資源簡介

2.3.1 兩條直線的交點坐標、兩點間的距離公式【第二練】
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.求兩直線的交點坐標，由交點坐標判斷直線位置關系，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算素養，如第2題、第6題、第9題；
2.考查兩點間距離公式及其應用，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第1題、第7題、第10題；
3.根據兩直線的交點求直線方程、求定點問題，培養邏輯推理、數學建模和數學運算能力，如第3題、第4題、第5題、第8題、第11題、第12題；
（2023·廣東江門高二期末）
1．已知點，，，若，，是的三個頂點，則是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
（2023·海南海口高二校聯考期中）
2．在平面直角坐標系中，原點到直線：與：的交點的距離為（ ）
A． B． C． D．
（2023·福建三明高二期中）
3．已知，滿足，則直線必過定點（ ）
A． B．
C． D．
（2023·廣東東莞·高二期中）
4．設，過定點的直線和過定點的直線交于點．則的值為（ ）
A．5 B． C． D．與的取值有關
（2023·江西撫州·高二期中）
5．點到直線的最大距離為（ ）
A．2 B． C． D．1
（2023·山東濟南市歷城高二期中）
6．瑞士數學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心 重心 垂心在同一條直線上，這條直線被稱為歐拉線.已知的頂點，若直線與的歐拉線垂直，則直線與的歐拉線的交點坐標為（ ）
A． B． C． D．
（2023·山東泰安高二期中）
7．（多選題）對于，下列說法正確的是（ ）
A．可看作點與點的距離
B．可看作點與點的距離
C．可看作點與點的距離
D．可看作點與點的距離
（2023·江蘇連云港高二期中）
8．已知兩條直線，則下列結論正確的是（ ）
A．當時，
B．當時，
C．當時，與相交于點
D．當時，直線與坐標軸圍成的三角形面積等于
（2023·上海普陀高二期中）
9．已知直線和的交點在第四象限，則的取值范圍為 .
（2023·福建莆田一中高二期中）
10．設，，點在軸上，使得取到最小值為 ，此時的點坐標為 ．
（2023·重慶南岸·高二期中）
11．已知直線與直線交于點.
(1)求過點且平行于直線的直線的方程；
(2)求過點并且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線的方程.
（2023·山東泰安高二期中）
12．已知直線，，．
(1)若、兩點到直線的距離相等，求此時直線的直線方程．
(2)當為何值時，原點到直線的距離最大．
【易錯題目】第4題 、第5題 、第12題
【復盤要點】用直線交點法確定直線過定點。需要根據條件確定問題方向，確定解解法，注意優化算法，提高解題準確率和速度。
（2023·廣東湛江高二期中）
13．求證：不論m為何值，直線都通過一定點.
【復盤訓練】
（2023·安徽合肥·高二聯考期中）
14．已知直線，直線，則（ ）
A．當時，與的交點為 B．直線恒過點
C．若，則 D．存在，使
（2023·四川綿陽·高二期中）
15．直線和直線分別過定點A和B，則 ．
（2023·河北邢臺高二統考期中）
16．點到直線：（為任意實數）的距離的最大值是 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】計算，，，且，得到答案.
【詳解】，
，故，且，
故為等腰三角形.
故選：B.
2．C
【分析】先求解出的交點坐標，然后根據點到點的距離公式求解出結果.
【詳解】因為，所以，所以交點坐標為，
所以原點到交點的距離為，
故選：C.
3．D
【分析】利用已知條件消去，令的系數為0即可.
【詳解】由，得，
代入直線方程中，
得，即，
令，解得，
所以該直線必過定點.
故選：D
4．A
【分析】確定，，確定兩直線垂直得到，計算得到答案.
【詳解】直線過定點，直線過定點，
且直線和直線滿足，故兩直線垂直，
故.
故選：A.
5．C
【分析】由題意可得直線恒過定點，題意所求最大距離即為點到定點的距離，結合兩點求距離公式計算即可求解.
