資源簡(jiǎn)介

2.2.3 直線的一般式方程【第三練】
【試題來(lái)源】來(lái)自各地期中期末的聯(lián)考試題，進(jìn)行整理和改編；
【試題難度】本次訓(xùn)練試題難度較大，適合學(xué)完第三課后，起到提升解題能力和素養(yǎng)的目的.
【目標(biāo)分析】
1.直線一般式方程與其它方程形式的互化，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，如第1題、第9題、第15題；
2.考查直線一般式方程判定平行與垂直，發(fā)展直觀想象，邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)素養(yǎng)，如第2題、第3題、第6題、第10題、第11題、第14題；
3.直線一般式方程的綜合應(yīng)用:與直線一般式方程有關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題、與直線有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，如第4題、第5題、第7題、第8題、第12題、第13題、第16題；
一、單選題
（2023·廣東清遠(yuǎn)高二期中）
1．若直線的斜率，那么該直線不經(jīng)過(guò)（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
（2023·浙江溫州高二期中）
2．已知直線l的一個(gè)方向向量，且過(guò)點(diǎn)，則直線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
（2023·山東泰安高二期中）
3．已知直線l的斜率與直線的斜率相等，且l和兩坐標(biāo)軸在第一象限內(nèi)所圍成三角形面積是24，則直線l的方程是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·廣東深圳·高二期中）
4．點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
（2023·福建三明高二期中）
5．已知點(diǎn)A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）關(guān)于直線4x+3y=11對(duì)稱，則a，b的值為（　　）.
A．a(chǎn)=-1，b=2 B．a(chǎn)=4，b=-2
C．a(chǎn)=2，b=4 D．a(chǎn)=4，b=2
（2023·河南開(kāi)封高二期中）
6．已知兩條直線和互相垂直且垂足為點(diǎn)P（1，2），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．且
C． D．
（2023·河北邢臺(tái)·高二期中）
7．過(guò)定點(diǎn)A的直線與過(guò)定點(diǎn)的直線交于點(diǎn)與不重合），則面積的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．4
（2023·河南洛陽(yáng)高二期中）
8．一條沿直線傳播的光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，然后被直線反射，則反射光線所在的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）
9．對(duì)于直線l：，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．l的斜率一定存在 B．l恒過(guò)定點(diǎn)
C．時(shí)，l的傾斜角為60° D．時(shí)，l不經(jīng)過(guò)第二象限
（2023·湖北十堰高二聯(lián)考期中）
10．已知直線：，：，則（ ）
A．恒過(guò)點(diǎn) B．若，則
C．若，則 D．不經(jīng)過(guò)第三象限，則
三、填空題
（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二期中）
11．設(shè)直線過(guò)定點(diǎn)A，則過(guò)點(diǎn)A且與直線垂直的直線方程為 ．
（2023·江西上饒高二期末）
12．若直線：y＝kx－k＋1與直線關(guān)于點(diǎn)（3，3）對(duì)稱，則直線恒過(guò)定點(diǎn) .
（2023·浙江寧波·高二校聯(lián)考期中）
13．已知，過(guò)定點(diǎn)M的動(dòng)直線與過(guò)定點(diǎn)N的動(dòng)直線相交于點(diǎn)P，則的最大值是 ．
（2023·寧夏銀川·高二期中）
14．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，為不同的兩點(diǎn)，直線l的方程為，設(shè)，其中a，b，c均為實(shí)數(shù)，下列四個(gè)說(shuō)法中：
①存在實(shí)數(shù)δ，使點(diǎn)N在直線l上；
②若，則過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線與直線l重合；
③若，則直線l經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)；
所有結(jié)論正確的說(shuō)法的序號(hào)是 .
