資源簡介

專題六---- 應用問題
復習目標： 一．學會審題：題意較難理解是應用題的特點，所以對應用題必須認真仔細反復閱讀， 　　　　　　　　弄清題目所反映的實際背景，弄清每一個名詞、概念的含義，分析已知條件，明確所求結論，把實際問題轉化為數學問題。
二．正確建模與解模：在審題的基礎上，聯想數學知識和方法恰當地引入參數或適當坐標系， 列出滿足題意的數學關系式或作出滿足題意的幾何圖形。解模時要特別注意：
（1）所建模型中函數自變量的實際意義。 （2）解模涉及的近似計算要保持一定的精確度。 三．.應用題的常見類型及對策： 1．解應用題的一般程序
（1）讀：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，理順數量關系，這一關是基礎.
（2）建：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型.熟悉基本數學模型，正確進行建“模”是關鍵的一關.
（3）解：求解數學模型，得到數學結論.一要充分注意數學模型中元素的實際意義，更要注意巧思妙作，優化過程.
（4）答：將數學結論還原給實際問題的結果.
2．中學數學中常見應用問題與數學模型
（1）優化問題.實際問題中的“優選”“控制”等問題，常需建立“不等式模型”和“線性規劃”問題解決.
（2）預測問題：經濟計劃、市場預測這類問題通常設計成“數列模型”來解決.
（3）最（極）值問題：工農業生產、建設及實際生活中的極限問題常設計成“函數模型”，轉化為求函數的最值.
（4）等量關系問題：建立“方程模型”解決?
（5）測量問題：可設計成“圖形模型”利用幾何知識、三角知識解決.
（6）統計問題：解決概率、統計中的有關問題。
經典真題感悟
．兩位同學去某大學參加自主招生考試，根據右圖學校負責人與他們兩人的對話，可推斷出參加考試的人數為 ( B )
A. 19 B. 20
C. 21 D.22
．福州某中學的研究性學習小組為考察閩江口的一個小島的濕地開發情況，從某碼頭乘汽艇出發，沿直線方向勻速開往該島，靠近島時，繞小島環行兩周后，把汽艇停靠岸邊上岸考察，然后又乘汽艇沿原航線提速返回。設t為出發后的某一時刻，S為汽艇與碼頭在時刻t的距離，下列圖象中能大致表示S＝f(x)的函數關系的為 ( C )
．某新區新建有5個住宅小區（A、B、C、D、E），現要鋪設連通各小區的自來水管道，如果它們兩兩之間的線路長如下表：
A
B
C
D
E
A
5
7
8
5
B
3
5
2
C
5
4
D
4
E
請問：最短的管線長為 （ B ）
A．13 B．14 C．15 D．17
4．世界杯是球賽的記分規則是：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，某足球隊在比賽中，賽12場，得19分，其中取勝的場數是___4,5,6____。 5．如圖所示，輪船在海上以40公里/小時的速度沿著方位角（從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角）為140°的方向航行，為了確定船位在B點觀測燈塔A的方位角為110°，航行半小時后到達C點，觀測燈塔A的方位角是65°，則輪船到達C點與燈塔A的距離是___________公里（可以保留根號）。

6．購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費元，若投保人在購買保險的一年度內出險，則可以獲得10 000元的賠償金．假定在一年度內有10 000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．已知保險公司在一年度內至少支付賠償金10 000元的概率為．
（Ⅰ）求一投保人在一年度內出險的概率；
（Ⅱ）設保險公司開辦該項險種業務除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應交納的最低保費（單位：元）．