【詳解】由題意知，
直線即，
所以該直線恒過定點，
則點到直線的最大距離即為點到定點的距離，
即.
故選：C.
6．B
【分析】由題求出歐拉線方程，即可得直線l方程，后可得交點坐標.
【詳解】由的頂點坐標，可知其重心為.
注意到，直線BC斜率不存在，則為直角三角形，
則其垂心為其直角頂點，則歐拉線方程為：.
因其與垂直，則.
則，則直線與的歐拉線的交點坐標滿足，即交點為.
故選：B
7．BCD
【分析】化簡，結合兩點間的距離公式，即可求解.
【詳解】由題意，可得，
可看作點與點的距離，可看作點與點的距離，可看作點與點的距離，故選項A不正確，
故答案為：BCD.
【點睛】本題主要考查平面上兩點間的距離公式及其應用，其中解答中熟記平面上兩點間的距離公式是解答的關鍵，屬于基礎題.
8．ABD
【分析】對取值后運用直線方程逐項分析即可.
【詳解】時，，所以，故A正確；
此時與坐標軸交于
所以D項所求面積，故D正確；
時，，
所以，，故B正確；
時，，解得，故C錯誤；
故選：ABD.
9．
【分析】求出兩直線交點的坐標，根據交點位置可得出關于實數的不等式組，由此可求得實數的取值范圍.
【詳解】聯立可得，
所以，兩直線的交點坐標為，且交點在第四象限，
則，解得，因此，實數的取值范圍是.
故答案為：.
10．
【解析】求得關于軸的對稱點，可知當取最小值即為，為直線與軸交點；利用兩點式求得直線方程，進而求得點坐標.
【詳解】由題意得：點關于軸的對稱點，
（當且僅當三點共線時取等號），
又，
則，
直線的方程為：，
即，
當取最小值時，
為直線與軸交點，
故答案為：；.
【點睛】本題考查定直線上的點到兩點距離之和的最小值的相關問題的求解，關鍵是能夠利用對稱性確定最小值取得的情況，屬于較易題.
11．(1)
(2)或
【分析】（1）首先求得交點坐標，然后利用待定系數法確定直線方程即可；
（2）討論直線在兩坐標軸上的截距是否為0進行求解即可．
【詳解】（1）聯立，解得，即，
由題意，設直線的方程為，
將代入直線方程，得，即，
所以直線的方程為.
（2）當直線在兩坐標軸上的截距為0時，直線的斜率為，
則直線的方程為，即；
當直線在兩坐標軸上的截距不為0時，設直線的方程為，
將代入直線方程，得，即，
所以直線的方程為，即.
綜上所述，直線的方程為或.
12．(1)或；
(2)
【分析】（1）分直線過、的中點和直線與平行兩種情況討論，分別計算即可；
（2）首先求出直線過定點，當直線與垂直時，原點到直線的距離最大，即可求出.
【詳解】（1）因為，，所以、的中點為，
若直線過、的中點為，
則，解得，此時直線為，滿足條件；
又，所以當時直線的方程為，
此時直線與直線平行，滿足、兩點到直線的距離相等，
綜上可得直線的方程為或.
（2）由，得，
聯立，解得，則直線過定點，
由，得，當直線與垂直時，原點到直線的距離最大，

最大值為，
因為，所以，即當時原點到直線l的距離最大．
13．證明見解析.
【解析】先將直線整理為，再建立方程求出，最后證明不論m為任意實數時，直線必過定點.
【詳解】證明：將原方程按m的降冪排列，整理得，
此式對于m的任意實數值都成立，
根據恒等式的要求，m的一次項系數與常數項均等于零，
故有解得
所以m為任意實數時，所給直線必通過定點.
【點睛】本題考查直線所過恒定點的問題，是基礎題.
