資源簡介

【第三練】5.5.2簡單的三角恒等變換
【試題來源】來自各地期中期末的聯考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養的目的．
【目標分析】
1．會利用二倍角公式求解三角形中的問題以及數學文化題，培養直觀想象，數學運算，如第9，13題．
2．能熟練利用三角公式求解與三角函數性質有關的問題，鍛煉運算求解能力，如第2，4題．
一、單選題
（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）
1．設，，，則有（ ）
A． B．
C． D．
（2024上·廣東茂名·高一統考期末）
2．函數在區間上的最小值為（ ）
A．0 B． C．1 D．
（2024·全國·模擬預測）
3．已知，則（ ）
A． B． C． D．
（2024上·河南開封·高一統考期末）
4．下列函數中，以為最小正周期，且在區間 上單調遞減的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·河北保定·高一校聯考期中）
5．著名數學家華羅庚先生被譽為“中國現代數學之父”，他倡導的“0.618優選法”在生產和科研實踐中得到了非常廣泛的應用.黃金分割比，現給出三倍角公式，則與的關系式正確的為（ ）
A． B．
C． D．
（2024上·浙江寧波·高一鎮海中學校考期末）
6．已知，則（ ）
A． B． C． D．2
二、多選題
（2023上·河北石家莊·高三校聯考期末）
7．古希臘數學家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發現了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示．下列結果等于黃金分割率的值的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·河南焦作·高一校考階段練習）
8．下列式子中，運算結果為1的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024上·廣東·高三廣東華僑中學校聯考期末）
9．已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．最小正周期為
B．函數在區間內有6個零點
C．的圖象關于點對稱
D．將的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，若在上的最大值為，則的最大值為
三、填空題
（2024下·上海·高一開學考試）
10．的值為 ．
（2023下·廣西河池·高二校聯考階段練習）
11．隨著智能手機的普及，手機攝影越來越得到人們的喜愛，要得到美觀的照片，構圖是很重要的，用“黃金分割構圖法”可以讓照片感覺更自然，“黃金九宮格”是黃金分割構圖的一種形式，是指把畫面橫、豎各分三部分，以比例為分隔，4個交叉點即為黃金分割點．如圖，分別用A，B，C，D表示黃金分割點．若照片長、寬比例為7∶3，設，則 ．
四、解答題
（2024上·湖南·高二湖南師大附中校考期末）
12．已知函數.
(1)求函數的單調遞減區間和最小正周期；
(2)若當時，不等式有解，求實數的取值范圍.
13．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos A＝，求證＝.
【易錯題目】第4，9，12題
【復盤要點】涉及三角函數的性質問題，常用二倍角的降冪公式把三角函數式化為一個角的三角函數，然后再研究其性質；要結合之前所學習的公式，觀察三角函數各角之間的關系，靈活運用，融會貫通．
典例：（2024上·湖南株洲·高一統考期末）已知是函數的一個零點．
（1）求實數的值；
（2）求單調遞減區間．
（3）若，求函數的值域．
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用函數的零點的定義，求得實數的值；
（2）利用三角恒等變換化簡函數解析式，再利用余弦函數的單調性求得的單調遞減區間；
（3）根據（2）問的化簡得到，由..，得到的范圍，結合余弦函數的圖象分析即可求得值域．
【詳解】（1）因為
又，解得．
（2）由（1）可得，
令得，所以的單調遞減區間為，．
（3），，
，即
故時，函數的值域為．
【復盤訓練】
（多選題）（2023上·湖南岳陽·高二統考期末）
14．已知的最小正周期為，則下列說法正確的是（ ）
A．在單調遞增
B．在上的最大值為0
C．點是的一個對稱中心
D．是的一條對稱軸
（2023上·江蘇連云港·高一江蘇省新海高級中學校考階段練習）
15．函數的最小值為 .
（2024上·安徽阜陽·高一統考期末）
16．函數在區間上的最小值為 .
（2024上·北京石景山·高三統考期末）
17．設函數．
(1)若，求的值；
(2)已知在區間上單調遞減，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數存在，求的值．
條件①：函數的圖象經過點；
條件②：時，的值域是；
條件③：是的一條對稱軸．
試卷第2頁，共2頁
試卷第1頁，共1頁
參考答案：
1．C
【分析】由倍角公式化簡為正切函數，再結合正切函數的單調性可得出答案.
【詳解】，
，
因為在上單調遞增，
所以，
即，
故選：C.
2．A
【分析】利用三角恒等變換化簡，再利用正弦函數的性質即可得解.
【詳解】因為，
又，則，所以，
故，則函數的最小值為0.
故選：A．
3．B
【分析】利用三角函數的基本關系式得到關于的方程，再利用倍角公式即可得解.
【詳解】因為，又，
所以，則，即，
則，即，所以或（舍去），
所以.
