資源簡介

2.2.1 直線的點斜式方程【第一練】
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.求直線的點斜式方程，培養直觀想象和數學運算素養，如第1題、第3題、第4題、第9題、第13題、第14題；
2.考查直線斜截式方程，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第2題、第7題、第8題、第15題；
3.直線點斜式和斜截式方程的綜合應用:平行與垂直的判定、過定點、截距應用，培養邏輯推理和數學運算能力，如第5題、第6題、第10題、第11題、第12題、第16題、第17題；
一、填空題
（2023·廣西玉林高一期中）
1．經過點，傾斜角為60°的直線的點斜式方程是 ．
（2023·福建三明高二期中）
2．已知直線l的方程為則l在y軸上的截距為 .
（2023·廣東梅州高二期中）
3．若直線：的斜率為1，則實數
（2023·江西上饒高二期中）
4．直線的傾斜角是 ．
（2023·安徽銅陵高二期中）
5．若直線與直線垂直，則 .
（2023·四川瀘州高二期中）
6．已知直線過點且與直線垂直，則的點斜式方程為 ..
（2023·湖北黃石高二期中）
7．直線l的方程為y－a＝(a－1)(x＋2)，若直線l在y軸上的截距為6，則a＝ ．
（2023·山東濰坊高二期中）
8．已知直線在軸上的截距為，且它的傾斜角為，則 .
（2023·湖南邵陽高二期中）
9．已知，，則過的中點且傾斜角為，直線的點斜式方程是 ．
【點睛】關鍵點點睛：掌握斜率的定義和直線方程的點斜式是本題的解題關鍵.
（2023·山東泰安高二期中）
10．不論m為何實數，直線mx－y＋3＝0 恒過定點 （填點的坐標）
（2023·福建莆田一中高二月考）
11．若直線的斜率k與直線在y軸上的截距b相等，則該直線一定經過的點是 .
（2023·河北張家口高二期中）
12．直線l過點(3,2)，且與直線及x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形．則直線l的方程為 ．
二、解答題
13．根據下列條件，分別寫出直線的方程：
(1)經過點，斜率為3；
(2)經過點，斜率為；
(3)經過點，斜率為0；
(4)斜率為，在y軸上的截距為；
(5)斜率為，與x軸交點的橫坐標為.
14．已知直線過點和．
（1）求直線的點斜式方程；
（2）將（1）中的直線的方程化成斜截式方程，并寫出直線在軸上的截距．
（2023·山西大同高二期中）
15．已知平面內兩點，.
（1）求線段的中垂線方程；
（2）求過點且與直線平行的直線的方程.
（2023·內蒙古包頭高二期末）
16．已知的三個頂點分別為，，.
(1)求邊上的高所在直線的方程；
(2)求邊上的中線所在直線的方程.
（2023·福建福州三中高二月考）
17．已知直線的方程為y＝－2x＋3.
(1)若直線與平行，且過點，求直線的方程；
(2)若直線與垂直，且l2與兩坐標軸圍成的三角形面積為4，求直線的方程．
【易錯題目】第7題 、第11題、第17題
【復盤要點】 注意 “截距”與“距離”的區別
【典例】（2023·福建省南平市期中）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為（ ）
A． B．
C．或 C．或
學審題： 分兩種情況討論：當直線過原點時，斜率為，由點斜式寫出直線的方程；當直線不過原點時，設直線的方程是：，把點代入方程求解即可.
C
當直線過原點時，斜率為，由點斜式求得直線的方程是．
當直線不過原點時，設直線的方程是：，
把點代入方程得，
所以直線的方程是.綜上，所求直線的方程為或.
故選：D．
【點睛】本題主要考查直線的方程的求法，還考查了分類討論的思想方法.
【歸納總結】
直線在y軸上的截距并不是距離，而是直線與y軸交點的縱坐標，它是一個數值，可正可負，可為零. 當截距為非負數時，它等于交點到坐標原點的距離，當截距為負數時，它等于交點到坐標原點距離的相反數.