14．ABC
【分析】將代入解得兩直線交點坐標為可判斷A；令解得可判斷B，由直線垂直的條件可判斷C，由直線平行的條件可判斷D.
【詳解】對于A，當時，直線，直線，
聯立解得
所以兩直線的交點為，故A正確；
對于B，直線，令解得即直線恒過點，故B正確；
對于C：若，則，解得，故C正確；
對于D，假設存在，使，則，解得或，
當時，，，兩直線重合，舍去，
當時，直線，直線，兩直線重合，舍去，
所以不存在，使，故D錯誤.
故選：ABC.
15．
【分析】通過直線和直線分別計算定點坐標A和B，從而計算的大小.
【詳解】直線經過的定點坐標為，直線經過的定點坐標為，
從而計算.
故答案為：.
16．
【分析】首先求出直線恒過點，再求出，即可求出點到直線的距離的最大值.
【詳解】將直線方程變形為，
令，解得，由此可得直線恒過點，
所以到直線的最遠距離為，此時直線垂直于，
又，
所以到直線的距離的最大值為．
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁2.3.1 兩條直線的交點坐標、兩點間的距離公式【第二課】
題型一 兩直線的交點坐標
例1
（2023·安徽銅陵高二期中）
1．已知直線：與直線：的交點在軸上，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
1.兩直線交點的交點坐標
（1）求法：兩直線方程聯立組成方程組，此方程組的解，就是這兩條直線的交點坐標.
（2）應用：方程解的個數與兩條直線的位置關系
方程組的解 一組 無數組 無解
直線l1與l2的公共點的個數 一個 無數個 零個
直線l1與l2的位置關系 相交 重合 平行
提示　(1)雖然利用方程組解的個數可以判斷兩直線的位置關系，但是由于運算量較大，一般較少使用.
(2)兩條直線相交的等價條件是A1B2－A2B1≠0.
2.求過兩直線交點的直線方程的方法
(1)方程組法：一般是先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結合其他條件求出直線方程.
(2)直線系法：先設出過兩直線交點的直線系方程，再結合條件利用待定系數法求出參數，
最后確定直線方程.
【變式訓練1-1】
（2023·江蘇連云港·高二高二期末）
2．已知兩條直線，則下列結論正確的是（ ）
A．當時，
B．當時，
C．當時，與相交于點
D．當時，直線與坐標軸圍成的三角形面積等于
【變式訓練1-2】
（2023·福建三明高二其中）
3．下面三條直線，，不能構成三角形，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】
（2023·山西師大附中高二其中）
4．如果三條直線，和將平面分為六個部分，那么實數的取值集合為 .
【變式訓練1-4】
（2023·江蘇南京師大附中高二期中）
5．過直線與的交點，且垂直于直線的直線方程是 .
題型二 兩點間的距離
例2
（2023·江西宜春高二月考）
6．在平面直角坐標系中，原點到直線：與：的交點的距離為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
1.計算兩點間距離的方法
(1)對于任意兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
(2)對于兩點的橫坐標或縱坐標相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解.
2.若已知兩點間的距離及兩點的坐標，并且坐標中含有參數，則可利用兩點間的距離公式列方程求出參數.
【變式訓練2-1】
（2023·江蘇徐州·高二期中）
7．已知三點，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】
8．已知△ABC的三個頂點是A(－a，0)，B(a，0)和C，則△ABC的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．斜三角形
【變式訓練2-3】
（2023·北京市懷柔區高二期末）
9．過點和的直線與平行，則的值為 ．
【變式訓練2-4】
（2023·內蒙古·高二聯考期中）
10．已知為直線上的一點，則的最小值為 ．
題型三 坐標法的簡單應用
例3．
（2023·湖北鄂州·高二期中）
11．用坐標法證明：平行四邊形的對角線的平方和等四條邊的平方和．
【方法總結】利用坐標法解決平面幾何問題的常見步驟
(1)建立坐標系，用坐標表示有關的量.
(2)進行有關代數運算.