故選：B.
4．D
【分析】對A舉反例即可，對B利用輔助角公式結合正弦型函數的周期求法即可判斷，對CD利用三角恒等變換并結合余弦型的性質判斷即可.
【詳解】對A，當時，，當時，，
則該函數在上并不是單調遞減，故A錯誤；
對B，，其最小正周期為，故B錯誤；
對C，，當，
則在單調遞增；故C錯誤，
對D，
，
則其最小正周期為，且當，，
根據余弦函數單調性知在上單調遞減，故D正確；
故選：D.
5．B
【分析】先通過三倍角公式及二倍角公式計算化簡，求出，進而可得關系.
【詳解】由三倍角公式有，
化簡得，，
解得（負值舍去），
.
故選：B.
6．C
【分析】由展開求的值，再將展開后構造齊次式，將其轉化成正切的式子代入求解即得.
【詳解】由可得：，解得：，
因，
，
故.
故選：C.
7．AB
【分析】利用三角恒等變換，即可化簡，即可求解.
【詳解】，故A正確；
故B正確；
，故C錯誤；
．故D錯誤；
故選：AB
8．AD
【分析】根據兩角和的正弦和余弦公式即可判斷AB，根據二倍角的余弦、正切公式即可判斷CD.
【詳解】對A，，A正確；
對B，，B錯誤；
對C，，C錯誤；
對D，，D正確．
故選：AD.
9．AD
【分析】首先化簡得，對于A：直接用周期公式求解；對于B：求出的范圍，然后結合的圖象得零點個數；對于C：直接計算的值即可判斷；對于D：求出，結合圖象來列不等式求解.
【詳解】
，
對于A：，A正確；
對于B：當時，，則分別取時對于的的值為函數在區間上的零點，只有個，B錯誤；
對于C：，故點不是的對稱中心，C錯誤；
對于D：由已知，
當時，，
因為在上的最大值為，
所以，解得，D正確.
故選：AD.
10．##-0.5
【分析】直接利用二倍角公式以及誘導公式化簡求解即可．
【詳解】．
故答案為：．
11．
【分析】由已知得到，利用二倍角公式，同角三角函數關系化弦為切，代入求值．
【詳解】依題意，所以，
所以
．
故答案為：.
12．(1)，；
(2).
【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和輔助角公式對函數進行化簡，利用正弦函數的性質可得出函數的單調遞減區間，利用正弦函數的周期公式即可求出函數的最小正周期；
（2）根據題意可知小于等于的最大值，結合正弦函數的定義域求出最大值，即可知的取值范圍.
【詳解】（1）
.
所以函數的最小正周期.
由，解得.
所以函數的單調遞減區間為.
（2）由題意可知，即.
因為，所以.
故當，即時，取得最大值，且最大值為.
所以，實數的取值范圍為.
13．證明見解析
【分析】將已知條件化為，結合二倍角公式，化簡證得結論成立
【詳解】依題意，
所以，
，
所以，
而，
，
所以，
即＝.
14．BD
【分析】應用三角恒等變換及正弦型函數的最小周期可得，根據正弦函數性質，應用整體法、代入法判斷各項正誤.
【詳解】由題設，又，
所以，
，則，顯然在上不單調，A錯；
，則，顯然在上的最大值為0，B對；
，故點不是的一個對稱中心，C錯；
，故是的一條對稱軸，D對.
故選：BD
15．
【分析】利用二倍角公式可得，再由余弦函數值域以及二次函數性質可得其最小值為.
【詳解】根據題意可得，
令，則，
根據二次函數性質可得，
所以函數的最小值為.
故答案為：
16．1
【分析】由三角恒等變換得，通過換元法即可得解.
【詳解】，
由，得，所以，
令，則在上單調遞減，
所以時，y取最小值1，故的最小值為1．
故答案為：1.
【點睛】關鍵點睛：關鍵是由三角恒等變換化簡函數表達式，結合換元法即可順利得解.
17．(1)
(2)選②或③，
【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡函數，根據，即可求解；
（2）選①，由可判斷；
選②，由題意，，由三角函數的性質可得周期，即可得；
選③，由題意，得，又是的一條對稱軸，所以，由此可解得.
【詳解】（1）因為，所以
．
因為，所以．
（2）選①，
∵，∴函數的圖象不可能經過點，不合題意；
選②，
因為在區間上單調遞減，且當時，的值域是，
所以，.
此時，由三角函數的性質可得，故．
因為，所以.
選③，
因為在區間上單調遞減，
所以，即，解得．
因為是的一條對稱軸，所以.
所以，即，
解得.