解：各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是，記投保的10 000人中出險的人數為，則．
（Ⅰ）記表示事件：保險公司為該險種至少支付10 000元賠償金，則發生當且僅當，　　　　　　，
又，　故．
（Ⅱ）該險種總收入為元，支出是賠償金總額與成本的和．
支出 ，
盈利 ，
盈利的期望為 ，
由知，，
．
（元）．
故每位投保人應交納的最低保費為15元．
考點熱點探究
例1: 某汽車銷售公司為促銷采取了較為靈活的付款方式，對購買10萬元一輛的轎車在一年內將款全部付清的前提下，可以選擇以下二種分期付款的方案購車： 　　方案（一）分三次付清，購買后4個月第一次付款，再過4個月第二次付款，再過4個月第三次付款。 　　方案（二）分12次付清，購買后1個月第1次付款，再過1個月第二次付款……購買后12個月第12次付款。 　　規定分期付款中每期付款額相同；月利息0.8%，每月利息按復利計算，即上月的利息要記入下月本金。 　　（1）試比較以上兩種方案的哪一種方案付款總額較少？ 　　（2）若汽車銷售公司將收回的售車款進行再投資。可獲月增長2%的收益，為此決定對一次性付款給予降價P%的優惠，為保證一次性付款經過一年后的本金低于方案（一）（二）中較少一種的付款總額，且售車款再投資一年后的本金要高于車價款一年后的本金，試確定P的取值范圍。 　　（注：計算結果保留三位有效數據，參考數據：1.0083≈1.024； 1.0084≈1.033； 1.00811≈1.092； 1.00812≈1.1； 1.0211≈1.243；　 1.0212≈1.268） 略解：（1）方案（一）設每次付款額為x1萬元，則有x1·=10·1.00812. 　　得x1=3.63(萬元)，總額為3x1=10.89(萬元)。 　　方案（二），設每次付款額為x2萬元，則有 　　x2·=10·1.00812. 　　得x2=0.88(萬元)，總額為12x2=10.56(萬元) 　　（2） 　　解得：4變式:
用分期付款的方式購買價格為1150元的冰箱，如果購買時先付150元，以后每月付50元，再加上欠款的利息（月利息為1%）若一個月后付第一個月的分期付款，那么第10個月該付多少錢？購冰箱錢全部付清后，實際共付多少元？ 　　分析：付款情況分述如下： 　　先付款 150（元） 　　第一次分期付款：a1=50+(1150-150)×1%=60(元) 　　第二次分期付款：a2=50+(1150-150-50)×1%=59.5(元) 　　第三次分期付款：a3=50+(1150-150-50×2)×1%=59(元) 　　…… 第n次分期付款：an=50+[1150-150-(n-1)50]×1%=60-(n-1)。(n∈[1,20]，n∈N). 　　解：（1）第十次交分期付款全額為 　　a10=60-=55.5(元) 　　（2）實際付款金額為 　　S=150+(a1+a2+……+a20) 　　=150+20×60+×20(20-1)×(-) 　=1255元。 例2: 一根水平放置的長方體形枕木的安全負荷與它的寬度a成正比，與它的厚度
d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比.
（1）將此枕木翻轉90°（即寬度變為了厚度），枕木的安全負荷變大嗎？為什么？
（2）現有一根橫斷面為半圓（半圓的半徑為R）的木材，用它來截取成長方形的枕木，其長度即為枕木規定的長度，問如何截取，可使安全負荷最大？
解:（1）安全負荷為正常數） 翻轉
，安全負荷變大.…4分當 ，安全負荷變小.
（2）如圖，設截取的寬為a，高為d，則.
∵枕木長度不變，∴u=ad2最大時，安全負荷最大.

，當且僅當，即取，
取時，u最大， 即安全負荷最大.
點評：三次函數最值問題一般可用三元均值不等式求解, 如果學過導數知識, 其解法就更為方便, 省去了應用均值不等式時配湊“定和”或“定積”的技巧性.