四、解答題
（2023·浙江麗水高二期中）
15．已知直線，直線過(guò)點(diǎn)，__________．在①直線的斜率是直線的斜率的2倍，②直線不過(guò)原點(diǎn)且在軸上的截距等于在軸上的截距的2倍，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線中，并解答下列問(wèn)題．
(1)求的一般式方程；
(2)若與在軸上的截距相等，求的值．
（2023·安徽淮南·高二期中）
16．已知直線．
(1)證明: 無(wú)論取何值，直線與直線總相交．
(2)若，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，，求面積的最小值．
【易錯(cuò)題目】第5題、第8題、第12題
【復(fù)盤(pán)要點(diǎn)】 與直線有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題
與直線有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題，包括點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱及直線關(guān)于直線對(duì)稱。問(wèn)題情境較為復(fù)雜，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，方法靈活，綜合性較強(qiáng)。
（2023·江蘇宿遷·高二期末）
典例光線自點(diǎn)射入，經(jīng)傾斜角為的直線反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則反射光線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【分析】先求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，得出反射后的直線，再對(duì)選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)
【解析】由題意知，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，所以反射光線所在的直線方程為，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故選：BC
易錯(cuò)提示：與直線有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題
1.直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱
方法（1）：在上找兩個(gè)特殊點(diǎn),各自求出關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn),然后求出直線方程
方法（2）：利用與直線平行先設(shè)出對(duì)稱線的方程,在上找一個(gè)特殊點(diǎn),求出關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn),代入方程即可
2.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱
利用“垂直”和“平分”這兩個(gè)條件建立方程組,就可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)具體操作：
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),則
3.直線關(guān)于直線的對(duì)稱
（1）當(dāng)與相交時(shí)：
第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)
第二步：在上任找另一點(diǎn),求出關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)
第三步：利用兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線的方程;
（2）當(dāng)與平行時(shí)：兩條對(duì)稱直線到已知直線的距離相等,利用平行線間距離公式即可解得
【復(fù)盤(pán)訓(xùn)練】
（2023·四川綿陽(yáng)高二期中）
17．若光線沿傾斜角為120°的直線射向軸上的點(diǎn)，則經(jīng)軸反射后，反射光線所在的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·福建莆田高二統(tǒng)考期中）
18．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺(tái)之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營(yíng)，怎樣走能使總路程最短 在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流，，其方程分別為，，點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7
B．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7
C．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是
D．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是
（湖南省衡陽(yáng)師范學(xué)院祁東附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中）
19．已知直線和點(diǎn)
(1)求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程.
（湖北省高中名校聯(lián)盟2023屆高二上學(xué)期第二次聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題）
20．已知直線l：，點(diǎn).求：
(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
(2)直線m：關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程；
(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的直線l′的方程.
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．C
【分析】先求得過(guò)定點(diǎn)，再依據(jù)其斜率，即可得到該直線不經(jīng)過(guò)第三象限.
【詳解】直線可化為
則直線過(guò)定點(diǎn)，
又直線斜率，
故該直線不經(jīng)過(guò)第三象限.
故選：C
2．A
【分析】先根據(jù)直線的方向向量求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求出直線方程.
【詳解】因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量，所以直線l的斜率為，
又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線l的方程為，即.
故選：A.
3．C
【分析】由題意設(shè)，則，解方程再結(jié)合題意可求出，即可得出答案.
【詳解】直線的斜率為，可設(shè)l的方程為.
令，得，由題可知:，得，
由于在第一象限與坐標(biāo)軸圍成三角形，所以，所以選C項(xiàng)．
故選：C.
4．A
【分析】根據(jù)題意，由直線的方程可得直線過(guò)定點(diǎn)，即可得到為點(diǎn)到直線的距離時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，從而得到結(jié)果.
【詳解】直線可變形為，
由解得，故直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)為點(diǎn)到直線的距離時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，
此時(shí)直線的斜率為，故此時(shí)直線的方程為，
整理可得.
故選：A
5．D
【分析】利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì)即可求得結(jié)果.