【復盤訓練】
（2023·福建三明高二期中）
18．與兩坐標軸圍成的三角形面積為4，且斜率為的直線l的方程為 ．
（2023·山東濰坊高二期中）
19．寫出下列直線的斜截式方程：
(1)傾斜角為45°且在y軸上的截距為2；
(2)直線過點（3，1）且在y軸上截距是-1.
（2023·江西上饒高二期中）
20．根據條件寫出下列直線的斜截式方程：
(1)傾斜角為60°，與軸的交點到坐標原點的距離為3；
(2)在y軸上的截距為，且與y軸夾角為60°.
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．
【分析】由點斜式求得方程，化為一般式即可.
【詳解】由題知，直線斜率為，
則直線點斜式方程為：
故答案為：
2．
【分析】只需把直線方程轉化成斜截式方程即得.
【詳解】由可得：，∴l在y軸上的截距為.
故答案為：.
3．
【分析】根據直線的一般式方程與斜率公式求解.
【詳解】因為直線的斜率為1，所以解得，
故答案為:3.
4．
【分析】將直線方程化為斜截式，再利用誘導公式得到直線的斜率，從而得解.
【詳解】解：直線，即，
即，即，即，
所以直線的斜率，則直線的傾斜角為.
故答案為：
5．
【分析】利用斜率相乘為可求.
【詳解】因為直線與直線垂直，
所以，解得.
故答案為：.
6．
【解析】首先根據題意得到的斜率為，再利用點斜式寫出直線方程即可.
【詳解】因為直線的斜率為，所以的斜率為，
故的點斜式方程為：.
故答案為：
【點睛】本題主要考查直線的點斜式方程，同時考查了兩直線的位置關系，屬于簡單題.
7．
【分析】令x=0，則y=2（a﹣1）+a=6，解得即可．
【詳解】令x=0，則y=2（a﹣1）+a=6，
解得a=．
故答案為．
【點睛】本題考查了直線的截距，屬于基礎題．
8．2
【分析】根據截距求，根據傾斜角和斜率關系求即可.
【詳解】因為直線在軸上的截距為，
所以，所以，
則直線方程可化為，
又因為直線傾斜角為，所以，
所以.
故答案為：2
9．
【分析】求出中點坐標和斜率后，根據點斜式可得結果.
【詳解】設的中點為，則，
又斜率，
所以直線的點斜式方程為．
故答案為：
10．
【分析】將方程變形成點斜式可得.
【詳解】將直線變形為，由直線方程的點斜式可知直線過定點.
故答案為：
11．
【分析】設直線方程為，由得直線恒過定點.
【詳解】設直線方程為，，
，當時，，
∴直線一定經過點.
故答案為：.
12．
【分析】根據給定條件，求出直線l的斜率，再利用直線點斜式方程列式作答.
【詳解】因直線l與直線及x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，則直線l與直線的傾斜角互補，
于是得直線l的斜率為，直線l的方程為，即，
所以直線l的方程為.
故答案為：
13．(1) ；
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根據直線的點斜式方程和斜截式方程依次求解即可.
【詳解】（1）因為直線過點，斜率為3，
由直線的點斜式方程可得直線方程為：，
即；
（2）因為直線過點，斜率為，
由直線的點斜式方程可得直線方程為：，
即；
（3）因為直線過點，斜率為，
由直線的點斜式方程可得直線方程為：，
即；
（4）因為直線在y軸上的截距為，斜率為，
由直線的斜截式方程可得直線方程為：；
（5）因為直線與x軸的交點的橫坐標為，
所以該點的坐標為，又斜率為，
由直線的點斜式方程可得直線方程為：，
即.
14．（1）（或）；（2）；直線在軸上的截距為．
【分析】（1）根據直線斜率公式求出直線斜率再根據點斜式方程求法直接寫出答案；
（2）將所求的點斜式方程化為斜截式方程，令則可求出直線在軸上的截距.
【詳解】（1）直線的斜率，
故直線的點斜式方程為（或）．
（2）由得，
所以直線的斜截式方程為，
當時，，所以直線在軸上的截距為．
15．（1）；（2）.