變式:
某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點A,B 及CD的中點P 處，已知AB=20km,CB =10km ，為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD 的區域上（含邊界），且A,B 與等距離的一點O 處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO,BO,OP ，設排污管道的總長為km．
（Ⅰ）按下列要求寫出函數關系式：
①設∠BAO=(rad)，將表示成的函數關系式；
②設OP(km) ，將表示成x的函數關系式．
（Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中的一個函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短．
【解析】本小題主要考查函數最值的應用．
（Ⅰ）①由條件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，則, 故
，又OP＝10－10ta，
所以，
所求函數關系式為
②若OP=(km) ，則OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函數關系式為
（Ⅱ）選擇函數模型①，
令0 得sin ，因為，所以=，
當時， ，是的減函數；當時， ，是的增函數，所以當=時，。這時點P 位于線段AB 的中垂線上，且距離AB 邊
km處。
例３:：某工廠生產甲、乙兩種產品，每種產品都是經過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結果相互獨立，每道工序的加工結果均有A、B兩個等級.對每種產品，兩道工序的加工結果都為A級時，產品為一等品，其余均為二等品.
（Ⅰ）已知甲、乙兩種產品每一道工序的加工結
果為A級的概率如表一所示，分別求生產出的甲、
乙產品為一等品的概率P甲、P乙；
（Ⅱ）已知一件產品的利潤如表二所示，用ξ、
η分別表示一件甲、乙產品的利潤，在I）的條件
下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生產一件產品需用的工人數和資金額
如表三所示.該工廠有工人40名，可用資金60萬元.
設x、y分別表示生產甲、乙產品的數量，在（II）的
條件下，x、y為何值時，最大？最大
值是多少？ （解答時須給出圖示）
解（Ⅰ）
（Ⅱ）隨機變量、的分別列是
5
2.5
P
0.68
0.32
2.5
1.5
P
0.6
0.4

（Ⅲ）由題設知目標函數為
作出可行域（如圖）：作直線
將l向右上方平移至l1位置時，直線經過可行域上
的點M點與原點距離最大，
此時
取最大值. 解方程組
得即時，z取最大值，z的最大值為25.2 .
點評：本小題主要考查相互獨立事件的概率、隨機變量的分布列及期望、線性規劃模型的建立與求解等基礎知識，考查通過建立簡單的數學模型以解決實際問題的能力，對數字運算的要求較高。
變式:
某人上午7時，乘摩托艇以勻速v海里/時(4≤v≤20)從A港出發到距50海里的B港去，然后乘汽車以w千米/時(30≤w≤100)自B港向距300千米的C市駛去，應該在同一天下午4至9點到達C市.設汽車、摩托艇所需的時間分別是x、y小時.
(1)作圖表示滿足上述條件x、y的范圍；
(2)如果已知所需的經費p=100+3(5－x)+2(8－y)(元)，那么v、w分別是多少時走得最經濟？此時需花費多少元？
解：(1) 由題意得：v=,w=,4≤v≤20,30≤w≤100,
∴3≤x≤10,≤y≤.①
由于汽車、摩托艇所要的時間和x+y應在9至14小時之間，即9≤x+y≤14,②
因此滿足①②的點(x,y)的存在范圍是圖中陰影部分(包括邊界).
(2) 因為p=100+3(5－x)+2(8－y),所以3x+2y=131－p,設131－p=k,那么當k最大時，p最小，在圖中通過陰影部分區域且斜率為－的直線3x+2y=k中，使k值最大的直線必通過點(10,4)，即當y=4時，p最小，此時x=10,v=12.5,w=30,p的最小值為93元.
