資源簡介

2009屆新課標數學考點預測--立體幾何初步
一、考點介紹
09考試大綱中，對本節的要求如下：
（1）空間幾何體
　　① 認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構.
　　② 能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖.
　　③ 會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.
　　④ 會畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎上，尺寸、線條等不作嚴格要求）.
　　⑤ 了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）.
　　（2）點、直線、平面之間的位置關系
　　① 理解空間直線、平面位置關系的定義，并了解如下可以作為推理依據的公理和定理.
　　◆公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點在此平面內.
　　◆公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.
　　◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
　　◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
　　◆定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.
　　② 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發點，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定定理.
　　理解以下判定定理.
　　◆如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.
　　◆如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行.
　　◆如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.
　　◆如果一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.
　　理解以下性質定理，并能夠證明.
　　◆如果一條直線與一個平面平行，經過該直線的任一個平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行.
　　◆如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行.
　　◆垂直于同一個平面的兩條直線平行.
　　◆如果兩個平面垂直，那么一個平面內垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直.
③ 能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題.
二、高考真題
1．（2008年廣東卷，數學理科，5，數學文科，7）將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側視圖（或稱左視圖）為（ ）
〖解析〗本題考查幾何體的三視圖，解題時在圖2的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案.
〖答案〗A
2．（2008年上海春卷，數學，8）已知一個凸多面體共有9個面，所有棱長均為1，其平面展開圖如右圖所示，則該凸多面體的體積 .
〖解析〗本題考查空間想象能力及相應幾何體的體積，由題知，凸多面體是由一個棱為1的正四棱錐和一個棱長為1的正方體并接而成，正四棱錐的高為
〖答案〗
3．（2008年江西卷，數學理科，16） 如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內盛有升水時，水面恰好經過正四棱錐的頂點P。如果將容器倒置，水面也恰好過點（圖2）。有下列四個命題：
A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半
B．將容器側面水平放置時，水面也恰好過點
C．任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經過點
D．若往容器內再注入升水，則容器恰好能裝滿
其中真命題的代號是： （寫出所有真命題的代號）．
〖解析〗易知所盛水的容積為容器容量的一半，故D正確，于是A錯誤；水平放置時由容器形狀的對稱性知水面經過點P，故B正確；C的錯誤可由圖1中容器位置向右邊傾斜一些可推知點P將露出水面。
〖答案〗真命題的代號是： BD 。
4．（2007年廣東卷，數學文科，6）若l、m、n是互不相同的空間直線，、是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是
A．若，則 B．若，則
C. 若，則 D．若，則
〖解析〗考查直線和平面與直線和平面的相互關系，對A，當 ∥ ，?時，只是平行于 中某一直線而非所有，因而未必能平行于n；對B，只有在垂直與兩面的交線才有結論⊥ 成立；
對C，直線和m可以是異面，立方體的棱就能體現這種關系。
〖答案〗D
5．（2008年海南寧夏卷，數學文科，18）如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側視圖在下面畫出（單位：cm）。（1）在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；（3）在所給直觀圖中連結，證明：∥面EFG。
〖解析〗長方體的有關知識、體積計算及三視圖的相關知識
〖答案〗(1)如圖
（２）所求多面體的體積
（３）證明：如圖，在長方體中，連接，則∥
因為Ｅ，Ｇ分別為中點，所以∥，從而∥，
又, 所以∥平面ＥＦＧ；
6．（2007年寧夏、 海南卷，數學文科，18）如圖，為空間四點．在中，．
等邊三角形以為軸運動．
（Ⅰ）當平面平面時，求；
（Ⅱ）當轉動時，是否總有？
證明你的結論．
〖解析〗考查直線和平面與平面和平面的相互關系
〖答案〗（Ⅰ）取的中點，連結，
因為是等邊三角形，所以．
當平面平面時，
因為平面平面，
所以平面，
可知
由已知可得，在中，．
（Ⅱ）當以為軸轉動時，總有．
證明：
（ⅰ）當在平面內時，因為，
所以都在線段的垂直平分線上，即．
（ⅱ）當不在平面內時，由（Ⅰ）知．又因，所以．
又為相交直線，所以平面，由平面，得．
綜上所述，總有．
7．（2008年山東卷，數學理科，20）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分別是BC, PC的中點.
（Ⅰ）證明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E—AF—C的余弦值.
