資源簡介

2009屆新課標數學考點預測--推理與證明
一、考點介紹
（1）合情推理與演繹推理
　　① 了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用.
　　② 了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理.
　　③ 了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異.
（2）直接證明與間接證明
　　① 了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.
② 了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點.
（3）數學歸納法
　　了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.
二、高考真題
〖解析〗
〖答案〗
【考題分類】
（一）選擇題（共1題）
1.（2008海南寧夏卷理6文7）已知，則使得都成立的取值范圍是（ ）
A.（0，） B. （0，） C. （0，） D. （0，）
〖解析〗，所以解集為，
又，因此選B.
〖答案〗B
2. (2008海南寧夏5)．右面的程序框圖，如果輸入三個實數a，b，c，要求輸出這三個數中最大的數，那么在空白的判斷框中，應該填入下面四個選項中的（ ）
A． B． C． D．
〖解析〗：變量的作用是保留3個數中的最大值，所以第二個條件結構的判斷框內語句為“”，
滿足“是”則交換兩個變量的數值后輸出的值結束程序，滿足“否”直接輸出的值結束程序。
〖答案〗A
3. (2008年江蘇9)．如圖，在平面直角坐標系中，設三角形的頂點分別為，點在線段AO上的一點（異于端點），這里均為非零實數，設直線分別與邊交于點，某同學已正確求得直線的方程為，請你完成直線的方程： ( ▲ )。
【解析】本小題考查直線方程的求法．畫草圖，由對稱性可猜想填．事實上，由截距式可得直線AB：，直線CP： ，兩式相減得，顯然直線AB與CP 的交點F 滿足此方程，又原點O 也滿足此方程，故為所求直線OF 的方程．
【答案】
4 (2008年江蘇10)．將全體正整數排成一個三角形數陣：
按照以上排列的規律，第行（）從左向右的第3個數為
【解析】本小題考查歸納推理和等差數列求和公式．前n－1 行共有正整數1＋2＋…＋（n－1）個，即個，因此第n 行第3 個數是全體正整數中第＋3個，即為．
【答案】
5. (2007年山東理6) 給出下列三個等式：，，。下列函數中不滿足其中任何一個等式的是
（A） （B） （C） （D）
【解析】：依據指、對數函數的性質可以發現A，C滿足其中的一個等式，而D滿足，B不滿足其中任何一個等式.
【答案】:B
6.　(2007年山東理9) 下列各小題中，是的充要條件的是（　　　）
（1）或；有兩個不同的零點。
（2） 是偶函數。
（3） 。
（4） 。
（A） （B） （C） （D）
【解析】：（2）由可得，但的定義域不一定關于原點對稱；（3）是的既不充分也不必要條件。
【答案】: D.
7.　(2007山東理16)．函數的圖象恒過定點,若點在直線上,其中,則的最小值為_______.
【解析】：函數的圖象恒過定點，，，，
【答案】: 8
8.(2007年廣東文10).圖3是某汽車維修公司的維修點環形分布圖公司在年初分配給A、 B、C、D四個維修點某種配件各50件．在使用前發現需將A、B、C、D四個維修點的這批配件分別調整為40、45、54、61件,但調整只能在相鄰維修點之間進行．那么要完成上述調整,最少的調動件次(n件配件從一個維修點調整到相鄰維修點的調動件次為n)為
A．18 B．17 C．16 D．15
【解析】很多同學根據題意發現n=16可行,判除A,B選項,但對于C,D選項則難以作出選擇,事實上,這是一道運籌問題,需要用函數的最值加以解決.設的件數為(規定:當時,則B調整了件給A,下同!),的件數為,的件數為,的件數為,依題意可得,,,,從而,,,故調動件次,畫出圖像(或絕對值的幾何意義)可得最小值為16,故選(C).
【答案】:C
9. (2007海南寧夏11)．甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績如下表
甲的成績
環數
7
8
9
10
頻數
5
5
5
5
乙的成績
環數
7
8
9
10
頻數
6
4
4
6
丙的成績
環數
7
8
9
10
頻數
4
6
6
4
分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標準差，則有（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
【解析】：