專題能力訓練1．某校數學課外小組在坐標紙上，為學校的一塊空地設計植樹方案如下：第棵樹種植在點處，其中，，當時，
表示非負實數的整數部分，例如，．按此方案，第6棵樹種植點的坐標應為 ；第2008棵樹種植點的坐標應為 ．
２.某單位在抗雪救災中，需要在A、B兩地之間架設高壓電線，測量人員在相距6000m的
C、D兩地（A、B、C、D在同一平面上），測得∠ACD=45°，∠ADC=75°，∠BCD=30°，∠BDC=15°（如圖），假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等原因，實際所須電線長度大約應該是
A、B距離的1.2倍，問施工單位至少應該準備多長的電線？（參考數據：）
解：在△ACD中，∠CAD=180°－∠ACD－∠ADC=60°
CD=6000，∠ACD=45°
根據正弦定理AD=
在△BCD中，∠CBD=180°－∠BCD－∠BDC=135°
CD=6000，∠BCD=30°
根據正弦定理BD=
又在△ABD中，∠ADB=∠ADC＋∠BDC=90°
根據勾股定理有
=1000
實際所需電線長度約為1.2AB≈7425.6（m）
３．某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數多少之間的關系，他們分別到氣象局與某醫院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數，得到如下資料：
日 期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
晝夜溫差x(°C)
10
11
13
12
8
6
就診人數y(個)
22
25
29
26
16
12
該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數據中選取2組，用剩下的4組數據求線性回歸方程，再用被選取的2組數據進行檢驗．
(Ⅰ)求選取的2組數據恰好是相鄰兩個月的概率；
(Ⅱ)若選取的是1月與6月的兩組數據，請根據2至5月份的數據，求出y關于x的線性回歸方程；
(Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2人，則認為得到的線性回歸方程是理想的，試問該小組所得線性回歸方程是否理想? (參考公式：
解：(Ⅰ)設抽到相鄰兩個月的數據為事件A.因為從6組數據中選取2組數據共有15種情況,每種情況都是等可能出現的
其中,抽到相鄰兩個月的數據的情況有5種
所以
(Ⅱ)由數據求得 由公式求得
再由 所以關于的線性回歸方程為 (Ⅲ)當時,, ； 同樣, 當時,,
所以,該小組所得線性回歸方程是理想的
４．設船速為v，顯然時人是不可能追上小船，當km/h時，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點直接下水就可以追上小船，因此只要考慮的情況，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕，當人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個封閉的三角形時，人才能追上小船。設船速為v，人追上船所用
時間為t，人在岸上跑的時間為，則人在水中游的時間
為，人要追上小船，則人船運動的路線滿足如圖所示的三角形.
由余弦是理得
即
整理得.
要使上式在（0，1）范圍內有實數解，則有且
解得.
故當船速在內時，人船運動路線可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度為，由此可見當船速為2.5km/h時, 人可以追上小船.
涉及解答三角形的實際應用題是近年高考命題的一個冷點, 復課時值得關注.
５．某企業2003年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業的生產能力將逐年下降.若不能進行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500(1+)萬元（n為正整數）.
（Ⅰ）設從今年起的前n年，若該企業不進行技術改造的累計純利潤為An萬元，進行技術改造后的累計純利潤為Bn萬元（須扣除技術改造資金），求An、Bn的表達式；
（Ⅱ）依上述預測，從今年起該企業至少經過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？
５. 解：（Ⅰ）依題設，An=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2；
Bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.
（Ⅱ）Bn－An=(500n－－100) －(490n－10n2)
=10n2+10n－－100=10[n(n+1) － －10].
因為函數y=x(x+1) － －10在（0，+∞）上為增函數，
當1≤n≤3時，n(n+1) － －10≤12－－10<0；
當n≥4時，n(n+1) － －10≥20－－10>0.
∴僅當n≥4時，Bn>An.
答：至少經過4年，該企業進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤.
選做題:有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現假設下雨和蒸發正好平衡，且污染物質與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質的克數，我們稱為在時刻t時的湖水污染質量分數，已知目前污染源以每天p克的污染物質污染湖水，湖水污染質量分數滿足關系式g(t)= +［g(0)- ］·e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始質量分數.
（1）當湖水污染質量分數為常數時，求湖水污染的初始質量分數；
（2）求證：當g(0)< 時，湖泊的污染程度將越來越嚴重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%？
講解（1）∵g(t)為常數, 有g(0)-=0, ∴g(0)= .