(3)把代數運算的結果“翻譯”成幾何結論.
用框圖表示如圖
【變式訓練3-1】
（2023·江西贛州高二期中）
12．如圖所示，正方形ABCD中，在BC上任取一點P（點P不與B、C重合），過點P作AP的垂線PQ交角C的外角平分線于點Q．用坐標法證明：．
【變式訓練3-2】
（2023·陜西神木高二期中）
13．在△ABC中，AD，BE，CF分別為三邊上的高，求證：AD，BE，CF三線共點.
易錯點1 過兩直線交點坐標問題問法多樣，解法靈活，造成錯解
【典例】
（2023·江西省撫州市高二期中）
14．過兩直線和的交點和原點的直線方程為
A． B．
C． D．
針對訓練1-1
（2023·廣東深圳紅嶺中學高二月考）（2023·安徽合肥·高二聯考期中）
15．已知直線，直線，則（ ）
A．當時，與的交點為 B．直線恒過點
C．若，則 D．存在，使
針對訓練1-2
（2023·江西新余高二期末）
16．已知直線與的交點在第四象限，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
針對訓練1-3
（2023·北京順義高二期中）
17．已知，，直線與線段恒相交，則的取值范圍為 ．
針對訓練1-4
（2023·安徽銅陵高二期中中）
18．已知直線，與兩坐標軸分別交于、兩點．當△的面積取最小值時（為坐標原點），則的值為
例2．
（2023·山西運城高二期末）
19．若在直線上有一點P，它到點和的距離之和最小，則該最小值為（ ）
A． B． C． D．
針對訓練2-1
（2023·山東德州高二期中）
20．若三條直線相交于同一點，則點到原點的距離d的最小值是（ ）
A． B． C． D．
針對訓練2-2
（2023·河北邯鄲高二統考期中）
21．點到直線（為任意實數）的距離的最大值是（ ）
A．5 B． C．4 D．
針對訓練2-3
（2023·江蘇南通高二統考期中）
22．直線與直線相交于點P，對任意實數m，直線,分別恒過定點A，B，則的最大值為( )
A．4 B．8 C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】求出直線與軸的交點坐標，代入直線得，即可求出直線斜率.
【詳解】在直線方程中，令，得，
即直線與軸的交點為，
因為點在直線上，所以，即，
所以：，即，所以直線的斜率為.
故選：D.
2．ABD
【分析】對取值后運用直線方程逐項分析即可.
【詳解】時，，所以，故A正確；
此時與坐標軸交于
所以D項所求面積，故D正確；
時，，
所以，，故B正確；
時，，解得，故C錯誤；
故選：ABD.
3．C
【解析】先由直線與聯立求出交點的坐標，再由題中條件，得到過點，或分別與、平行，進而可求出結果.
【詳解】由解得，即直線與的交點為，
因為直線，，不能構成三角形，
所以過點，或分別與、平行，
若過點，則，即；
若，則，即；
若，則，所以.
綜上，的可能取值為.
故選：C.
4．，，
【分析】根據三條直線把平面分為六個部分，分析直線的位置關系，分別求出a的值.
【詳解】若是三條直線兩兩相交，且交點不重合，則這三條直線把平面分成7部分；
如果這三條直線將平面劃分為六部分包括兩種情況能夠成立，
①是過另外兩條直線的交點，
由和的交點是，代入解得：
；
②是這條直線與另外兩條直線平行，
當和平行，只需，解得；
當和平行，只需此時.
綜上，的取值集合是，，.
故答案為：，，.
【點睛】解析幾何中判斷直接利用兩直線平行的方法:
(1)若兩直線斜率都不存在, 兩直線平行；
(2)兩直線的斜率都存在,且k1=k2,b1≠b2,則兩直線平行；
(3)若用一般式表示的直線,不用討論斜率是否存在,只要A1B2=A2B1,B1C2≠B2C1.
