是一樣的，只是位置范圍擴大了.用向量法解立體幾何問題，關鍵是建立空間直角坐標系，坐標原點O的任意性，要便于解決問題，既有利于作圖的直觀性，又要盡可能使點的坐標為正值，三坐標軸一定是相互垂直.
夾角公式：設a=(a1，a2，a3)，b=（b1，b2，b3），則
cos〈a·b〉
距離公式：在空間直角坐標系中，已知A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）,則
例2. 在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD
為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，
PA=2，E為PD的中點.
（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在側面PAB內找一點N，使NE⊥面PAC，
并求出N點到AB和AP的距離.
【解析】解法1：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系， 圖（14）
則A、B、C、D、P、E的坐標為A（0，0，0）、
B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、
P（0，0，2）、E（0，，1），
從而
設的夾角為θ，則
∴AC與PB所成角的余弦值為.
（Ⅱ）由于N點在側面PAB內，故可設N點坐標為（x，O，z），則
，由NE⊥面PAC可得，
∴
即N點的坐標為，從而N點到AB、AP的距離分別為1，.
考點三：平移法——集中條件構造圖形
平移法是將空間問題轉化為熟知的平面問題的重要手段之一.
立體幾何中的三種角（線線角、線面角、二面角）和四種距離（線線距、點面距、線面距、面面距）從定義到具體的計算以及三垂線定理都體現了空間到平面的轉化.
例3已知四棱錐 P—ABCD，PB⊥AD
側面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD
為菱形，側面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.
（I）求點P到平面ABCD的距離，
（II）求面APB與面CPB所成二面角的大小.
【解析】（I）解：如圖（17），作PO⊥平面ABCD，
垂足為點O.連結OB、OA、OD、OB與AD交 圖（16）
于點E，連結PE.
∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，
∵PA=PD，∴OA=OD，
于是OB平分AD，點E為AD的中點，所以PE⊥AD.
由此知∠PEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角，
∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
由已知可求得PE=
∴PO=PE·sin60°=， 圖（17）
即點P到平面ABCD的距離為.
（II）如圖（18），取PB的中點G，PC的中點F，連結EG、AG、GF，則AG⊥PB，FG//BC，FG=BC.
∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，
∴∠AGF是所求二面角的平面角.
∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.
又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=.
在Rt△PEG中，EG=AD=1. 圖（18）
于是tan∠GAE==,
又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小為π－arctan.
考點四：等積法——求點面距的特法
等積法包括等面積法和等積法，等面積法可以求出點到直線的距離，等體積法可以用來求點到平面的距離. 等面積法是平面幾何中用到的，而等體積法則是立體幾何用來求點面距的特法.
例4 正三棱柱的所有棱長都為
，為中點．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求點到平面的距離．
【解析】（Ⅰ）取中點，連結． 圖（19）
為正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，
平面．
連結，在正方形中，分別為
的中點，
， 圖（20）
．
在正方形中，，平面．
（Ⅱ）設與交于點，在平面中，作于，連結，由（Ⅰ）得平面．，
為二面角的平面角．
在中，由等面積法可求得，
又，．
所以二面角的大小為．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距離為．
設點到平面的距離為．
由得，
．
點到平面的距離為．
【點評】 本題中兩次用到等積法，第（Ⅱ）用到等面積法，第（Ⅲ）問用到等體積法.
規律總結：
求角與距離的關鍵是化歸：空間角化為平面角，空間距離化為兩點間距離，最終化為求三角形中邊角；
向量法在題目中的應用
等體積法在題目中的應用
專題能力訓練：
選擇題：
1．平面α與正四棱柱的四條側棱AA1、BB1、CC1、DD1分別交于E、F、G、H.若AE=3，BF=4，CG=5，則DH等于 C 。
A．6 B．5 C．4 D．3
2．有一山坡，它的傾斜角為30°，山坡上有一條小路與斜坡底成45°角，某人沿這條小路向上走了200米，則他升高了（B）
A．100米 B．50米 C．25米 D．50米
3．四面體的棱長中，有兩條為，其余全為1時，它的體積 （ A ）
A． B． C． D．以上全不正確
填空題：
設地球的半徑為R，在北緯30°圈上有A、B兩地，它們的經度差為120°，那么這兩地間的緯度線的長為_________。
已知AB是異面直線a、b的公垂線段，AB=2，且a與b成30°角，在直線a上取AP=4，則點P到直線b的距離為 。
一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側棱上。已知正三棱柱的底面邊長為2，則該三角形的斜邊長為 。
解答題：
7.正四面體ABCD的棱長為1，求：
A到平面BCD的距離；
【解析】 （1）過A作AO⊥平面BCD于O，
連BO并延長與CD相交于E，連AE.
∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.
∴O是△BCD的外心.
又BD＝BC＝CD，
∴O是△BCD的中心，
∴BO=BE=.
又AB＝1，且∠AOB=90°,
∴AO=.
∴A到平面BCD的距離是.
8．（07福建?理?18題）如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點。
（Ⅰ）求證：AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；
（Ⅲ）求點C到平面A1BD的距離；
專題 (三) 空間角
主干知識整合：
立體幾何的空間角度中，對三種角度的求解與性質的探究，屬于高考永恒的話題
經典真題感悟：
1．（07全國Ⅱ?理?7題）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側棱長與底面邊長相等，則AB1與側面ACC1A1所成角的正弦等于（ A ）
A． B． C． D．
2．（07浙江?理?16題）已知點O在二面角的棱上，點P在內，且。若對于內異于O的任意一點Q，都有，則二面角的大小是________。
3．（07廣東?理?19題）如圖6所示，等腰△ABC的底邊AB=6，高CD=3，點B是線段BD上異于點B、D的動點.點F在BC邊上，且EF⊥AB.現沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE。記BE＝x，V(x)表示四棱錐P－ACFE的體積。
（Ⅰ）求V(x)的表達式；
（Ⅱ）當x為何值時，V(x)取得最大值？
（Ⅲ）當V(x)取得最大值時，求異面直線AC與PF所成角的余弦值；
解：1）由折起的過程可知，PE⊥平面ABC，，
V(x)=（）
（2），所以時， ，V(x)單調遞增；時 ，V(x)單調遞減；因此x=6時，V(x)取得最大值；
（3）過F作MF//AC交AD與M,則，PM=，
，
在△PFM中， ，∴異面直線AC與PF所成角的余弦值為；
熱點考點探究：
考點一：異面直線所成的角——空間角的最小元素
直線與直線所成角是立體幾何的所成角（線線角、線面角、面面角）中最簡單的一種，只需要把兩條直線（或其中一條直線）平移，使它們相交于一點，就可以把兩條異面直線所成角的問題轉變為平面中兩條相交直線所夾角的問題了.要注意的是角的取值范圍，分清那個角是這兩條直線的所成角（或者它的補角）.其范圍是.
【例1】 如圖（1）所示，在空間四邊形ABCD中，
已知AD=1，BC=，且AD⊥BC，對角線
BD=，求AC和BD所成的角.
【解析1】 如圖（2）所示，分別取AD、CD、AB、BD的中點E、F、G、H，連結EF、FH、HG、GE、GF.由三角形中位線定理知，EF∥AC，且EF=，GE∥BD，且GE=.
GE和EF所成的銳角（或直角）就是AC和BD所成的角.
同理，GH=，GH∥AD，HF∥BC.
又AD⊥BC，∴.
∴
在△EFG中， 圖（2）
∴，即AC和BD所成的角為.
【解析2】 如圖（3），在平面BCD內，過C作
CE∥BD，且CE=BD，連DE，則DE∥BC且DE=BC.
∴∠ACE就是AC和BD所成的角（若∠ACE為鈍角，
則∠ACE的補角就是AC和BD所成的角）.
又AD⊥BC,∴AD⊥DE.
∴ 圖（3）
在△ACE中，
∴∠ACE=90°，即AC和BD所成的角為90°.

【點評】 求異面直線所成的角常采用“平移線段法”.平移的方法一般有下面三種類型：利用圖有已有的平行線平移；利用特殊點（線段的端點或中點）作平行線平移；補形平移，計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行.
考點二：線面角——直線與射影的夾角為主體
直線與平面所成的角分兩種，一是平面的斜線與平面所成的銳角，即斜線與平面內的射影所夾的角；二是平面的垂線與平面所成的直角.直線與平面所成角不存在補角的問題. 直線與平面成角的范圍是.
