資源簡介

反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1. 已知反比例函數(shù)y＝(k≠0).
(1)當反比例函數(shù)圖象在第二、四象限時，k的取值范圍為________，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而________；(填“增大”或“減小”)
(2)若點A(3，－4)，B(－2，m)在該反比例函數(shù)圖象上，則m的值為________；
(3)若k＞0，在這個反比例函數(shù)的圖象上有兩點A(1，y1)，B(4，y2)，則y1，y2的大小關(guān)系為________________________________________________________________________；
(4)若點A(x，y1)，B(－x，y2)在該反比例函數(shù)圖象上，則y1＋y2＝________；
(5)在同一直角坐標系中，函數(shù)y＝(k≠0)和y＝kx＋1(k≠0)的圖象大致為________．
　
第1題圖
2. 如圖，A，B是反比例函數(shù)y＝圖象上的兩點，過點A，B作y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，作x軸的垂線，垂足分別為G，H，連接OA.
　第2題圖
(1)△OAG的面積為________；
(2)矩形OEAG的面積為________，矩形OFBH的面積為________；
(3)若S矩形OFMG＝3，S矩形FEAM＋S矩形HBMG的值為________．
3. 根據(jù)下列實際問題，列函數(shù)關(guān)系式：
(1)某村有耕地200 km2，人口數(shù)量x逐年發(fā)生變化，該村人均耕地面積y km2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為________；
(2)某市距省城248 km，汽車行駛?cè)趟璧臅r間t h與平均速度v km/h之間的函數(shù)關(guān)系式為____________；
(3)古希臘科學(xué)家阿基米德曾說“給我一個支點，我可以撬動地球”．后來人們把阿基米德的發(fā)現(xiàn)“若杠桿上的兩物體與支點的距離與其質(zhì)量成反比例則杠桿平衡”歸納為“杠桿原理”．通俗地說，杠桿原理為：阻力×阻力臂＝動力×動力臂．小偉欲用撬棍撬動一塊石頭，已知阻力和阻力臂分別為1 000 N和0.5 m．則動力F隨動力臂L的變化的函數(shù)關(guān)系式為____________．
知識逐點過
考點1 　反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
表達式 y＝(k為常數(shù)，k≠0)
k的符號 k①________0 k②________0
圖象(草圖)
所在象限 第③________象限(x，y同號) 第④________象限(x，y異號)
增減性 在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而⑤________ 在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而⑥________
對稱性 關(guān)于原點成中心對稱；關(guān)于直線y＝x，y＝－x成軸對稱
考點2 　反比例函數(shù)中k的幾何意義
k的幾何意義 如圖，過反比例函數(shù)y＝(k≠0)圖象上任一點P(x，y)作x軸，y軸的垂線PM，PN，垂足分別為M，N，則所得的矩形PMON的面積S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝⑦________．
基本圖形面積 　 　　 　　 　　 　S△AOP＝⑧____　 S△ABP＝⑨____　 S△APP′＝2|k|　　 S△ABC＝⑩____　　S ABCD＝ ____
考點3 　反比例函數(shù)解析式的確定
待定系數(shù)法 1.設(shè)所求反比例函數(shù)解析式為y＝(k≠0)；2.找出圖象上的一點P(a，b)；3．將點P的坐標代入y＝中，得k＝ ________；4.確定反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝
利用k的幾何意義 若題中已知面積時，考慮用k的幾何意義求解，由面積得|k|，再結(jié)合圖象所在象限判斷k的正負，從而得出k的值，代入解析式即可
考點4 　反比例函數(shù)的實際應(yīng)用
特征 反比例函數(shù)應(yīng)用主要是通過實例構(gòu)建反比例函數(shù)模型，即通過題意或圖象，列出關(guān)系式，根據(jù)圖象和性質(zhì)解決問題
解題方法 1.分析實際問題中變量之間的關(guān)系；2．建立反比例函數(shù)模型；3．用反比例函數(shù)的有關(guān)知識解答，注意利用反比例函數(shù)兩變量之積是定值的性質(zhì)，算出定值
常見應(yīng)用 路程(s)一定，速度(v)和時間(t)成反比例，即v＝；矩形面積(S)一定，長(y)和寬(x)成反比例，即y＝；電壓(U)一定，電流(I)和電阻(R)成反比例，即I＝；容積(V)一定，排水速度(Q)和排水時間(t)成反比例，即Q＝
【溫馨提示】在反比例函數(shù)實際應(yīng)用題中，要注意自變量的取值范圍，有時候只是反比例函數(shù)圖象的一支或一段
真題演練
命題點1 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1. 如圖，在同一平面直角坐標系中，直線y＝k1x(k1≠0)與雙曲線y＝(k2≠0)相交于A，B兩點，已知點A的坐標為(1，2)，則點B的坐標為(　　)
A. (－1，－2) B. (－2，－1) C. (－1，－1) D. (－2，－2)
第1題圖　　　
2. 點(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，(4，y4)在反比例函數(shù)y＝圖象上，則y1，y2，y3，y4中最小的是(　　)
A. y1 B. y2 C. y3 D. y4
命題點2 反比例函數(shù)的實際應(yīng)用
3. 某蓄電池的電壓為48 V，使用此蓄電池時，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)的函數(shù)表達式為I＝.當R＝12 Ω時，I的值為________A.
