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2009屆新課標數學考點預測---圓錐曲線與方程
一、考點介紹
1.橢圓的定義：
第一定義：平面內到兩個定點F1、F2的距離之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓,這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.
第二定義: 平面內到定點F與到定直線l的距離之比是常數e(02.橢圓的標準方程及其幾何性質：
標準方程
圖形
頂點
,
,
對稱軸
軸，軸，長軸長為，短軸長為
焦點
、
、
焦距
焦距為
離心率
(0準線方程
3.橢圓知識網絡
4.雙曲線的定義：
第一定義：平面內到兩個定點F1、F2的距離之差的絕對值等于定值2a(0<2a<|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線,這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距.
第二定義: 平面內到定點F與到定直線l的距離之比是常數e(e>1)的點的軌跡是雙曲線,定點叫做雙曲線的焦點,定直線叫做雙曲線的準線,常數叫做雙曲線的離心率.
5.雙曲線的標準方程及其幾何性質：
標準方程
圖形
頂點
對稱軸
軸，軸，實軸長為，虛軸長為
焦點
焦距
焦距為
離心率
(e>1)
準線方程
6.雙曲線知識網絡
7.拋物線的定義:
平面內到定點F和定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(點F不在上).定點F叫做拋物線的焦點, 定直線叫做拋物線的準線.
8.拋物線的標準方程及其幾何性質：
標準方程
圖形
對稱軸
軸
軸
軸
軸
焦點
頂點
原點
準線
離心率
1
9.拋物線知識網絡
10.方程的曲線和曲線的方程
在直角坐標系中，如果某曲線（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程的實數解建立了如下的關系：
（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解；
（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.
11. 圓錐曲線綜合問題
⑴直線與圓錐曲線的位置關系和判定
直線與圓錐曲線的位置關系有三種情況：相交、相切、相離.
直線方程是二元一次方程,圓錐曲線方程是二元二次方程,由它們組成的方程組,經過消元得到一個一元二次方程,直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件分別是、、.
⑵直線與圓錐曲線相交所得的弦長
直線具有斜率,直線與圓錐曲線的兩個交點坐標分別為,則它的弦長
上面的公式實質上是由兩點間距離公式推導出來的,只是用了交點坐標設而不求的技巧而已(因為，運用韋達定理來進行計算.
當直線斜率不存在是,則.
注: 1.圓錐曲線，一要重視定義，這是學好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數形結合，既熟練掌握方程組理論，又關注圖形的幾何性質，以簡化運算；
2.當涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達定理，二是點差法；
3.圓錐曲線中參數取值范圍問題通常從兩個途徑思考:一是建立函數，用求值域的方法求范圍,二是建立不等式，通過解不等式求范圍.
二、高考真題
1. （2006年北京卷，文科，19）
橢圓C:的兩個焦點為F1,F2,點P在橢圓C上，且
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交橢圓C于兩點，且A、B關于點M對稱，求直線l的方程.
〖解析〗（Ⅰ）由橢圓的定義及勾股定理求出a,b,c的值即可，（Ⅱ）可以設出A、B點的坐標及直線方程，聯立直線方程和橢圓方程后利用一元二次方程根與系數關系即可求出直線方程，也可以利用“點差法”求出直線的斜率，然后利用點斜式求出直線方程.
〖答案〗解法一：
(Ⅰ)因為點P在橢圓C上，所以，a=3.
在Rt△PF1F2中，故橢圓的半焦距c=,
從而b2=a2－c2=4,
所以橢圓C的方程為＝1.
(Ⅱ)設A，B的坐標分別為（x1,y1）、（x2,y2）.
已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）.
從而可設直線l的方程為
y=k(x+2)+1,
代入橢圓C的方程得
（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.
因為A，B關于點M對稱.
所以
解得，
所以直線l的方程為
即8x-9y+25=0.
(經檢驗，所求直線方程符合題意)
解法二：
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）.
設A，B的坐標分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且
①
②
由①－②得
③
因為A、B關于點M對稱，
所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,
代入③得＝，
即直線l的斜率為，
所以直線l的方程為y－1＝（x+2），
即8x－9y+25=0.