〖解析〗本題考查線線垂直的證明，和二面角的求法，理科生應學會利用空間向量解決問題。
〖答案〗（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．
因為為的中點，所以．
又，因此．
因為平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，所以．
（Ⅱ）解：設，為上任意一點，連接．
由（Ⅰ）知平面，
則為與平面所成的角．
在中，，
所以當最短時，最大，
即當時，最大．
此時，
因此．又，所以，所以．
解法一：因為平面，平面，所以平面平面．
過作于，則平面，
過作于，連接，則為二面角的平面角，
在中，，，
又是的中點，在中，，
又，
在中，，即所求二面角的余弦值為．
解法二：由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又分別為的中點，所以
，
，
所以．
設平面的一法向量為，
則因此取，則，
因為，，，所以平面，
故為平面的一法向量．
又，所以．
因為二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為．
三、名校試題
1．（山東省煙臺市2008年高三適應性練習（三），數學理科，6）已知直線則下列四個命題：
①; ②;
③; ④
其中正確的是 （ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
〖解析〗本題考查線面位置關系的判斷，②④顯然不正確
〖答案〗D
2．（寧夏區銀川一中2008屆高三年級第五次月考測試，數學理科，12）如圖，一個幾何體的正視圖和側視圖是腰長為1的等腰三角形，俯視圖是一個圓及其圓心，當這個幾何體的體積最大時圓的半徑是 （ ）
A． B． C． D．
〖解析〗本題考查三視圖及椎體的體積計算。設底面半徑為，高位，又，則，當即時，體積最大。
【答案】Ｃ
3．（山東省濰坊市2008年5月高三教學質量檢測，數學理科，12）如圖，ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，連結AC，則在四面體ABCD的四個面中，互相垂直的平面有（ ）對
A．1 B．2
C．3 D．4
〖解析〗本題考查圖形的翻折，和面面垂直的判定，顯然面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD，
【答案】Ｃ
4．（廣東省中山市2009年四校聯考數學，數學理科，5）給出下列關于互不相同的直線 和平面 的四個命題：
①若；
②若是異面直線，；
③若；
④若
其中為假命題的是 （ ）
A．① B．② C．③ D．④
〖解析〗本題考查線線，線面及面面位置關系的判定
【答案】Ｃ
5．（南通四縣市2008屆高三聯合考試，數學，17）如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB= AD=2．
（1）證明：面BDD1 B1⊥面ACD1；
（2）若E是BC1的中點，P是AC的中點，F是A1C1上的點， C1F=mFA1，試求m的值，使得EF∥D1P．
〖解析〗本題考查面面垂直的證明，以及線線垂直的探究
【答案】證明（1）：在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB= AD=2，
故四邊形ABCD是正方形，AP⊥DP，
又∵D1D⊥面ABCD，AP面ABCD
∴D1D⊥AP ，D1D∩DP=D
∴AP⊥面BDD1B1
∵AP面AD1C
∴面BDB1D1⊥面ACD1
（2）：記A1C1與B1D1的交點為Q，連BQ，
∵P是AC的中點，∴D1P∥BQ，要使得EF∥D1P，則必有EF∥BQ
在△QBC1中，E是BC1的中點， F是QC1上的點，EF∥BQ
∴F是QC1的中點，即3C1F=FA1，故所求m的值是．
6．（山東省煙臺市2008年高三適應性練習（三），數學理科，19）如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中 點。
（1）求證：PB//平面EFG；
（2）求異面直線EG與BD所成的角的余弦值；
（3）在線段CD上是否存在一點Q，使得點A到平面EFQ的距離為，若存在，求出CQ的值；若不存在，請說明理由。
〖解析〗本題考查線面平行的證明，和異面直線所成角的求法，及點面距離的求解，理科生應學會利用空間向量解決問題。
〖答案〗解法一：（1）證明：取AB為中點H，連結GH，HE，
∵E，F，G分別是線段PA、PD、CD的中點，
∴GH//AD//EF，
∴E，F，G，H四點共面。
又H為AB中點，
∴EH//PB。
又EH面EFG，PB平面EFG，
∴PB//面EFG。
（2）解：取BC的中點M，連結GM、AM、EM，則GM//BD，
∴∠EGM（或其補角）就是異面直線EG與BD所成的角。
在Rt△MAE中，
同理
∴在Rt△MGE中，
故異面直線EG與BD所成角的余弦值為
（3）假設在線段CD上存在一點Q，滿足題設條件，過點Q作OR⊥AB于R，連結RE，則QR//AD。
∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形 ，且PA=AD=2，
∴AD⊥AB，AD⊥PA
又ABPA=A，
∴AD⊥平面PAB。
又∵E，F分別是PA，PD中點，
∴EF//AD，
∴EF⊥平面PAB
又EF面EFQ，
∴EFQ⊥平面PAB。
過A作AT⊥ER于T，則AT⊥面EFQ，
∴AT就是點A到平面EFQ的距離。
設
在Rt△EAR中，AT
解得。
故存在點Q，當時，點A到平面EFQ的距離為
解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系A—xyz，