由，可知.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁【第三課】5.5.2簡單的三角恒等變換
擴展1： 二倍角公式在三角形中的應用
例1． 在中，，，求的值．
【思路分析】，可考慮先求的值，再用二倍角公式求的值．
【解】在中，由，，得，∴．
∵，∴．
∴．
【方法總結】在三角形中解三角函數問題時，要注意三角形內角和定理的應用．在中，．
常用結論還有，，，，．
【舉一反三1-1】
1．關于x的方程有一根為1，則一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．銳角三角形 D．鈍角三角形
【舉一反三1-2】
2．在中，若cosA=，則sin2+cos2A=（ ）
A．- B． C．- D．
擴展2： 二倍角公式與數學文化的結合
例2．如圖是來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊直角邊，．已知以直角邊，為直徑的半圓的面積之比為，記，則（ ）
A.4 B.2 C． D．
【解析】因為以直角邊，為直徑的半圓的面積之比為，所以半徑比為，所以．
不妨設，，易知，所以，
所以，，
則，
于是，．故選A．
【答案】A
【方法總結】此類題往往選擇角作為變量，然后通過已知條件得到三角函數式或三角函數值，再求未知量，解決實際問題．
【舉一反三2-1】
3．“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖），若大、小正方形的面積分別為25和1，直角三角形中較大的銳角為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三2-2】
4．一個三角形的腰與底邊（或底邊與腰）的比值等于黃金比，則稱此三角形為黃金三角形．黃金三角形有銳角三角形和鈍角三角形，其中銳角三角形的頂角，底角，而鈍角三角形頂角，底角．如圖，在一個銳角黃金中，．根據這些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
擴展3： 利用輔助角公式研究函數性質
例3．（2023上·北京順義·高三北京市順義區第一中學校考階段練習）已知函數．
（1）求函數的最小正周期；
（2）在下列三個條件中，選擇一個作為已知，使得實數的值唯一確定，并求函數在上的最小值．
條件①：的最大值為；
條件②：的一個對稱中心為；
條件③：的一條對稱軸為．
【答案】（1）
（2）條件選擇見解析，答案見解析
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數解析式為，利用正弦型函數的周期公式可求得函數的最小正周期；
（2）選①，利用函數的最大值求出的值，由求出的取值范圍，再利用正弦型函數的基本性質可求出在上的最小值；選②，根據函數的一個對稱中心坐標求出的值，由求出的取值范圍，再利用正弦型函數的基本性質可求出在上的最小值；選③，根據函數的一條對稱軸方程可知，不確定．
【詳解】（1）解：因為
，
故函數的最小正周期為．
（2）解：選①，，解得，則，
當時，，
故當時，函數取得最小值，即；
選②，因為函數的一個對稱中心為，
則，解得，所以，，
當時，，
故當時，函數取得最小值，即；
選③，因為函數的一條對稱軸為直線，的值無法確定．
綜上所述，選①，函數在上的最小值為；
選②，函數在上的最小值為；
選③，的值不確定．
【方法總結】（1）為了研究函數的性質，往往要充分利用三角恒等變換公式轉化為正弦型(余弦型)函數，這是解決問題的前提．
（2）解此類題時要充分運用兩角和(差)、二倍角公式、輔助角轉換公式消除差異，減少角的種類和函數式的項數，為討論函數性質提供保障．
【舉一反三3-1】（2024上·山西陽泉·高一統考期末）
5．已知函數．
(1)求的最小正周期及單調遞減區間；
(2)求函數在上的最大值和最小值，并求出取得最值時x的值．
【舉一反三3-2】（2024上·湖南·高一校聯考期末）
6．已知函數.
(1)求函數的單調遞減區間；
(2)求函數在區間的最大值和最小值；
(3)薦在區間上恰有兩個零點，求的值.
（2017·山東·高考真題）
7．函數y＝sin2x＋cos 2x的最小正周期為（ ）
A． B． C．π D．2π
（2023·全國·統考高考真題）
8．已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
（2005·北京·高考真題）
9．函數（ ）
A．在上遞增，在上遞減
B．在上遞增，在上遞減
C．在上遞增，在上遞減
D．在上遞增，在上遞減
（2004·安徽·高考真題）
10．函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
（2004·安徽·高考真題）
11．若，則（ ）
A． B． C． D．
（2021·全國·統考高考真題）
12．若，則（ ）
A． B． C． D．
（2007·山西·高考真題）
13．函數的一個單調增區間是（ ）
A． B． C． D．
（2020·江蘇·統考高考真題）
14．已知 =，則的值是 .
（2022·浙江·統考高考真題）
15．若，則 ， ．
（2023·北京·統考高考真題）
16．設函數．
(1)若，求的值．
(2)已知在區間上單調遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區間上單調遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
試卷第2頁，共2頁
試卷第1頁，共1頁
參考答案：
1．A
【分析】將1代入，根據二倍角公式和兩角差的余弦公式，整理可得
，即，根據角的范圍，即可求出結果.
