資源簡(jiǎn)介

【第二練】5.5.1課時(shí)1 兩角和與差的正弦、余弦公式
【試題來(lái)源】來(lái)自名校、重點(diǎn)市區(qū)的月考、期中、期末的優(yōu)質(zhì)試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓(xùn)練，加強(qiáng)考點(diǎn)的理解和擴(kuò)展.
【目標(biāo)分析】
1.直接利用兩角和與差的正弦、余弦公式求解問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算，如第1題.
2.能逆用兩角和與差的正弦、余弦公式，鍛煉運(yùn)算求解能力，如第2題.
3.利用兩角和與差的正弦、余弦公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間的關(guān)系解題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，如第4題.
4.能熟練應(yīng)用兩角和與差的正弦、余弦公式化簡(jiǎn)與證明，鍛煉邏輯推理能力，如第13題.
（2020·高一課時(shí)練習(xí)）
1．的值為（ ）
A． B． C． D．
（2020下·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）
2．（ ）
A． B． C． D．
（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）
3．已知，，，是第四象限角，則的值是（ ）
A． B． C． D．
（2024上·河南鄭州·高一統(tǒng)考期末）
4．已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·山東省青島市月考）
5．函數(shù)的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·北京市豐臺(tái)區(qū)期末）
6．古希臘的數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus，約前417-前369）通過(guò)如圖來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)，記，，則（ ）

A． B． C． D．
（2023·廣東省佛山市期末）
7．趙爽弦圖（如圖1）中的大正方形是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼接而成的，若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，由大正方形面積等于4個(gè)直角三角形的面積與中間小正方形的面積之和可得勾股定理．仿照趙爽弦圖構(gòu)造如圖2所示的菱形，它是由兩對(duì)全等的直角三角形和中間的矩形拼接而成的，設(shè)直角三角形的斜邊都為1，其中一對(duì)直角三角形含有銳角，另一對(duì)直角三角形含有銳角（位置如圖2所示）．借鑒勾股定理的推導(dǎo)思路可以得到結(jié)論（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·重慶·高三重慶一中校考階段練習(xí)）
8．已知角均在第一象限，終邊上有一點(diǎn)，且，則 .
（2024上·廣東廣州·高一華南師大附中?？计谀?br/>9．在中，，且，則 ．
10．已知，cos(α-β)=,sin(α+β)= ,那么sin2α= .
11．的值為 .
12．已知?jiǎng)t的值是 ．
13．已知,求證:.
【易錯(cuò)題目】第5，10題
【復(fù)盤(pán)要點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦、余弦公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間的關(guān)系的綜合應(yīng)用，一是注意準(zhǔn)確選用公式，二是注意三角函數(shù)值的符號(hào).
典例 （2023上·浙江杭州·高一學(xué)軍中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，，則的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】討論分別為鈍角、銳角的情況，然后根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式以及兩角差的正弦公式求解出的可能值.
當(dāng)均為銳角時(shí)，
所以，
所以；
當(dāng)為鈍角，為銳角時(shí)，
此時(shí)，且，
所以，即，符合要求，
所以，
；
當(dāng)為銳角，為鈍角時(shí)，
此時(shí)，且，
所以，即，不符合要求；
顯然不可能同為鈍角，
綜上可知的值可能是，，
故選：BD.
【復(fù)盤(pán)訓(xùn)練】
14．若，是第三象限的角，則
A． B． C． D．
（2023·陜西省榆林市月考）
15．已知sin＝，∈，則cos的值為 ．
（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）
16．已知，，則 ．
（2021·高一課時(shí)練習(xí)）
17．在中， ，且，則的值是 .
（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）
18．已知，，，，則 ， .
19．已知，且為銳角，則的值為 ．
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)利用兩角和的余弦公式計(jì)算可得.
【詳解】
.
故選：C
2．D
【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式和特殊角三角函數(shù)求解.
【詳解】.
故選：D.
3．C
【分析】運(yùn)用同角三角函數(shù)平方關(guān)系及差角的余弦公式計(jì)算即可.
【詳解】由已知得，，
則.
故選：C.
4．A
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角和余弦公式求解即可.
【詳解】由誘導(dǎo)公式得，因?yàn)?，?br/>所以，
所以.
故選：A
5．C
【解析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的最值，即可求得結(jié)果.
【詳解】原式
，所以函數(shù)的最小值為.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式以及求函數(shù)的最值，屬綜合基礎(chǔ)題.
