資源簡介

　一次函數(shù)的實際應(yīng)用
提分要點(diǎn)
1. 確定函數(shù)表達(dá)式的方法
(1)待定系數(shù)法：需根據(jù)題中所給信息(表格或圖象)提取兩個滿足一次函數(shù)圖象的點(diǎn)的坐標(biāo)(兩個x和其對應(yīng)的y值)，利用待定系數(shù)法求解；
(2)列關(guān)系式法：此類問題常需抓住題干(文字或表格)中的關(guān)系列關(guān)系式，如：利潤＝(售價－成本)×銷量，總價＝單價×數(shù)量等．
2. 方案選取問題
方案選取型問題一般是費(fèi)用最少問題，解題時一般先根據(jù)題目滿足的關(guān)系列出不等式，若為兩種方案的選取，將兩種方案的函數(shù)關(guān)系式組成不等式，求解對應(yīng)的自變量的取值范圍；若為三種方案的選取，可畫出函數(shù)圖象，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象性質(zhì)解答．
3. 方案設(shè)計問題
方案設(shè)計型問題一般是利潤最大或費(fèi)用最少問題，解題時一般先根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，然后由圖象、題干信息或列不等式求得自變量的取值范圍，再利用一次函數(shù)的增減性確定利潤最大或費(fèi)用最少時自變量的值，從而設(shè)計出符合要求的方案．
例　
甲、乙兩家商場平時以同樣的價格出售相同的商品，春節(jié)期間兩家商場都讓利酬賓，其中甲商場所有商品按八折出售，乙商場對一次性購物中超過200元后的價格部分打七折．
(1)以x(單位：元)表示商品原價，y(單位：元)表示購物金額，分別就兩家商場的讓利方式寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
(2)在同一直角坐標(biāo)系中畫出(1)中函數(shù)的圖象；
例題圖
(3)春節(jié)期間如何選擇這兩家商城去購物更省錢？
【分層分析】
①等量關(guān)系式：售價＝標(biāo)價×折扣；
②列函數(shù)關(guān)系式：在甲商城購物的金額y1＝________，在乙商城購物不超過200元時，購物的金額y2＝________，超過200元時，購物金額y2＝________；
③描點(diǎn)：根據(jù)題意可知y1的函數(shù)圖象是過原點(diǎn)與點(diǎn)(200，_______)
的一條射線；當(dāng)0≤x≤200時，y2的函數(shù)圖象是過原點(diǎn)與點(diǎn)(200，______)的一條線段，當(dāng)x＞200時，y2的函數(shù)圖象是過點(diǎn)(200，______)
與點(diǎn)(600，______)的一條射線；
連線：將①中所描點(diǎn)依次連接，即為y1與y2的函數(shù)圖象；
④確定怎樣選擇更省錢：分別令y1＜y2，y1＝y(tǒng)2，y1＞y2，即可得到不同自變量取值范圍內(nèi)的更省錢的選擇．
【自主作答】
拓展設(shè)問
(4)若在同一商場購物，商品原價購物金額累計為800元，則在甲、乙兩家商場中哪家商場實際購物花費(fèi)較少？
【分層分析】
①求實際花費(fèi)：根據(jù)甲所有商品按八折出售，可知原價購物金額累計為800元，實際購物花費(fèi)________元，根據(jù)乙商場對一次性購物中超過200元后的價格部分打七折，可知原價購物金額累計為800元，實際購物花費(fèi)________元；
②確定哪個實際購物花費(fèi)最少：根據(jù)①可得________商場花費(fèi)最少．
【自主作答】
(5)小林決定去甲商場購進(jìn)A，B兩款擺件共300件，且購進(jìn)A款擺件的數(shù)量不超過B款擺件的一半，已知A款擺件每個的進(jìn)價為11元(商場打折前)，B款擺件每個的進(jìn)價為13元(商場打折前)；試問如何購進(jìn)A，B兩款擺件使得所需總費(fèi)用最低，最低的費(fèi)用是多少元？
【分層分析】
①等量關(guān)系式：總費(fèi)用＝A款擺件數(shù)量×進(jìn)價＋B款擺件數(shù)量×進(jìn)價；