【詳解】因為1是的根，
所以，
又，
所以有，，
整理可得，，即.
因為，，，所以.
則由可得，，所以.
所以一定是等腰三角形.
故選：A.
2．A
【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式即可求解.
【詳解】sin2+cos2A
=+2cos2A-1
=+2cos2A-1
=.
故選：A
3．B
【分析】根據題意可得出，平方可得，即可求出.
【詳解】因為大正方形的面積為25，小正方形的面積為1，所以大正方形的邊長為5，小正方形的邊長為1，
所以，即，兩邊平方得，即.
因為是直角三角形中較大的銳角，所以，所以，
所以.
故選：B.
4．A
【分析】取的中點，連接，計算出的值，利用二倍角的余弦公式可求得，再利用誘導公式可求得結果.
【詳解】取的中點，連接，如下圖所示：
則，
所以，，
所以，.
故選：A.
5．(1)最小正周期為，單調遞減區間為
(2)時取得最小值，時取得最大值
【分析】（1）化簡的最小正周期，然后求得的最小正周期，利用整體代入法求得的單調遞減區間.
（2）根據三角函數最值的求法求得正確答案.
【詳解】（1）
，
．
函數的單調遞減區間為：
，
，
．
函數的單調遞減區間為：
（2）由得，，
當，即時，取得最小值為，
當，即時取得最大值為1．
6．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）由三角恒等變換化簡表達式得，，令，解不等式組即可得解.
（2）由，得 ，結合正弦函數單調性即可得解.
（3）由題意得即，進一步結合換元、誘導公式以及平方關系即可得解.
【詳解】（1）
.
由，可得，
即的單調遞減區間為.
（2）因為，所以，
所以，所以，
當時，即時，，
當時，即時，.
（3）因為，所以，同理
由題意可得，.
即，所以，
所以，即可得，
因為，所以，所以，
所以，
因為，可設，則，
所以，
因為，且，所以，
所以.
7．C
【分析】利用輔助角公式將函數化簡，再利用周期公式計算可得.
【詳解】∵y＝2＝2sin，
，
故選：C.
【點睛】該題考查三角函數的性質與輔助角公式，屬于基礎題目.
8．D
【分析】根據二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【詳解】因為，而為銳角，
解得：．
故選：D．
9．A
【分析】先化簡函數的解析式，再根據正切函數的單調性即可求解
【詳解】因為，
當時，此時，所以，
當時，此時，所以，
因為在,上單調遞增，
所以在上遞增，在上遞減，
故選：A
10．B
【分析】根據平方關系結合二倍角的正弦公式及降冪公式化簡，再根據余弦函數的周期性即可得解.
【詳解】解：
，
因為函數的最小正周期.
故選：B.
11．D
【分析】首先利用二倍角公式化簡求出，再利用二倍角變形即可求得.
【詳解】
，
故選：D
12．C
【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入即可得到結果．
【詳解】將式子進行齊次化處理得：
．
故選：C．
【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．
13．A
【分析】化簡為關于的二次函數，然后換元，分別求出單調區間，再利用單調性的性質即可判斷每個選項
【詳解】解：由題意，，
令，則，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
而的單調增區間是，單調減區間是，
對于A，當時，單調遞減，且，此時單調遞減，所以是的一個單調增區間；
對于B，當時，單調遞減，，此時不是單調函數，所以不是的一個單調增區間；
對于C，當時，單調遞減，，此時單調遞增，所以不是的一個單調增區間；
對于D，當時，單調遞減，，此時單調遞增，所以不是的一個單調增區間，則也不是的一個單調增區間；
故選：A
14．
【分析】直接按照兩角和正弦公式展開，再平方即得結果.
【詳解】
故答案為：
【點睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
15．
【分析】先通過誘導公式變形，得到的同角等式關系，再利用輔助角公式化簡成正弦型函數方程，可求出，接下來再求．
【詳解】[方法一]：利用輔助角公式處理
∵，∴，即，
即，令，，
則，∴，即，
∴ ，
則.
故答案為：；.
[方法二]：直接用同角三角函數關系式解方程
∵，∴，即，
又，將代入得，解得，
則.
故答案為：；.
16．(1).
(2)條件①不能使函數存在；條件②或條件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把的解析式化簡，根據在上的單調性及函數的最值可求出，從而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若選條件③：由的單調性可知在處取得最小值，則與條件②所給的條件一樣，解法與條件②相同．
【詳解】（1）因為
所以，
因為，所以.
（2）因為，
所以，所以的最大值為，最小值為.
若選條件①：因為的最大值為，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數存在；
若選條件②：因為在上單調遞增，且，
所以,所以,,
所以，
又因為，所以，
所以，
所以，因為，所以.
所以，；
若選條件③：因為在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在處取得最小值，即.
以下與條件②相同．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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