【分析】（1）利用中點坐標公式以及兩直線垂直時斜率間的關系即可得到中垂線方程；
（2）利用平行直線斜率相等以及點斜式即可得到直線的方程.
【詳解】（1）因為，，所以線段中點，
因為，所以線段的中垂線的斜率為，
所以線段的中垂線方程為：，即；
（2）因為直線與直線平行，所以，又因為過，
所以直線的方程為：，即.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由兩點式斜率公式求出斜率，利用垂直關系得的斜率，代入點斜式即可求解；
（2）求出點的坐標為，由兩點式斜率公式求出的斜率，代入點斜式即可求解.
【詳解】（1）由題意得，且，所以.
則邊上的高所在直線的方程為，化簡得.
（2）由題知的中點，所以，
則邊上的中線所在直線的方程為，化簡得.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）設的方程為，代入點得出所求方程；
（2）設的方程為，求出在坐標軸上的交點，進而由面積公式得出.
【詳解】（1）由直線與平行，可設的方程為，
將代入，得，
即得，所以直線的方程為
（2）由直線與垂直，可設的方程為，
令，得，令，得，
故三角形面積，
所以，解得，所以直線的方程是或
18．
【分析】由已知設直線方程為，從而可得直線的截距為，進而有，解方程可得b的值.
【詳解】設直線l的方程為，
令，可得；令，可得；
由題意可得：，解得，
所以直線l的方程為.
故答案為：.
19．(1)
(2)
【分析】（1）運用斜截式直線方程求解；
（2）運用兩點式直線方程求解.
【詳解】（1）斜率，截距，；
（2）等價于直線過兩點，直線方程為 ，即；
綜上，（1），（2）.
20．(1)或
(2)
【分析】（1）（2）根據傾斜角可得斜率，即可由斜截式求解方程.
【詳解】（1）因為直線的傾斜角為60°，所以斜率.
因為直線與y軸的交點到坐標原點的距離為3，所以直線在y軸上的截距或，
故所求直線的斜截式方程為或.
（2）與y軸夾角為60°的直線傾斜角為30°或150°，所以斜率k為或，即，
又直線在y軸上的截距為，
故所求直線的斜截式方程為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁2.2.1 直線的點斜式方程【第一課】
[課標要求]
1.了解由斜率公式推導直線方程的點斜式的過程.
2.掌握直線的點斜式方程與斜截式方程.
3.會利用直線的點斜式方程與斜截式方程解決有關的問題.
[明確任務]
1.直線方程的兩種形式及應用. （數學建模）
2.直線方程的兩種形式的推導及應用. （邏輯推理）
1.斜率的概念及計算公式、直線的方向向量；
2.方程思想及建立方程的一般步驟.
核心知識點1 直線的點斜式方程
1.方程y－y0＝k（x－x0）由直線上一定點及其斜率確定，我們把這個方程叫作直線的點斜式方程，簡稱點斜式.
2.特別地，當k＝0時（如圖1），過P0（x0，y0）的直線可以寫成y＝y0；當k不存在時（如圖2），過P0（x0，y0）的直線可以寫成x＝x0.
提示：（1）經過點P0（x0，y0）的直線有無數條，可分為兩類：
①斜率存在的直線，方程為y－y0＝k（x－x0）；
②斜率不存在的直線，方程為x＝x0.
（2）＝k與y－y0＝k（x－x0）是不同的，前者缺少一個點（x0，y0），后者才是整條直線.
例1. 寫出下列直線的點斜式方程：
（1）過點A（－4，3），斜率k＝3；
（2）經過點B（－1，4），傾斜角為135°；
（3）過點C（－1，2），且與y軸平行；
（4）過點D（2，1）和E（3，－4）.
【答案】見解析
【解析】（1）由點斜式方程可知，所求直線方程為：
y－3＝3[x－（－4）].
（2）由題意知，直線的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直線的點斜式方程為
y－4＝－[x－（－1）].
