資源簡介

2009屆新課標數學考點預測--解三角形
一、考點介紹
解三角形是高考必考內容，重點為正余弦定理及三角形面積公式，考題靈活多樣，近幾年經常以解答題的形式來考查，若以解決實際問題為背景的試題，有一定的難度．
1．正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題．
2．正弦定理和余弦定理的應用
　　能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題．
二、高考真題
1（2008年高考山東卷15）．已知為的三個內角的對邊，
向量，．若，且，則角 ．
〖解析〗，
由正弦定理得：，
．
〖答案〗．
2（2007年天津文17）．在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
〖解析〗（Ⅰ）在中，，由正弦定理，
． 所以．
（Ⅱ）解：因為，所以角為鈍角，從而角為銳角，于是
，
，
．
．
3（2008年高考重慶卷17）．設的內角A，B，C的對邊分別為，且， ，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）cotB +cot C的值.
〖解析〗（Ⅰ）由余弦定理得＝
故．
（Ⅱ）解法一：＝
　　　　　?。?br/>由正弦定理和（Ⅰ）的結論得
　，
　故．
解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的結論有
＝
故．
同理可得
　　
　　?。?br/>　　　從而．
4（2008年高考遼寧卷17）．在中，內角對邊的邊長分別是，已知，．
（Ⅰ）若的面積等于，求；
（Ⅱ）若，求的面積．
〖解析〗（Ⅰ）由余弦定理及已知條件得，，
又因為的面積等于，所以，得．
聯立方程組解得，．
（Ⅱ）由題意得，
即，
當時，，，，，
當時，得，由正弦定理得，
聯立方程組解得，．
所以的面積．
5（2008年高考全國一17）．設的內角所對的邊長分別為，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
〖解析〗（Ⅰ）在中，由正弦定理及
可得
即，則；
（Ⅱ）由得
當且僅當時，等號成立，
故當時，的最大值為．
三、名校試題
1（福建2008年高考樣卷·文）.△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若sinA=，b=sinB，則a等于（ ）A. B. C. D.
〖解析〗由得．
〖答案〗D．
2（山東省濟南市2009屆高三?？祭?0）．在△ABC中,A=，b=1，面積為，則=（ ）
A． B． C．2 D．4
〖解析〗在△ABC中，，；又，
．
〖答案〗C．
3（2008-2009廈門質檢二）．在△ABC中，tanA＝，cosB＝．若最長邊為1，則最短邊的長為（ ）
A． B． C． D．
〖解析〗由條件知A、B都是小于，所以角C最大，又，B最小，
由得，，所以最短邊長為．
〖答案〗D．
4（浙江省09年高考省教研室第一次抽樣測試數學試題（理）16）．如圖，海平面上的甲船位于中心O的南偏西，與O相距10海里的C處，現甲船以30海里/小時的速度沿直線CB去營救位于中心O正東方向20海里的B處的乙船，甲船需要 小時到達B處.
〖解析〗由題意，對于CB的長度可用余弦定理求解，得，因此，因此甲船需要的時間為（小時）.
〖答案〗．
5 (江蘇省南京市2009屆高三第一次質量檢測數學試題11) ．在中，角所對的邊分別為，則 ．
〖解析〗由及正弦定理得：，又，
兩式平方相加得：．
〖答案〗13．
6(浙江2008學年第一學期十校高三期末聯考數學試題（理）) ．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，且，則△ABC的面積等于 ．
〖解析〗由及余弦定理得：，由得，所以．
〖答案〗2 ．
7(和平區2008年高考數學(理)三模13). 在△ABC中，設角A、B、C的對邊分別為，且，則角B= 度．
〖解析〗由及正弦定理得：，
，所以，所以，又，．
〖答案〗60．

8（廣東省四校聯考2009屆高三上學期期末考試數學理15）.如圖在中,
(1)求； (2) 記的中點為, 求中線的長．
〖解析〗(1)由, 是三角形內角，
得

(2) 在△ABC中,由正弦定理， ，
( CD = BC = 3 , 又在△ADC中, AC=2, cosC = ,
由余弦定理得,
=
9（2009年濱海新區五所重點學校聯考理17）．在中，分別是角的對邊,
且．
(Ⅰ)求角的大??；
（Ⅱ）當a=6時,求其面積的最大值,并判斷此時的形狀．
〖解析〗(Ⅰ)由已知得： ，
，
，∴ ，
，∴ ．
（Ⅱ） ，∴，
∴ ．
故三角形的面積 ．
當且僅當b=c時等號成立；又，故此時為等邊三角形．
10（漢沽一中2009屆高三月考文18）．如圖，隔河看兩目標A、B，但不能到達，在岸邊選取相距km的C、D兩點，并測得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面內），求兩目標A、B之間的距離．
〖解析〗在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，∴∠CAD=30°，
∴AC=CD=3.
在△BDC中，∠CBD=180°－（45°+75°）=60°，
由正弦定理，得BC==，
由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BC·cos∠BCA
=+－2×cos75°=5.∴AB=．
∴兩目標A、B之間的距離為km．
四、考點預測
（一）文字介紹
在解三角形中要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題，能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的問題．在具體解三角形時，要靈活運用已知條件，根據正、余弦定理，列出方程，進而求解，最后還要檢驗是否符合題意．
解三角形是高考必考內容，重點為正、余弦定理及三角形面積公式．可以以小題形式主要考查考題正、余弦定理及三角形面積公式；也可以是簡單的解答題，主要與三角函數的有關知識一起綜合考查；隨著課改的深入，聯系實際，注重數學在實際問題中的應用將是一個熱點，所以不排除考查解三角形與三角函數、函數等知識一起的綜合應用題，主要
考查學生的基本運算能力、應用意識和解決實際問題的能力．
（二）考點預測題
1（遼寧省部分重點中學協作體2008年高考模擬）．在△ABC中，角A，B，C的對邊為a,b,c，若，，，則角A=（ ）
A．30° B．30°或105° C．60° D．60°或120°
〖解析〗，即，又，所以或．
〖答案〗D．
2（2008年高考全國二17）．在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設的面積，求的長．
〖解析〗（Ⅰ）由，得，由，得．
所以．
（Ⅱ）由得，
由（Ⅰ）知，故，
又，故，．
所以．
3(啟東市2009屆高三第一學期第一次調研考試19）（2008年湖南理高考19）．在一個特定時段內，以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域.點E 正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東且與點A相距40海里的位置B，經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東+(其中sin=，)且與點A相距10海里的位置C.
（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；
（2）若該船不改變航行方向繼續行駛.判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由.
〖解析〗（1）如圖，AB=40，AC=10，.
由于,所以cos=.
由余弦定理得BC=
所以船的行駛速度為（海里/小時）.
（2）解法一 如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，
設點B、C的坐標分別是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC與x軸的交點為D.
由題設有，x1=y1= AB=40,
x2=ACcos,
y2=ACsin.
所以過點B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40．
又點E（0，-55）到直線l的距離d=.
所以船會進入警戒水域.
解法二: 如圖所示，設直線AE與BC的延長線相交于點Q．
在△ABC中，由余弦定理得：
==.
從而.
在中，由正弦定理得，
AQ=.
由于AE=55>40=AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE=AE-AQ=15.
過點E作EP BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離.
在Rt中，
=.
所以船會進入警戒水域．

展開更多......

收起↑