資源簡介

2009屆新課標數學考點預測--導數及其應用
一、考點介紹
導數屬于新增內容，是高中數學知識的一個重要的交匯點，命題范圍非常廣泛，為高考考查函數提供了廣闊天地，處于一種特殊的地位，不但一定出大題而相應有小題出現。主要考查導數有關的概念、計算和應用。利用導數工具研究函數的有關性質，把導數應用于單調性、極值等傳統、常規問題的同時，進一步升華到處理與自然數有關的不等式的證明，是函數知識和不等式知識的一個結合體，它的解題又融合了轉化、分類討論、函數與方程、數形結合等數學思想與方法，不但突出了能力的考查，同時也注意了高考重點與熱點，這一切對考查考生的應用能力和創新意識都大有益處。
1．了解導數概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義；理解導函數的概念．
2．熟記基本導數公式；掌握兩個函數和、差、積、商的求導法則．了解復合函數的求導法則，會求某些簡單函數的導數．
3．理解可導函數的單調性與其導數的關系；了解可導函數在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數在極值點兩側異號）；會求一些實際問題（一般指單峰函數）的最大值和最小值．
二、高考真題
1.（2008全國一21）．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
已知函數，．
（Ⅰ）討論函數的單調區間；
（Ⅱ）設函數在區間內是減函數，求的取值范圍．
解：（1）
求導：
當時，，
在上遞增
當，求得兩根為
即在遞增，遞減，
遞增
（2），且 解得：
2.（2008全國二21）．（本小題滿分12分）
設，函數．
（Ⅰ）若是函數的極值點，求的值；
（Ⅱ）若函數，在處取得最大值，求的取值范圍．
解：（Ⅰ）．
因為是函數的極值點，所以，即，因此．
經驗證，當時，是函數的極值點． 4分
（Ⅱ）由題設，．
當在區間上的最大值為時，
， 即．故得． 9分
反之，當時，對任意，
，
而，故在區間上的最大值為．
綜上，的取值范圍為． 12分
3.（2008山東卷21）（本小題滿分12分）
已知函數其中n∈N*,a為常數.
（Ⅰ）當n=2時，求函數f(x)的極值；
（Ⅱ）當a=1時，證明：對任意的正整數n,當x≥2時，有f(x)≤x-1.
（Ⅰ）解：由已知得函數f(x)的定義域為{x|x＞1}，
當n=2時，
所以
（1）當a＞0時，由f(x)=0得
＞1，＜1，
此時 f′（x）=.
當x∈（1，x1）時，f′（x）＜0,f(x)單調遞減；
當x∈（x1+∞）時，f′（x）＞0, f(x)單調遞增.
（2）當a≤0時，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)無極值.
綜上所述，n=2時，
當a＞0時，f(x)在處取得極小值，極小值為
當a≤0時，f(x)無極值.
（Ⅱ）證法一：因為a=1,所以
當n為偶數時，
令
則 g′（x）=1+＞0（x≥2）.
所以當x∈[2,+∞]時，g(x)單調遞增，
又 g(2)=0
因此≥g(2)=0恒成立，
所以f(x)≤x-1成立.
當n為奇數時，
要證≤x-1,由于＜0，所以只需證ln(x-1) ≤x-1,
令 h(x)=x-1-ln(x-1),
則 h′（x）=1-≥0（x≥2）,
所以 當x∈[2，+∞]時，單調遞增，又h(2)=1＞0，
所以當x≥2時，恒有h(x) ＞0,即ln（x-1）＜x-1命題成立.
綜上所述，結論成立.
證法二：當a=1時，
當x≤2，時，對任意的正整數n，恒有≤1，
故只需證明1+ln(x-1) ≤x-1.
令
則
當x≥2時，≥0，故h(x)在上單調遞增，
因此　　當x≥2時，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立.
故　　當x≥2時，有≤x-1.
即f（x）≤x-1.
4..（2008湖南卷21）（本小題滿分13分）
已知函數f(x)=ln2(1+x)-.
(I) 求函數的單調區間;
（Ⅱ）若不等式對任意的都成立（其中e是自然對數的底數）.
求的最大值.
解: （Ⅰ）函數的定義域是，
設則
令則
當時， 在（-1，0）上為增函數，
當x＞0時，在上為減函數.
所以h(x)在x=0處取得極大值，而h(0)=0,所以，
函數g(x)在上為減函數.
于是當時，
當x＞0時，
所以，當時，在（-1，0）上為增函數.
當x＞0時，在上為減函數.
故函數的單調遞增區間為（-1，0），單調遞減區間為.
