資源簡介

【第二練】5.5.1課時2 兩角和與差的正切公式
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.會用兩角和與差的正切公式求角、求值，培養數學運算，如第1，4題.
2.能熟練應用兩角和與差的正切公式化簡、證明，鍛煉邏輯推理能力，如第12，13題.
（2024上·天津寧河·高一統考期末）
1．已知，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·高一課時練習）
2．若，，則＝（ ）
A． B． C．－ D．－
（2024上·陜西榆林·高一統考期末）
3．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，若，則（ ）
A． B． C．3 D．
（2024上·山西太原·高三統考期末）
4．已知，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·高一課時練習）
5．的值為（ ）．
A． B． C． D．
（2023上·陜西西安·高三統考階段練習）
6．若，則（ ）
A． B． C． D．
（2023上·湖北·高一湖北省天門中學校聯考階段練習）
7．已知，則 .
（2023上·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學校考階段練習）
8．若，則 ．
（2021上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？茧A段練習）
9．若，則＝ ．
（2024上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）
10．已知非直角三角形中，滿足，，則 ， .
（2023上·高一課時練習）
11．已知都是銳角，且，則 .
（2024上·河南新鄉·高三新鄉市第一中學?？茧A段練習）
12．計算下列各式的值：
(1)
(2)
（2024下·上海·高一假期作業）
13．在銳角中，求證：
(1)；
(2).
【易錯題目】第5，8，12題
【復盤要點】三角函數公式活用技巧
①逆用公式應準確找出所給式子與公式的異同，創造條件逆用公式；
②tan αtan β，tan α＋tan β（或tan α－tan β），tan（α＋β）（或tan（α－β））三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用．
典例 （2023上·山東青島·高三青島二中校考期中）已知角，且，，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根據兩角差的正弦、余弦、正切公式化簡求解即可.
【詳解】因為，
所以，，，
又，
所以，
所以，
所以.
故選：C.
【復盤訓練】
（2023上·四川成都·高三?？计谥校?br/>14．已知，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高三專題練習）
15．已知，滿足，則 ．
（2023上·河南·高三統考階段練習）
16．已知為銳角，，則 ．
（2023上·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯考階段練習）
17．若為銳角，且，則的最小值為 .
（2023下·四川眉山·高一校考期中）
18．化簡求值：
(1)；
(2)化簡證明：
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】由兩角差的正切公式求解.
【詳解】，解得.
故選：B
2．A
【分析】由正切的和角公式求出，進而利用同角三角函數關系求出正弦.
【詳解】由可得，解得，
即，，
又，故，
又，所以.
故選：A
3．C
【分析】首先根據三角函數的定義，求解的值，根據的值，結合兩角差的正切公式，即可求解.
【詳解】由三角函數的定義可知，，得，
所以角終邊上一點為，，
.
故選：C
4．C
【分析】求得，然后結合角范圍可得．
【詳解】由已知，
，∴．
故選：C．
5．B
【分析】利用兩角和的正切公式推得，從而得，依次類推，即可求得的值，即得答案.
【詳解】因為，故，
即，
所以，
同理，，，
故，
故選：B
6．D
【分析】利用誘導公式求出，再由及兩角和的正切公式計算可得.
【詳解】因為，所以，
所以，
所以，
所以.
故選：D
7．
【分析】根據和差公式和同角三角函數基本關系計算即可.
【詳解】因為，所以，
.
故答案為：-1.
8．
【分析】利用兩角和、差的正弦公式以及兩角差的正切公式求解.
【詳解】由可得，
，
得，
即，
所以，
故答案為: .
9．0
【分析】利用兩角和差的正弦、余弦、正切公式進行化簡，代入求值即可.
【詳解】解：因為，
所以，
可得，可得即，
則.
故答案為：0．
10． ## ##
【分析】由已知及三角形內角和的性質得，然后利用兩角差的正切公式求得或，再結合角的范圍求出，進一步求出，即可解答.
【詳解】由題意知，所以，，
又即，所以，
所以，解得或，
又，所以，所以，所以，
所以，所以.
故答案為：；
11．
【分析】利用兩角和的正切公式先求出，再求出，從而可求出的值.
