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【第三練】5.5.1課時(shí)2 兩角和與差的正切公式
【試題來源】來自各地期中期末的聯(lián)考試題，進(jìn)行整理和改編；
【試題難度】本次訓(xùn)練試題難度較大，適合學(xué)完第三課后，起到提升解題能力和素養(yǎng)的目的.
【目標(biāo)分析】
1.能熟練應(yīng)用兩角和與差的正弦、余弦與正切公式解題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算，如第6題.
2.能熟練應(yīng)用兩角和與差的正切公式求解與一元二次方程有關(guān)的問題，鍛煉數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，如第3題.
3.能熟練應(yīng)用兩角和與差的正切公式、角的變換解題，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化與化歸能力，如第11題.
一、單選題
（2024上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）
1．若，則（ ）
A．0 B．1 C． D．2
（2023上·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
2．若，則（ ）
A． B． C． D．
3．設(shè)是方程的兩個(gè)根，則的值為
A．-3 B．-1 C．1 D．3
（2024上·廣東深圳·高一校考期末）
4．已知，，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）
5．已知，則（ ）
A．2m B． C． D．
（2023下·高一校考單元測(cè)試）
6．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．已知銳角α，β滿足，，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）
8．已知鈍角三角形，為兩銳角，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024上·安徽合肥·高一統(tǒng)考期末）
9．下列四個(gè)等式中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空題
10．已知，，則 ．
（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）
11．已知均為銳角，且，則的值是 ．
四、解答題
（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）
12．在中，，且.試判斷的形狀.
（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）
13．已知，，求．
【易錯(cuò)題目】
【復(fù)盤要點(diǎn)】關(guān)于兩個(gè)角的正切值是一元二次方程的根的問題，一般需要用到韋達(dá)定理結(jié)合兩角和與差的正切公式求解.
典例:（2023上·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中校考階段練習(xí)）已知，與是方程的兩個(gè)根，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)與是方程的兩個(gè)根，頂頂頂，且，再利用兩角和的正切公式求解.
解：因?yàn)椋遗c是方程的兩個(gè)根，
所以，且，
所以，且，
所以，
故答案為：
【復(fù)盤訓(xùn)練】
（2024上·遼寧撫順·高三校聯(lián)考期末）
14．已知，是方程的兩個(gè)根，則（ ）
A． B． C．2 D．
（2024上·廣東·高二學(xué)業(yè)考試）
15．的三個(gè)內(nèi)角是，且是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則是 三角形．
（2024上·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）
16．已知為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，，則的最大值為 .
（2021下·河南·高一校聯(lián)考期末）
17．已知，，是方程的兩根．
（1）求；
（2）求的值．
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)已知條件利用兩角和的正切公式求解
【詳解】因?yàn)椋裕裕?br/>所以，所以
，
故選：D
2．B
【分析】根據(jù)給定條件，利用和角的正切公式求出，再利用和差角的正余弦公式，結(jié)合齊次式法求解即得.
【詳解】由，得，解得，又，
所以.
故選：B
3．A
【詳解】試題分析：由tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系分別求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后將tan（α+β）利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解：∵tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的兩個(gè)根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2,則tan（α+β）= -3，故選A.
考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)公式
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，利用了整體代入的思想，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．
4．D
【分析】根據(jù)求出，從而可得的范圍，即可得出的范圍，再求和的值，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br/>則，
可知，，則，
又因?yàn)椋?br/>可得，
所以.
故選：D.
5．B
【分析】根據(jù)已知條件利用倍角公式和兩角和與差的正弦余弦正切公式進(jìn)行求解；利用特殊值法也可以直接求解.
【詳解】通解：因?yàn)椋?br/>所以，
即，
所以，
所以，
于是
，
優(yōu)解： 取，
則
，
所以，
則，
故選：B．
6．A
【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)推出，再利用兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式，即可求得答案.
【詳解】中，∵、，∴，
即，∴為鈍角，，
又，
∴，∴，
由為鈍角，知A為銳角，則，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，
則的最大值為，
故選：A.
7．AB
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系判斷范圍判斷A選項(xiàng)，應(yīng)用兩角和的正切公式計(jì)算化簡(jiǎn)得出可以判斷B,C,D選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)棣翞殇J角，，
所以.