（Ⅱ）不等式等價于不等式由知，
設則
由（Ⅰ）知，即
所以于是G(x)在上為減函數.
故函數G（x）在上的最小值為
所以a的最大值為
5..（2008陜西卷21）．（本小題滿分12分）
已知函數（且，）恰有一個極大值點和一個極小值點，其中一個是．
（Ⅰ）求函數的另一個極值點；
（Ⅱ）求函數的極大值和極小值，并求時的取值范圍．
解：（Ⅰ），由題意知，
即得，（*），．
由得，
由韋達定理知另一個極值點為（或）．
（Ⅱ）由（*）式得，即．
當時，；當時，．
（i）當時，在和內是減函數，在內是增函數．
，
，
由及，解得．
（ii）當時，在和內是增函數，在內是減函數．
，
恒成立．
綜上可知，所求的取值范圍為．
6.（2008重慶卷20）（本小題滿分13分.（Ⅰ）小問5分.（Ⅱ）小問8分.）
　　　設函數曲線y=f(x)通過點（0，2a+3），且在點（-1，f（-1））
處的切線垂直于y軸.
（Ⅰ）用a分別表示b和c；
（Ⅱ）當bc取得最小值時，求函數g(x)=-f(x)e-x的單調區間.
解：(Ⅰ)因為
又因為曲線通過點（0，2a+3）,
故
又曲線在（-1，f(-1)）處的切線垂直于y軸，故
即-2a+b=0,因此b=2a.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
故當時，取得最小值-.
此時有
從而

所以
令，解得
當
當
當
由此可見，函數的單調遞減區間為（-∞，-2）和（2，+∞）；單調遞增區間為（-2，2）.
7.（2008福建卷19）（本小題滿分12分）
　　　已知函數.
　　（Ⅰ）設{an}是正數組成的數列，前n項和為Sn，其中a1=3.若點(n∈N*)在函數y=f′(x)的圖象上，求證：點（n,Sn）也在y=f′(x)的圖象上；
　　（Ⅱ）求函數f(x)在區間（a-1,a）內的極值.
本小題主要考查函數極值、等差數列等基本知識，考查分類與整合、轉化與化歸等數學思想方法，考查分析問題和解決問題的能力.滿分12分.
(Ⅰ)證明：因為所以′(x)=x2+2x,
由點在函數y=f′(x)的圖象上,
又所以
所以,又因為′(n)=n2+2n,所以,
故點也在函數y=f′(x)的圖象上.
(Ⅱ)解:,
由得.
當x變化時,﹑的變化情況如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
注意到,從而
①當,此時無極小值；
②當的極小值為,此時無極大值；
③當既無極大值又無極小值.
三、名校試題
1.(2008年濰坊市高三統一考試)
定義在的三個函數f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)= ,且g(x)在[1，2]為增函數，h(x)在（0，1）為減函數.
（I）求g(x)，h(x)的表達式；
（II）求證：當1（III）把h(x)對應的曲線向上平移6個單位后得曲線，求與g(x)對應曲線的交點個數，并說明道理.
解（I）由題意：
∴恒成立.
又恒成立.
∴即
（II）
欲證：
只需證：
即證：
記
∴
∴當x>1時，為增函數…………….9分
即
∴結論成立………………………………………………..10分
（III）由 （1）知：
∴對應表達式為
∴問題轉化成求函數
即求方程：
即：
設
∴當時，為減函數.
當時，為增函數.
而的圖象開口向下的拋物線
∴與的大致圖象如圖：
∴與的交點個數為2個.
即與的交點個數為2個.
2.(湖南師大附中)（本小題滿分14分）已知函數
（Ⅰ）試判斷函數上單調性并證明你的結論；
（Ⅱ）若恒成立，求整數k的最大值；
（Ⅲ）求證：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3.