(2) 我們易證得0g(t1)-g(t2)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,
∵g(0)·<0,t1e,
∴g(t1)故湖水污染質量分數隨時間變化而增加，污染越來越嚴重.
(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)·e,設經過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?
∴=e，∴t= ln20，
故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%.
高考應用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優化型, 另外,估測計算型和信息遷移型也時有出現.當然,數學高考應用性問題關注當前國內外的政治,經濟,文化, 緊扣時代的主旋律,凸顯了學科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風景線.
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數 形 結 合 思 想
■董方博 陳火焱
一、專題概述
1．數形結合思想是中學數學中四種重要的數學思想方法之一，所謂數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數含義，又揭示其幾何意義，使數量關系和幾何形式巧妙、和諧的結合起來，并充分利用這種“結合”，尋求解題思路，使問題得以解決。
2．數形結合是根據數量與圖形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法。數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它從形的直觀和數的嚴謹兩方面思考問題，拓寬了解題思路，是數學的規律性和靈活性的有機結合。
數形結合的思想方法所涉及的主要內容有：
集合及其運算問題中，圖形與符號、圖形與文字的轉譯。
函數的表達形式之間的轉譯，充分利用圖象研究函數特性是現行教材的基本指導思想。
向量相關問題的解決與應用。
函數圖象與方程、不等式的解集間的內在聯系構成的推理判斷意識。
圓錐曲線及其相關元素的圖形特征與方程及定義間的內在聯系的應用意識。
三角函數圖象特征及三角函數幾何定義的應用意識。
3． 數形結合思想解決的問題常有以下幾種：
構建函數模型并結合其圖象求參數的取值范圍；
構建函數模型并結合其圖象研究方程根的范圍；
構建函數模型并結合其圖象研究量與量之間的大小關系；
構建函數模型并結合其幾何意義研究函數的最值問題和證明不等式；
構建立體幾何模型研究代數問題；
構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；
構建方程模型求解的個數；
利用圖形的形狀、位置關系、性質等研究問題；
數形結合思想是解答高考數學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題時發揮著奇特功效，這就要求我們在學習中加強這方面的訓練，注意培養這方面的思想意識，要爭取“胸中有圖，見數想圖”，以開拓自己的思維視野，提高解題的能力和速度。但是用數形結合思想處理解答題時,一定要注意說理的嚴密性.
二、應用舉例
1．借助圖象的形象直觀解題
利用圖象的直觀性,通過對問題的定性分析,可以無需進行計算就可以求解,尤其是對不同類型的函數之間的研究根的個數,不等式的求解等有著極大的適用性,
【例1】求方程的解的個數
【解答】如圖 在同一坐標系中
作出與的圖象，可知以上方程有兩解。
【評析】 如果用代數方法幾乎無從下手，利用圖象則迎刃而解。與的圖象是很容易描述的,因而數形結合的方法是判斷方程根的個數和近似解的常用方法.
【例2】對于函數,若有六個不同的單調區間,求的取值范圍.
【解答】為偶函數,題意等價于在內有兩不同的解,而方程轉化為
令,作出函數時的圖象,
而中的一條直線與圖象有兩個交點時,
由圖可知
【評析】數形結合思想是數學中的一個很重要的思想,
它不同于方法,它必需和其它的如函數方程思想、等價轉換思想有機結合起來,才能使解題得心應手.