②設(shè)未知量：設(shè)購進(jìn)A款擺件為a件，則購進(jìn)B款擺件為_____________________件，
總費(fèi)用為w元；
③列函數(shù)關(guān)系式：結(jié)合②中所設(shè)未知數(shù)和①中等量關(guān)系式可得w＝__________；
④根據(jù)購進(jìn)A款擺件的數(shù)量不超過B款擺件的一半，可列關(guān)系式為__________，解得a的取值范圍為________；
⑤確定函數(shù)增減性：∵一次函數(shù)的系數(shù)k________0，∴w隨a的增大而________；
⑥求最低總費(fèi)用并確定最省錢方案：當(dāng)a＝________時，所需總費(fèi)用最低，即購進(jìn)A款擺件為________件，購進(jìn)B款擺件為_______________________________________________件
時所需總費(fèi)用最少，最少為________元．
【自主作答】
(6)在(5)的條件下，小林決定將購進(jìn)的A，B兩款擺件分別以A商品25元/件，B擺件30元/件的價格售出，已知某月售出A，B兩種商品共160件，在兩款擺件成本不超過1 900元的情況下怎樣售出才能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？
【分層分析】
①等量關(guān)系式：單價×數(shù)量＝總價，售價－成本＝利潤；
②設(shè)售出A擺件m件，則售出B商品________件，總利潤為w元；
③列函數(shù)關(guān)系式：總利潤w＝________；
④求m的取值范圍：由成本不超過1 900元可列不等式為________________，
解得m的取值范圍為________；
⑤確定函數(shù)增減性：∵一次函數(shù)的系數(shù)k________0，∴w隨m的增大而________；
⑥求最大利潤：當(dāng)m＝________時，總利潤最大，即出售A擺件________件，B擺件________件時，總利潤為________元．
【自主作答】
真題演練
命題點(diǎn) 　一次函數(shù)的實際應(yīng)用
1. 物理實驗證實：在彈性限度內(nèi)，某彈簧長度y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)滿足函數(shù)關(guān)系y＝kx＋15.下表是測量物體質(zhì)量時，該彈簧長度與所掛物體質(zhì)量的數(shù)量關(guān)系．
x/kg 0 2 5
y/cm 15 19 25
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)彈簧長度為20 cm時，求所掛物體的質(zhì)量．
2. 某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地攤經(jīng)濟(jì)”，每個A類攤位的占地面積比每個B類攤位的占地面積多2平方米，建A類攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建B類攤位每平方米的費(fèi)用為30元，用60平方米建A類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個數(shù)的.
(1)求每個A，B類攤位占地面積各為多少平方米？
(2)該社區(qū)擬建A，B兩類攤位共90個，且B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍．求建造這90個攤位的最大費(fèi)用．
基礎(chǔ)過關(guān)
1. 經(jīng)驗表明，樹在一定的成長階段，其胸徑(樹的主干在地面以上1.3 m處的直徑)越大，樹就越高，通過對某種樹進(jìn)行測量研究，發(fā)現(xiàn)這種樹的樹高y(m)是其胸徑x(m)的一次函數(shù)．已知這種樹的胸徑為0.2 m時，樹高為20 m；這種樹的胸徑為0.28 m時，樹高為22 m.