【例2】 如圖（4），在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，
AB＝BC＝kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，
OP⊥底面ABC．
(Ⅰ)求證：OD∥平面PAB；
(Ⅱ)當k＝時，求直線PA與平面PBC所成角的大小.
【解析】(Ⅰ)∵O、D分別為AC、PC的中點：
∴OD∥PA,又AC平面PAB, 圖（4）
∴OD∥平面PAB.
(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,
∴OA=OC=OB,
又∵OP⊥平面ABC,
∴PA=PB=PC.
取BC中點E,連結PE,
則BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,連結DF,
則OF⊥平面PBC
∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角.
又OD∥PA,∴PA與平面PBC所成角的大小等于∠ODF. 圖（5）
在Rt△ODF中,sin∠ODF=,
∴PA與平面PBC所成角為arcsin
【點評】 求直線與平面所成的角常利用射影轉化為相交直線所成的角.
考點三：二面角——用平面角來量度
面面成角是立體幾何中的所成角問題的重點，二面角的兩個面是兩個半平面，因此二面角中有鈍角存在，二面角的取值范圍與線線角、線面角不同，它的取值范圍是【0,】.
二面角的大小往往轉化為其平面角的大小，從而又化歸為三角形的內角大小求解，以利用平面幾何、三角函數等重要知識.
【例3】在棱長為a的正方體ABCD—A′B′C′D′中，E、F分別是BC、A′D′的中點.

圖（6）
(1)求證：四邊形B′EDF是菱形；
(2)求直線A′C與DE所成的角；
(3)求直線AD與平面B′EDF所成的角；
(4)求面B′EDF與面ABCD所成的角.
【解析】 (1)證明：如上圖所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,
下證B′、E、D、F四點共面，取AD中點G，連結A′G、EG，
由EGABA′B′知，B′EGA′是平行四邊形.
∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF為平行四邊形.
∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四點共面
故四邊形B′EDF是菱形.
(2)解：如圖（7）所示，在平面ABCD內，過C作CP∥DE，交直線AD于P，
圖（7）
則∠A′CP(或補角)為異面直線A′C與DE所成的角.
在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a
由余弦定理得cosA′CP=
故A′C與DE所成角為arccos.
(3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF內的射影在∠EDF的平分線上.如下圖所示.
圖（8）
又∵B′EDF為菱形，∴DB′為∠EDF的平分線，
故直線AD與平面B′EDF所成的角為∠ADB′
在Rt△B′AD中，AD=a，AB′=a,B′D=a
則cosADB′=
故AD與平面B′EDF所成的角是arccos.
(4)解：如圖，連結EF、B′D，交于O點，顯然O為B′D的中點，從而O為正方形ABCD—A′B′C′D的中心.
圖（9）
作OH⊥平面ABCD，則H為正方形ABCD的中心，
再作HM⊥DE，垂足為M，連結OM，則OM⊥DE，
故∠OMH為二面角B′—DE′—A的平面角.
在Rt△DOE中，OE=a,OD=a,斜邊DE=a,
則由面積關系得OM=a
在Rt△OHM中，sinOMH=
故面B′EDF與面ABCD所成的角為arcsin.
【點評】對于第(1)問，若僅由B′E=ED=DF=FB′就斷定B′EDF是菱形是錯誤的，因為存在著四邊相等的空間四邊形，必須證明B′、E、D、F四點共面.
求線面角關鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法.求二面角的大小也可應用面積射影法.