【詳解】點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，則，
即，　①
且AB中點(diǎn)在已知直線上，
代入得，　②
聯(lián)立①②組成的方程組，解得，
故選：D.
6．D
【分析】由兩條直線互相垂直，有，把點(diǎn)P代入兩條直線方程，把所得到的等式
進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得到各選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閮蓷l直線和互相垂直，所以①，選項(xiàng)A正確；
由題意，兩條直線和的交點(diǎn)為P（1，2），所以②，且③，選項(xiàng)B正確；
由②③得，，代入①得，化簡(jiǎn)得，選項(xiàng)C正確；
由②③得，，代入①得，化簡(jiǎn)得，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：D.
7．C
【分析】根據(jù)方程可得定點(diǎn)A、B，并且可判斷兩直線垂直，然后利用基本不等式可得.
【詳解】動(dòng)直線化為，可知定點(diǎn)，
動(dòng)直線化為，可知定點(diǎn)，
又
所以直線與直線垂直，為交點(diǎn)，
.
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
即面積的最大值為2.
故選：C.
8．D
【分析】首先根據(jù)兩點(diǎn)式求得入射光線的直線方程，求得入射光線和直線的交點(diǎn)，再根據(jù)反射光線經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱求得對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)式即可得解.
【詳解】入射光線所在的直線方程為，即，
聯(lián)立方程組解得即入射點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
則解得，即．
因?yàn)榉瓷涔饩€所在直線經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)和，
所以反射光線所在直線的斜率為，
所以反射光線所在的直線方程為，即．
故選：D.
9．ABD
【分析】由直線方程進(jìn)行判斷．
【詳解】直線方程為，斜率為，一定存在，A正確；
，所以直線過(guò)點(diǎn)，B正確；
時(shí)斜率為，傾斜角為，C錯(cuò)誤；
時(shí)，直線方程為，即，斜率是2，為正，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是和，因此直線過(guò)一、三、四象限，不過(guò)第二象限，D正確
故選：ABD．
10．AD
【分析】應(yīng)用求定點(diǎn)方法判斷A選項(xiàng),根據(jù)兩直線平行求參判斷B選項(xiàng), 根據(jù)兩直線垂直求參判斷C選項(xiàng),把直線不過(guò)第三象限轉(zhuǎn)化為截距關(guān)系判斷D選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋?所以,
可得，,
恒過(guò)點(diǎn)，A選項(xiàng)正確;
因?yàn)?所以，則或，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
因?yàn)椋詣t故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
因?yàn)椴唤?jīng)過(guò)第三象限，
則直線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，在軸截距大于等于0, 在軸截距大于等于0,
：，令,則
令，則,
當(dāng),：符合題意，
當(dāng),：符合題意，
所以不經(jīng)過(guò)第三象限，則，故D選項(xiàng)正確.
故選：AD.
11．
【分析】由已知得直線恒過(guò)的定點(diǎn)，由兩直線垂直其方程間的關(guān)系設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線方程為，代入可求得答案.
【詳解】解：因?yàn)椋裕?br/>所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，即，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A且與直線垂直，
所以設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線方程為，
所以，即，
所以所求直線方程為，
故答案為：.
12．（5，5）
【分析】先求所過(guò)定點(diǎn)，再該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（3，3）的對(duì)稱點(diǎn)即可.
【詳解】∵，∴：y＝kx－k＋1過(guò)定點(diǎn)（1，1），
設(shè)點(diǎn)（1，1）關(guān)于點(diǎn)（3，3）對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
則，解得，即直線恒過(guò)定點(diǎn)（5，5）.
故答案為：（5，5）.
13．4
【分析】先求出動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)和動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意可知，即，利用勾股定理可得出，然后由重要不等式可求出的最大值.
【詳解】直線的方程變形為，由，得，
所以，動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，同理可知，動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，
由題意可知，且為與的交點(diǎn)，所以，
由勾股定理可得，
由重要不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)也考查了線段積最值的求解，根據(jù)題意得出定值條件是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.