．解：（I）…………（2分）

上是減函數.……………………………………………………（4分）
（II）
即h(x)的最小值大于k.…………………………………………………………（6分）

則上單調遞增，
又
存在唯一實根a，且滿足
當
∴
故正整數k的最大值是3 ……………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
∴ ………………11分
令，則
∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]
∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3 ………………14分
3.(浙江省重點中學2008年5月)
已知函數，數列的前項和為，，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）探究：數列是否單調？
解：（Ⅰ）∵，∴．
∵=，（2分）
∴當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減．
∴在區間內，．（2分）
（Ⅱ）用數學歸納法證明：
① 當時， ∵，∴，成立；
② 假設當時，成立．
當時，由及，得，（2分）
由(Ⅰ) 知，在上單調遞增，所以，
而，， 故．
∴當時，也成立．
由①、②知，對任意都成立．（4分）
（Ⅲ）數列單調遞減．（1分）
理由如下：
當時， ∴；
當時，由得．
∵，（2分）
又由 (Ⅱ) 知，，∴，
∴，即
∴，
∴，∴．（3分）
綜上，數列單調遞減．
4．已知函數，數列的前項和為，，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）探究：數列是否單調？
解：（Ⅰ）∵，∴．
∵=，（2分）
∴當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減．
∴在區間內，．（2分）
（Ⅱ）用數學歸納法證明：
① 當時， ∵，∴，成立；
② 假設當時，成立．
當時，由及，得，（2分）
由(Ⅰ) 知，在上單調遞增，所以，
而，， 故．
∴當時，也成立．
由①、②知，對任意都成立．（4分）
（Ⅲ）數列單調遞減．（1分）
理由如下：
當時， ∴；
當時，由得．
∵，（2分）
又由 (Ⅱ) 知，，∴，
∴，即
∴，
∴，∴．（3分）
綜上，數列單調遞減．
5.(天津市十二區縣重點中學)
（本小題滿分14分）
已知函數
（Ⅰ）判斷的奇偶性；
（Ⅱ）在上求函數的極值；
（Ⅲ）用數學歸納法證明：當時，對任意正整數都有
解：（Ⅰ） 。……3分
(Ⅱ)當時，
………5分
令有，
當x變化時的變化情況如下表: 由表可知：
（
+
0
－
增
極大值
減
當時取極大值. ………7分
(Ⅲ)當時 ………8分
考慮到：時，不等式等價于…（1）
所以只要用數學歸納法證明不等式（1）對一切都成立即可………9分
（i）當時，設
， ………10分
故，即
所以，當時，不等式（1）都成立 ………11分
（ii）假設時，不等式（1）都成立，即
當時設
有 ………12分
故為增函數，
所以，，即， ………13分
這說明當時不等式（1）也都成立，
根據(i)(ii)可知不等式（1）對一切都成立，
故原不等式對一切都成立. ………14分
四、考點分類講解
考點1 導數的概念
對概念的要求：了解導數概念的實際背景，掌握導數在一點處的定義和導數的幾何意義，理解導函數的概念.
例1．（2007年北京卷）是的導函數，則的值是 ．
[考查目的] 本題主要考查函數的導數和計算等基礎知識和能力.
[解答過程]
故填3.
例2. ( 2006年湖南卷）設函數,集合M=,P=,若MP,則實數a的取值范圍是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
[考查目的]本題主要考查函數的導數和集合等基礎知識的應用能力.
[解答過程]由
綜上可得MP時,
考點2 曲線的切線
（1）關于曲線在某一點的切線
求曲線y=f(x)在某一點P（x,y）的切線，即求出函數y=f(x)在P點的導數就是曲線在該點的切線的斜率.
（2）關于兩曲線的公切線
若一直線同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.
典型例題
例3.（2007年湖南文）已知函數在區間，內各有一個極值點．
（I）求的最大值；
（II）當時，設函數在點處的切線為，若在點處穿過函數的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側），求函數的表達式．
思路啟迪：用求導來求得切線斜率.
解答過程：（I）因為函數在區間，內分別有一個極值點，所以在，內分別有一個實根，
設兩實根為（），則，且．于是
，，且當，即，時等號成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由知在點處的切線的方程是
，即，
因為切線在點處空過的圖象，
所以在兩邊附近的函數值異號，則
不是的極值點．
而，且
．
若，則和都是的極值點．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．
因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，于是存在（）．
當時，，當時，；
或當時，，當時，．
設，則
當時，，當時，；
或當時，，當時，．
由知是的一個極值點，則，
所以，又由，得，故．
例4.（2006年安徽卷）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
[考查目的]本題主要考查函數的導數和直線方程等基礎知識的應用能力.
[解答過程]與直線垂直的直線為，即在某一點的導數為4，而，所以在(1，1)處導數為4，此點的切線為.
故選A.
例5． ( 2006年重慶卷)過坐標原點且與x2+y2 -4x+2y+=0相切的直線的方程為 ( )
A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x
[考查目的]本題主要考查函數的導數和圓的方程、直線方程等基礎知識的應用能力.
[解答過程]解法1：設切線的方程為
又
故選A.
解法2:由解法1知切點坐標為由
故選A.
例6.已知兩拋物線,取何值時，有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程.
思路啟迪：先對求導數.