考點四：探索性問題
例4.如圖，在三棱錐中，側面是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且另一個側面是正三角形，在線段上是否存在一點，使成角，若存在，確定的位置，若不存在，請說明理由。
分析：如圖5把在三棱錐補成以為棱的
正方體HCDB---AMNG,使我們對題意及圖形有透徹理解
找到與面所成的角。在上任取一點
使，利用所成的角為來構建方程，再求
的值，若就確定了點的位置，若則說明滿足條件的點不存在。
解法1：如圖6，在三棱錐中，側面
是全等的直角三角形，是公共的斜邊，
是正三角形，
則
取的中點連結則，，，，作交的延長線于，則平面平面則，在Rt中，，
在中，，在中，
，
，在中，設，作，平面平面，就是所成的角。由(※)，在中，，要使成角，只需使，當時成角
解法2在解法1中接（※）以為坐標原點，以直線分別為軸，軸的正方向，以過
與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示
則，
又平面的一個法向量為，要使成角，
只需使成，只需使，即，
當時成角
規律總結：
1、求線面角關鍵是找、作線與面垂直，通常是先尋找面面垂直，得到線面垂直；
2、二面角的平面角的基本作法有：定義法，三垂線定理法，垂面法。點到面的距離通常在面面垂直背景下向線作垂線得到線面垂直得射影。另空間距離和角的求解應遵循：一作二證三計算。
3、向量法在題目中的應用
專題能力訓練：
一．選擇題：
1．已知三棱錐D－ABC的三個側面與底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的大小為 （ C ）
A．arccos B．arccos C． D．
2．正四面體A—BCD中E、F分別是棱BC和AD之中點，則EF和AB所成的角 （ A ）
A．45( B．60( C．90( D．30(
3.已知正四面體ABCD中,AE=AB,CF=CD,則直線DE和BF所成角的余弦為 ( A )
A. B. C. － D. －
4．等邊三角形和等邊三角形在兩個相互垂直的平面內，則 （ B ）
A． B． C． D．
5.已知單位正方體ABCD－A1B1C1D1對棱BB1,DD1上有兩個動點E,F,BE=D1F=,設EF與AB所成的角為,與BC所成的角為,則的最小值 ( B )
A.等于60o B. 等于90o C. 等于120o D. 等于135o
填空題：
6.棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中,若點P為三角形BCD的重心,則D1F與平面ADD1A1所成的角的大小為_________
7．若正三棱錐的側面均為直角三角形，則它的側面與底面所成二面角的為大小為
三．解答題：
8、如圖，在四面體P-ABC中， PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，，F是線段PB上一點，，點E在線段AB上，且EF⊥PB.
（1）求證：PB⊥平面CEF；
（2）求二面角B—CE—F的大小。
解（I）證明：∵
∴△PAC是以∠PAC為直角的直角三角形，同理可證
△PAB是以∠PAB為直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB為直角的直角三角形。
故PA⊥平面ABC
又∵
而
故CF⊥PB,又已知EF⊥PB
∴PB⊥平面CEF
（II）由（I）知PB⊥CE, PA⊥平面ABC
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE
在平面PAB內，過F作FF1垂直AB交AB于F1，則FF1⊥平面ABC，
EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC
故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。
二面角B—CE—F的大小為
10．如圖，點為斜三棱柱的側棱上一點，交于點， 交于點．
(1) 求證：； (2) 在任意中有余弦定理：．拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式，并予以證明．
解(1) 證：；
(2) 解：在斜三棱柱中，有，
其中為 平面與平面所組成的二面角．
上述的二面角為,在中，
，
由于，
有．

專題六：角與距離
命題人：李小寶 葉丹 審題人：程強 劉永紅
一．知識網絡圖解
二．考情分析及命題趨勢
立體幾何是培養學生的空間想象能力和邏輯推理能力的一門學科，同時也培養學生的類思想，辨證思想和轉換化歸思想。2004年，2005年，2006年高考中立體幾何部分基本保持在3道試題，中等難度的綜合題1道，2—3道基礎題（選擇，填空）這種命題趨勢將繼續。
立體幾何的綜合型問題，一般是考查點，線，面的位置關系，求角和距離，求體積，面積和求有關量的取值。分布設問，難度逐步加大，同時小問之間存在一定聯系。試題設計一題兩法，既可用傳統立體幾何知識求解，又可用空間向量的知識求解，須恰當選用。
三．精典例題
例（一）
正三棱錐P--ABC，PA=4,AB=2,AE=3EP,D是BC中點，則 AD與BE成的角為
是直二面角，且AB與成角，AB與成角，則異面直線AB與l的夾角為
三棱錐D—ABC中，平面ABD，平面ABC均為等腰直角三角形，其腰，且二面角
求異面直線DA與BC所成的角：
求異面直線BD與AC所成的角.