（3）∵直線與y軸平行，∴斜率不存在，
∴直線的方程不能用點斜式表示.由于直線上所有點的橫坐標都是－1，
故這條直線的方程為x＝－1.
（4）∵直線過點D（2，1）和E（3，－4），
∴斜率k＝＝－5，
故所求直線的點斜式方程為y－1＝－5（x－2）.
歸納總結 求直線的點斜式方程
1.求直線的點斜式方程的思路
2.點斜式方程y－y0＝k（x－x0）可表示過點P（x0，y0）的所有直線，但x＝x0除外.
【舉一反三】
1．在平面直角坐標系中，下列三個結論：
①每一條直線都有點斜式方程；
②方程與方程可表示同一條直線；
③直線過點，傾斜角為，則其方程為.
其中正確結論的序號為 .
2．經過點，且傾斜角為的點斜式直線方程為 .
3．已知過定點的直線m的一個方向向量是，則直線m的點斜式方程為 .
核心知識點2 直線的斜截式方程
1. 我們把直線l與y軸的交點（0，b）的縱坐標b叫作直線l在y軸上的截距.方程y＝kx＋b由直線的斜率k與它在y軸上的截距b確定，所以方程y＝kx＋b叫作直線的斜截式方程，簡稱斜截式.
2.y＝kx＋b中k和b均有明顯的幾何意義，其中k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距.
提示：　（1）直線的斜截式方程是直線的點斜式方程的特殊情況.
（2）截距是一個實數，它是直線與坐標軸交點的橫坐標或縱坐標，可以為正數、負數和0.當直線過原點時，它的橫截距和縱截距都為0.
（3）一次函數y＝kx＋b（k≠0）的圖象是一條直線，直線的方程就是函數解析式，其中k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距，直線在x軸上的截距是－.
例2. 寫出下列直線的斜截式方程：
（1）斜率為2，在y軸上的截距是5；
（2）傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；
（3）傾斜角為60°，與y軸的交點到坐標原點的距離為3.
【答案】見解析
【解析】 （1）由直線方程的斜截式可知，
所求直線方程為y＝2x＋5.
（2）∵傾斜角α＝150°，
∴斜率k＝tan 150°＝－.
由斜截式可得方程為y＝－x－2.
（3）∵直線的傾斜角為60°，
∴其斜率k＝tan 60°＝.
∵直線與y軸的交點到原點的距離為3，
∴直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直線的斜截式方程為y＝x＋3或y＝x－3.
歸納總結 直線的斜截式方程的求解策略：
（1）求直線的斜截式方程只要分別求出直線的斜率和在y軸上的截距，代入方程即可.
（2）當斜率和截距未知時，可結合已知條件，先求出斜率和截距，再寫出直線的斜截式方程.
【舉一反三】
4．已知直線的傾斜角為，在軸上的截距為，則此直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直線的圖像如圖所示，則角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
核心知識點3 直線方程的應用
考向1 直線方程與平行、垂直
例3. 求經過點M（－1，2），且滿足下列條件的直線的方程.
（1）經過點P（1，3）；
（2）與直線2x＋y＋5＝0平行；
（3）與直線2x＋y＋5＝0垂直.
【答案】見解析　
【解析】（1）由已知得直線經過點M（－1，2），
∵直線還經過點P（1，3），
則所求直線斜率為k＝，
故方程為y－3＝（x－1）. 即x－2y＋5＝0.
（2）根據所求直線與直線2x＋y＋5＝0平行，
可設它的方程為2x＋y＋m＝0，
再把點M（－1，2）代入，可得－2＋2＋m＝0，解得m＝0，
故所求的直線的方程為 2x＋y＝0.
（3）根據所求直線與直線2x＋y＋5＝0垂直，
可設它的方程為x－2y＋n＝0，
再把點M（－1，2）代入，可得－1－4＋n＝0，解得n＝5，
故所求的直線的方程為x－2y＋5＝0.
歸納總結 兩條直線平行和垂直的判定
已知直線l1：y＝k1x＋b1與直線l2：y＝k2x＋b2，
（1）若l1∥l2，則k1＝k2，此時兩直線與y軸的交點不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2時，l1∥l2，所以有l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2.
