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2009屆新課標數學考點預測（20）--坐標系與參數方程（二）
坐標系與參數方程在高考中根據各省的情況而選考，一般是5-10分的比較容易的題，常與幾何證明選講，不等式選講和矩陣與變換等多個選修模塊進行選擇其一解答，知識相對比較獨立，與其他章節聯系不大，容易拿分。根據不同的幾何問題可以建立不同的坐標系，坐標系選取的恰當與否關系著解決平面內的點的坐標和線的方程的難易以及它們位置關系的數據確立。有些問題用極坐標系解答比較簡單，而有些問題如果我們引入一個參數就可以使問題容易入手解答，計算簡便。高考出現的題目往往是求曲線的極坐標方程、參數方程以及極坐標方程、參數方程與普通方程間的相互轉化，并用極坐標方程、參數方程研究有關的距離問題，交點問題和位置關系的判定。
一、極坐標
平面幾何問題中有許多問題牽扯到長度與角度問題，以這兩個量為變量建立極坐標系得到點的坐標、線的方程研究問題就比較容易，而研究極坐標方程時往往要與普通方程之間進行相互轉化，在轉化時坐標系的選取與建立是以直角坐標系的原點O為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位。平面內任意一點P的直角坐標與極坐標分別為和，則有和這樣的互化關系式，這就給兩種方程之間建立了橋梁關系，我們可以來去自由。注意在極坐標系中，極徑(允許取負值，極角(也可以去任意的正角或負角。當(＜0時，點M （(，(）位于極角終邊的反向延長線上，且OM=。M （(，(）也可以表示為
1．直接求解
例1．在極坐標系中，過圓=6cos的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標方程為
分析：把極坐標方程化為普通方程求出直線，再得到極坐標方程。
解：由題意可知圓的標準方程為，圓心是(3．0)
所求直線標準方程x＝3，則坐標方程為cos＝3．
答案：cos＝3．
評注：在研究極坐標問題時常常要把極坐標方程轉化為普通方程解決問題。
例2．（08廣東卷理13）已知曲線的極坐標方程分別為，，則曲線與交點的極坐標為 ．
分析：本題給出的是極坐標方程，而所求的交點為極坐標，可以直接求解。
解：聯立解方程組解得,即兩曲線的交點為。
答案：
評注：本題中的已知與所求都是極坐標問題，所以可以直接求解。當然也可以轉化為普通方程解答。
2．由極坐標求最值
例3．（2009大豐市）已知A是曲線ρ=3cosθ上任意一點，求點A到直線ρcosθ=1距離的最大值和最小值。
分析：可以把極坐標方程轉化為普通方程，再結合圖形解答問題。
解：將極坐標方程轉化成直角坐標方程：ρ=3cosθ即：x2＋y2=3x,(x－)2＋y2=
ρcosθ=1即x=1直線與圓相交。所求最大值為2，最小值為0
評注：將極坐標方程轉化為普通方程是解決兩曲線位置關系的重要方法。
例4．（2008鹽城市）在極坐標系中,設圓上的點到直線的距離為,求的最大值.
分析：已知圓為極坐標方程，可以轉化為普通方程，然后改寫為參數式即可表示出圓上任意一點的坐標，并把直線的極坐標方程轉化為普通方程，圓上的點的坐標可以表示出來，由點到直線的距離公式即可求出。也可以轉化為圓心到直線的距離利用數形結合的思想解答。
解法一、將極坐標方程轉化為普通方程：， 可化為，在上任取一點A,則點A到直線的距離為
,它的最大值為4
解法二、將極坐標方程轉化為普通方程：， 可化為，則圓心到直線的距離為1，圓的半徑為3，所以圓上的點到直線的最大距離為4。
評注：在求點線距離時常常轉化為普通方程解答，而且要學會轉化的思想和數形結合的思想。
3．極坐標方程研究兩曲線的位置關系
例5．（江蘇省南通市2008-2009）求直線（t為參數）被圓（α為參數）截得的弦長．
分析：把參數方程轉化為普通方程來判斷位置關系，利用圓心距與半徑求出弦長。
解：把直線方程化為普通方程為．將圓化為普通方程為．圓心O到直線的距離，弦長．
所以直線被圓截得的弦長為．