2．借助長度及距離公式來進行數形結合
【例3】當時，求函數的最小值。
【解答】從代數角度難以找到解題的途徑，若把稍作變形：
。可以觀察到就是
點到點的距離之和。如圖顯然當P點
與坐標原點重合時即。
【評析】象根號下有完全平方的代數式，如果能構造兩點間的距離公式，往往會收奇效。
3．借助直線的斜率、截距等進行數形結合
【例4】已知實系數方程x2+(m+1)x+m+n+1=0的兩個實根分別為x1,x2，且0＜x1＜1，x2＞1，則的取值范圍是
A．（-2，-） B．（-2，-]
C．（-1，-） D．（-2，-1）
【解答】解答此題的關鍵是要由根的分布
將條件轉化為m,n的關系式,令,則的兩根分別滿足0＜x1＜1，x2＞1，即有,即為以上區域的動點(m,n)和原點連線的斜率的范圍,
答案為 A
【評析】通過對的幾何意義的理解,轉化為求可行域內的動點與原點的斜率,較好地利用數形結合的思想解決知識的交匯點的問題.
【例5】已知直線y=kx(k＞0)與函數y=2sin(x-)的圖像（如圖所示）有且僅有兩個公共點，若這兩個公共點的橫坐標分別為α、β，β＜α，
則下列結論中正確的是
A．tan(α-)=β B．tan(β-)=α
C．tan(α-)=α D．tan(β-)=β
【解答】由圖可知直線y=kx(k＞0)在x<0時總與曲線有一個交點,故要求直線在x>0時只能有一個交點,等價于直線與曲線相切,且斜率為函數y=2sin(x-)在切點處的導數,切點的橫坐標為, 答案為 C
【評析】斜率與切線是數形中的典型代表,與導數結合起來就更增加了數學的魅力.
4．借助線性規劃進行數形結合
【例6】給出平面區域G，如圖所示，其中A(5,3)，B(2,1)，C(1,5)，
若使目標函數 取得最小值的最優解有
無窮多個，則的值為
A． B．
C．2 D．4
【解答】考察優函數,將對應的直線沿著x軸正方向平移,P的值增大,當使目標函數 取得最小值的最優解有無窮多個時,則直線與BC重合,所以此時斜率為-4, 答案選D
【評析】線性規劃是高考中的熱點內容,所命題的形式常考常新,靈活性很強,但求解這類問題的最佳方法就是利用數形結合,先理解所研究對象的幾何意義,然后用運動的觀點去分析,就可以以不變應萬變求解這類問題.
【例7】設P:,若非是非的充分非必要條件,那么的 條件,的取值范圍為 .
【解答】理解原命題與逆否命題等價不難知道充分非必要條件,畫出P和的圖形,理解表示的為圓外的部分(不含邊界),因而可知的最大半徑為與直線相切時,故答案為
【評析】解答本題的關鍵是要注意,圖形的邊界是虛線,
數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，形使抽象
問題具體化，同時數賦予了思維的嚴謹兩方面思考問題
保證了解題的嚴密性.
5．借助向量進行數形結合
【例8】在中,若對任意的實數,有,則
A.. 鈍角三角形 B.銳角三角形 C. 直角三角形 D. 以上不確定
【解答】本題較好的考查了向量的幾何意義,當變化時,
為動線段的長度,因而可以確定
為直角三角形. 答案為 C.
【評析】向量是一個很好的數學工具,它有機
的將數形結合起來,尤其是求解有關角度和長度的問題更顯現出它無與倫比的優越性.
【例9】設O點在內部,且有,則的面積與面積之比為
【解答】因為,,
令,
N點在OB上,,故面積之比為3:1
【評析】應用向量來求解要求對有關幾何性質深刻理解,如共線定理,三角形中的垂心、重心、內心等性質,當數用形來直觀反映時,就要求對形的本質深刻理解并熟練應用.
6．借助其他幾何載體進行數形結合
【例10】(2008年湖北省重點中學聯考試題)的內切園與三邊AB、BC、CA的切點分別為D、E、F,已知,內切園圓心,設點A的軌跡為L.
求L的方程;
過點C作直線交曲線L于不同的兩點M,N,問在軸上是否存在異于C點的點Q,使對任意的直線成立,若存在,試求出點Q的坐標;若不存在,說明理由.
