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2009屆新課標數學考點預測---幾何證明選講
一、考點介紹
（1）理解相似三角形的定義與性質，了解平行截割定理．
（2）會證以下定理：①直角三角形射影定理；②圓周角定理；③圓的切線判定定理與性質定理；④相交弦定理；⑤圓內接四邊形的性質定理與判定定理．⑥切割線定理．
二、高考真題
１．（2007廣東卷理14）如圖1所示，圓的直徑，為圓周上一點，．過作圓的切線，過作的垂線，分別與直線、圓交于點，則 ，線段的長為 ．
【解析】如右圖所示，因為，，所以∥.由知
⊿為等邊三角形，，則，所以，進而，。連接,于是⊿為等邊三角形，
故=3.【答案】；=3. 2.（2007海南、寧夏卷理22）如圖，已知是⊙O的切線，為切點，是⊙O的割線，與⊙O交于兩點，圓心在的內部，點是的中點．
（Ⅰ）證明四點共圓；
（Ⅱ）求的大小．
【解析】（Ⅰ）證明：連結．
因為與⊙O相切于點，所以．
因為是⊙O的弦的中點，所以．
于是．
由圓心在的內部，可知四邊形的對角互補，所以四點共圓．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四點共圓，所以．
由（Ⅰ）得．
由圓心在的內部，可知．
所以．
【答案】．
3．（2008廣東卷理15）已知是圓的切線，切點為，．是圓的直徑，與圓交于點，，則圓的半徑 ．
【解析】依題意，我們知道⊿∽⊿,由相似三角形的性質我們有,即。
【答案】
4．（2008海南、寧夏卷理22）
如圖，過圓外一點作它的一條切線，切點為，過點作直線垂直直線，垂足為．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）為線段上一點，直線垂直直線，且交圓于點．過點的切線交直線于．證明：．
【解析】（Ⅰ）證明：因為是圓的切線，所以．
又因為．在中，由射影定理知，
．
（Ⅱ）證明：因為是圓的切線，．
同（Ⅰ），有，又，
所以，即．
又，
所以，故．
5．（2008江蘇卷理21）
如圖，設△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線交于點E，∠BAC的平分線與BC交于點D．
求證：．
【解析】如圖，因為 是圓的切線，
所以，,
又因為是的平分線，
所以
從而
因為 ,
所以 ,故.
因為 是圓的切線，所以由切割線定理知,
, 而,所以.
三、名校試題
考點一：相似三角形的定義與性質及圓的切線判定定理與性質定理
1.( 2008年江蘇省鹽城中學高三上學期第二次調研測試題)
如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交直線AB于點G.
（Ⅰ）求證：F是BD的中點；
（Ⅱ）求證：CG是⊙O的切線．
〖解析〗（Ⅰ）證:∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF
∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD ∴ F是BD中點.
（Ⅱ）∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°∴∠BCF=∠CBF=90°－∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切線 (說明：也可證明△OCF≌△OBF(從略,仿上述評分標準給分)).
考點二：切割線定理
2.( 2008年南通四縣市高三聯合考試)
已知：如圖，⊙O與⊙P相交于A，B兩點，點P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于點B，CP及其延長線交⊙P于D，E兩點，過點E作EF⊥CE交CB延長線于點F．若CD=2，CB=2，求EF的長．
〖解析〗連PB，BC切⊙P于點B，PB⊥BC，
CD=2，CB=2，由切割線定理得：CB2=CD·CE
CE=4，DE=2，BP=1，又∵EF⊥CE ∴△CPB∽△CFE，
得：，EF=
考點三：圓內接四邊形的性質定理與判定定理
3.(2008年南師附中高考數學模擬試卷（最后一卷）)
如圖，已知AD是ΔABC的外角(EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA 交ΔABC的外接圓于點F，連結FB、FC．
（1）求證：FB=FC；
（2）求證：FB2=FA·FD；
（3）若AB是ΔABC外接圓的直徑，(EAC=120(， BC=6cm，求AD的長．
〖解析〗（1）∵AD平分(EAC，∴(EAD=(DAC．
∵四邊形AFBC內接于圓，∴(DAC=(FBC．
∵(EAD=(FAB=(FCB，∴(FBC=(FCB，∴FB=FC．
（2）∵(FAB=(FCB=(FBC ，(AFB=(BFD，
∴ΔFBA∽ΔFDB．∴，∴FB2=FA·FD．
（3）∵AB是圓的直徑，∴(ACB=90(．
∵(EAC=120(， ∴(DAC=(EAC=60(，(BAC=60(．∴(D=30(．
∵BC= 6， ∴AC=． ∴AD=2AC=cm．
考點四：相交弦定理
4.如圖：PA與圓O相切于A，PCB為圓O的割線，并且不過圓心O，已知∠BPA=，PA=，PC=1，則圓O的半徑等于 ．
〖解析〗由圓的性質PA=PC·PB，得，PB=12，連接OA并反向延長
交圓于點E，在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,
DB=8,J記圓的半徑為R,由于ED·DA=CD·DB
因此，(２R－２) ·2=3·8,解得R=7
四、考點預測
高考對這部分知識的考查主要考查相似三角形的性質, 圓的切線判定定理與性質定理以及切割線定理．題型仍以填空題或解答題形式出現.
1.已知C點在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點， DC是∠ACB的平分線交AE于點F，交AB于D點.
（1）求的度數.
（2）若AB=AC，求AC:BC
〖解析〗(1)AC為圓O的切線,∴.又知,DC是的平分線, ∴ .∴,即 又因為BE為圓O的直徑, ∴
∴.
(2),,∴∽∴.又AB=AC, ∴,∴在RT⊿ABE中, .
2.如圖，AD是⊙O的直徑，是⊙的切線，直線BMN交AD的延長線于點C，BM = NC，AB = 2，求BC的長度和⊙O的半徑．
〖解析〗是⊙的直徑，是⊙的切線，直線是⊙的割線，
，．