14．③
【分析】根據(jù)題意對(duì)一一分析，逐一驗(yàn)證即可．
【詳解】對(duì)于①，化為：，
即點(diǎn)不在直線上，因此①不正確；
對(duì)于②，，則，
即過(guò)兩點(diǎn)的直線與直線的斜率相等，
又點(diǎn)不在直線上，因此兩條直線平行，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，，則，
化為，
因此直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)，故③正確.
故答案為：③.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用一般式方程判定直線的平行與垂直：
已知直線和直線.
（1）且；
（2）.
15．(1)
(2)
【分析】（1）選擇①：根據(jù)點(diǎn)斜式求解即可；選擇②：設(shè)直線的截距式求解即可；
（2）先求得直線在軸上的截距為，故直線過(guò)點(diǎn)，代入，求解即可.
【詳解】（1）選擇①：由題意可設(shè)直線的方程為，
因?yàn)橹本€的斜率是直線的斜率的2倍，所以，
所以直線的方程為，即．
選擇②：由題意可設(shè)直線的方程為，，
因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，解得．
所以直線的方程為，即．
（2）由（1）可知直線的方程為，令，可得，
所以直線在軸上的截距為，所以直線在軸上的截距為．
故直線過(guò)點(diǎn)，代入，得，解得．
16．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由題知直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，再結(jié)合是直線上一點(diǎn)討論求解即可；
（2）結(jié)合（1）設(shè)的方程為，進(jìn)而根據(jù)得，再求得，，根據(jù)面積公式，結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】（1）證明：直線的方程可化為．
令解得，故直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，顯然與相交，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，直線l的斜率為，
故直線與直線不重合．
又因?yàn)闈M足，即是直線上一點(diǎn)，
所以，是直線與直線的公共點(diǎn)，
綜上，無(wú)論取何值，直線l與直線總相交．
（2）解：由（1）可知，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，不妨設(shè)的方程為．
因?yàn)椋?br/>所以．
令得，令得，
所以，，．
所以的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
所以，面積的最小值為
17．A
【分析】由光的反射性質(zhì)確定反射光線的傾斜角，進(jìn)而求斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出解析式即可.
【詳解】光線沿傾斜角為120°的直線射向軸上的點(diǎn)，
經(jīng)軸反射后反射光線所在的直線的傾斜角為60°，則反射光線斜率，且反射光線過(guò)點(diǎn)，
故反射光線所在的直線方程為．
故選：A
18．AC
【分析】確定關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)距離最小判斷A、B；確定關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)距離最小判斷C、D；
【詳解】由關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)分別為，而，

從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是，A對(duì)；
從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是，B錯(cuò)；
由關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)分別為，

從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程，C對(duì)；
從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是，D錯(cuò).
故選：AC
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱列式求解即可；
（2）根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法分析運(yùn)算即可.
【詳解】（1）設(shè)，由題意可得，解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（2）在對(duì)稱直線上任取一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，
由于在直線上，則，即，
故直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線的方程為.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用兩對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱直線垂直及兩對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)落在對(duì)稱直線上，列出方程，解之可得答案；
（2）在直線m上任取一點(diǎn)，利用（1）的做法求得對(duì)稱點(diǎn)，再求出m與l的交點(diǎn)N，由m′經(jīng)過(guò)，N兩點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式即可求得直線m′的方程；
（3）法一：在l上任取兩點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到它們的對(duì)稱點(diǎn)，再由點(diǎn)斜式即可求得直線l′的方程；
法二：任取l′上一點(diǎn)，求得其對(duì)稱點(diǎn)，代入直線l的方程即可求得直線l′的方程.
【詳解】（1）設(shè)，由l：得，
則，解得，故.