【詳解】因為，
所以，
因為，
所以，
因為，所以，
因為，所以，
所以，
所以，
故答案為：
12．(1)
(2)
【分析】（1）利用正切的兩角和公式化簡求值；
（2）利用正弦的兩角差公式、二倍角公式，以及三角函數的誘導公式求解.
【詳解】（1）因為，
所以，
即，
所以.
（2）
.
13．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用銳角，通過內角和與兩角和的正切公式結合將轉化成從而得證；
（2）對左式提取，對運用兩角和的正切公式轉化，再利用銳角將轉化為即可得證.
【詳解】（1）由，且在銳角中，故，
兩邊取正切得： ，即，
整理得，故原式成立.
（2）在銳角中，有，則，
則，
又，
則左式
右式.
故原式成立.
14．D
【分析】由，結合和角正切公式求得，再利用和角正弦公式結合弦化切即可求解.
【詳解】因為，所以，
所以.
故選：D.
15．
【分析】根據題意結合兩角和差公式整理得，進而可得結果.
【詳解】因為，
即，整理得，即，
所以．
故答案為：．
16．
【分析】根據給定條件，求出，再利用二倍角、差角的正切公式求解即得.
【詳解】由，得，解得，，
由為銳角，，知，，
于是，所以.
故答案為：
17．
【分析】利用兩角和的正切公式結合基本不等式求解即可
【詳解】因為為銳角，且，
所以，所以，
所以，
因為，
即，當且僅當，即時取等號，
所以，
因為，所以，
所以，當且僅當時取等號，
所以的最小值為，
故答案為：
18．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用，即得解；
（2）利用二倍角公式和同角三角函數關系化簡證明即可.
【詳解】（1）因為，
所以，
所以.
（2）證明：因為
，
所以
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁【第二課】5.5.1課時2 兩角和與差的正切公式
題型一: 給角求值
例1.＝（ ）
A． B．
C．1 D．－
【答案】A
【解析】原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝．故選A.
【方法總結】當題目中含多個非特殊角時，注意觀察這些角之間的關系，特別是可以考慮能否與某些特殊角建立聯系，從而通過角的變換減少角的個數，實現求解．
【變式訓練1-1】
1．tan975°=（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】
2． .
題型二: 給值求值
例2.（2023上·高一課時練習）設，則的值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知條件先求出的值，再利用兩角差的正切公式可求得答案
【詳解】因為，所以，
所以，
由，得，
所以，
故選：C
點透 觀察已知式中的角與所求表達式中角的關系，通過角的變換，再利用和角或差角公式求解．
【方法總結】在解決此類題目時，一定要注意已知角與所求角之間的關系，恰當地運用拆角、拼角等技巧，同時分析角之間的關系，利用角的變換化異角為同角．具體做法：
（1）當條件中有兩角時，一般把所求角表示為已知兩角的和或差；
（2）當已知角有一個時，可利用誘導公式把所求角轉化為已知角．
【變式訓練2-1】（福建福州一中2022高一期末）
3．已知，則（ ）
A． B． C．2 D．
【變式訓練2-2】
4．若，則 .
題型三: 給值求角
例3.已知，．若，，則的值為 ．
【答案】
【解析】因為，，所以，
又因為，所以，故
【方法總結】
（1）解決給值求角問題的一般步驟：
①求角的某一個三角函數值；
②確定角的范圍；
③根據角的范圍寫出符合要求的角．
（2）在求角的某個三角函數值時，應注意根據條件選擇恰當的三角函數．已知正切函數值，選正切函數．
圍是，選余弦函數較合適；若角的范圍是，選正弦函數較合適．
【變式訓練3-1】
5．已知，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】
6．在中，，，則角 .