【答案】：B
10 (2007年上海理15)、已知是定義域為正整數集的函數，對于定義域內任意的，若 成立，則成立，下列命題成立的是
A、若成立，則對于任意，均有成立；
B、若成立，則對于任意的，均有成立；
C、若成立，則對于任意的，均有成立；
D、若成立，則對于任意的，均有成立。
【答案】D
【解析】 對A，當k=1或2時，不一定有成立；對B，應有成立；
對C，只能得出：對于任意的，均有成立，不能得出：任意的，均有成立；對D，對于任意的，均有成立。故選D。
12（2008江蘇卷21D）設a，b，c為正實數，求證：．
證明：因為為正實數，由平均不等式可得
即
所以，
而
所以
13.（2008江蘇卷18）設平面直角坐標系中，設二次函數的圖象與坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C。
求實數的取值范圍；
求圓的方程；問圓是否經過某定點（其坐標與無關）？請證明你的結論
解：本小題主要考查二次函數圖象與性質、圓的方程的求法．
（Ⅰ）令＝0，得拋物線與軸交點是（0，b）；
令，由題意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
（Ⅱ）設所求圓的一般方程為
令＝0 得這與＝0 是同一個方程，故D＝2，F＝．
令＝0 得＝0，此方程有一個根為b，代入得出E＝―b―1．
所以圓C 的方程為.
（Ⅲ）圓C 必過定點，證明如下：
假設圓C過定點 ，將該點的坐標代入圓C的方程，
并變形為 （*）
為使（*）式對所有滿足的都成立，必須有，
結合（*）式得
，解得
經檢驗知，點均在圓C上，因此圓C 過定點。
14.（2008上海春卷19）已知函數.
（1）求證：函數在內單調遞增；
（2）記為函數的反函數. 若關于的方程在上有解，求的取值范圍.
[證明]（1）任取，則
，
，
，
，即函數在內單調遞增. …… 6分
[解]（2）， …… 9分
[解法一]

， …… 11分
當時，，
的取值范圍是. …… 14分
[解法二] 解方程，得
， …… 11分
，
解得 .
的取值范圍是. …… 14分
15.（2008福建卷文20）已知｛an｝是正數組成的數列，a1=1，且點（）（nN*）在函數y=x2+1的圖象上.
(Ⅰ)求數列｛an｝的通項公式；
(Ⅱ)若列數｛bn｝滿足b1=1,bn+1=bn+，求證：bn ·bn+2＜b2n+1.
本小題考查等差數列、等比數列等基本知識，考查轉化與化歸思想，推理與運算能力.
解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以數列｛an｝是以1為首項，公差為1的等差數列.
故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n從而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+···+2+1＝=2n-1.
因為bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5·2n+4·2n
=-2n＜0,
所以bn·bn+2＜b,
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因為b2=1,
bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b
=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1
＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n〈0，
所以bn-bn+216 (2007年廣東理21)已知函數，是方程f(x)=0的兩個根，是f(x)的導數；設，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）證明：對任意的正整數n，都有>a；
（3）記（n=1,2,……），求數列{bn}的前n項和Sn。
解析：（1）∵，是方程f(x)=0的兩個根，
∴；
（2），
=，∵，∴有基本不等式可知（當且僅當時取等號），∴同，樣，……，（n=1,2,……），
（3），而，即，
，同理，，又
17 (2008年海南寧夏21)設函數，曲線在點處的切線方程為y=3．
（1）求的解析式：
（2）證明：函數的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；
（3）證明：曲線上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．
解：（1），
于是解得或
因，故．
（2）證明：已知函數，都是奇函數．
所以函數也是奇函數，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形．而．可知，函數的圖像按向量平移，即得到函數的圖像，故函數的圖像是以點為中心的中心對稱圖形．
（3）證明：在曲線上任取一點．
由知，過此點的切線方程為
．
令得，切線與直線交點為．
令得，切線與直線交點為．
直線與直線的交點為．
從而所圍三角形的面積為．
所以，所圍三角形的面積為定值．
三、名校試題
１．考點一　合情推理與演繹推理
１．(安徽省皖南八校2008屆第三次聯考卷3．設，為兩條不同直線為兩個不同平面，則下列命題正確的是 (　　　)
A．∥，∥，∥，則∥
B．∥，⊥，⊥，則∥
C．∥，∥，∥，則∥
D．∥，⊥，∥，則∥
〖解析〗　對于A項兩個平面也可以相交，如m,n都是與交線平行時,條件符合；對于C項,與平面平行的直線之間可以是相交,也可以是異面；D項中的直線n也可以在平面內.
〖答案〗B
2．(安徽省皖南八校2008屆第三次聯考卷15．如圖，給出的“三角形數陣”中，每一列數成等差數列，從第三行起，每一行的數成等比數列，且每一行的公比都相等，則該數陣中位于第63行第8列的數是____________．
〖解析〗易知第一列的數是首項為1,公差為的等差數列,所以第63行第一個數是1+62=32,第63行又是以32為首項,公比為的等比數列,所以第8個數是32=.
〖答案〗
考點二. 證明與推理
1廣東省實驗中學2008年高三第三次模擬考試21、已知函數當時，總有.
（1）求函數f(x)的解析式；
（2）設函數，求證：當時， 的充要條件是.
解：（1）由條件，得，……………1分
當時，總有，所以有