6．B
【分析】根據(jù)題意，利用直角三角形中的邊角關(guān)系，兩角和余弦公式，求得的值，即可求解.
【詳解】由題意知，，
所以.
故選：B.
7．B
【分析】表示出直角三角形的邊長(zhǎng)，繼而表示出面積，求得中間矩形的面積，根據(jù)菱形面積等于四個(gè)直角三角形面積加上中間矩形面積，化簡(jiǎn)可得答案.
【詳解】由圖形可知：含銳角的直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為 ，
含銳角的直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為 ，
故菱形的面積為 ，
不妨假設(shè) ，
中間長(zhǎng)方形的面積為 ，
故 ，
即，
故選：B
8．
【分析】根據(jù)終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)可得，然后再利用余弦兩角和公式，從而求解.
【詳解】根據(jù)終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)可得，得：
化簡(jiǎn)得：
所以：.
故答案為：.
9．
【分析】將設(shè)為，然后把角都用表示，展開(kāi)求解.
【詳解】設(shè)，則，因?yàn)椋?br/>所以.
由已知可得
所以
所以，解得或（舍）
故答案為：
10．
【詳解】試題分析：∵，∴，，又cos(α-β)=,sin(α+β)= ,∴，，∴sin2α=
考點(diǎn)：本題考查了兩角和差的正余弦公式
點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用兩角和差的正余弦公式及同角關(guān)系是此類(lèi)問(wèn)題常用方法，屬基礎(chǔ)題
11．4
【解析】利用誘導(dǎo)公式、輔助角公式以及二倍角公式化簡(jiǎn)即可求解.
【詳解】
.
故答案為：4
【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式、輔助角公式以及二倍角公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
12．
【分析】由已知等式可得，利用誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式可得，從而可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
，
故答案為.
【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值有三類(lèi)，(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍確定角．
13．見(jiàn)解析
【解析】令，，則，，代入，得到的關(guān)系，再代入化簡(jiǎn)即可.
【詳解】證明:設(shè)，，則，.
由，得，即.
，
，
即.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平方關(guān)系化簡(jiǎn)證明，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
14．B
【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算出的值，然后利用兩角和的正弦公式可計(jì)算出的值.
【詳解】是第三象限角，，且，
因此，，
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正弦公式計(jì)算三角函數(shù)值，解題時(shí)充分利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
15．##
【詳解】∵sin＝，∈，
∴cos＝－，
∴cos＝coscosα＋sinsinα＝×＋×＝.
故答案為
16．
【分析】首先根據(jù)正余弦的平方關(guān)系求出的值，再利用余弦兩角和公式化簡(jiǎn)，把得到的，代入即可．
【詳解】，，
，
故答案為：.
17．
【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、，再根據(jù)及兩角和的余弦公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)樵谥?，，可知為銳角，
所以，
因?yàn)?，可知B也為銳角，
所以，
所以，
所以.
故答案為：.
18．
【分析】由同角三角函數(shù)的關(guān)系及兩角和的正弦余弦公式即可求解.
【詳解】由題意,因?yàn)?，則,
因?yàn)?，則，
所以
同理，
故答案為：；
19．##45°
【分析】由題先求出的值，再求出的值，再利用的范圍求出角即可．
【詳解】為銳角，，
，
，
為銳角，，
故答案為：．
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)【第二課】5.5.1課時(shí)1 兩角和與差的正弦、余弦公式
題型一: 給角求值
例1. 求值：．
【解】
．
【方法總結(jié)】當(dāng)題目中含多個(gè)非特殊角時(shí)，注意觀察這些角之間的關(guān)系，特別是可以考慮能否與某些特殊角建立聯(lián)系，從而通過(guò)角的變換減少角的個(gè)數(shù)，實(shí)現(xiàn)求解．
【變式訓(xùn)練1-1】
1．等于
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-2】
2． .