【解答】（1）由題知
根據雙曲線定義知，點的軌跡是以、為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支除去點，故的方程為（）
（2）設點、、，由（1）可知

解法一:
由對MN的分析先猜想出結論:存在點Q
即為雙曲線右準線與x軸的交點,下面對結論給
予證明:分別過M,N點作右準線的垂線交于,
由第二定義可知,又,
有,,∽,則有,
故存在點的坐標為時，使成立
解法二:
①當直線軸時，點在軸上任何一點處都能使得成立
②當直線不與軸垂直時，設直線：由
得
要使，只需成立
即 即
即 故
故所求的點的坐標為時，使成立
【評析】圓錐曲線中設計離心率和準線位置關系問題,運用第二定義找它們之間關系比較簡捷明了.在求圓錐曲線方程的題中,盡量運用平面幾何的知識探究，運用數形結合解題,會收到較好的效果.減少許多繁雜的推理和運算,但要注意到范圍的準確。數形結合的作用就在于利用形能簡化數的運算，反過來運用數又能使形更加精細。本題中由內切圓的性質,獲取了一個很好的等量關系使問題得到輕松解決;而在第二問中由大膽猜想出結論,用雙曲線的定義靈活的給予證明,充分體現了數形結合思想在解題中的作用.
三、習題精選
1.設數集，且P、Q都是集合的子集，定義：叫做集合的“長度” ；若集合
P∩Q的長度的最小值為，最大值為，則+= .
2.對,記,函數的最小值是
3.如果點P在平面區域上,點Q在曲線上,那么的最小值為
A. B. C. D.
4.F1 F2分別是雙曲線的左右焦點，過F2作軸的垂線與雙曲線的一個交點
為P，I和G分別是△PF1 F2的內心和重心，若＝0，則此雙曲線的離心率為
A. B.2 C. D.3
5.已知函數在處取得極大值,在處取得極小值,且.
(1)證明;
(2)若,求的取值范圍.
6.如圖所示,F為雙曲線的右焦點,P為雙曲線右支上一點,且位于x軸上方,M為左準線上一點,O為坐標原點.已知四邊形為平行四邊形,.
(1)寫出雙曲線的離心率的關系式;
(2)當時,經過焦點F且平行于OP的直線
交雙曲線于A、B兩點,若,求此時雙曲線的方程.
四、參考答案
1. 2. 數集P、Q的區間長度分別為,而集合的區間長度為2,所以P∩Q的長度的最小值為, P∩Q的長度的最大值為,則+=2
2. .函數的圖象如圖所示,由圖象可得最小值為
3.畫出題中所給的不等式組所表示的平面區域,結合圖形可知的最小值等于圓心(0,-2)到直線x-2y+1=0的距離減去該圓的半徑,即是. 選A
4. 由＝0可知,設內切圓與x軸交于點D,則有,則點I和點G、 D點橫坐標相等設為.由焦半徑公式有,,又由重心性質得, 選D
5.由題意得
(1)由函數在處取得極大值,在處取得極小值,知是的兩個根,所以,當時, 為增函數,,由.
(2)在題設下, 等價于即
此不等式組表示的區域為平面上三條直線所圍成的三角形的內部,其三個頂點為,Z在這三點的值依次為,所以z的取值范圍為
6.解:設為與雙曲線右準線的交點,F(C,0),則,.
,,
當時,由解得,
由此得雙曲線方程為
下面確定a的值.設雙曲線左準線與x軸的交點
為N,點P的坐標為,則, .
由于P在雙曲線的右支上,且位于x軸的上方,因而,
所以直線AB的斜率為
通過焦點F且平行于OP的直線與雙曲線的交點為,則直線AB的斜率為,直線AB的方程為,將其代入雙曲線方程整理得
, .
=
由,于是所求雙曲線的方程為
【作者單位: 董方博, 湖北省黃石二中
陳火焱, 湖北省浠水縣第一中學】
(本文發表于《語數外學習》高考數學第四期上)

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