拓展訓(xùn)練
4. 在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強p(kPa)與汽缸內(nèi)氣體的體積V(mL)成反比例，p關(guān)于 V的函數(shù)圖象如圖所示．若壓強由 75 kPa加壓到100 kPa，則氣體體積壓縮了________ mL.
第4題圖
基礎(chǔ)過關(guān)
1. 若點A(1，3)是反比例函數(shù)y＝(k≠0)圖象上一點，則常數(shù)k的值為(　　)
A. 3 B. －3 C. D. －
2. 反比例函數(shù)y＝－的圖象一定經(jīng)過的點是(　　)
A. (1，4) B. (－1，－4) C. (－2，2) D. (2，2)
3. 關(guān)于反比例函數(shù)y＝，下列結(jié)論正確的是(　　)
A. 圖象位于第二、四象限
B. 圖象與坐標軸有公共點
C. 圖象所在的每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小
D. 圖象經(jīng)過點(a，a＋2)，則a＝1
4. 已知點M(2，a)在反比例函數(shù)y＝的圖象上，其中a，k為常數(shù)，且k>0，則點M定在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.如圖，一次函數(shù)y1＝k1x＋b(k1>0)的圖象與反比例函數(shù)y2＝(k2>0)的圖象相交于點A的橫坐標為1，點B的橫坐標為－2，當y1第5題圖
A. x<－2或x>1
B. x<－2或0C. －21
D. －26. 若點A(－3，a)，B(－1，b)，C(2，c)都在反比例函數(shù)y＝(k<0)的圖象上，則
a，b，c的大小關(guān)系用“<”連接的結(jié)果為(　　)
A. b7. 一次函數(shù)y＝ax＋b與反比例函數(shù)y＝(a，b為常數(shù)且均不等于0)在同一坐標系內(nèi)的圖象可能是(　　)
ABCD
8. 如圖，在平面直角坐標系中，點A在反比例函數(shù)y＝(k為常數(shù)，k>0，x>0)的圖象上，過點A作x軸的垂線，垂足為點B，連接OA.若△OAB的面積為，則k＝__________．
第8題圖
9.已知點A(－2，3)在反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象上，點B(a，3)在反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象上，則a的值為__________．
10. 某農(nóng)場有一個儲水量為8 m3的圓柱形儲水罐，現(xiàn)計劃對農(nóng)場進行改造，需減少儲水罐的占地面積．在儲水量不變的前提下，儲水罐的高度h(m)與底面積S(m2)成反比例函數(shù)關(guān)系，則當儲水罐底面積由5 m2變?yōu)? m2時，高增加了__________m.
11.科學(xué)課上，同學(xué)用自制密度計測量液體的密度．密度計懸浮在不同的液體中時，浸在液體中的高度h(單位：cm)是液體的密度ρ(單位：g/cm3)的反比例函數(shù)，當密度計懸浮在密度為1 g/cm3的水中時，h＝20 cm.
(1)求h關(guān)于ρ的函數(shù)解析式；
(2)當密度計懸浮在另一種液體中時，h＝25 cm，求該液體的密度ρ.
第11題圖
12. 已知反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象的一支如圖所示，它經(jīng)過點(3，－2).
(1)求這個反比例函數(shù)的表達式，并補畫該函數(shù)圖象的另一支；
(2)求當y≤5，且y≠0時自變量x的取值范圍．
第12題圖
綜合提升
13. 已知點A(3，3)，B(3，1)，反比例函數(shù)y＝(k≠0)圖象的一支與線段AB有交點，寫出一個符合條件的k的整數(shù)值：__________．
第13題圖
反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（答案）
1. (1)k＜0，增大
(2)6　【解析】將點A(3，－4)代入y＝，解得k＝－12，將點B(－2，m)代入y＝－，解得m＝6.
(3)y1＞y2　【解析】當反比例函數(shù)圖象在第一、三象限時，k＞0，∴在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，∵1＜4，∴y1＞y2.
(4)0　【解析】∵點A(x，y1)，B(－x，y2)在反比例函數(shù)圖象上，∴xy1＝－xy2，∴y1＝－y2，∴y1＋y2＝0.
(5)③　【解析】∵一次函數(shù)解析式為y＝kx＋1，∴當k＞0時，一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限；當k＜0時，一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限，∴③滿足．
2. (1)　【解析】∵反比例函數(shù)解析式為y＝，點A在反比例函數(shù)的圖象上，∴S△OAG＝＝.
(2)9，9　【解析】S矩形OEAG＝|k|＝9，S矩形OFBH＝|k|＝9.
(3)12　【解析】∵S矩形OGAE＝S矩形OFBH＝9，S矩形OFMG＝3，∴S矩形HBMG＝S矩形FEAM＝9－3＝6，∴S矩形HBMG＋S矩形FEAM＝12.