(經檢驗，所求直線方程符合題意.)
2．（2007年上海卷，文科，21）
我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，，．
如圖，設點，，是相應橢圓的焦點，，和，是“果圓” 與，軸的交點，是線段的中點．
（1）若是邊長為1的等邊三角形，求該
“果圓”的方程；
（2）設是“果圓”的半橢圓
上任意一點．求證：當取得最小值時，
在點或處；
（3）若是“果圓”上任意一點，求取得最小值時點的橫坐標．
〖解析〗（1）求出兩個半橢圓的方程即可得到“果圓”的方程，（2）由兩點間的距離公式表示出PM的長，根據二次函數的性質即可求出最小值，（3）思路同（2），只需分兩種情況討論即可.
〖答案〗（1） ，
，
于是，
所求“果圓”方程為，．
（2）設，則

，
， 的最小值只能在或處取到．
即當取得最小值時，在點或處．
（3），且和同時位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可．

．
當，即時，的最小值在時取到，
此時的橫坐標是．
當，即時，由于在時是遞減的，的最小值在時取到，此時的橫坐標是．
綜上所述，若，當取得最小值時，點的橫坐標是；若，當取得最小值時，點的橫坐標是或．
3．（2007年山東卷，理科，21）
已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．
〖解析〗（Ⅰ）由已知易求出a，c的值，即得橢圓方程，（Ⅱ）由待定系數法設出直線方程，聯立橢圓方程后由可以得到關于k和m的方程，求出滿足的k和m的關系式后即可得到過定點的直線方程.
〖答案〗(I)由題意設橢圓的標準方程為
，
(II)設，由得
，
，.
以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，
，，
，
，解得
，且滿足.
當時，，直線過定點與已知矛盾；
當時，，直線過定點
綜上可知，直線過定點，定點坐標為
4．（2008年湖南卷，文科，19）
已知橢圓的中心在原點，一個焦點是，且兩條準線間的距離為.
（I）求橢圓的方程；
（II）若存在過點A（1，0）的直線，使點F關于直線的對稱點在橢圓上，
求的取值范圍.
〖解析〗（I）橢圓方程由a，b，c的關系易得，（II）設出直線的方程，求出點F關于直線的對稱點，代入橢圓方程解關于的不等式組即得的取值范圍.
〖答案〗（I）設橢圓的方程為
由條件知且所以
故橢圓的方程是
（II）依題意, 直線的斜率存在且不為0,記為,則直線的方程是
設點關于直線的對稱點為則
解得
因為點在橢圓上，所以即
設則
因為所以于是,
當且僅當
上述方程存在正實根,即直線存在.
解得所以
即的取值范圍是
5. （2008年遼寧卷，文科，21）
在平面直角坐標系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設點P的軌跡為．
（Ⅰ）寫出C的方程；
（Ⅱ）設直線與C交于A，B兩點．k為何值時？此時的值是多少？
〖解析〗（Ⅰ）由橢圓的定義易得，（Ⅱ）設出A，B兩點的坐標后由一元二次方程根與系數關系求出，再由向量的坐標運算求出k值，最后由弦長公式可以求出的值.
〖答案〗（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，
長半軸為2的橢圓．它的短半軸，
故曲線C的方程為． 4分
（Ⅱ）設，其坐標滿足
消去y并整理得，
故． 6分
，即．而，
于是．
所以時，，故． 8分
當時，，．
，
而，
所以．
6．（2008年山東卷，文科，22）
已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，
曲線的內切圓半徑為．記為以曲線與坐標軸的交點為頂點的橢圓．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．
是上異于橢圓中心的點．
（1）若（為坐標原點），當點在橢圓上運動時，
求點的軌跡方程；
（2）若是與橢圓的交點，求的面積的最小值．
〖解析〗（Ⅰ）由三角形面積公式和點到直線的距離公式可得關于a，b的方程組， 曲線與坐標軸的交點為橢圓的頂點，顯然為焦點在x軸的橢圓；
（Ⅱ）（1）設出的方程，，，聯立直線與橢圓得到方程組后，由可得的軌跡方程，注意或不存在時所得方程仍然成立；（2）由直線的方程：和橢圓方程聯立后表示出由不等式放縮即可求出最小值.