例（二）．
在三棱錐中，三條棱OA, OB, OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，M是邊AB的中點，則OM與平面ABC所成角的大小是
在一個的二面角的一個平面內有一條直線與二面角的棱成角，則此直線與二面角的另一個面所成的角為
如圖，在三棱錐，,,D、E、F分別是棱AB、BC、CP的中點，AB=AC=1,PA=2,求直線PA與平面DEF所成的角的大小。
如圖，是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段，點A .B在上，C在上，AM=MB=MN.
證明：
若，求NB與平面ABC所成角的余弦值。
例（三）．
1．二面角的平面角記為，P為空間的任意一點，P到平面、的距離分別為和，點P到的距離為2，則為
2．如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，,,PA=AB,E是PD的中點，求二面角的大小。
已知平行四邊形ABCD中，AB=,AD=2,BD=,沿BD將其折成一個二面角，使得，求二面角的大小。
例（四）：
在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E為邊DC的中點，沿AE將折起，使二面角為，則D到面ABCE的距離為
如圖，平面平行于三棱錐的底面ABC，所在的平面與底面ABC垂直，且，求證：是異面直線與的公垂線。
三棱柱的底面邊長為2的正三角形，與AB,AC均成角，且于E，于F，
證明：
多長時，到面ABC與到面的距離相等.
四．規律技巧提煉
1．平行問題的轉化
面面平行 線面平行 線線平行

2．垂直問題的轉化
面面垂直 線面垂直 線線垂直
3．異面直線所成角方法
平移轉化法
最小角定理法，
向量法
投影法（其中是與的夾角）
4．線面角的方法
①．定義法：求斜線與其射影的夾角
②．轉化法：即先求垂線的長度，再求斜線與垂線的夾角
③．向量法：（其中是法向量）
5．二面角的方法
①．定義法：過棱上一點，在兩個平面內分別作棱的垂線（適用于對稱二面角）
②．三垂線法：過一半平面上一點向另一面作垂線，再用三垂線逆定理作出二面角
③．垂面法：找棱的垂面
④．面積射影法：（是原圖形面積，是射影圖形面積）
向量法：（即兩個面法向量的夾角或其補角，注意先判斷二面角）
點面距離方法：
定義法
等體積法
向量法
（空間距離其核心問題是點到平面的距離。異面直線的距離，只要求給出b公垂線求長度。線面距離，面面距離都可以轉化為點面距離）
五．綜合創新應用
1．下列命題是真命題的是
①經過直線外一點有且只有一個平面和已知直線平行
②設是兩條異面直線，過直線有且僅有一個平面與平行
③若，
④已知是異面直線，若，則
⑤底面是正方形，有兩個側面是矩形的棱柱為正四棱柱
⑥各側面都是全等三角形的棱錐是正棱錐
⑦若與異面，則至多有一條直線與都垂直
⑧平面內存在不共線的三點到平面的距離都相等，則
2.三棱錐中，底面ABC是正三角形，三條側棱，,過A作截面AEF，則截面AEF的周長最小為（）
A.4 B. C.6 D.10
3．等腰中，斜邊，的中點，沿DE將折起，使A到位置，若二面角的大小為，則BC到面的距離是()
A.2 B. C. D.
4.已知正方形，沿對角線AC將三角形ADC折起，設AD與平面ABC所成的角為，當取最大值時，二面角等于()
A. B. C. D.
5.正方體中，分別是正方形和正方形的中心，G是棱的中點，設GF與AB所成的角為，與AB所成的角為，則
6．在直三棱柱中，,E,F分別是的中點，點G在AC上，且，則點到平面EFG的距離為
7.在的二面角內，且，，垂足分別為，已知，則線段的長為
8．三棱錐中，，以PA為直徑的球和PB,PC分別交于兩點，則兩點的球面距離為
9.如圖所示，四面體ABCD中，O,E分別是BD,BC的中點.CA=CB=CD=BD=2,
（1）求證：；
（2）求異面直線與所成角的大小；
（3）求點到平面的距離。
10.如圖，直四棱柱的底面是梯形，，，分別是的中點，點到直線的距離為
（1）求證：；
（2）求二面角的大小；
（3）求三棱錐的體積。
11．如圖，矩形中，
（1）邊上是否存在點，使得，并說明理由；
（2）若邊上存在唯一的點使得，指出點的位置，并求出此時與平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的條件下，求二面角的正弦值。

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