（2）若l1⊥l2，則k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1時，l1⊥l2. 所以有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
提醒：若已知含參數的兩條直線平行或垂直，求參數的值時，要注意討論斜率是否存在，若是平行關系注意考慮b1≠b2這個條件.
【舉一反三】
6．已知直線和互相垂直，則 .
7．若直線與直線互相平行，則 ．
8．經過點，且與直線平行的直線的斜截式方程為 ；與直線垂直的直線的點斜式方程為 .
考向2 “截距”的應用
例4.傾斜角為120°且在y軸上的截距絕對值為2的直線方程為（　　）
A.y＝－x＋2 B.y＝－x－2
C.y＝x＋2 D.y＝x－2
【答案】AB
【解析】由傾斜角為α＝120°得k＝tan α＝tan 120°＝－，
又縱截距為±2，故y＝－x±2，選AB.
歸納總結 “截距”與“距離”的區別
直線在y軸上的截距并不是距離，而是直線與y軸交點的縱坐標，它是一個數值，可正可負，可為零. 當截距為非負數時，它等于交點到坐標原點的距離，當截距為負數時，它等于交點到坐標原點距離的相反數.
【舉一反三】
9．已知直線l的方程為2x－5y＋10＝0，且在y軸上的截距為b，則b等于（　　）
A．－2 B．2
C．－5 D．5
10．已知直線l與直線互相垂直，直線l與直線在y軸上的截距相等，則直線l的方程為 .
11．已知一直線經過點,且與軸平行,則該直線的方程為
A． B． C． D．
12．與直線的斜率相等，且過點的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
13．已知直線l的方程為y+(x1)，則l在y軸上的截距為（ ）
A．9 B．9
C． D．
14．直線kx－y＋1－3k＝0當k變化時，所有的直線恒過定點(　　)
A．(1,3) B．(－1，－3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
15．與直線垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程為 ；它與y軸的交點為 .
16．在y軸上的截距為-6，且與y軸相交成30°角的直線方程是____.
17．若直線繞著其上一點逆時針旋轉后得到直線，則直線的點斜式方程為 ．
18．寫出下列直線的斜截式方程：
(1)傾斜角為45°且在y軸上的截距為2；
(2)直線過點（3，1）且在y軸上截距是-1.
19．已知直線l的方程是.
(1)求直線l的斜率和傾斜角；
(2)求過點且與直線l平行的直線的方程.
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．③
【分析】根據直線的點斜式方程的意義可判斷.
【詳解】直線的點斜式方程不能表示斜率不存在的直線，所以①錯誤；
點不在方程所表示的直線上，所以②錯誤；
③顯然正確；
故答案為：③.
2．
【分析】求出直線斜率，根據直線的點斜式方程即可得答案.
【詳解】傾斜角為的直線的斜率為，
又該直線經過點，
所以其點斜式方程為
故答案為：
3．
【分析】由直線的方向向量可求得直線的斜率，再根據點斜式方程即可求解.
【詳解】因為直線的一個方向向量，
所以直線的斜率為，
又因為直線過點，
所以直線的點斜式方程為.
故答案為：
4．D
【分析】求出直線的斜率，利用斜截式可得出直線的方程.
【詳解】直線的斜率為，由題意可知，所求直線的方程為.
故選：D.
5．D
【分析】本題可根據直線的斜率和截距得出、，即可得出結果.
【詳解】結合圖像易知，，，
則角是第四象限角，
故選：D.
6．
【分析】依題意可得兩直線斜率之積為，即可求出參數的值.
【詳解】因為直線和互相垂直，
所以，解得.
故答案為：
7．
【分析】由直線平行可得，求解即可.
【詳解】由題意可知，解得．
故答案為：
8．
【分析】根據平行直線的斜率關系，找到斜率，經過點求出直線方程，改寫成斜截式方程即可，根據垂直直線的斜率關系，求出斜率，寫出對應的方程，改寫成點斜式方程即可.