又，
所以，
所以，
又，所以.
故選：AB.
8．ACD
【分析】由題意可得，，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性及兩角和的正弦公式和兩角和的正切公式逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，由題意，，則，
所以，故A正確；
對(duì)于B，，
因?yàn)椋裕?br/>所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，
所以，
所以，
又因，
所以，
所以，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br/>所以，
所以，故D正確.
故選：ACD.
9．ABD
【分析】根據(jù)兩角和正切公式的變形判斷A，根據(jù)切化弦及三角恒等變換判斷B，由誘導(dǎo)公式判斷C，根據(jù)二倍角的正切公式判斷D.
【詳解】
，故A正確；
，故B正確；
根據(jù)誘導(dǎo)公式知，故C錯(cuò)誤；
，故D正確，
故選：ABD.
10．.
【解析】利用角變換結(jié)合正切的差角公式可求解.
【詳解】
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查角變換和正切的差角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
11．##
【分析】根據(jù)三個(gè)銳角之和為，利用誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦、余弦和正切公式計(jì)算即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>因此，故．
由，得；
即，可得，于是，
因此．
故答案為：
12．等邊三角形
【分析】根據(jù)兩角和的正切公式可得，即，再利用，可解得
，那么三角形為等邊三角形.
【詳解】根據(jù) ，
又，可知: ，
那么 , ,
故 ，
化簡(jiǎn)可得 ，
，所以，
那么 ，則，即三角形為等邊三角形.
故答案為：等邊三角形
13．
【分析】由正弦的和差角公式可得，再由正切的和角公式及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)，即可得解.
【詳解】因?yàn)?br/>，
所以
所以
.
14．D
【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得，，即可結(jié)合和差角公式以及弦切互化，代入求解.
【詳解】因?yàn)椋欠匠痰膬蓚€(gè)根，
所以，，
所以.
故選：D
15．鈍角
【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可得進(jìn)而根據(jù)和差角公式即可求解.
【詳解】由于是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以
所以,
又故為鈍角，
因此是鈍角三角形，
故答案為：鈍角
16．
【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系及已知可求得，由,化簡(jiǎn)為關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)方程有解，利用判別式計(jì)算即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闉榉匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，，
所以，解得，或，
若，則即，
因?yàn)椋剩?br/>若，則，不成立，
若，則，故，
故也不成立，故，
所以，則，
則，
化簡(jiǎn)可得
，由方程有解，可知：
，即.
解得：，
則的最大值為.
故答案為：.
17．（1）；（2）8.
【分析】（1）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，再由兩角和的正切公式可求出的值，再結(jié)合，可求出的值；
（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)有，由此可得，利用此結(jié)論從而可得結(jié)果
【詳解】（1）由已知得，，故．
∵，
∴、同號(hào)，而，
可知，，故，
∴，故．
（2）由，可得，則，
即．
∴．
故，，，
故原式．
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)【第三課】5.5.1課時(shí)2 兩角和與差的正切公式
擴(kuò)展1: 兩角和差的正弦、余弦、正切公式的綜合應(yīng)用
（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）
例1.已知，，，分別是第二、第三象限角，求，的值．
【答案】，.
【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，，，的值，進(jìn)而根據(jù)兩角差的余弦公式，兩角和的正切公式即可計(jì)算求解．
【詳解】∵，，，分別是第二、第三象限角，
∴，，
∴.
∴
.
.
【方法總結(jié)】準(zhǔn)確把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、變形用、創(chuàng)造條件用)；同時(shí)要掌握好三角恒等變換的技巧，如變換角的技巧、變換函數(shù)名稱的技巧等．　　
（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）
1．已知，，求，的值．
（2023下·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）
2．已知，，其中，為銳角，則以下命題正確的是（ ）
A． B．
C． D．
擴(kuò)展2: 與一元二次方程有關(guān)的問題
（2023下·湖北武漢·高一湖北省水果湖高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）
例2.已知是方程的兩根，且，則的值為 .
【答案】/
【分析】首先利用韋達(dá)定理，得到兩角正切的關(guān)系式，再根據(jù)兩角和的正切公式，求角.
【詳解】由條件可知，，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以.