(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)這種樹的胸徑為0.3 m時，其樹高是多少？
2.“六一”兒童節(jié)將至，張老板計劃購買A型玩具和B型玩具進(jìn)行銷售．若用1 200元購買A型玩具的數(shù)量比用1 500元購買B型玩具的數(shù)量多20個，且一個B型玩具的進(jìn)價是一個A型玩具進(jìn)價的1.5倍．
(1)求A型玩具和B型玩具的進(jìn)價分別是多少？
(2)若A型玩具的售價為12元/個，B型玩具的售價為20元/個．張老板購進(jìn)A，B型玩具共75個，要使總利潤不低于300元，則A型玩具最多購進(jìn)多少個？
3. 我市“共富工坊”問海借力，某公司產(chǎn)品銷售量得到大幅提升．為促進(jìn)生產(chǎn)，公司提供了兩種付給員工月報酬的方案，如圖所示，員工可以任選一種方案與公司簽訂合同．看圖解答下列問題：
(1)直接寫出員工生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，兩種方案付給的報酬一樣多；
(2)求方案二y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
(3)如果你是勞務(wù)服務(wù)部門的工作人員，你如何指導(dǎo)員工根據(jù)自己的生產(chǎn)能力選擇方案．
第3題圖
綜合提升
4. 甲、乙兩個工程組同時挖掘沈白高鐵某段隧道，兩組每天挖掘長度均保持不變，合作一段時間后，乙組因維修設(shè)備而停工，甲組單獨(dú)完成了剩下的任務(wù)，甲、乙兩組挖掘的長度之和y(m)與甲組挖掘時間x(天)之間的關(guān)系如圖所示．
(1)甲組比乙組多挖掘了__________天；
(2)求乙組停工后y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
(3)當(dāng)甲組挖掘的總長度與乙組挖掘的總長度相等時，直接寫出乙組已停工的天數(shù)．
第4題圖
5. (跨學(xué)科整合)某食用油的沸點(diǎn)溫度遠(yuǎn)高于水的沸點(diǎn)溫度，小聰想用刻度不超過100 ℃的溫度計測算出這種食用油沸點(diǎn)的溫度．在老師的指導(dǎo)下，他在鍋中倒入一些這種食用油均勻加熱，并每隔10 s測量一次鍋中油溫，得到的數(shù)據(jù)記錄如下：
時間t/s 0 10 20 30 40
油溫y/℃ 10 30 50 70 90
(1)小聰在直角坐標(biāo)系中描出了表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)．經(jīng)老師介紹，在這種食用油達(dá)到沸點(diǎn)前，鍋中油溫y(單位：℃)與加熱的時間t(單位：s)符合初中學(xué)習(xí)過的某種函數(shù)關(guān)系，填空：可能是__________函數(shù)關(guān)系(請選填“正比例”“一次”“二次”“反比例”)；
(2)根據(jù)以上判斷，求y關(guān)于t的函數(shù)解析式；
(3)當(dāng)加熱110 s時，油沸騰了，請推算沸點(diǎn)的溫度．
第5題圖
一次函數(shù)的實際應(yīng)用（答案）
例　解：(1)甲商場：y＝0.8x(x≥0)，
乙商場：y＝x(0≤x≤200)，y＝0.7×(x－200)＋200＝0.7x＋60，即y＝0.7x＋60(x＞200).
答：甲商場：y＝0.8x(x≥0)，乙商場：y＝；
(2)畫出函數(shù)圖象如解圖；
例題解圖
(3)【分層分析】0.8x，x，0.7x＋60；160，200，200，480.
當(dāng)0.8x＜0.7x＋60，解得x＜600，
∴當(dāng)購物金額按原價小于600元時，在甲商場購物省錢；
當(dāng)0.8x＝0.7x＋60，解得x＝600，
∴當(dāng)購物金額按原價等于600元時，在兩商場購物花錢一樣多；
當(dāng)0.8x＞0.7x＋60，解得x＞600，
∴當(dāng)購物金額按原價大于600元時，在乙商場購物省錢；
(4)【分層分析】640，620；乙．
在甲商場實際購物花費(fèi)：800×0.8＝640(元)，
在乙商場實際購物花費(fèi)：200＋0.7×(800－200)＝620(元)，
∵640＞620，
∴若在同一商場購物，商品原價購物金額累計為800元，則在甲、乙兩家商場中的乙商場實際購物花費(fèi)較少；
(5)【分層分析】(300－a)；11a＋13(300－a)；a≤，a≤100；＜，減小；100，100，200，2 960.
設(shè)購進(jìn)A款擺件a件，則購進(jìn)B款擺件(300－a)件，
∵購進(jìn)A款擺件的數(shù)量不超過B款擺件的一半，
∴a≤，
解得a≤100，
根據(jù)題意得總花費(fèi)w＝11a＋13×(300－a)＝－2a＋3 900，
∵－2＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)a＝100時，w取最小值，最小值為－2×100＋3 900＝3 700，
∴實際花費(fèi)為3 700×0.8＝2 960元．
此時300－a＝300－100＝200，
答：購進(jìn)A款擺件100件，B款擺件200件時，所需總費(fèi)用最少，最少的費(fèi)用是2 960元；
(6)【分層分析】(160－m)；2 720－3m；11m＋13(160－m)≤1 900，m≥90；＜，減??；90，90，70，2 450.