評注：消去參數可得普通方程，在關于正弦余弦函數時常利用平方和關系消參。
二、參數方程
參數方程是曲線點的位置的另一種表示形式，它借助于中間變量把曲線上的動點的兩個坐標間接地聯系起來，參數方程與變通方程同等地描述，了解曲線，參數方程實際上是一個方程組，其中，分別為曲線上點M的橫坐標和縱坐標。參數方程求法（1）建立直角坐標系，設曲線上任一點P坐標為；（2）選取適當的參數；（3）根據已知條件和圖形的幾何性質，物理意義，建立點P坐標與參數的函數式；（4）證明這個參數方程就是所由于的曲線的方程。求曲線的參數方程關鍵是參數的選取，選取參數的原則是曲線上任一點坐標當參數的關系比較明顯關系相對簡單，與運動有關的問題選取時間做參數，與旋轉的有關問題選取角做參數，或選取有向線段的數量、長度、直線的傾斜斜角、斜率等。
參數方程化為普通方程的過程就是消參過程常見方法有三種：代入法：利用解方程的技巧求出參數t，然后代入消去參數。三角法：利用三角恒等式消去參數。整體消元法：根據參數方程本身的結構特征，從整體上消去。化參數方程為普通方程為：在消參過程中注意變量、取值范圍的一致性，必須根據參數的取值范圍，確定和值域得、的取值范圍。
常見曲線的參數方程要熟悉，如：圓、橢圓、雙曲線、拋物線以及過一點的直線，并明確各參數所表示的含義。在研究直線與它們的位置關系時常用的技巧是轉化為普通方程解答。
1．兩曲線的位置關系
例1．（08海南、寧夏理）已知曲線C1：（為參數），
曲線C2：（t為參數）．
（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數；
（Ⅱ）若把C1，C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線．寫出的參數方程．與公共點的個數和C公共點的個數是否相同？說明你的理由．
分析：從參數方程來看曲線C1為圓，曲線C2為直線，也可以通過消參數，求得曲線的普通方程判斷。并由參數方程進行圖象的變換，得到曲線，再將其方程化為普通方程解方程組判斷其交點的個數。
解：（Ⅰ）是圓，是直線．的普通方程為，圓心，半徑．
的普通方程為．因為圓心到直線的距離為，
所以與只有一個公共點．
（Ⅱ）壓縮后的參數方程分別為：（為參數）；
：（t為參數）．化為普通方程為：：，：，
聯立消元得，其判別式，所以壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個公共點，和與公共點個數相同．
評注：本題較為綜合的考查了參數方程和普通方程之間的轉化，在研究圖象的伸縮變換時用參數方程比較容易得到。而判斷兩曲線的位置關系則用普通方程通過解方程組得到較好。
例2．（2007年廣東省深圳市）若直線與曲線為參數，且有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是__________．
分析：本題中參數方程表示的是圓的一部分，可以通過圖形解答。
解：曲線為參數，且表示的以原點為圓心，以1為半徑的右半圓，如圖，直線與曲線有兩個不同的交點,直線應介于
兩直線之間則
答案：
評注：對于熟悉的曲線常用數形結合法解答.
例3．（2007年廣東，理13）在平面直角坐標系xＯy中，直線L的參數方程為，（參數），圓Ｃ的參數方程為（參數），則圓Ｃ的圓心坐標為　　　　，圓心到直線L的距離為　　　　。
分析：把參數方程轉化為普通方程,并由點到直線的距離公式求解.
解：消去的參數，得；消去的參數，
得x＋y＝6，所以圓Ｃ的圓心坐標是（0，2）。圓心到直線L的距離是＝，
或直線的方程為x+y-6=0，圓心到直線L的距離是d=。
答案：（0，2）；
評注：對于含有正弦余弦的參數方程常常利用正弦余弦的平方和消參轉化.
例4．（2008江蘇卷）在平面直角坐標系中，點是橢圓上的一個動點，求的最大值．
分析：由于已知條件橢圓為二次式，而所求為一次式，所以要求的最大值需要把橢圓的方程改寫為參數方程變為一次運用代入求之。
解： 因橢圓的參數方程為，
故可設動點的坐標為，其中.