（2）在直線m上取一點(diǎn)，如，則關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)必在m′上，
設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，
設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由，解得，
又m′經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，
所以直線m′的方程為，即.
（3）法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，如，則P，N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P′，N′均在直線l′上.
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，故
所以l′的方程為，即.
法二：設(shè)為l′上任意一點(diǎn)，
則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，
因?yàn)镼′在直線l上，所以，
即直線l′的方程為.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)2.2.3 直線的一般式方程【第三課】
擴(kuò)展1 用直線一般式方程判定直線位置關(guān)系
用直線方程判定直線位置關(guān)系，是運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的典例. 因直線方程形式多樣，判定方法較為靈活，容易出錯(cuò).
（2023·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）
例1.直線：，：，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．1 C．或1 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知得出，求解得出的值，代入的方程檢驗(yàn)，即可得出答案.
【解析】由可得，，即，
解得或.
當(dāng)時(shí)，方程為，方程為不重合，滿足；
當(dāng)時(shí)，方程為，方程為，即，與重合，舍去.
綜上所述，.
故選：A.
【方法總結(jié)】判定平行、垂直的方法與及技巧
1.一般式直線方程的平行與垂直
一般地，設(shè)直線：（，不同時(shí)為0），：（，不同時(shí)為0）．
①且（或）；
②與重合且（或）；
③與相交；
④．
2.與直線Ax＋By＋C＝0（A，B不同時(shí)為0）平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0（C1≠C）；
與直線Ax＋By＋C＝0（A，B不同時(shí)為0）垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋C2＝0.
【舉一反三1-1】（2023·山東聊城·高二統(tǒng)考期中）
1．設(shè)，則“直線與直線平行”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．充要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【舉一反三1-2】（2023·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期中）
2．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【舉一反三1-3】（2023·遼寧大連金州區(qū)高二期中）
3．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，而且是直線l的一個(gè)法向量，則直線l的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【舉一反三1-4】（2023·安徽亳州·高二期中）
4．已知直線，其方程分別為：，：，其中，，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．8
【舉一反三1-5】（2023·廣東廣州華南師大附中高二期末）
5．直線，均過(guò)點(diǎn)P（1，2），直線過(guò)點(diǎn)A（-1，3），且.
(1)求直線，的方程
(2)若與x軸的交點(diǎn)Q，點(diǎn)M（a，b）在線段PQ上運(yùn)動(dòng)，求的取值范圍
擴(kuò)展2 與直線有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題
與直線有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題，包括點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱及直線關(guān)于直線對(duì)稱.問(wèn)題情境較為復(fù)雜，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，方法靈活，綜合性較強(qiáng).
（2023·河北滄州高二期中）
例2.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】設(shè)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，然后由斜率乘積等于，和的中點(diǎn)在直線上，列方程組可求得結(jié)果.
