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2009屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)考點(diǎn)預(yù)測(cè)--數(shù) 列
一、考點(diǎn)介紹
高考對(duì)數(shù)列的考查比較全面，重點(diǎn)是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等差（比）中項(xiàng)及等差和等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用；在能力要求上，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力，其中考查思維能力是支柱，運(yùn)算能力是主體，應(yīng)用是歸宿．
主要考點(diǎn)有：
1．?dāng)?shù)列的概念和簡單表示法
　　（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式）．
　?。?）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)．
　2．等差數(shù)列、等比數(shù)列
　?。?） 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念．
　　（2）掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．
?。?）能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題．
　　④ 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
二、高考真題
1（2008年廣東卷2）.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
〖解析〗，，故．
〖答案〗D．
2（2008年浙江卷6）.已知是等比數(shù)列，，則=（ ）
（A）16（） （B）16（）
（C）（） （D）（）
〖解析〗由，解得，
數(shù)列仍是等比數(shù)列：其首項(xiàng)是公比為，
所以．
〖答案〗C．
3（2007年天津理8）．設(shè)等差數(shù)列的公差不為0，．若是與的等比中項(xiàng)，則（　?。?br/>Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
〖解析〗是與的等比中項(xiàng)，則，
又，則，（舍負(fù)）．
〖答案〗B．
4（2008年江蘇卷10）.將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的規(guī)律，第n 行（n ≥3）從左向右的第3 個(gè)數(shù)為 ．
〖解析〗前n－1 行共有正整數(shù)1＋2＋…＋（n－1）個(gè)，即個(gè)，因此第n 行第3 個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第＋3個(gè)，即為．
〖答案〗．
5（2007年浙江文19) .已知數(shù)列{}中的相鄰兩項(xiàng)、是關(guān)于x的方程
的兩個(gè)根，且≤　(k ＝1，2，3，…)．
(I)求及 (n≥4)(不必證明)；
(Ⅱ)求數(shù)列{}的前2n項(xiàng)和S2n．
〖解析〗 (I)方程的兩個(gè)根為．
當(dāng)k＝1時(shí)，，所以；
當(dāng)k＝2時(shí)，，所以；當(dāng)k＝3時(shí)，，所以；
當(dāng)k＝4時(shí)，，所以；
因?yàn)閚≥4時(shí)，，所以
（Ⅱ）
＝．
6（2007年山東理17）.設(shè)數(shù)列滿足，．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
〖解析〗(I)
，
．
驗(yàn)證時(shí)也滿足上式，．
(II) ， ，
，
則，
，所以．
7（2008年安徽卷21）．設(shè)數(shù)列滿足為實(shí)數(shù)
（Ⅰ）證明：對(duì)任意成立的充分必要條件是；
（Ⅱ）設(shè)，證明：;
（Ⅲ）設(shè)，證明：
〖解析〗（Ⅰ）必要性 ： ，
又 ，即
充分性 ：設(shè) ，對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明
當(dāng)時(shí)，.假設(shè)
則，且
，由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有成立
（Ⅱ） 設(shè) ，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立
當(dāng) 時(shí)，

,由（1）知，所以 且



（Ⅲ）設(shè) ，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立
當(dāng)時(shí)，由（2）知
．
三、名校試題
1（天津市漢沽一中2009屆月考文7）．已知是等差數(shù)列，，，則該數(shù)列前10項(xiàng)和等于（ ）
A．64 B．100 C．110 D．120
〖解析〗設(shè)公差為，則由已知得，
．
〖答案〗B．
2（遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2008年高考模擬）．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
〖解析〗等差數(shù)列中，公差，．〖答案〗A.
3（寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷10）．如圖，一只青蛙在圓周上標(biāo)有數(shù)字的五個(gè)點(diǎn)上跳，若它停在奇數(shù)點(diǎn)上，則下一次沿順時(shí)針方向跳兩個(gè)點(diǎn)；若停在偶數(shù)點(diǎn)上，則下一次沿逆時(shí)針方向跳一個(gè)點(diǎn)，若青蛙從這點(diǎn)開始跳，則經(jīng)2009次跳后它停在的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
〖解析〗5—2—1—3—5，周期為4，2009=4×502+1，經(jīng)過2009次跳后它停在的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為2．
〖答案〗B．
4（2008~2009學(xué)年福建高考樣卷·理）．已知等比數(shù)列中，則其前3項(xiàng)的和的取值范圍是（ ）
A．　 Ｂ．　 Ｃ． Ｄ．
〖解析〗設(shè)公比為，，由或，所以取值范圍為．
〖答案〗D．
5（2008~2009學(xué)年福州質(zhì)檢·理）．，則
〖解析〗
．
〖答案〗2236．
6（溫州十校2008學(xué)年度第一學(xué)期期中高三數(shù)學(xué)試題理）.已知數(shù)列的前n項(xiàng)的和滿足,則= .
〖解析〗由條件得：， ，則，時(shí)，．
〖答案〗．
7（浙江省杭州市2009年第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷理科）.數(shù)列中，，（是不為零的常數(shù)，），且成等比數(shù)列．
（1）求的值；
（2）求的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列的前項(xiàng)之和．
〖解析〗（1），，，
因?yàn)?，，成等比?shù)列，
所以，
解得或．
∵c≠0，∴．
（2）當(dāng)時(shí)，由于
，，，
所以．
又，，故．
當(dāng)時(shí)，上式也成立，
所以．
（3）令
……①
……②
①-②得：
8(一中2008-2009月考理18）．已知數(shù)列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3….
（1）令求證數(shù)列是等比數(shù)列;
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)；
⑶ 設(shè)的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由．
〖解析〗（I）由已知得
又
是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.
（II）由（I）知，
將以上各式相加得：