〖答案〗（Ⅰ）由題意得又，解得，．
因此所求橢圓的標準方程為．
（Ⅱ）（1）假設所在的直線斜率存在且不為零，設所在直線方程為
，．
解方程組得，，
所以．
設，由題意知，
所以，即，
因為是的垂直平分線，所以直線的方程為，即，
因此，
又，所以，故．
又當或不存在時，上式仍然成立．
綜上所述，的軌跡方程為．
（2）當存在且時，由（1）得，，
由解得，，
所以，，．
解法一：由于
，
當且僅當時等號成立，即時等號成立，
此時面積的最小值是．
當，．
當不存在時，．
綜上所述，的面積的最小值為．
解法二：因為，
又，，
當且僅當時等號成立，即時等號成立，
此時面積的最小值是．
當，．
當不存在時，．
綜上所述，的面積的最小值為．
7．（2008年廣東卷，文科，20）
設，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經過橢圓的右焦點．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．
〖解析〗（1）由已知可求出G點的坐標，從而求出拋物線在點的切線方程，進而求出點的坐標，由橢圓方程也可以求出點的坐標，從而求出，得出橢圓方程和拋物線方程；（2）以為直角和以為直角的直角三角形顯然各一個，以為直角的直角三角形是否存在可以轉化成對應的方程是否有解的問題，從而可以求出滿足條件的P點的個數.
〖答案〗（1）由得，
當得，G點的坐標為，，，
過點G的切線方程為即，
令得，點的坐標為，由橢圓方程得點的坐標為，
即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；
（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個，
同理 以為直角的只有一個。
若以為直角，設點坐標為，、兩點的坐標分別為和，
。
關于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。
三、名校試題
1．（山東省濰坊市2008屆高三5月教學質量檢測，理科，21）
已知實數m>1，定點A（－m，0），B（m，0），S為一動點，點S與A，B兩點連線斜率之積為
（1）求動點S的軌跡C的方程，并指出它是哪一種曲線；
（2）當時，問t取何值時，直線與曲線C有且只有一個交
點？
（3）在（2）的條件下，證明：直線l上橫坐標小于2的點P到點（1，0）的距離與到直線x=2的距離之比的最小值等于曲線C的離心率.
〖解析〗（1）由題易得動點S的軌跡C為橢圓，注意要除去x軸上的兩項點；（2）聯立直線與橢圓方程，由即可求得值，注意；（3）由兩點間的距離公式和點到直線的距離公式表示出兩距離之比，轉化成求關于的函數的最小值問題，利用導函數即可解之.
〖答案〗（1）設.
由題意得
∵m>1，∴軌跡C是中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓（除去x軸上的兩項點），其中長軸長為2，短軸長為2.
（2）當m=時，曲線C的方程為
由
令
此時直線l與曲線C有且只有一個公共點.
（3）直線l方程為2x－y+3=0.
設點表示P到點（1，0）的距離，d2表示P到直線x=2的距離，
則

令
則
令

∴的最小值等于橢圓的離心率.
2．（山東省煙臺市2008屆高三5月適應性練習，理科，21）
如圖，在平面直角坐標系中，N為圓A上的一動點，點B（1，0），點M
是BN中點，點P在線段AN上，且
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）試判斷以PB為直徑的圓與圓的位置關系，并說明理由。
〖解析〗（1）由垂直平分線的性質和橢圓定義易求；（2）設出，由中點坐標公式可得以PB為直徑的圓的圓心，進而求出半徑又圓的圓心為（0，0），半徑比較圓心距與的大小關系即可.
〖答案〗（1）由點M是BN中點，又
可知PM垂直平分BN，所以
所以|PA|+|PB|=4
由橢圓定義知，點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓.
設橢圓方程為
由
可知動點P的軌跡方程為
（2）解：設點
即以PB為直徑的圓的圓心為，
半徑為
又圓的圓心為（0，0），半徑
又
故即兩圓相切.
