資源簡介

　二次函數的實際應用
提分要點
1. 如何求關于利潤的二次函數表達式：
(1)若題目給出銷售量與單價之間的函數表達式，以及銷售單價與進價之間的關系時，則可直接根據：銷售利潤＝銷售總額－總成本＝銷售量×銷售價－銷售量×進價＝銷售量×(銷售價－進價)來解決；
(2)若題目中未給出銷售量與單價之間的函數表達式，則要先求出銷售量與單價之間的函數表達式，再根據銷售利潤＝銷售量×(銷售價－進價)來解決．
2. 如何求二次函數的最值：
(1)可直接利用配方法求最值，即y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋，當a＞0時，有最小值；當a＜0時，有最大值；
(2)若頂點在已知給定的自變量取值范圍內，則函數在頂點處取得最大值或最小值；若頂點不在已知給定的自變量取值范圍內，則根據二次函數的性質判斷所給自變量取值范圍的兩端點處對應的函數值大小，從而確定最值．
一、購買、銷售問題
例1　
某商店購進一批單價為20元的日用商品，如果以單價30元銷售，那么半月內可售出400件，根據銷售經驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件，如何提高售價，才能在半月內獲得最大的利潤？
變式題
1. 文字型轉化為表格型
某種商品一周的銷售情況如下表，已知該商品進價為每件8元：
銷售單價/元 銷售數量/件
10 50
11 45
12 40
當每件商品的銷售單價為多少元時，才能使每周得到的利潤最大，最大利潤是多少？
2. 改變情境
某體育用品店一桶羽毛球的售價為60元，每月可賣出300件，市場調查反映：銷售單價每上漲1元，則每月少賣出10桶．已知進價為每桶40元，若物價局規定，每件商品的銷售利潤不高于60%，設一桶羽毛球的銷售單價為x元，每月的銷售量為y桶．那么該月這種商品的銷售單價定為多少時，每月的銷售利潤w最大？最大利潤是多少元？
拋物線型問題
提分要點
拋物線型問題主要是將物體運動的軌跡看作一條拋物線，依據運行特點選擇合適的原點，建立平面直角坐標系，設拋物線的表達式為y＝ax2＋bx＋c(或頂點式、交點式)，并結合已知數據，利用待定系數法求解系數的值，同時要理解該拋物線中橫坐標、縱坐標分別表示的實際意義，更好地應用拋物線分析實際問題．
例2　
如圖，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安裝一個噴水頭，使噴出的拋物線型水柱在與池中心的水平距離為1 m處達到最高，高度為3 m，水柱落地處離池中心3 m，水管應多長？
　例2題圖
拓展設問
(1)若不計其他因素，水池的半徑至少為多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？
(2)王師傅在噴水池修建設備期間需對水管噴水進行測試，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅應站立在離水池中心多少米以內？請說明理由；(結果保留兩位小數)
(3)施工完成后，水池負責人想要將水管的長度進行調整，水池的最大半徑為2.5 m，在不改變噴出的拋物線型水柱形狀的情況下，最高點位置不變時，求調整后水管的最大長度．
真題演練
命題點 二次函數的實際應用
1. 端午節是我國入選世界非物質文化遺產的傳統節日，端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8 000元購進的豬肉粽和用6 000元購進的豆沙粽盒數相同．在銷售中，該商家發現豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒．
(1)求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價；
(2)設豬肉棕每盒售價x元(50≤x≤65)，y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤(單位：元)，求y關于x的函數解析式并求最大利潤．
拓展訓練
2. 小林同學不僅是一名羽毛球運動愛好者，還喜歡運用數學知識對羽毛球比賽進行技術分析，下面是他對擊球線路的分析．
如圖，在平面直角坐標系中，點A，C在x軸上，球網AB與y軸的水平距離OA＝3 m，CA＝2 m，擊球點P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度y(m)與水平距離x(m)近似滿足一次函數關系y＝－0.4x＋2.8；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度y(m)與水平距離x(m)近似滿足二次函數關系y＝a(x－1)2＋3.2.
(1)求點P的坐標和a的值；
(2)小林分析發現，上面兩種擊球方式均能使球過網．要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計算判斷應選擇哪種擊球方式．
　第2題圖
基礎過關
1. 一個球從地面豎直向上彈起時的速度為10米/秒，經過t(秒)時球距離地面的高度h(米)適用公式h＝10t－5t2，那么球彈起后又回到地面所花的時間t(秒)是(　　)
A. 5 B. 10 C. 1 D. 2
2. 如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的關系是y＝－(x－10)(x＋4)，則鉛球推出的距離OA＝________m.