題型二: 給值求值
例2. 已知，都是銳角，且，，求的值．
【思路分析】
通過(guò)角的變換，求的值，為此需要已知和各自的正、余弦值，然后運(yùn)用兩角差的余弦公式求解．
【解】因?yàn)槭卿J角，且，所以．
因?yàn)?，都是銳角，所以．
又，所以．
所以．
點(diǎn)透 觀察已知式中的角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，通過(guò)角的變換，再利用和角或差角公式求解．
【方法總結(jié)】
在解決此類(lèi)題目時(shí)，一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用拆角、拼角等技巧，同時(shí)分析角之間的關(guān)系，利用角的變換化異角為同角．具體做法：
（1）當(dāng)條件中有兩角時(shí)，一般把所求角表示為已知兩角的和或差；
（2）當(dāng)已知角有一個(gè)時(shí)，可利用誘導(dǎo)公式把所求角轉(zhuǎn)化為已知角．
【變式訓(xùn)練2-1】
（2023上·安徽淮北·高二淮北市第十二中學(xué)?？计谥校?br/>3．已知，均為銳角，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-2】
4．若，是第三象限的角，則
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-3】
（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）
5．若，是第三象限的角，則＝ .
題型三: 給值求角
例3.已知，且，，求的值．
【思路分析】
求角的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求角的某個(gè)三角函數(shù)值的問(wèn)題，再結(jié)合角的范圍求角．由，可求，又由可得，最后求得的值．
【解】因?yàn)?，，且?br/>所以，
，
所以
．
因?yàn)椋?br/>所以，所以．
【方法總結(jié)】
（1）解決給值求角問(wèn)題的一般步驟：
①求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；
②確定角的范圍；
③根據(jù)角的范圍寫(xiě)出符合要求的角．
（2）在求角的某個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，應(yīng)注意根據(jù)條件選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)．
①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)．
②已知正弦或余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是，選正弦、余弦函數(shù)皆可；若角的范圍是，選余弦函數(shù)較合適；若角的范圍是，選正弦函數(shù)較合適．
【變式訓(xùn)練3-1】
6．已知，為銳角，且，，則 ．
【變式訓(xùn)練3-2】
（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）
7．設(shè)，均為鈍角，且，，則的值為 .
題型四: 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明
例4.已知，求證：．
【思路分析】
觀察條件與結(jié)論間的差異可知：
①函數(shù)名稱(chēng)間的差異是正切與正弦，可考慮切化弦，實(shí)現(xiàn)化異為同；
②角的差異是，，與，通過(guò)觀察可得已知角與未知角之間的關(guān)系為，，由此可以化異為同．
【證明】由已知得，．
又，
，
∴．
【方法總結(jié)】
（1）證明三角恒等式的思路：觀察等式兩端的結(jié)構(gòu)形式，本著從復(fù)雜到簡(jiǎn)單，高次到低次，復(fù)雜角化簡(jiǎn)單角的原則進(jìn)行處理，若等式的兩端都比較復(fù)雜，則將兩端都化簡(jiǎn)，采用兩端向中間湊的原則處理．
（2）證明三角恒等式的方法：
①證明等式的一邊等于另一邊，相當(dāng)于化簡(jiǎn)；
②從兩邊著手，證明等式的左、右兩邊等于同一個(gè)數(shù)或式子；
③比較法：作差（或作商），左邊－右邊＝0（或，右邊≠0）；
④分析法：從要證明的等式出發(fā)，一步步尋求使等式成立的條件．
（3）在證明三角恒等式的過(guò)程中，應(yīng)注意：
①?gòu)?qiáng)化“目標(biāo)”意識(shí)，就是在證明過(guò)程中，應(yīng)盯住目標(biāo)，逐步向它靠攏；
②強(qiáng)化“化異為同”意識(shí)，即化異角為同角，化異名為同名，化異次為同次，這就需要找到待化簡(jiǎn)的三角函數(shù)式與目標(biāo)函數(shù)式之間的差異及聯(lián)系，再利用三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變換，使之相互轉(zhuǎn)化，常用方法有直推法、代入法、換元法等．
【變式訓(xùn)練4-1】
8．化簡(jiǎn)．
【變式訓(xùn)練4-2】
9．求證：．
【變式訓(xùn)練4-2】
（2023·上海·高一?？计谥校?br/>10．求證：.