因此
所以，當時，取最大值2。
評注：在所求函數為一次，而已知為二次時，常常用曲線的參數方程求出，其實質為換元或為三角代換，目的就是降次。
2．極坐標方程與參數方程混合
例5．（2008南通四縣市）已知曲線C的極坐標方程是．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是：，求直線l與曲線C相交所成的弦的弦長．
分析：本題中的曲線為極坐標方程，直線為參數方程，要求弦長，就要把它們都統一成普通方程，再進一步解答。
解：曲線C的極坐標方程是化為直角坐標方程為，
即，直線l的參數方程，化為普通方程為x－y－1=0，
曲線C的圓心（2，0）到直線l的距離為，所以直線l與曲線C相交所成的弦的弦長=．
評注：在題目中同時出現極坐標方程和參數方程的問題，要統一成普通方程解答；對于直線被圓截得的弦長一般由圓心距和半徑求出。
例6．（2008寧夏銀川一中）已知橢圓C的極坐標方程為，點F1、F2為其左，右焦點，直線的參數方程為(t為參數，t∈R)．
（Ⅰ）求直線和曲線C的普通方程； （Ⅱ）求點F1、F2到直線的距離之和.
分析：本題中的橢圓為極坐標方程，直線為參數方程，先把它們化為普通方程，再由點到直線的距離公式求距離。
解: (Ⅰ) 直線普通方程為 ；曲線的普通方程為
(Ⅱ) ∵,，∴點到直線的距離
點到直線的距離 ∴
評注：本題主要考查極坐標方程、參數方程轉化為普通方程的過程。極坐標方程化為普通方程時可由公式進行轉化，即同乘右面的分母把分母去掉，得到普通方程。而對于參數方程則需要兩式相減消掉參數即可。
例7．（淮安、徐州、宿遷、連云港四市2008—2009）已知在直角坐標系x0y內，直線l的參數方程為 (t為參數)．以Ox為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為.
(1)寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；
(2)判斷直線l和圓C的位置關系.
分析：直線比較容易得到普通方程，而圓則需要用兩角和的正弦公式展開，并需要兩邊同乘以才能將極坐標方程化為普通方程。再由圓心到直線的距離與半徑比較進行判斷。
解：（1）消去參數，得直線的直角坐標方程為； ,即，兩邊同乘以得，消去參數，得⊙的直角坐標方程為：
（2）圓心到直線的距離，所以直線和⊙相交．
評注：注意在把極坐標方程化為普通方程時，極點應在直角坐標原點處，而且極軸要與軸重合。
三、考點預測
1．（潮南區08）動點M（x,y）過點A（0，1）且以（t），則它的軌跡方程是
分析: 由可知直線的傾斜角的大小,從而寫出軌跡方程
解：由 可知直線的傾斜角為,直線過點A（0，1）所以直線方程為或
評注: 可以根據已知條件直接寫出直線的方程,要求我們對常見曲線的參數方程要熟悉，如：圓、橢圓、雙曲線、拋物線以及過一點的直線，并明確各參數所表示的含義。
2．（江蘇省啟東中學2009）在極坐標系中，從極點O作直線與另一直線相交于點M，在OM上取一點P，使．
（1）求點P的軌跡方程；（2）設R為上任意一點，試求RP的最小值．
分析: 在OM上取一點P,可以知道點P的極角與點M的極角相同,可以把點P設出極坐標解答.
解：（1）設，，因為在直線OM上,,所以
（2）由直線和, 所以點P的軌跡為一垂直于極軸的直線,與極點距離為3,由此可知RP的最小值為1.
評注:明確極坐標的含義以及極坐標中的極徑與極角的意義.
3．過點P（－3，0）且傾斜角為30°的直線和曲線相交于A、B兩點．求線段AB的長．
分析：由已知過點P（－3，0）且傾斜角為30°的直線可以寫出直線的標準參數方程,并根據參數的幾何意義求解弦長.
解：直線的參數方程為，曲線可以化為．將直線的參數方程代入上式，得．設A、B對應的參數分別為，∴． AB＝．
評注：掌握直線、圓、圓錐曲線的參數方程及簡單的應用,并熟練把它們的參數方程轉化為普通方程,由于直線的參數方程為標準參數方程,即為直線上的點到點的距離.就可以直接通過求兩點的參數之差求得弦長.在解題時要注意應用參數的幾何意義,還要注意是否為標準方程.
4．（2008年廣東實驗中學）直線 （）被曲線所截的弦長為___________ ．
分析：消掉t可以得到直線的普通方程，而曲線則需要用兩角和的余弦公式展開轉化。
解：消去t得直線的方程為，
由，兩邊同乘，得，即，即，所以曲線為圓，圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以弦長為
答案：
評注：在由極坐標方程化為普通方程時要注意變形技巧。要運用兩角和的余弦公式進行變形。直線截得的弦長可由勾股定理求得。

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