第2題圖
3. 商店出售某品牌護眼燈，每臺進價為40元，在銷售過程中發現，月銷量y(臺)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數關系，規定銷售單價不低于進價，且不高于進價的2倍，其部分對應數據如下表所示：
銷售單價x(元) … 50 60 70 …
月銷量y(臺) … 90 80 70 …
(1)求y與x之間的函數關系式；
(2)當護眼燈銷售單價定為多少元時，商店每月出售這種護眼燈所獲的利潤最大？最大月利潤為多少元？
4. 某學校為美化學校環境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個一面靠墻(墻足夠長)的矩形花園，用一道籬笆把花園分為A，B兩塊(如圖所示)，花園里種滿牡丹和芍藥．學校已定購籬笆120米．
(1)設計一個使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；
(2)在花園面積最大的條件下，A，B兩塊內分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，已知牡丹每株售價25元，芍藥每株售價15元，學校計劃購買費用不超過5萬元，求最多可以購買多少株牡丹？
第4題圖
綜合提升
5. 某景區旅游商店以20元/kg的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格不低于22元/kg，不高于45元/kg.經市場調查發現每天的銷售量y(kg)與銷售價格x(元/kg)之間的函數關系如圖所示．
(1)求y關于x的函數表達式；
(2)當銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？【銷售利潤＝(銷售價格－采購價格)×銷售量】
第5題圖
6. 某課外科技活動小組研制了一種航模飛機，通過實驗，收集了飛機相對于出發點的飛行水平距離x(單位：m)、飛行高度y(單位：m)隨飛行時間t(單位：s)變化的數據如下表．
飛行時間t/s 0 2 4 6 8 …
飛行水平距離x/m 0 10 20 30 40 …
飛行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究發現　x與t，y與t之間的數量關系可以用我們已學過的函數來描述，直接寫出x關于t的函數解析式和y關于t的函數解析式(不要求寫出自變量的取值范圍).
問題解決　如圖，活動小組在水平安全線上A處設置一個高度可以變化的發射平臺試飛該航模飛機，根據上面的探究發現解決下列問題．
(1)若發射平臺相對于安全線的高度為0 m，求飛機落到安全線時飛行的水平距離；
(2)在安全線上設置回收區域MN，AM＝125 m，MN＝5 m．若飛機落到MN內(不包括端點M，N)，求發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍．
第6題圖
二次函數的實際應用
例1　解：設銷售單價為x元，銷售利潤為y元．
根據題意，得：
y＝(x－20)[400－20(x－30)]
＝(x－20)(1 000－20x)
＝－20x2＋1 400x－20 000
＝－20(x－35)2＋4 500，
∵－20＜0，
∴當x＝35時，y有最大值，最大值為4 500，
35－30＝5，
∴銷售單價提高5元，才能在半月內獲得最大利潤．
1. 解：設銷售單價x元與銷售數量y件之間的函數關系式為y＝kx＋b(k≠0)，
代入(10，50)和(11，45)得，
解得
∴y＝－5x＋100，
設獲得利潤w元，
則w＝(x－8)(－5x＋100)＝－5x2＋140x－800＝－5(x－14)2＋180，
∵－5＜0，
∴當x＝14時，w有最大值，最大為180.
答：當銷售單價為14元時，每周銷售利潤最大，最大利潤是180元．
2. 解：∵每件商品的銷售利潤不高于60%，
∴x≤40×(1＋60%)，即x≤64，
根據題意，得y＝300－10(x－60)＝－10x＋900(x≤x64)，
則w＝(x－40)(－10x＋900)＝－10x2＋1 300x－36 000＝－10(x－65)2＋6 250
∵－10＜0，
∴當x＜65時，y隨x的增大而增大，
∵x≤64，
∴當x＝64時，w取最大值，
∴w最大＝－10×(64－65)2＋6 250＝6 240(元)，
答：該月這種商品的銷售單價定為64元時，每月的銷售利潤w最大，最大利潤是6 240元．
例2　解：由于在距池中心的水平距離為1 m處達到最高，高度為3 m，
則設拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋3(0≤x≤3)，
將(3，0)代入解析式得，a＝－，
∴拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋3(0≤x≤3)，
令x＝0，則y＝＝2.25(m)，
∴水管長為2.25 m；
(1)令y＝0，則－(x－1)2＋3＝0，
解得x1＝3，x2＝－1(舍去).
答：水池的半徑至少為3米，才能使噴出的水流不至于落在池外；
(2)為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅應站立在離水池中心2.26米以內，
理由如下：
令y＝1.8，則－(x－1)2＋3＝1.8，
解得x≈2.26(負值已舍去).
∴為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅應站立在離水池中心約2.26米以內；
(3)∵拋物線型水柱形狀不變，且水池的最大半徑為2.5 m，
∴噴出的拋物線型水柱在與池中心的水平距離為1 m處達到最高，并經過點(2.5，0)，
設平移后的拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋h，
將(2.5，0)代入解析式得，－×(2.5－1)2＋h＝0，
解得h＝，
當x＝0時，y＝－×(0－1)2＋＝，
∴調整后水管的最大長度為米．
真題演練
1. 解：(1)設豬肉粽進價為a元/盒，則豆沙粽進價為(a－10)元/盒．
則＝，(2分)
解得a＝40，
經檢驗，a＝40是分式方程的解且符合實際．(3分)
40－10＝30.