易錯(cuò)點(diǎn)1 忽略角的范圍致誤
例1 在中，，，則______．
【錯(cuò)解】因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)?，所以?br/>又，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
【錯(cuò)因分析】若取，則，與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，錯(cuò)解中沒(méi)有注意到這一隱含條件．
【正解】因?yàn)?，所以，?br/>又因?yàn)?，所以或?br/>若，則，與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，
所以，所以，
所以．
【答案】
易錯(cuò)警示
對(duì)于求值、求角問(wèn)題，應(yīng)盡量縮小角的范圍．縮小角的范圍大致可從以下四個(gè)方面考慮：①利用已知角的范圍確定所求角的范圍；②利用三角函數(shù)值的符號(hào)確定所求角的范圍；③利用三角函數(shù)值的大小進(jìn)一步縮小所求角的范圍；④利用題干中隱含的條件確定所求角的范圍．
針對(duì)訓(xùn)練1-1:
11．已知，，且，則
A． B． C． D．
針對(duì)訓(xùn)練1-2:
12．已知銳角三角形中，三內(nèi)角A，，分別對(duì)應(yīng)三邊，，．若，則的取值范圍為 ．
易錯(cuò)點(diǎn)2 求角時(shí)選擇的三角函數(shù)類(lèi)型不當(dāng)致誤
例2 已知，，和都是銳角，則（ ）
A． B． C．或 D．
【錯(cuò)解】因?yàn)楹投际卿J角，且，，
所以，，
所以．
又因?yàn)?，所以或．故選C．
【錯(cuò)因分析】上述錯(cuò)解中根據(jù)的正弦值得到了兩個(gè)結(jié)果，但沒(méi)有根據(jù)條件進(jìn)一步縮小角，的取值范圍．
本題已知，若選用的余弦值即可避免多解，也可減少對(duì)角的取值范圍的進(jìn)一步探求．
【正解】因?yàn)楹投际卿J角，且，，
所以，，
所以．
又因?yàn)椋裕?br/>【答案】A
易錯(cuò)警示
已知三角函數(shù)值求角時(shí)，先根據(jù)題目中的條件確定角的范圍，由角的范圍確定是求角的正弦值、余弦值還是正切值，盡量使所選的三角函數(shù)在已確定的范圍內(nèi)無(wú)需進(jìn)一步討論角的范圍．如若已知，求的余弦值或正切值比較合適；若已知，求的正弦值或正切值比較合適．
針對(duì)訓(xùn)練2-1:
13．已知，，且和均為鈍角，則的值為（ ）
A． B． C．或 D．
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．C
【分析】由展開(kāi)求解即可.
【詳解】故選C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦展開(kāi)，屬于基礎(chǔ)題.
2．
【分析】利用展開(kāi)計(jì)算即可
【詳解】.
故答案為：.
3．C
【分析】首先求出，，再由兩角和的余弦公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，均為銳角，且，，
所以，，
所以.
故選：C
4．B
【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算出的值，然后利用兩角和的正弦公式可計(jì)算出的值.
【詳解】是第三象限角，，且，
因此，，
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正弦公式計(jì)算三角函數(shù)值，解題時(shí)充分利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
5．
【分析】利用同角公式、差角的正弦公式求解作答.
【詳解】因?yàn)?，是第三象限的角，則，
所以.
故答案為：
6．
【分析】先根據(jù)題目范圍可得到的范圍以及的值，再根據(jù)的范圍求出，即可得出的值．
【詳解】因?yàn)?，且，?br/>所以，，．
故，
由于，
所以．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查給值求角問(wèn)題的解法，解題關(guān)鍵是根據(jù)角度的范圍計(jì)算恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)值，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．
【分析】先求出和，再運(yùn)用兩角和公式求解.
【詳解】∵ ， ，且，，，
∴.
∵ ，∴ ；
故答案為：.
8．
【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式化簡(jiǎn)即得.
【詳解】原式．
9．證明見(jiàn)解析
【分析】利用證明等式成立方法及兩角差的正弦公式即可.
【詳解】證明：左邊
右邊，
所以原式成立．
10．證明見(jiàn)解析
【分析】將要證等式等價(jià)轉(zhuǎn)化后，根據(jù)后項(xiàng)角的特點(diǎn)考慮按照進(jìn)行拆角，合并同類(lèi)項(xiàng)后逆用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)即得.
【詳解】證明：因?yàn)椋C，即要證.
由
,
故成立.
11．D
【分析】利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求出，再利用求解即可.
【詳解】 ，，且，
，
，
，故選D.
【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值有三類(lèi)，(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．
12．
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系以及三角恒等變換整理得，注意到，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析求解.
【詳解】因?yàn)?，則，即，
則
，
由于為銳角三角形，所以，解得，
則，可知，
所以的取值范圍為．
故答案為：.
13．D
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系分別求解，再結(jié)合兩角和的余弦公式，結(jié)合角度大小判斷即可.
【詳解】∵和均為鈍角，
∴，．
∴．
由和均為鈍角，得，∴．
故選：D
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
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