【解析】設(shè)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，解得，
即所求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．
故答案為：
【方法總結(jié)】與直線有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題
1.直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱
方法（1）：在上找兩個(gè)特殊點(diǎn)，各自求出關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，然后求出直線方程
方法（2）：利用與直線平行先設(shè)出對(duì)稱線的方程，在上找一個(gè)特殊點(diǎn)，求出關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，代入方程即可
2.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱
利用“垂直”和“平分”這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)具體操作：
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則
3.直線關(guān)于直線的對(duì)稱
（1）當(dāng)與相交時(shí)：
第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)
第二步：在上任找另一點(diǎn)，求出關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)
第三步：利用兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線的方程;
（2）當(dāng)與平行時(shí)：兩條對(duì)稱直線到已知直線的距離相等，利用平行線間距離公式即可解得
【舉一反三2-1】（2023·海南·高二期中）
6．直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為 ．
【舉一反三2-2】（2023·山西大同高二期末）
7．已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為 ．
【舉一反三2-3】（2023·安徽銅陵高二期末）
8．已知直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為 ．
【舉一反三2-4】（2023·湖南衡陽(yáng)高二期中）
9．直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線方程為 ．
【舉一反三2-5】（2023·福建福州高二校聯(lián)考期中）
10．光線從射向軸上一點(diǎn)，又從反射到直線上一點(diǎn)，最后從點(diǎn)反射回到點(diǎn)，則BC所在的直線方程為 ．
（山東·統(tǒng)考高考真題）
11．如下圖，直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
（四川·高考真題）
12．直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移1個(gè)單位，所得到的直線為（ ）
A． B． C． D．
（山東·統(tǒng)考高考真題）
13．已知直線的圖像如圖所示，則角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
（北京·高考真題）
14．已知A（2,5），B（4,1）.若點(diǎn)P（x,y）在線段AB上，則2x y的最大值為
A． 1 B．3 C．7 D．8
（2023·吉林通化二模）
15．若直線恒過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)A也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．2
（全國(guó)·高考真題）
16．給定三點(diǎn)，那么通過(guò)點(diǎn)A并且與直線BC垂直的直線方程是 ．
（四川·高考真題）
17．設(shè)，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是 ．
（上海·高考真題）
18．若直線過(guò)點(diǎn)，且是它的一個(gè)法向量，則的方程為 ．
（福建·高考真題）
19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長(zhǎng)為2，寬為1，邊分別在軸、軸的正半軸上， 點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）．將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段上．
(1)若折痕所在直線的斜率為，試寫(xiě)出折痕所在直線的方程；
(2)求折痕的長(zhǎng)的最大值．
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．A
【分析】利用直線平行的性質(zhì)，分別判斷充分性和必要性即可.
【詳解】若直線與直線平行，則，充分性成立；；
當(dāng)時(shí)，則直線與直線平行，
當(dāng)時(shí)，兩直線重合，不滿足題意，必要性不成立；
所以直線與直線平行是的充分不必要條件.
故選：A.
2．B
【分析】根據(jù)直線方程求其斜率，再利用兩直線垂直得到垂直直線斜率，然后利用點(diǎn)斜式方程得到垂直直線方程，化成一般式即為答案.
【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，
則與其垂直的直線的斜率為，
又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，
則直線的方程為，即.
故選：B.
3．D
【分析】根據(jù)直線法向量利用待定系數(shù)法即可得到答案.
【詳解】設(shè)為平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，
則P在直線l上的充要條件是與垂直．
又因?yàn)椋裕?br/>整理可得一般式方程為．
故選：D.
4．D
【分析】由兩直線平行得出的關(guān)系式，再根據(jù)基本不等式求解即可.
【詳解】∵直線：和：平行，
∴且它們的斜率相等，在軸上的截距不相等，
∴，且，∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
∴的最小值是8.
故選：D.
5．(1)，
(2)
【分析】（1）利用兩點(diǎn)式求得直線的方程，利用點(diǎn)斜式求得直線的方程.
（2）結(jié)合兩點(diǎn)連線的斜率的取值范圍以及圖象求得正確答案.
【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)，方程為，整理得，
所以，由于，所以，
所以直線的方程為.
（2）由令，解得，所以，
表示與連線的斜率，，
所以的取值范圍是.
6．
【分析】根據(jù)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)上的點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在已知直線上求直線方程.
【詳解】設(shè)為上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，
因?yàn)樵谥本€l上，所以，即直線的方程為．
故答案為：
7．
【分析】根據(jù)題意得到，即可得到答案.
【詳解】點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，即，.
故答案為：
8．
【分析】利用直線對(duì)稱的性質(zhì)求得直線的兩點(diǎn)，從而利用點(diǎn)斜式即可得解.
【詳解】直線取兩點(diǎn)，
則它們關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為在直線上，
故直線的斜率為，
則直線的方程為，即.
故答案為：.