答：豬肉粽進價為40元/盒，豆沙粽進價為30元/盒；(4分)
(2)依題意得，當x＝50時，每天可售100盒．
當豬肉粽每盒售價x元時，每天可售100－2(x－50)＝(200－2x)盒，(5分)
∴y＝(x－40)(200－2x)＝－2x2＋280x－8 000＝－2(x－70)2＋1 800.
∵－2＜0，50≤x≤65，
∴當x≤70時，y隨x的增大而增大，
∴當x＝65時，y取最大值，最大值為－2×(65－70)2＋1 800＝1 750.
答：y關于x的函數解析式為y＝－2x2＋280x－8 000(50≤x≤65)，且最大利潤為1 750元．(8分)
2. 解：(1)在y＝－0.4x＋2.8中，當x＝0時，y＝2.8，
∴點P的坐標為(0，2.8).
把(0，2.8)代入拋物線解析式，得a＋3.2＝2.8，解得a＝－0.4，
∴點P坐標為(0，2.8)，a的值為－0.4；
(2)令y＝－0.4x＋2.8＝0，解得x＝7，
令y＝－0.4(x－1)2＋3.2＝0，解得x1＝1－2(舍)，x2＝1＋2.
由題意得，點C的坐標為(5，0)，
選擇吊球時，落點到C點的距離為5－(1＋2)＝4－2，
選擇扣球時，落點到C點的距離為7－5＝2，
∵4－2－2＝2－2＜0，
∴4－2＜2，
∴應該選擇吊球．
基礎過關
1. D　【解析】∵當球回到地面時，球距離地面的高度為0，∴0＝10t－5t2，解得t＝2或t＝0(舍)，故選D.
2. 10　【解析】當y＝0時，－(x－10)(x＋4)＝0，解得x1＝－4(舍)，x2＝10，∴鉛球推出的距離OA＝10 m.
3. 解：(1)設y與x之間的函數關系式為y＝kx＋b(k≠0)，
將(50，90)，(60，80)代入，得，解得，
∴y與x之間的函數關系式為y＝－x＋140(40≤x≤80)；
(2)設商店每月出售這種護眼燈所獲利潤為w元，
依題意可得，w＝(x－40)(－x＋140)＝－(x－90)2＋2 500，
∵－1＜0，40≤x≤80，
∴當x＝80時，w取最大值，最大值為2 400元．
答：當銷售單價定為80元時，商店每月出售這種護眼燈所獲的利潤最大，最大月利潤為2 400元．
4. 解：(1)設平行于墻的籬笆長為x米，面積為y平方米，則垂直于墻的籬笆長為米，
∴y＝x×＝－x2＋40x＝－(x－60)2＋1 200，
∴當x＝60時，y有最大值是1 200，
此時，垂直于墻的籬笆長為＝20(米).
答：當平行于墻的籬笆長為60米，垂直于墻的籬笆長為20米時，有最大面積，最大面積為1 200平方米；
(2)設種植牡丹的面積為a平方米，則種植芍藥的面積為(1 200－a)平方米，
由題意可得25×2a＋15×2(1 200－a)≤50 000，
解得a≤700，
即牡丹最多種植700平方米，
700×2＝1 400(株).
答：最多可以購買1 400株牡丹．
5. 解：(1)當22≤x≤30時，設y＝kx＋b(k≠0)，將點(22，48)，(30，40)分別代入，
得，解得，
∴y＝－x＋70.
當30得，解得，
∴y＝－2x＋100.
綜上所述，y關于x的函數表達式是y＝；
(2)設每天獲得的銷售利潤為W元，
當22≤x≤30時，W＝(x－20)(－x＋70)＝－x2＋90x－1 400＝－(x－45)2＋625.
∵－1＜0，拋物線的對稱軸為直線x＝45，
∴當22≤x≤30時，W隨x的增大而增大，
∴當x＝30時，W最大，最大值為－(30－45)2＋625＝400(元).
當30＜x≤45時，W＝(x－20)(－2x＋100)＝－2x2＋140x－2 000＝－2(x－35)2＋450.
∵－2＜0，
∴當x＝35時，W最大，最大值是450.
∵450>400，
∴當銷售價格定為35元/kg時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大，最大銷售利潤是450元．
6. 解：探究發現　x＝5t，y＝－t2＋12t.
解：問題解決　(1)依題意，得－t2＋12t＝0，
解得t1＝0(舍)，t2＝24，
當t＝24時，x＝120.
答：飛機落到安全線時飛行的水平距離為120 m；
(2)設發射平臺相對于安全線的高度為n m, 飛機相對于安全線的飛行高度y′＝－t2＋12t＋n.
∵125∴125<5t<130，
∴25在y′＝－t2＋12t＋n中，
當t＝25，y′＝0時，n＝12.5，
當t＝26，y′＝0時，n＝26.
∴12.5答：發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍是大于12.5 m且小于26 m.

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