【詳解】設直線的斜率為，
與直線平行的直線的斜率為，
與直線垂直的直線斜率為.
由得，
由兩直線平行知.
所以所求直線方程為，即；
由兩直線垂直知，
所以與直線垂直的直線的點斜式方程為.
故答案為：;
9．B
【分析】直接利用直線方程求出在y軸上的截距為b.
【詳解】令x＝0，則y＝2，
所以直線2x－5y＋10＝0在y軸上的截距是2.
故選：B
10．
【分析】由兩條直線垂直，斜率之積為-1，可得直線l的斜率.再由直線在y軸上的截距為6，可得直線l截距為6，由斜截式可得結果.
【詳解】因為直線l與直線垂直，所以直線l的斜率.
又因為直線在y軸上的截距為6，所以直線l在y軸上的截距為6，
所以直線l的方程為.
故答案為：
【點睛】本題考查了直線方程的斜截式，考查了運算求解能力，屬于基礎題目.
11．D
【分析】由已知條件，結合直線的點斜式方程即可得解.
【詳解】解：因為直線與軸平行,所以其斜率為,所以直線的點斜式方程為,即.
故選D.
【點睛】本題考查了直線的點斜式方程，屬基礎題.
12．C
【分析】根據直線方程的點斜式可得答案.
【詳解】由可得直線的斜率為，又直線過點，
所以所求直線方程為.
故選：C
13．B
【分析】把方程化為斜截式方程，即可得結論．
【詳解】解：由y+(x1)，得y=x，∴l在y軸上的截距為.
故選：B
【點睛】本題考查求直線的截距，掌握截距概念是解題關鍵．直線的縱截距是直線與軸交點的縱坐標，不是距離，可以為負．
14．C
【分析】先分離參數得到（x-3）k+1-y=0，再解方程組即得直線所經過的定點.
【詳解】由題得（x-3）k+1-y=0，所以，解之得x=3,y=1,所以直線過定點（3,1）.
故答案為C
【點睛】(1)本題主要考查直線的定點問題，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 直線的定點問題,方法一：參數賦值法,給直線中的參數賦兩個值，得到兩個方程，再解方程組得到方程組的解，即是直線過的定點，最后要把點的坐標代入直線的方程證明，發現直線的方程恒成立.方法二：分離參數法,把直線的方程分離參數得到，所以，解之得定點的坐標.
15．
【分析】根據與直線垂直，求出斜率，再根據在y軸上的截距為4，求出直線方程.
【詳解】設所求直線斜率為k，則，
即，又在y軸上的截距為4，
則直線為，與y軸交點為.
故答案為：；.
16．或.
【分析】由已知條件先計算出直線的傾斜角,進而求出直線的斜率,運用直線斜截式求出直線方程.
【詳解】因為直線與y軸相交成30°角，所以直線的傾斜角為60°或120°，
所以直線的斜率為或，
又因為在y軸上的截距為－6，
所以直線的斜截式方程為或.
故答案為：或.
17．
【分析】先根據已知直線斜率求得傾斜角，旋轉得到直線的傾斜角，再根據其斜率和定點得到點斜式方程.
【詳解】∵直線的斜率為1，∴傾斜角為45°．將其逆時針旋轉90°后得到直線，
則直線的傾斜角為135°，∴直線的斜率為．
又點在直線上，∴直線的點斜式方程為．
故答案為：.
【點睛】本題考查了直線的點斜式方程，屬于基礎題.
18．(1)
(2)
【分析】（1）運用斜截式直線方程求解；
（2）運用兩點式直線方程求解.
【詳解】（1）斜率，截距，；
（2）等價于直線過兩點，直線方程為 ，即；
綜上，（1），（2）.
19．(1)斜率為，傾斜角是60°
(2)
【分析】（1）由直線方程直接求出斜率，進而得到傾斜角；
（2）利用點斜式方程求出直線方程.
【詳解】（1）已知直線l：，
所以直線l的斜率，傾斜角是.
（2）過點且與直線l平行的直線的斜率是，
所求直線方程為：，即.
答案第1頁，共2頁
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