由①+②得，，
又b≥－2，∴b=－2，…………………………………………………………4分
把b=－2代入①和②得
因此.…………………………………………………7分
（2），
是關于x的二次函數，……………………………9分
當時，或
或
解得，. 因此，當時，的充要條件是……14
2 江蘇省鹽城中學2008年高三上學期第二次調研測試題19 函數，，
(其中)，設.
（Ⅰ）當時,試將表示成的函數,并探究函數是否有極值；(7分)
（Ⅱ）當時，若存在，使成立，試求的范圍. (9分)
解：（Ⅰ）∵,
,
∴ ……………………………………………… (3分)
∴
設是的兩根，則，∴在定義域內至多有一解,
欲使在定義域內有極值，只需在內有解，且的值在根的左右兩側異號，∴得………………………………………… (6分)
綜上：當時在定義域內有且僅有一個極值，
當時在定義域內無極值……… (7分)
（Ⅱ）∵存在，使成立等價于的最大值大于0………..(9分)
∵，∴,
∴得.
當時，得；
當時，得…………………………… (12分)
當時，不成立 …………………………………………… (13分)
當時，得；
當時，得；
綜上得：或……………………………………………… (16分)
3. 已知函數.
（Ⅰ）數列，恒成立，試求a1的取值范圍；
（II）數列
的前k項和，Tk為數列的前k項積，.
解：（I）， …………1分
…………3分