3．（寧夏銀川一中2008屆高三年級第五次月考測試，理科，21）
已知直線相交于A、B兩點.
（1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長；
（2）若向量互相垂直（其中O為坐標原點），當橢圓的離心率
時，求橢圓的長軸長的最大值.
〖解析〗（1）由已知條件易求橢圓的標準方程，再由弦長公式即可求得線段AB的長；（2）由向量互相垂直可以設從而轉化成坐標運算，求出的關系，進而用離心率表示，再由，求出的范圍即求出長軸長的最大值.
〖答案〗（1），
，
聯立
則
，
（2）設，
由，
，
，
由此得
故長軸長的最大值為
4．（廣東省實驗中學2008屆高三第三次模擬考試，理科，20）
已知拋物線x2=－y，直線L：(m+1)y+(3-m)x+m+1=0 (m∈R且m≠－1)與拋物線交于A，B兩
點.
（1） 當m=0時，試用x,y的不等式組表示由直線L和拋物線圍成的封閉圖形所在平面區域(包邊界) ,并求該區域的面積.
（2）求證：對任意不為零的實數m，拋物線的頂點都在以線段AB為直徑的圓C上；并求圓
C的圓心的軌跡方程.
（3）將拋物線x2=－y的圖像按向量=（4，16）移動后得到函數y=f(x)的圖像，若
問是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.
〖解析〗（1）所要表示的平面區域包括邊界，要注意不等式取等號，由定積分即可求出相應
的面積，計算時可以整體代入；
（2）證明拋物線的頂點在以線段AB為直徑的圓C上，即證明，圓C的圓心的
軌跡可由中點坐標公式利用“代入法”求得；
（3）構造函數，因為，所以y=f（x）的圖
象與y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點問題就可以轉化為函數有兩個正零點的
問題，要對的單調性進行討論，從而求出使得由兩個正零點的的取值范圍.
〖答案〗（3）依題意，f(x)=-x2+8x,令
因為x＞0，要使函數f（x）與函數g（x）有且僅有2個不同的交點，則函數
的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點
當x∈（0，1）時，是增函數；
當x∈（1，3）時，是減函數
當x∈（3，+∞）時，是增函數
當x=1或x=3時，
∴
又因為當x→0時，
當
所以要使有且僅有兩個不同的正根，必須且只須
即
∴m=7或
∴當m=7或時，函數f（x）與g（x）的圖象有且只有兩個不同交點.
5．（福建省莆田四中2008屆5月份第二次模擬考試，理科，21）
已知為坐標原點，點、的坐標分別為 ，點、滿足
||，（），過點且垂直于的直線交線段于點，
設點的軌跡為.
（1）求軌跡的方程；
（2）設直線的：與軌跡交于不同的兩點、，對點和向量，求取最大值時直線的方程.
〖解析〗（1）由橢圓的定義易得點的軌跡的方程；（2）設出、兩點的坐標后轉化成向量的坐標運算，進而由不等式放縮得到取最大值時k的值，即得到直線的方程.
〖答案〗(1)∵＝(＋)，∴N為AF的中點
∴||＝||∴||＋||＝||＋||＞||
∴點M的軌跡C是以E、F為焦點的橢圓
∵長半軸a＝，半焦距c＝
∴b2＝a2－c2＝1
∴點M的軌跡C的方程為＋y2＝1
(2)將y＝k(x＋1)(k≠0)代入橢圓C：＋y2＝1中，整理得
(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－3＝0
設R(x3，y3)、S(x4，y4)
則x3＋x4＝－，x3x4＝
所以y3y4＝k2(x3＋1)(x4＋1)＝k2(x3＋x4＋x3x4＋1)＝－
∴＝(x3－1)(x4－1)＋y3y4－3－9k2
＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4－3－9k2＝＋＋1－－3－9k2
＝－3－9k2＝－[＋3(1＋3k2)]≤－2×4＝－
當且僅當＝3(1＋3k2)，即k2＝∈(0，1)時等號成立
此時，直線l的方程為y＝±(x＋1)
6. （山東省文登市2009屆高三第三次月考試題，理科，21）
過點作傾斜角為的直線，交拋物線：于兩點，且
成等比數列。⑴求的方程；⑵過點的直線與曲線交于
兩點。設，與的夾角為，
求證：。
〖解析〗⑴設，聯立直線與拋物線的方程
后根據一元二次方程根與系數關系可得到關于的方程，解之即得
的方程；⑵法一：要證，只需證明即可.