9．
【分析】?jī)芍本€方程聯(lián)立可求得交點(diǎn)在所求對(duì)稱直線上；在直線上取一點(diǎn)，求得其關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，該點(diǎn)也在對(duì)稱直線上；由直線兩點(diǎn)式可整理得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為，
由得：，則點(diǎn)在直線上；
在直線上取一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
則，解得：，即；
直線的方程為：，即.
故答案為：.
10．
【分析】分別求點(diǎn)關(guān)于軸和直線的對(duì)稱點(diǎn)，再根據(jù)幾何關(guān)系求得直線的方程.
【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得：，即,
由對(duì)稱性可知，點(diǎn)在直線上，
所以，直線的方程為，
即.

故答案為：
11．D
【分析】由圖得到直線的傾斜角為30，進(jìn)而得到斜率，然后由直線與軸交點(diǎn)為求解.
【詳解】由圖可得直線的傾斜角為30°，
所以斜率，
所以直線與軸的交點(diǎn)為，
所以直線的點(diǎn)斜式方程可得：，
即．
故選：D
12．A
【分析】根據(jù)直線過(guò)原點(diǎn)，相互垂直直線間的斜率關(guān)系，平移知識(shí)，可得到所求直線.
【詳解】當(dāng)直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，所得直線斜率為，此時(shí)，該直線方程為，
再將該直線向右平移1個(gè)單位可得：，即.
故選：A.
13．D
【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出、，即可得出結(jié)果.
【詳解】結(jié)合圖像易知，，，
則角是第四象限角，
故選：D.
14．C
【詳解】由題意得，線段AB的方程：，，
∴，
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為7.
故選：C.
【點(diǎn)睛】求函數(shù)值域的常用方法：①單調(diào)性法；②配方法；③分離常數(shù)法；④導(dǎo)數(shù)法；⑤不等式法；⑥圖象法．求函數(shù)的值域是個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題，它比求函數(shù)的定義域難度要大，而單調(diào)性法，即根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性求函數(shù)的值域是較為簡(jiǎn)單且常用的方法，應(yīng)重點(diǎn)掌握．
15．B
【分析】根據(jù)直線的定點(diǎn)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
令，解得，
即直線恒過(guò)點(diǎn).
又因?yàn)辄c(diǎn)A也在直線上，則，
可得，且，
則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立
所以的最大值為.
故選：B.
16．
【分析】先求得直線BC的斜率，進(jìn)而得到與直線BC垂直的直線的斜率，進(jìn)而得到通過(guò)點(diǎn)A并且與直線BC垂直的直線方程
【詳解】直線BC的斜率，
則與直線BC垂直的直線的斜率
則通過(guò)點(diǎn)A并且與直線BC垂直的直線方程是，即
故答案為：
17．5
【詳解】試題分析：易得.設(shè)，則消去得：，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，，所以，.
法二、因?yàn)閮芍本€的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.
【考點(diǎn)定位】1、直線與圓；2、重要不等式.
18．
【分析】首先設(shè)直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得直線方程.
【詳解】設(shè)直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，，法向量，
，
因?yàn)槭侵本€的一個(gè)法向量，所以，即，
化簡(jiǎn)為.
故答案為：
19．(1)；
(2).
【分析】(1)分與分類討論，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系即可求解; (2)根據(jù)折痕在不同的位置分類討論即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程;
②當(dāng)時(shí)，將矩形折疊后點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)為，所以與關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，有，故點(diǎn)坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)（線段的中點(diǎn)）為.
故折痕所在的直線方程, 即，
由①②得折痕所在的直線方程為；
（2）折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
解，得；解，得，
因?yàn)樵谏?所以，
當(dāng)時(shí)，直線交于
；
②當(dāng)時(shí)，直線與軸、軸的交點(diǎn)落在矩形的邊和上，
，
所以，令，解得，此時(shí)取得最大值，且；
③當(dāng)時(shí)，直線交于，
所以折痕的長(zhǎng)度的最大值為.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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