則A（0，0，0），B（2，0，0，），C（2，2，0），
D（0，2，0）P（0，0，2），E（0，0，1），
F（0，1，1），G（1，2，0）。
（1）證明：∵
設
即（2，0，—2）=S（0，—1，0）+t（1，1，—1）
解得s=t=2
∴
又∵
∴共面。
∵
∴PB//平面EFG。
（2）解∵
∴
故平面直線EG與BD所成角的余弦值為
（3）假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件。
令，則DQ=2－m
∴點Q的坐標為（）
∴
而，則
∴
令
又（0，0，1）
∴點A到平面EFQ的距離
即
∴不合題意，舍去。
故存在點Q，當點A到平面EFQ的距離為
7．（浙江省余姚中學08-09學年上學期高三第三次質量檢測，數學理科，19）如圖，四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點．
（1）證明：EF∥面PAD；
（2）證明：面PDC⊥面PAD；
（3）求銳二面角B—PD—C的余弦值．
〖解析〗本題考查線面平行及面面垂直的證明，并計算二面角
〖答案〗證明：（1）如圖，連接AC，∵ABCD為矩形且F是BD的中點，
∴AC必經過F
又E是PC的中點，
所以，EF∥AP
∵EF在面PAD外，PA在面內，∴EF∥面PAD
（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，
又AP面PAD，∴AP⊥CD
又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直線，AP⊥面PCD
又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD
（3）由P作PO⊥AD于O，以OA為x軸，以OF為y軸，以OP為z軸，則
A（1，0，0），P（0，0，1）
由（2）知是面PCD的法向量，B（1，1，0），D（一1，0，0），
，
設面BPD的法向量，
由得
取，則，
向量和的夾角的余弦
所以，銳二面角B—PD—C的余弦值
四、考點預測
（一）文字介紹
立體幾何每年高考必考，一般為一小一大，小題多考位置關系的簡單的概念性判斷，和三視圖以及面積體積，尤其三視圖是新課標的新增內容，在高考中將成為命題的熱點，解答題多以證明位置關系，計算角與距離為為，文科側重于證明，理科要學會用空間向量解決相應問題。
（二）考點預測題
1．（廣東省湛江一中08-09高三理科數學月考試卷2009.2，數學，8）已知為直線，為平面，給出下列命題：
① ② ③ ④
其中的正確命題序號是：
A ③④ B ②③ C ①② D ①②③④
〖解析〗本題考查位置關系的判定，屬于簡單題
〖答案〗 B
2．（江蘇省鹽城中學2008年高三上學期第二次調研測試題，數學，8）如圖,直三棱柱的側棱長和底面邊長均為2，正視圖和俯視圖如圖所示，則其左視圖的面積為 。
〖解析〗本題考查三視圖幾面積的計算，先畫出左視圖，再進行求解，左視圖如上圖，故所求面積為
【答案】
3．（山東省煙臺市2008—2009學年高三年級模塊檢測，數學文科，19） 如圖，已知三棱
錐A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點，D為PB中點，且△PMB為正三角形。
（1）求證：DM∥平面APC；
（2）求證：平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=4，AB=20，求三棱錐D—BCM的體積。
〖解析〗本題考查線面平行的證明，面面垂直的證明以及三棱錐體積的計算
【答案】（1）∵M為AB中點，D為PB中點，
∴MD//AP， 又∴MD平面ABC
∴DM//平面APC。
（2）∵△PMB為正三角形，且D為PB中點。
∴MD⊥PB。
又由（1）∴知MD//AP， ∴AP⊥PB。
又已知AP⊥PC ∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC， 又∵AC⊥BC。
∴BC⊥平面APC，
∴平面ABC⊥平面PAC，
（3）∵AB=20
∴MB=10 ∴PB=10
又BC=4，
∴
又MD
∴VD-BCM=VM-BCD=
4．（沈陽二中2009屆高三期末數學試題，數學理科，18）如圖甲正三角形ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點，先將△ABC沿CD折疊成直二面角A-DC-B（如圖乙），在乙圖中
（Ⅰ）求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅱ）在線段BC上找一點P，使AP⊥DE，并求BP.
（Ⅲ）求三棱錐D-ABC外接球的表面積.(只需用數字回答,可不寫過程)
〖解析〗本題考查翻折幾何體的相關問題，并計算二面角的大小，以及有關點的位置的探究和球的體積計算
【答案】(1)∵AD⊥CD,BD⊥CD,∴∠ADB是二面角A-CD-B的平角
∴ AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD,取CD的中點M,這時EM∥AD,∴EM⊥平面BCD
過M作MN⊥DF于點N,連結EN,則EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E-DF-N的平面角
在 Rt△EMN中,EM=AD=AB=1,MN=∴EN=,cos∠MNE=
(2) 在線段BC上取點P,使BP=BC=,
過P作PQ⊥CD于點Q,
∴ PQ⊥平面ACD
∵DQ=DC=,在等邊△ADE中,∠DAQ=30
∴AQ⊥DE,∴AP⊥DE
(3) 2R=

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