法二：根據“以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切”這一性質分兩種情況討論即可得證.
〖答案〗⑴設，則由題，由得，故。
又根據可得，即，代入可得，解得（舍負）。故的方程為；
⑵法一：設，代入得，故，
從而
，因此
法二：顯然點是拋物線的焦點，點是其準線上一點。設為的中點，過分別作的垂線，垂足分別為，則。因此以為直徑的圓與準線相切（于點）。若與重合，則。否則點在外，因此。綜上知。
7. （江蘇省鹽城一中、大豐中學、建湖中學2009屆高三第二次調研考試， 21）
拋物線的準線的方程為，該拋物線上的每個點到準線的距離都與到定點N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時與直線 相切的圓，
（Ⅰ）求定點N的坐標；
（Ⅱ）是否存在一條直線同時滿足下列條件：
① 分別與直線交于A、B兩點，且AB中點為；
② 被圓N截得的弦長為．
〖解析〗（1）由拋物線的定義易得；
（2）假設存在直線，設出直線的方程為，.
方法1：由弦心距的長為1求出的值，然后檢驗是否符合AB中點為這個條件；
方法2：將直線的方程分別與直線的方程聯立，求出A、B兩點的坐標，再由中點坐標公式求出的值，最后檢驗弦心距的長是否為1；
方法3：設出A點的坐標為，由中點坐標公式和B點在上，求出的值，進而求出直線的斜率，最后檢驗弦心距的長是否為1.
〖答案〗（1）因為拋物線的準線的方程為
所以，根據拋物線的定義可知點N是拋物線的焦點，
所以定點N的坐標為
（2）假設存在直線滿足兩個條件，顯然斜率存在，
設的方程為，
以N為圓心，同時與直線 相切的圓N的半徑為，
方法1：因為被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，
即，解得，
當時，顯然不合AB中點為的條件，矛盾！
當時，的方程為
由，解得點A坐標為，
由，解得點B坐標為，
顯然AB中點不是，矛盾！
所以不存在滿足條件的直線．
方法2：由，解得點A坐標為，
由，解得點B坐標為，
因為AB中點為，所以，解得，
所以的方程為，
圓心N到直線的距離，
因為被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，矛盾！
所以不存在滿足條件的直線．
方法3：假設A點的坐標為，
因為AB中點為，所以B點的坐標為，
又點B 在直線上，所以，
所以A點的坐標為，直線的斜率為4，
所以的方程為，
圓心N到直線的距離，
因為被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，矛盾！
所以不存在滿足條件的直線．
8. （遼寧省撫順一中2009屆高三第一次模擬考試，理科，21）
橢圓ax2+by2 =1與直線x+y-1=0相交于A、B兩點，若|AB|=2，線段AB的中點為C，且OC的斜率為，求橢圓方程.
〖解析〗聯立直線與橢圓方程，根據一元二次方程根與系數關系、中點坐標公式、斜率公式求出a，b的關系，再由弦長公式求出a，b的值，即得所求橢圓的方程.
〖答案〗∴（a+b）x2 -2bx+b-1=0
∴
C（）
KOC =∴b=a，
代入|AB|=2，即：（1+k2）[（x1+x2）2-4 x1x2]=8
a=，b=
∴橢圓方程為：x2+y2 =1
四、考點預測
（一）文字介紹
圓錐曲線是解析幾何的核心內容，也是高考命題的熱點之一.高考對圓錐曲線的考查，總體上是以知識應用和問題探究為主，一般是給出曲線方程，討論曲線的基本元素和簡單的幾何性質；或給出曲線滿足的條件，判斷（求）其軌跡；或給出直線與曲線、曲線與曲線的位置關系，討論與其有關的其他問題（如直線的方程、直線的條數、弦長、曲線中參變量的取值范圍等）；或考查圓錐曲線與其他知識綜合（如不等式、函數、向量、導數等）的問題等.