故答案為：
【方法總結(jié)】方程的二根分別為，則，.
（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）
3．如果是方程的兩根，則＝ ．
（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）
4．已知是方程的兩個(gè)根，且，則 ．
擴(kuò)展3:角變換問題
（2021·高一課時(shí)練習(xí)）
例3.已知，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知根據(jù)兩角和的正切公式可求出，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及角的范圍得出答案.
【詳解】由已知可得，，
所以，所以.
又，所以，
所以.
又因?yàn)椋裕?br/>所以.
故選：A.
【方法總結(jié)】變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”．
拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－.
（2024上·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）
5．已知，則（ ）
A． B． C． D．1
（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）
6．若，且是第二象限角，則 （ ）
A． B． C． D．
（2019·全國(guó)·高考真題）
7．tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
（2007·江西·高考真題）
8．若tanα＝3，tanβ＝，則tan(α－β)等于（ ）
A．3 B．－3 C． D．
（2015·重慶·高考真題）
9．若,則
A． B． C． D．
（2006·福建·高考真題）
10．已知，，則（ ）
A． B．7 C． D．-7
（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）
11．已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
（2004·上海·高考真題）
12．若，則 .
（2007·江蘇·高考真題）
13．已知，，則 .
（1991·全國(guó)·高考真題）
14．已知為銳角，，求的值．
（2005·天津·高考真題）
15．已知，求及．
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．,.
【分析】利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求，然后由和差公式可得.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以.
所以.
2．AC
【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式和兩角和與差的余弦公式和積化和差公式即可求解.
【詳解】因?yàn)? ( 為銳角),
故 , 故 正確;
因?yàn)?,
所以
,
故 B 錯(cuò)誤;
由
,
故 ,
故 C 正確;
且 ,
所以 ,
故 D 錯(cuò)誤.
故選: AC.
3．##
【分析】利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得，，再運(yùn)用余弦、正弦和差公式，以及同角三角函數(shù)間的關(guān)系，代入可得答案.
【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬筛?br/>所以，
∴.
故答案為：.
4．
【分析】根據(jù)韋達(dá)定理求得，再利用兩角和的正切公式結(jié)合角的范圍運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，
則，
可得，
且，則，
所以.
故答案為：.
5．A
【分析】根據(jù)正切的和差角公式即可求解.
【詳解】，
故選：A
6．C
【分析】首先計(jì)算，再根據(jù)展開計(jì)算得到答案.
【詳解】因?yàn)椋堑诙笙藿牵裕?br/>故.
故選：C.
7．D
【分析】本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，將問題轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的計(jì)算，進(jìn)一步應(yīng)用兩角和的正切公式計(jì)算求解．題目較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．
【詳解】詳解：=
【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、運(yùn)算求解能力．
8．C
【分析】由兩角差的正切公式即可求解.
【詳解】解：tan(α－β)＝＝＝，
故選：C.
9．A
【詳解】試題分析：，故選A.
考點(diǎn)：兩角和與差的正切公式．
10．A
【分析】根據(jù)角的范圍以及平方關(guān)系求出再利用商的關(guān)系求出，最后由兩角和的正切公式可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以
，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查平方關(guān)系、商的關(guān)系以及兩角和的正切公式，屬于基礎(chǔ)題.
11．D
【分析】利用兩角和的正切公式，結(jié)合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【詳解】，，
令，則，整理得，解得，即.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.
12．3
【分析】直接利用和角的正切公式求解.
【詳解】由題得.
故答案為：3
13．
【分析】利用兩角和差余弦公式將和分別展開，再將兩式進(jìn)行加和減，可求得和，兩式相除即可求得結(jié)果.
【詳解】…①，
…②，
①②得：，解得：；
①②得：，解得：
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查兩角和差余弦公式的應(yīng)用，涉及到同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
14．
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及余弦的和差公式，通過“湊角”即可求解.
【詳解】解：，
又，所以，
又，
所以，
又，所以，
所以=，
故答案為：
15．，.
【分析】利用和差角公式和二倍角公式聯(lián)立求出，進(jìn)而求出，利用兩角和的正切公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?
又，所以，所以.
與聯(lián)立解得：.
所以.
所以.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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