(1)y＝(x為正整數(shù))；(2)t＝(v＞0)；(3)F＝(L＞0)
知識逐點過
①＞　②＜　③一、三　④二、四　⑤減小　⑥增大　⑦|k|　⑧|k|
⑨|k|　⑩|k|　 |k|　 ab
真題演練
1. A　【解析】∵點A與點B關(guān)于原點對稱，∴點B的坐標為(－1，－2).
2. D　【解析】∵點(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，(4，y4)在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∴y1＞y2＞y3＞y4，∴最小的是y4.
3. 4　【解析】當R＝12 Ω時，I＝＝4(A).
4. 20　【解析】設(shè)函數(shù)表達式是p＝，代入點(100，60)得出函數(shù)表達式是p＝，當p＝75 kPa時，V＝80 mL；當p＝100 kPa時，V＝60 mL.因此氣體體積壓縮了80－60＝20(mL).
基礎(chǔ)過關(guān)
1. A　【解析】 把A(1，3)代入y＝中，得3＝，解得k＝3.
2. C
3. C　【解析】A.k＝3>0，則反比例函數(shù)圖象兩個分支分布在第一、三象限，故不符合題意；B.反比例函數(shù)圖象與坐標軸沒有公共點，故不符合題意；C.當x>0時，y隨x的增大而減小；當x<0時，y隨x的增大而減小，故符合題意；D.圖象經(jīng)過點(a，a＋2)，∴a(a＋2)＝3，解得a1＝1，a2＝－3，故不符合題意．
4. A　【解析】∵k>0，∴反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過第一、三象限，故點M可能在第一象限或第三象限，∵M(2，a)的橫坐標大于0，∴M(2，a)一定在第一象限．
5. B　【解析】∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點橫坐標分別是－2與1，∴由題圖可知，當x<－2時，y1＜y2；當0＜x<1時，y1＜y2，∴x的取值范圍是x<－2或06. D 　【解析】∵反比例函數(shù)的表達式為y＝(k＜0)，∴函數(shù)的圖象位于第二、四象限，∴在第二、四象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．∵A(－3，a)，B(－1，b)，－3＜－1＜0，A，B兩點都在第二象限，∴a＜b，又∵C(2，c)，2＞0，C點在第四象限，∴c＜0，∴c＜a＜b.
7. D　【解析】 A．一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則a＞0，b＞0，所以ab＞0，則反比例函數(shù)y＝的圖象應(yīng)該位于第一、三象限，故A選項不可能；B.一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則a＜0，b＞0，所以ab＜0，則反比例函數(shù)y＝的圖象應(yīng)該位于第二、四象限，故B選項不可能；C.一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則a＞0，b＜0，所以ab＜0，則反比例函數(shù)y＝的圖象應(yīng)該位于第二、四象限，故C選項不可能；D.一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則a＜0，b＞0，所以ab＜0，則反比例函數(shù)y＝的圖象應(yīng)該位于第二、四象限，故D選項有可能.
8. 　【解析】設(shè)點A(x，y)，∵點A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴k＝xy.∵點A在第一象限，且AB⊥x軸于點B，∴OB＝x，AB＝y(tǒng).∵S△OAB＝，∴xy＝，∴xy＝，∴k＝xy＝.
9. 2　【解析】 ∵點A(－2，3)在反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象上，∴k＝(－2)×3＝－6，∴反比例函數(shù)y＝＝.將點B(a, 3)代入y＝中，得3＝，解得a＝2.
【一題多解】 ∵反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象關(guān)于y軸對稱，且點A的縱坐標與點B的縱坐標相等，∴點A的橫坐標與點B的橫坐標關(guān)于y軸對稱，∴a＝－(－2)＝2.
10. 　【解析】根據(jù)圓柱體積＝底面積×高可知，h＝，當S＝5時，h＝，當S＝4時，h＝2，2－＝，∴當儲水罐底面積由5 m2變?yōu)? m2時，高增加了 m．
11. 解：(1)設(shè)h關(guān)于ρ的函數(shù)解析式為h＝(ρ＞0)，
把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，
∴h關(guān)于ρ的函數(shù)解析式為h＝(ρ＞0)；
(2)把h＝25代入h＝，
得25＝，解得ρ＝0.8.
答：該液體的密度ρ為0.8 g/cm3.
12. 解：(1)把點(3，－2)代入反比例函數(shù)y＝(k≠0)，
得－2＝，∴k＝－6，
∴反比例函數(shù)的表達式是y＝－.
反比例函數(shù)圖象的另一支如解圖；
第12題解圖
(2)當y＝5時，5＝－，解得x＝－.
由圖象可知，當y≤5，且y≠0時，
自變量x的取值范圍是x≤－或x>0.
13. 4(答案不唯一，符合3≤k≤9即可)　【解析】當y＝(k≠0)的圖象經(jīng)過點A(3，3)時，則3＝，解得k＝9；當y＝(k≠0)的圖象經(jīng)過點B(3，1)時，則1＝，解得k＝3，∴反比例函數(shù)圖象的一支與線段AB有交點時，k的取值范圍為3≤k≤9，∴符合條件的k的整數(shù)值可以為3，4，5，6，7，8，9.

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