（III）解法一：
存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.
數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)
即
又
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列.
解法二：
存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.
由（I）、（II）知，
又
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列．
9（2008-2009學(xué)年山東師大附中高三數(shù)學(xué)模擬考試試題文科數(shù)學(xué)21）．已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，其中為正實(shí)數(shù)（1）用表示；（2）,若，試證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求．〖解析〗（1）由題可得，所以在曲線上點(diǎn)處的切線方程為
，即
令，得，即
由題意得，所以
（2）因?yàn)?，所?br/>即，所以數(shù)列為等比數(shù)列故 ---8分
（3）當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為
①
①的 ②
①②得
故 ．
10（廣州市越秀區(qū)2009年高三摸底調(diào)研理21）.已知（m為常數(shù)，m>0且），設(shè)是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.
（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（2）若bn=an·，且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)時(shí)，求Sn；
（3）若cn=，問是否存在m，使得{cn}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)？
若存在，求出m的范圍；若不存在，說明理由.
〖解析〗（1）由題意 即
∴
∴ ∵m>0且，∴m2為非零常數(shù)，
∴數(shù)列{an}是以m4為首項(xiàng)，m2為公比的等比數(shù)列
（2）由題意，
當(dāng)
∴ ①
①式兩端同乘以2，得
②
②－①并整理，得


=
…10分
（3）由題意
要使對(duì)一切成立，即 對(duì)一切 成立，
①當(dāng)m>1時(shí)， 成立；
②當(dāng)0∴對(duì)一切 成立，只需，
解得 ， 考慮到0綜上，當(dāng)01時(shí)，數(shù)列{cn}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng).
四、考點(diǎn)預(yù)測(cè)
（一）等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式的應(yīng)用以及等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)一直是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，也會(huì)是今年高考的重點(diǎn)．對(duì)數(shù)列部分的考查一方面以小題考查數(shù)列的基本知識(shí)；另一方面以解答題形式考查等差、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式．解答題作為壓軸題的可能性較大，與不等式、數(shù)學(xué)歸納法、函數(shù)等一起綜合考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證、運(yùn)算等能力以及分析問題、解決問題的能力．具體地：
1． 數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見的題目，要切實(shí)注意與的關(guān)系．
2．探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明．探索性問題對(duì)分析問題解決問題的能力有較高的要求．
3．等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)必考．這類考題既有選擇題、填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題。
4．求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和．
5．將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題也是高考中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，從本章在高考中所占的分值來看，一年比一年多，而且都注重能力的考查．
6．有關(guān)數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率等問題既是考查的重點(diǎn)，也是考查的難點(diǎn)．另外數(shù)列與程序框圖的綜合題也應(yīng)引起重視．
（二）考點(diǎn)預(yù)測(cè)題
1（2007年寧夏理4）．已知是等差數(shù)列，，其前10項(xiàng)和，則其公差（　?。?br/>Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
〖解析〗由得a1=4, 則a10=a1+9d=4+9d=10，所以．
〖答案〗D．
2（2008年天津卷20）．在數(shù)列中，，，且（）．
（Ⅰ）設(shè)（），證明是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若是與的等差中項(xiàng)，求的值，并證明：對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．
〖解析〗（Ⅰ）證明：由題設(shè)（），得
，即，．
又，，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）
　　　　　　　　，
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，（）．
將以上各式相加，得（）．
所以當(dāng)時(shí)，
上式對(duì)顯然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，顯然不是與的等差中項(xiàng)，故．
由可得，由得，　①
整理得，解得或（舍去）．于是．
另一方面，，
　　　　?。?br/>由①可得，．
所以對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．
3（2008年遼寧卷21）．在數(shù)列，中，a1=2，b1=4，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)，的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）證明：．
〖解析〗（Ⅰ）由條件得
由此可得
．
猜測(cè)．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即
，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②，可知對(duì)一切正整數(shù)都成立．
4（2008-2009學(xué)年江蘇省鹽城市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考20）．已知數(shù)列和滿足,,.
(Ⅰ) 當(dāng)時(shí),求證: 對(duì)于任意的實(shí)數(shù),一定不是等差數(shù)列；
(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),試判斷是否為等比數(shù)列；
(Ⅲ) 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,在(Ⅱ)的條件下,是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意的正
整數(shù),都有?若存在,請(qǐng)求出的取值范圍；若不存在,請(qǐng)說明理由.
〖解析〗（Ⅰ）當(dāng)時(shí),
假設(shè)是等差數(shù)列,由得,即5=2,矛盾.
故對(duì)于任意的實(shí)數(shù),一定不是等差數(shù)列.
（Ⅱ）當(dāng)時(shí),.而,所以
=.
又 .
故當(dāng)時(shí), 不是等比數(shù)列.
當(dāng)時(shí), 是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.
（Ⅲ）由(Ⅱ)知,當(dāng)時(shí),,不合要求.
所以,于是,要使成立,
則.
令,當(dāng)n正奇數(shù)時(shí),；當(dāng)n正偶數(shù)時(shí),.
故的最大值為,最小值為.
欲對(duì)任意的正整數(shù)n都成立,則,即,所以.
綜上所述,存在唯一的實(shí)數(shù)=,使得對(duì)任意的正整數(shù),都有.

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