解答過程：函數的導數為，曲線在點P()處的切線方程為，即 　 ①
曲線在點Q的切線方程是即
　 ②
若直線是過點P點和Q點的公切線，則①式和②式都是的方程，故得
，消去得方程，
若△=，即時，解得，此時點P、Q重合.
∴當時，和有且只有一條公切線，由①式得公切線方程為 .
考點3 導數的應用
中學階段所涉及的初等函數在其定義域內都是可導函數，導數是研究函數性質的重要而有力的工具，特別是對于函數的單調性，以“導數”為工具，能對其進行全面的分析，為我們解決求函數的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結合起來，極大地豐富了中學數學思想方法.復習時，應高度重視以下問題:
1.. 求函數的解析式; 2. 求函數的值域; 3.解決單調性問題; 4.求函數的極值（最值）;
5.構造函數證明不等式.
典型例題
例7．（2006年天津卷）函數的定義域為開區間，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在開區間內有極小值點（　）
A．1個
B．2個
C．3個
D． 4個
[考查目的]本題主要考查函數的導數和函數圖象性質等基礎知識的應用能力.
[解答過程]由圖象可見,在區間內的圖象上有一個極小值點.
故選A.
例8 .（2007年全國一）設函數在及時取得極值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍．
思路啟迪：利用函數在及時取得極值構造方程組求a、b的值．
解答過程：（Ⅰ），
因為函數在及取得極值，則有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
當時，；
當時，；
當時，．
所以，當時，取得極大值，又，．
則當時，的最大值為．
因為對于任意的，有恒成立，
所以　，
解得　或，
因此的取值范圍為．
例9.函數的值域是_____________.
思路啟迪：求函數的值域，是中學數學中的難點，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質求解，也可以利用函數的單調性求出最大、最小值。此例的形式結構較為復雜，采用導數法求解較為容易。
解答過程：由得，，即函數的定義域為.
，
又，
當時，，
函數在上是增函數，而，的值域是.
例10．（2006年天津卷）已知函數，其中為參數，且．
（1）當時，判斷函數是否有極值；
（2）要使函數的極小值大于零，求參數的取值范圍；
（3）若對（2）中所求的取值范圍內的任意參數，函數在區間內都是增函數，求實數的取值范圍．
[考查目的]本小題主要考查運用導數研究三角函數和函數的單調性及極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數學思想方法.
[解答過程]（Ⅰ）當時，，則在內是增函數，故無極值.
（Ⅱ），令，得.
由（Ⅰ），只需分下面兩種情況討論.
①當時，隨x的變化的符號及的變化情況如下表：
x
0
+
0
-
0
+
↗
極大值
↘
極小值
↗
因此，函數在處取得極小值，且.
要使，必有，可得.
由于，故.
②當時，隨x的變化，的符號及的變化情況如下表：
+
0
-
0
+
極大值
極小值
因此，函數處取得極小值，且
若，則.矛盾.所以當時，的極小值不會大于零.
綜上，要使函數在內的極小值大于零，參數的取值范圍為.
（III）解：由（II）知，函數在區間與內都是增函數。
由題設，函數內是增函數，則a須滿足不等式組
或
由（II），參數時時，.要使不等式關于參數恒成立，必有，即.
綜上，解得或.
所以的取值范圍是.
例11．(2006年山東卷)設函數f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調區間.
[考查目的]本題考查了函數的導數求法,函數的極值的判定,考查了應用數形結合的數學思想分析問題解決問題的能力
[解答過程]由已知得函數的定義域為，且
（1）當時，函數在上單調遞減，
（2）當時，由解得
、隨的變化情況如下表
—
0
+
極小值
從上表可知
當時，函數在上單調遞減.
當時，函數在上單調遞增.
綜上所述：當時，函數在上單調遞減.
當時，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增.
例12．（2006年北京卷）已知函數在點處取得極大值，其導函數的圖象經過點，，如圖所示.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
[考查目的]本小題考查了函數的導數,函數的極值的判定,閉區間上二次函數的最值, 函數與方程的轉化等基礎知識的綜合應用,考查了應用數形結合的數學思想分析問題解決問題的能力
[解答過程]解法一：（Ⅰ）由圖像可知，在上，在上，在上,
故在上遞增，在上遞減，
因此在處取得極大值，所以
（Ⅱ）
由
得
解得
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）設
又
所以
由即得
所以
例13．（2006年湖北卷）設是函數的一個極值點.
（Ⅰ）求與的關系式（用表示），并求的單調區間；
（Ⅱ）設，.若存在使得成立，求的取值范圍.
