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2009屆新課標數學考點預測--三角恒等變換
一、考點介紹
　　經歷用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用，由此出發，導出其他的三角恒等變換公式，并能運用這些公式進行簡單的恒等變換，從而發展學生的推理能力和運算能力．
1．和與差的三角函數公式
　　（1）向量的數量積推導出兩角差的余弦公式．
　　（2）用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式．
（3）用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系．
（4）體會化歸思想的應用，能運用它們進行簡單的三角函數式的化簡、求值及恒等式的證明。
2．簡單的三角恒等變換
　　能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶）．
二、高考真題
1．（2007年寧夏、海南文9）．若，則的值為（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
〖解析〗由,
∴sinα+cosα=．
〖答案〗Ｃ．
2（2008年高考海南卷7）.=（ C ）
A. B. C. 2 D.
〖解析〗．
〖答案〗C．
3（2007年江蘇卷11）．若，則　　　　．
〖解析〗由條件得：，，
所以，，所以．
〖答案〗．
4（2007浙江理12）．已知，且，則的值是 　　．
〖解析〗將兩邊平方得，
所以，則，
又，所以，所以，
故．
〖答案〗．
5（2008年廣東卷理12）.已知函數，，則的最小正周期是 ．
〖解析〗,此時可得函數的最小正周期．
〖答案〗．
6（2008年江蘇卷15）．如圖，在平面直角坐標系中，以軸為始邊做兩個銳角,，它們的終邊分別與單位圓相交于A,B 兩點，已知A,B 的橫坐標分別為．
（Ⅰ）求tan()的值；
（Ⅱ）求的值．
〖解析〗由條件的，因為,為銳角，所以=
因此
（Ⅰ）tan()=
（Ⅱ） ，所以
∵為銳角，∴，∴=。
7（2008年福建卷17）已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n＝1，且A為銳角．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函數的值域．
　〖解析〗（Ⅰ）由題意得
　　　　　
　　　　　由A為銳角得
　　　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知
　　　　　　　所以
　　　　　　　因為x∈R，所以，因此，當時，f(x)有最大值.
　　　　　　　當sinx=-1時，f(x)有最小值-3，所以所求函數f(x)的值域是．
三、名校試題
1（天津漢沽一中2009屆高三月考文8）．是（ ）
A．最小正周期為的偶函數 B．最小正周期為的奇函數
C．最小正周期為的偶函數 D．最小正周期為的奇函數
〖解析〗∵
∴,．
〖答案〗D．
2（2008~2009學年福建廈門質檢四）．已知，，則( )
A． B． C． D．
〖解析〗由得，
又．
〖答案〗A．
3（2008~2009學年寧夏5）. ，由的值為( )
A.±4 B.4 C.-4 D.1
〖解析〗由得：，
即
所以，所以．
〖答案〗C．
4 (蘇州市2009屆高三教學調研測試13) ．在銳角△ABC中，b＝2，B＝，，則△ABC的面積為_________．
〖解析〗由條件得，
則，
則，，
又為銳角，所以，所以△ABC為等邊三角形，面積為．
〖答案〗．
5（2008-2009學年度廣東六校第三次聯考理12）．已知，
則= ．
〖解析〗由得，，
又，所以，所以．
〖答案〗．
6（山東省臨沂市08—09學年度模擬試題17）．已知函數．
（Ⅰ）若，，求的值；
（Ⅱ）求函數在上最大值和最小值．
〖解析〗（Ⅰ）
由題意知： ，即．
∵，即 ，
∴，．
（Ⅱ）∵ ， 即 ，
∴，．
7（遼寧省部分重點中學協作體2008年高考模擬）.已
圖像上相鄰的兩個對稱軸的距離是
（1）求的值；
（2）求函數上的最大值和最小值．
〖解析〗……（2分）
…………6分
（1）因為函數的圖象上相鄰的兩個對稱軸間的距離是
所以函數的最小正周期T=，則………………8分
（2）
，
則當時，取得最小值－1；
當取得最大值…………12分
8 (天津一中2008-2009月考理17）．已知為銳角的三個內角，兩向量，，若與是共線向量.
（1）求的大小；
（2）求函數取最大值時，的大小.
〖解析〗（1）
，
（2）
．
9(2009連云港市高三年級第二次調研考試數學模擬試題15) ．設向量，，，若，
求：（1）的值； （2）的值．
〖解析〗（1）依題意，
，又．
（2）由于，則
結合，可得
則 ．
四、考點預測
（一）考點預測
高考對三角恒等式部分的考查仍會是中低檔題，無論是小題還是大題中出現都是較容易的．主要有三種可能：
（1）以小題形式直接考查：利用兩角和與差以及二倍角公式求值、化簡；
（2）以小題形式與三角函數、向量、解三角形等知識相綜合考查兩角和與差以及二倍角等公式；
（3）以解答題形式與三角函數、向量、解三角形、函數等知識相綜合考查，對三角恒等變換的綜合應用也可能與解三角形一起用于分析解決實際問題的應用問題，主要考查綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力。
復習時要重視相關的思想方法，如數形結合思想、特值法、構造法、等價轉換法等．
（二）考點預測題
1（2007年山東高考題5）．函數的最小正周期和最大值分別為（　）
（A） （B） （C） （D）
〖解析〗
．
〖答案〗A．　
2（山東濟寧市2008-2009學年度質量檢測4）．已知，則
的值等于_______________.
〖解析〗由得：，即，所以．
〖答案〗．
3（天津漢沽一中2008~2009屆月考理15）．已知向量，設函數
（Ⅰ）求的最大值及相應的的值；
（Ⅱ）若求的值.
〖解析〗




∴當，即時，．
(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知,
.
，兩邊平方得
.
．
解法2：由(Ⅰ)知

．

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