（二）考點預測題
1. （2007年山東高考真題模擬試卷八，理科，22）
橢圓G：的兩個焦點F1（－c，0）、F2（c，0），M是橢圓上的
一點，且滿足
（Ⅰ）求離心率e的取值范圍；
（Ⅱ）當離心率e取得最小值時，點N（0，3）到橢圓上的點的最遠距離為求此時
橢圓G的方程；（ⅱ）設斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓G相交于不同的兩點A、B，Q
為AB的中點，問A、B兩點能否關于過點的直線對稱？若能，求出k的取值
范圍；若不能，請說明理由.
〖答案〗（I）設M（x0，y0）
①
又 ②
由②得代入①式整理得
又
解得

（Ⅱ）（i）當
設H（x，y）為橢圓上一點，則
若0
由（舍去）
若b≥3，當y=－3時，|HN|2有最大值2b2+18
由2b2+18=50得b2=16
∴所求橢圓方程為
（ii）設A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），則由
③
又直線PQ⊥直線l ∴直線PQ方程為
將點Q（x0，y0）代入上式得， ④
由③④得Q
（解1）而Q點必在橢圓內部
由此得
故當時A、B兩點關于點P、Q的直線對稱.
（解2）∴AB所在直線方程為
由得
顯然1+2k2≠0
而

直線l與橢圓有兩不同的交點A、B ∴△＞0
解得
故當時，A、B兩點關于點P、Q的直線對稱。
（ii）另解；設直線l的方程為y=kx+b
由得
設A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），則
③
又直線PQ⊥直線l ∴直線PQ方程為
將點Q（x0，y0）代入上式得， ④
將③代入④⑤
∵x1，x2是（*）的兩根
⑥
⑤代入⑥得
∴當時，A、B兩點關于點P、Q的直線對稱
2．（2007年山東高考真題模擬試卷十一，理科，22）
雙曲線M的中心在原點，并以橢圓的焦點為焦點，以拋物線的
準線為右準線.
（Ⅰ）求雙曲線M的方程；
（Ⅱ）設直線： 與雙曲線M相交于A、B兩點，O是原點.
① 當為何值時，使得?
② 是否存在這樣的實數,使A、B兩點關于直線對稱？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
〖答案〗（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，
又拋物線的準線為：.
設雙曲線M的方程為，依題意有，
故，又.
∴雙曲線M的方程為.
（Ⅱ）設直線與雙曲線M的交點為、兩點
聯立方程組 消去y得 ，
∵、兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根， ∴
∴，從而有
，.
又，
∴.
① 若，則有 ，即 .
∴當時，使得.
② 若存在實數,使A、B兩點關于直線對稱，則必有 ，
因此，當m=0時，不存在滿足條件的k；
當時，由 得

∵A、B中點在直線上，
∴ 代入上式得
；又， ∴
將代入并注意到，得 .
∴當時，存在實數，使A、B兩點關于直線對稱.
3．（2008年山東卷，理科，22）
如圖，設拋物線方程為為直線上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為
（I）求證：三點的橫坐標成等差數列；
（II）已知當點的坐標為時，求此時拋物線的方程；
（III）是否存在點，使得點關于直線的對稱點在拋物線上，其中點滿足（為坐標原點）。若存在，求出所有適合題意的點的坐標；若不存在，請說明理由。
〖答案〗（I）證明：由題意設，，
，
所以三點的橫坐標成等差數列。
（II）解：由（I）知，
所以是方程的兩根，
或
因此所求拋物線方程為或
（III）解：設由題意得，則中點坐標為
設直線的方程為
與都在上，代入得.
若在拋物線上，則即.
1）當
2）當
（1）對于
矛盾.
（2）對于，，則與軸平行，而直線不垂直矛盾。
綜上可知，僅存在一點適合題意.

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