[考查目的]本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力.
[解答過程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,
由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，
則 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.
令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是極值點，
所以x+a+1≠0，那么a≠－4.
當a<－4時，x2>3＝x1，則
在區間（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)為減函數；
在區間（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)為增函數；
在區間（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數.
當a>－4時，x2<3＝x1，則
在區間（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)為減函數；
在區間（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)為增函數；
在區間（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a>0時，f (x)在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，那么f (x)在區間[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，
而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，
那么f (x)在區間[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].
又在區間[0，4]上是增函數，
且它在區間[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，
由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只須僅須
（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0故a的取值范圍是（0，）.
例14 （2007年全國二）
已知函數
在處取得極大值，在處取得極小值，且．
（1）證明；
（2）若z=a+2b,求z的取值范圍。
[解答過程]求函數的導數．
（Ⅰ）由函數在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個根．
所以
當時，為增函數，，由，得．
（Ⅱ）在題設下，等價于　即．
化簡得．
此不等式組表示的區域為平面上三條直線：．
所圍成的的內部，其三個頂點分別為：．
在這三點的值依次為．
所以的取值范圍為．
小結：本題的新穎之處在把函數的導數與線性
規劃有機結合．
考點4 導數的實際應用
建立函數模型,利用
典型例題
例15. （2007年重慶文）
用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？
[考查目的]本小題主要考查函數、導數及其應用等基本知識，考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力.
[解答過程]設長方體的寬為x（m），則長為2x(m)，高為
.
故長方體的體積為
從而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
當0＜x＜1時，V′（x）＞0；當1＜x＜時，V′（x）＜0，
故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個極大值就是V（x）的最大值。
從而最大體積V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此時長方體的長為2 m，高為1.5 m.
答：當長方體的長為2 m時，寬為1 m，高為1.5 m時，體積最大，最大體積為3 m3。
例16．（2006年福建卷）統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗
油量（升）關于行駛速度（千米/小時）的函數解析式可以表示為：
已知甲、乙兩地相距100千米.
（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
[考查目的]本小題主要考查函數、導數及其應用等基本知識，考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力.
[解答過程]（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，
要耗沒（升）.
答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。
（II）當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為升，依題意得

令得
當時，是減函數；當時，是增函數.
當時，取到極小值
因為在上只有一個極值，所以它是最小值.
答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.
五、考點預測
1.已知函數若在是增函數，求實數的范圍。
解析：≥0在上恒成立在上恒成立
而在上的最小值為16，故。
2.已知定義在R上的函數y=f(x)的導函數f/(x)在R上也可導，且其導函數[f/(x)]/<0，
則y=f(x)的圖象可能是下圖中的 （ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
C解析：由[f/(x)]/<0知f/(x)在R上遞減，即函數y=f(x)的圖象上從左到右各點處的切線斜率遞減，不難看出圖象②③滿足這一要求。
3.f(x)是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf/(x)+f(x)≤0,對任意正數a、b,若a＜b，則必有 （ ） （07陜西理11）
A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b)
C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)
解析：xf/(x)+f(x)≤0[xf(x)]/ ≤0函數F(x)= xf(x) 在（0，+∞）上為常函數或遞減，
又0①②兩式相乘得： af(b) ≤bf(a)，故選A。
4.已知函數在處取得極大值，在處取得極小值，且．（1）證明；（2）若z=a+2b,求z的取值范圍。
解析：函數的導數．
（Ⅰ）由函數在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個根．所以；當時，為增函數，，由，得．
（Ⅱ）在題設下，等價于　即．
化簡得．此不等式組表示的區域為平面上三條直線：
所圍成的的內部，由“線性規劃”的知識容易求得：的取值范圍為．
5.已知函數在處有極值10,則
解析： ，∴= ①
② 由①②得：或
當時，，此時函數無極值，舍去；
當時，函數在處左減右增，有極小值；
此時∴18 。
6.設函數在及時取得極值．
（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍．
解析：（Ⅰ），由，．解得，．
（Ⅱ）在[0，3]上恒成立即，
由（Ⅰ）可知，，．
當時，；當時，；當時，．
即在0，1]上遞增，[1，2]上遞減，[2，3]上遞增；∴當時，取得極大值，又．故當時，的最大值為．
于是有：，解得　或，因此的取值范圍為。
7.已知定義在正實數集上的函數，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．用表示，并求的最大值；
解析：設與在公共點處的切線相同．
，，由題意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．
令，則．于是當，即時，；當，即時，．故在為增函數，
在為減函數，∴在的最大值為．

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