設(shè)小林售出A擺件m件，則售出B擺件(160－m)件，
根據(jù)題意，得11m＋13(160－m)≤1 900，
解得m≥90，
∴w＝(25－11)m＋(30－13)(160－m)＝2 720－3m，
∵－3＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m＝90時，w有最大值，最大值為2 450，
此時160－m＝70，
答：售出A擺件90件，B擺件70件時，才能獲得最大利潤，最大利潤為2 450元．
真題演練
1. 解：(1)將x＝5，y＝25代入y＝kx＋15中，
得25＝5k＋15，
解得k＝2，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x＋15；(4分)
(2)當(dāng)y＝20時，20＝2x＋15，解得x＝2.5，
∴當(dāng)彈簧的長度為20 cm時，所掛物體的質(zhì)量為2.5 kg.(9分)
2. 解：(1)設(shè)每個B類攤位的占地面積為x平方米，則每個A類攤位的占地面積為(x＋2)平方米．
由題意得＝×，(2分)
解得x＝3，
經(jīng)檢驗，x＝3是原分式方程的解且符合實際，(3分)
∴x＋2＝5.
答：每個A類攤位占地面積為5平方米，每個B類攤位占地面積為3平方米；(4分)
(2)設(shè)建造A類攤位a個，則建造B類攤位(90－a)個．
由題意得90－a≥3a，解得a≤22.5.(5分)
設(shè)建造這90個攤位的費(fèi)用為y元，
則y＝40a×5＋30×(90－a)×3＝110a＋8 100.(6分)
∵110＞0，
∴y隨a的增大而增大，
∵a取整數(shù)，
∴a的最大值為22，
∴當(dāng)a＝22時，y的最大值為110×22＋8 100＝10 520.
答：建造這90個攤位的最大費(fèi)用為10 520元．(8分)
基礎(chǔ)過關(guān)
1. 解：(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)，
根據(jù)題意，得，
解得，
∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝25x＋15；
(2)當(dāng)x＝0.3時，y＝25×0.3＋15＝22.5，
∴當(dāng)這種樹的胸徑為0.3 m時，其樹高為22.5 m.
2. 解：(1)設(shè)A型玩具的進(jìn)價為x元/個，則B型玩具的進(jìn)價為1.5x元/個，
由題意可列方程－20＝，
解得x＝10，經(jīng)檢驗，x＝10是分式方程的解且符合實際，
∴1.5x＝15.
答：A型玩具的進(jìn)價為10元/個，B型玩具的進(jìn)價為15元/個；
(2)設(shè)購進(jìn)A型玩具m個，則購進(jìn)B型玩具(75－m)個，總利潤為w元，
則w＝(12－10)m＋(20－15)(75－m)＝－3m＋375，
根據(jù)題意得，－3m＋375≥300，解得m≤25，
∴m最大取25.
答：A型玩具最多購進(jìn)25個．
3. 解：(1)30件；
(2)設(shè)方案二的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)，
把(0，600)，(30，1 200)代入上式，得，
解得，
∴方案二的函數(shù)表達(dá)式為y＝20x＋600；
(3)若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)不足30件，則選擇方案二；
若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)就是30件，兩種方案報酬相同，可以任選一種；
若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)超過30件，則選擇方案一．
4. 解：(1)30；
【解法提示】由圖象可知，前30天，甲、乙合作挖掘隧道，30天后，乙組因維修設(shè)備而停工，甲組單獨(dú)完成剩下的任務(wù)用了30天，∴60－30＝30(天)，∴甲組比乙組多挖掘了30天．
(2)設(shè)乙組停工后y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，
將點(diǎn)(30，210)，(60，300)代入y＝kx＋b中(k≠0)，
得，解得，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝3x＋120(30≤x≤60)；
(3)10天．【解法提示】設(shè)甲、乙每天各挖掘隧道a m，b m，根據(jù)題意，得，解得.乙組30天挖掘了30×4＝120(m)，設(shè)乙組已停工t天，則3×(30＋t)＝120，解得t＝10，故乙組已停工的天數(shù)為10天．
5. 解：(1)一次；
(2)設(shè)這個一次函數(shù)的解析式為y＝kt＋b(k≠0)，
將(0，10)和(10，30)代入y＝kt＋b中，得，
解得，
∴y關(guān)于t的函數(shù)解析式為y＝2t＋10；
(3)當(dāng)t＝110時，y＝2×110＋10＝230，
∴沸點(diǎn)的溫度為230 ℃.

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