【變式訓練3-3】
7．已知，，且，是方程的兩根，則的值為 ．
題型四 三角函數式的化簡與證明
例4.已知，求證：．
【思路分析】觀察條件與結論間的差異可知：
①函數名稱間的差異是正切與正弦，可考慮切化弦，實現化異為同；
②角的差異是，，與，通過觀察可得已知角與未知角之間的關系為，，由此可以化異為同．
【證明】由已知得，．
又，
，
∴．
【方法總結】
（1）證明三角恒等式的思路：觀察等式兩端的結構形式，本著從復雜到簡單，高次到低次，復雜角化簡單角的原則進行處理，若等式的兩端都比較復雜，則將兩端都化簡，采用兩端向中間湊的原則處理．
（2）證明三角恒等式的方法：
①證明等式的一邊等于另一邊，相當于化簡；
②從兩邊著手，證明等式的左、右兩邊等于同一個數或式子；
③比較法：作差（或作商），左邊－右邊＝0（或，右邊≠0）；
④分析法：從要證明的等式出發，一步步尋求使等式成立的條件．
（3）在證明三角恒等式的過程中，應注意：
①強化“目標”意識，就是在證明過程中，應盯住目標，逐步向它靠攏；
②強化“化異為同”意識，即化異角為同角，化異名為同名，化異次為同次，這就需要找到待化簡的三角函數式與目標函數式之間的差異及聯系，再利用三角函數公式進行恒等變換，使之相互轉化，常用方法有直推法、代入法、換元法等．
【變式訓練4-1】（2023·高一課時練習）
8．計算 .
【變式訓練4-2】（2023下·高一課時練習）
9．證明下列恒等式.
（1）；
（2）.
【變式訓練4-3】（2023·高一課時練習）
10．已知，證明：.
易錯點：忽略角的范圍而致誤
例 已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，則2α－β＝____．
【錯解】由于tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝，
又α∈(0，π)，∴α∈(0，)．
又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝1，
而β∈(，π)，∴2α－β∈(－π，π)
∴2α－β＝－π或．
【正解】由于tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝，
又α∈(0，π)，所以α∈(0，)，
又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝1，
而β∈(，π)，所以2α－β∈(－π，0)，
故2α－β＝－．
易錯警示：注意題設隱含條件的挖掘，個別條件所附帶的信息有時較為隱蔽，常依據需要對題設條件進一步挖掘，如本例要依據“tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)”來進一步限定角α，β的范圍．
針對訓練1-1
11．若，且，，則 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【詳解】利用誘導公式以及兩角和的正切公式即可求得答案.
【分析】,
故選:D．
2．##
【分析】利用正切的和角公式即可求出結果.
【詳解】因為，
故答案為：．
3．B
【分析】先求出，再求出，最后可求.
【詳解】因為，故，
因為，故，而，
故，所以，
故，
所以，
故選：B
4．##
【分析】利用兩角和的正切公式求出，然后用同角三角函數的關系式即可求解
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
故答案為：
5．C
【分析】化切為弦結合兩角和的余弦公式、誘導公式以及余弦函數的單調性即可求解.
【詳解】因為，
所以，
即，
因為，，所以，，
因為在上單調遞減，所以，
即，
故選：C.
6．
【分析】根據條件，利用正切的和角公式得到，再根據的范圍，即可求出結果.
【詳解】因為，，
所以，
又，得到,
又，所以，
故答案為：.
7．
【分析】由根與系數的關系得，，因此，．得，由兩角和的正切公式求解.
【詳解】因為，是方程的兩根，
所以，，因此，．
又，所以，所以，
則，因此．
故答案為：
8．
【分析】根據兩角差的正切公式求得正確答案.
【詳解】
.
故答案為：
9．（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）從左邊開始，利用兩角和與差的正切公式，結合平方差公式化簡運算即可得到右邊；
（2）根據，利用兩角和的正切公式展開右邊，并去分母整理得到，然后對要證等式的左邊進行替換，并整理化簡即得到右邊.
【詳解】左邊
右邊，
原等式成立.
（2）∵，
∴，
∴.
∴原式成立.
【點睛】本題考查利用兩角和差的正切公式證明三角恒等式，關鍵難點是第二問中的證明中對兩角和差正切公式的靈活運用，,是十分方便的一個變形公式，可以直接使用.
10．證明見解析
【分析】左式可借鑒萬能公式的推導方法，分母湊一個，代入求值；右式利用，逆用正切的和角公式，即可求證
【詳解】因為，
所以左邊，
右邊，所以左邊右邊，所以原等式成立.
【點睛】本題考查三角恒等式的證明，要善于分析式子的特征，分析角與角之間的關系，并能靈活運用公式，證明時可同時左右化簡，屬于中檔題
11．
【分析】由已知得，進而求得，再利用角的范圍即可求解
【詳解】因為，所以，所以.又，，所以，故.
故答案為
【點睛】本題考查兩角和與差的正切公式的逆用．考查考生的靈活變通能力，是基礎題
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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