，，．
.
⊙的半徑為.
3. (江蘇省2008年百所高中樣本分析考試數學試題)已知：如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE=AC，BD=AB，點F在BC上，且CF=BC.
求證：1）EF⊥BC；
（2）∠ADE=∠EBC。
〖解析〗設AB=AC=3a，則AE=BD=a，CF=
（1）
又∠C公共，故△BAC∽△EFC，由∠BAC=90°，∴∠EFC=90°，∴EF⊥BC .
（2）由（1）得∴∠DAE=
∠BFE=90°.∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE=∠EBC.
4.(2008屆蘇北三市高三年級第一次聯合調研)如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點，BM的延長線交⊙O于N，過N點的切線交CA的延長線于P．
(1) 求證：；
（2）若⊙O的半徑為，，求MN的長．
〖解析〗（1）連接ON，因為PN切⊙O于N，所以，
所以，因為OB=ON，所以
因為于，所以
故，
所以.
（2）
因為，所以.
5(江蘇省泰興市2007—2008學年第一學期高三調研)如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，PBC為割線，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點，F為CE上一點，且DE2=EF·EC(
(1)求證：(P=(EDF；
(2)求證：CE·EB=EF·EP；
(3)若CE ( BE=3 ( 2，DE=6，EF= 4，求PA的長(
〖解析〗 （1）∵DE2=EF·EC，
∴DE ( CE=EF( ED．
∵(DEF是公共角，
∴ΔDEF∽ΔCED． ∴(EDF=(C．
∵CD∥AP， ∴(C=( P． ∴(P=(EDF．
（2）∵(P=(EDF， (DEF=(PEA， ∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE ( PE=EF ( EA．即EF·EP=DE·EA． ∵弦AD、BC相交于點E，∴DE·EA=CE·EB．∴CE·EB=EF·EP．
（3）∵DE2=EF·EC，DE=6，EF= 4，∴EC=9．∵CE ( BE=3 ( 2，∴BE=6．∵CE·EB=EF·EP，∴9×6=4×EP．解得：EP=． ∴PB=PE－BE=， PC=PE＋EC=．由切割線定理得：PA2=PB·PC，
∴PA2=×．∴PA=．
6．如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E，連結AD、BD、OC、OD，且OD＝5。
（1）若，求CD的長；
（2）若 ∠ADO ：∠EDO＝4 ：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結果保留）。
6．（1）因為AB是⊙O的直徑，OD＝5
所以∠ADB＝90°，AB＝10
在Rt△ABD中，
又，所以，所以

因為∠ADB＝90°，AB⊥CD
所以
所以
所以， 所以
（2）因為AB是⊙O的直徑，AB⊥CD， 所以， 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD. 因為AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO, 所以∠CDB＝∠ADO
設∠ADO＝4x，則∠CDB＝4x. 由∠ADO ：∠EDO＝4 ：1，則∠EDO＝x.
因為∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°,所以, 所以x＝10°
所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°
所以∠AOC＝∠AOD＝100°,故

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