…………4分

…………6分
（II）證明：


…………10分

由顯然
。

…………14分
4江蘇省鹽城中學2008年高三上學期第二次調研測試題20 已知為實數，數列滿足，當時，，
（Ⅰ）；(5分)
（Ⅱ）證明：對于數列，一定存在，使；(5分)
（Ⅲ）令，當時，求證：(6分)
20. 解:（Ⅰ）由題意知數列的前34項成首項為100,公差為－3的等差數列,從第35項開始,奇數項均為3,偶數項均為1,從而= ……(3分)
=. ……………………………(5分)
（Ⅱ）證明：①若,則題意成立……………………………………………(6分)
②若,此時數列的前若干項滿足,即.
設,則當時,.
從而此時命題成立……………………………………………………………(8分)
③若,由題意得,則由②的結論知此時命題也成立.
綜上所述,原命題成立…………………………………………………………(10分)
（Ⅲ）當時，因為,
所以=……………………………(11分)
因為>0,所以只要證明當時不等式成立即可.
而
…………………………………(13分)
①當時,
……(15分)
②當時,由于>0,所以<
綜上所述,原不等式成立………………………………………………………(16分)
考點三 數學歸納法
(天津市十二區縣重點中學) 已知函數
（Ⅰ）判斷的奇偶性；
（Ⅱ）在上求函數的極值；
（Ⅲ）用數學歸納法證明：當時，對任意正整數都有
解：（Ⅰ） 。……3分
(Ⅱ)當時，
………5分
令有，
當x變化時的變化情況如下表: 由表可知：
（
+
0
－
增
極大值
減
當時取極大值. ………7分
(Ⅲ)當時 ………8分
考慮到：時，不等式等價于…（1）
所以只要用數學歸納法證明不等式（1）對一切都成立即可………9分
（i）當時，設
， ………10分
故，即
所以，當時，不等式（1）都成立 ………11分
（ii）假設時，不等式（1）都成立，即
當時設
有 ………12分
故為增函數，
所以，，即， ………13分
這說明當時不等式（1）也都成立，
根據(i)(ii)可知不等式（1）對一切都成立，
故原不等式對一切都成立. ………14分
2 (湖南省雅禮中學2008年高三年級第六次月考)已知函數．
（Ⅰ）若函數f(x)在其定義域內為單調函數，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數f(x)的圖象在x = 1處的切線的斜率為0，且，已知a1 = 4，求證：an ( 2n + 2；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試比較與的大小，并說明你的理由．
解：(1)，．
要使函數f(x)在定義域內為單調函數，則在內恒大于0或恒小于0，
當在內恒成立；
當要使恒成立，則，解得，
當恒成立，
所以的取值范圍為．
根據題意得：，
于是，
用數學歸納法證明如下：
當，不等式成立；
假設當時，不等式成立，即也成立，
當時，，
所以當，不等式也成立，
綜上得對所有時，都有．
(3) 由(2)得，
于是，
所以，
累乘得：，
所以．
四、考點預測
推理與證明在高考中一是出現在小題中,判斷一些命題的真假、充要條件之間的關系，出現在大題當中測是以證明形式出現，可以是代數方面的，也可以是幾何方面的，特別是代數推理題越來越受命題者的重視，另外數學歸納法證明是理科常考方法之一。
1設集合A={x|}，B={x|0＜x＜3}，那么“mA”是“mB”的（　　）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解析】 由得，，所以，可知若“”推不出 “”；若“mB”則 “mA”，所以“mA”是“mB”必要而不充分條件．故選B項．
【答案】B
2. 設有直線m、n和平面、.下列四個命題中，正確的是 ( )
A．若m∥,n∥,則m∥n B．若m,n,m∥,n∥,則∥
C．若，m,則m D．若，m，m,則m∥
【解析】A錯，還可能相交或異面；B錯，直線m、n必須相交；C錯，垂直于交線才垂直于，故選D
【答案】D
3．已知函數，數列的前項和為，，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）探究：數列是否單調？
（Ⅰ）∵，∴．
∵=，（2分）
∴當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減．
∴在區間內，．（2分）
（Ⅱ）用數學歸納法證明：
① 當時， ∵，∴，成立；
② 假設當時，成立．
當時，由及，得，（2分）
由(Ⅰ) 知，在上單調遞增，所以，
而，， 故．
∴當時，也成立．
由①、②知，對任意都成立．（4分）
（Ⅲ）數列單調遞減．（1分）
理由如下：
當時， ∴；
當時，由得．
∵，（2分）
又由 (Ⅱ) 知，，∴，
∴，即
∴，
∴，∴．（3分）
綜上，數列單調遞減．
4．（本小題滿分14分）已知函數
（Ⅰ）試判斷函數上單調性并證明你的結論；
（Ⅱ）若恒成立，求整數k的最大值；
（Ⅲ）求證：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3.
．解：（I）…………（2分）

上是減函數.……………………………………………………（4分）
（II）
即h(x)的最小值大于k.…………………………………………………………（6分）

則上單調遞增，
又
存在唯一實根a，且滿足
當
∴
故正整數k的最大值是3 ……………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
∴ ………………11分
令，則
∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]
∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3 ………………14分
5 設數列滿足，前項和為，且.
（Ⅰ）證明數列為等比數列并求的通項公式；
（Ⅱ）當時，比較與的大小；
（Ⅲ）若,，求證：．
解：（Ⅰ）由，
得，即, 而
∴數列是以t為首項，t為公比的等比數列.∴.
（Ⅱ）∵且
∴且　　
∴ ∴
（Ⅲ）∵
∴

∴
6 已知數列中，。⑴求證：數列是等比數列；⑵求的通項公式；⑶設的前項和為，求證：。
．證明：⑴因，故。顯然，因此數列是以為首項，以2為公比的等比數列；
⑵由⑴知，解得；
⑶因為，所以。又
（當且僅當時取等號），故。綜上可得。（亦可用數學歸納法）

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