資源簡介

2009屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)考點預(yù)測--平面向量
一、考點介紹
　1．平面向量的實際背景及基本概念
　（1）了解向量的實際背景．
　（2）理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義．
　（3）理解向量的幾何表示．
　2．向量的線性運算
　（1） 掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義．
　（2） 掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義．
　（3） 了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義．
　3．平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
　（1） 了解平面向量的基本定理及其意義．
　（2） 掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．
　（3）會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算．
　（4） 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．
　4．平面向量的數(shù)量積
　（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．
　（2）了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．
　（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算．
　（4）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．
　5．向量的應(yīng)用
　（1）會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題．
　（2）會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題．
二、高考真題
1（2008年安徽卷3）．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若，,則（ ）
A．（－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4）
〖解析〗因為，選B．
〖答案〗B．
2（2007年山東文5）．已知向量，若與垂直，則（ Ｃ ）
A． B． C． D．4
〖解析〗∵2－與垂直. ∴(2－)·=0, 而2－= (3 , n) , ∴－3+n2=0 , 而||2 == 4 即 ||=2 . 兩個非零向量⊥·=0x1x2+y1y2=0 , ||2 =2 = x2 +y2．
〖答案〗C．
3（2008年遼寧卷理5）.已知是平面上的三個點,直線上有一點,滿足,則等于( )
A. B. C. D.
〖解析〗依題∴
〖答案〗A．
4（2008年浙江卷理9）．已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是( )
A. 1 B. 2 C. D.
〖解析〗
∴，則的最大值是；
∴，對應(yīng)的點A,B在圓上,對應(yīng)的點C在圓上即可.
〖答案〗C．
5（2008年天津卷理14）．如圖，在平行四邊形中，，
則 ．
〖解析〗令，，則
所以.
〖答案〗3．
6（2007年天津理15）．如圖，在中，，是邊上一點，，則　　　　　．
〖解析〗在中，有余弦定理得，，
由正弦定理得，則，在中，由余弦定理求得，則，
由余弦定理得，
．
〖答案〗．
7（2007年廣東文16）．已知ΔABC三個頂點的直角坐標(biāo)分別為A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．
(1)若，求的值；
(2)若，求sin∠A的值
〖解析〗 (1) ，，
由 得．
(2) ，， ，
．
三、名校試題
1（漢沽一中2008~2009屆月考文9）．已知平面向量, , 且, 則（ ）
A． B． C． D．
〖解析〗∵,∴,．
B．
2（浙江省09年高考省教研室第一次抽樣測試數(shù)學(xué)試題（理）5）．已知，點P在直線AB上，且滿足，則=（ ）
A、 B、 C、2 D、3
〖解析〗如圖所示，不妨設(shè)；找共線，對于點P在直線AB上，有；列方程，因此有，即；而，即有，因此時.即有=.
〖答案〗B．
3（沈陽二中2009屆高三期末數(shù)學(xué)試題）.設(shè)點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，，則點P是△ABC的（ ）
A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心
〖解析〗
〖答案〗D.
4（寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期高三期末數(shù)(文)）．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，
，O為原點，且（其中均為實數(shù)），若N（1，0），則的最小值是 .
〖解析〗由及知，點M與點A、B共線，所以的最小值是點N到直線AB的距離，在直角三角形ABN中求解得．
〖答案〗.
5（福州質(zhì)檢·理）.已知，若，則 ．
〖解析〗由得：，即，所以，．
〖答案〗．
6(江蘇省南通市2008-2009學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷13) .在△ABC中，，D是BC邊上任意一點（D與B、C不重合），且，則等于 ▲ ．
〖解析〗當(dāng)點D無限逼近點C時，由條件知趨向于零，，即△ABC是等邊三角形．
〖答案〗 ．
7 ( 江蘇省常州市2008-2009高三第一學(xué)期期中統(tǒng)一測試10) .已知，且關(guān)于的函數(shù)在R上有極值，則與的夾角范圍為_______.
〖解析〗，依題意，
即，，又夾角，所以范圍為．
〖答案〗．
8（2008年東北三省三校高三第一次聯(lián)合模擬考試）.
已知向量
（1）當(dāng)時，求的值；
（2）求在上的值域．
〖解析〗（1） ，∴，∴
．
（2）

∵，∴，∴
∴ ∴函數(shù) ．
9（紹興市2008學(xué)年第一學(xué)期統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題）.已知向量，
（1）若求的值；
（2）設(shè)，求的取值范圍.
〖解析〗（1）因
，∴，兩邊平方得，
∴．
（2）因，∴
又，∴的取值范圍為.
10 (溫州市十校2008學(xué)年高三第一學(xué)期期初聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（文）) ．已知A、B、C三點的坐標(biāo)分別為、、．
（1）若的值；
（2）若，求的值．
〖解析〗(1)
∵ ∴
即
∴，又∵，∴．
（2）
，∴，
兩邊平方，得，
=．
四、考點預(yù)測
（一）文字介紹
預(yù)計向量基本概念、向量基本運算等基礎(chǔ)問題，通常為選擇題或填空題出現(xiàn)；而向量與三角函數(shù)、解三角形等綜合的問題，通常為解答題，難度以中檔題為主．具體如下：
1．向量概念和向量的基本定理
有關(guān)向量概念和向量的基本定理的命題，主要以選擇題或填空題為主，考查的難度屬中檔類型．
2．向量的運算
向量的運算要求掌握向量的加減法運算，會用平行四邊形法則、三角形法則進行向量的加減運算；掌握實數(shù)與向量的積運算，理解兩個向量共線的含義，會判斷兩個向量的平行關(guān)系；掌握向量的數(shù)量積的運算，體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，并理解其幾何意義，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量積的運算，能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用向量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．主要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，考查重點為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標(biāo)運算，有時也會與其它內(nèi)容相結(jié)合．
3．向量與三角函數(shù)的綜合問題
向量與三角函數(shù)的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，考查了向量的知識，三角函數(shù)的知識，達到了高考中試題的覆蓋面的要求．命題以三角函數(shù)作為坐標(biāo)，以向量的坐標(biāo)運算或向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結(jié)合的問題，屬中檔偏易題．
4．平面向量與函數(shù)問題的交匯
平面向量與函數(shù)交匯的問題，主要是向量與二次函數(shù)結(jié)合的問題為主，要注意自變量的取值范圍．命題多以解答題為主，屬中檔題．
（二）考點預(yù)測題
1（2008年江蘇卷5）.，的夾角為，， 則 ．
〖解析〗=，則7．
〖答案〗7．
2（2007年山東理11）． 在直角中，是斜邊上的高，則下列等式不成立的是（　　）
A． B．
C． D．
〖解析〗由于 cso∠CAB=||2, 可排除A. cos∠ABC=2, 可排除B , 而cos(π－∠ACD)=－|cos∠ACD<0 ， |>0 , ∴|≠，可知選C．
〖答案〗C．
3（廣東省2009屆高三第一次六校聯(lián)考（理）16）．已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，．
（Ⅰ）若a⊥b，求θ；
（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．
〖解析〗（Ⅰ）若a⊥b，則sinθ＋cosθ＝0，
由此得 tanθ＝－1（），
所以 θ＝；
（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，得
｜a＋b｜＝＝
＝，
當(dāng)sin(θ＋)＝1時，|a＋b|取得最大值，
即當(dāng)θ＝時，|a＋b|最大值為＋1．
4(2009屆廣東五校高三第二聯(lián)考試卷文) ．已知向量，，．
（1）若的夾角；
（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值．
〖解析〗（1）當(dāng)時，
（2）
．
∴，故
∴當(dāng)時，即，所以．

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