5．
【分析】首先求出兩直線的交點坐標，設所求直線方程為，代入交點坐標求出的值，即可得解.
【詳解】由，解得，
所以直線與的交點為，
設所求直線方程為，則，解得，
所以所求直線方程為.
故答案為：
6．C
【分析】先求解出的交點坐標，然后根據點到點的距離公式求解出結果.
【詳解】因為，所以，所以交點坐標為，
所以原點到交點的距離為，
故選：C.
7．D
【分析】直接根據兩點間距離公式計算得到答案.
【詳解】，則，解得.
故選：D.
8．C
【分析】先求出直線，的斜率，從而可得kAC·kBC＝－1，再求出,進而可得三角形的形狀
【詳解】因為kAC＝＝，kBC＝＝－，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC.
又AC＝＝a，|BC|＝＝a，
所以△ABC為直角三角形．
故選：C
9．
【詳解】由題意可得：，由兩點之間距離公式可得：.
10．
【分析】利用兩點的距離公式結合“將軍飲馬”模型計算最值即可.
【詳解】如圖，為點到原點和到點的距離之和，
即．
設關于直線對稱的點為，
則解之得即．
易得，當三點共線時，取到最小值，
且最小值為．

故答案為：.
11．證明見解析
【分析】以頂點為坐標原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系，設，，根據平行四邊形的性質得到點的坐標為，然后利用兩點間距離公式即可證明.
【詳解】如圖所示，以頂點為坐標原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系，
則．設，，由平行四邊形的性質得點的坐標為．
因為，，，，，
所以，
，所以，
因此，平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．
12．證明見解析
【分析】建立平面直角坐標系，設P點坐標，利用點斜式表示出和，聯立方程組求出點Q坐標，兩點間距離公式可證.
【詳解】以B為原點，射線BC、BA分別為x、y軸的正半軸建立坐標系．如圖所示，
設正方形邊長為a，則，，設點P的坐標為．
，①， ②．
聯立①②可得（或利用三角形全等求得點Q坐標）．
∵，，∴．
13．證明見解析
【分析】建立如圖所示的平面直角坐標系，設A(a，0)，B(b，0)，C(0，c)，F(0，0)，求得直線CF的方程，直線AC的方程，直線BC的方程，設直線CF和直線AD交于點O，聯立方程組求得點O的坐標，再代入直線BE中可得證.
【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，設A(a，0)，B(b，0)，C(0，c)，F(0，0)，
則直線CF的方程為x=0.
由直線的截距式方程可得直線AC的方程為=1，即cx+ay-ac=0.
直線BC的方程為=1，即cx+by-bc=0.
由于AD為BC邊上的高，則直線AD的斜率為，由直線的點斜式方程得直線AD的方程為y=(x-a).
由于BE為AC邊上的高，則直線BE的斜率為，得直線BE的方程為y=(x-b).
設直線CF和直線AD交于點O，
由得點O的坐標為0，-.
將點O的坐標代入直線BE中，則O點坐標也滿足直線BE的方程，
所以直線BE也過點O.所以AD，BE，CF三線共點.

【點睛】本題考查運用解析法證明三角形的高交于一點，證明時，注意建立合適的平面直角坐標系，利用點的坐標間的關系可得證，屬于中檔題.
14．D
【詳解】試題分析：過兩直線交點的直線系方程為，代入原點坐標，求得，故所求直線方程為，即.
考點：兩直線的位置關系、直線方程兩點式．
【易錯點晴】過直線交點可以聯立這兩條直線的方程，求出交點的坐標，由于所求直線過原點，故由兩點式可以求出直線的方程.由于聯立方程組來求結算量較大，我們可以采用直線系方程來做，具體過程是，先設出直線系方程，代入原點坐標，求得，即可得到所求，這樣運算量非常小.
15．ABC
【分析】將代入解得兩直線交點坐標為可判斷A；令解得可判斷B，由直線垂直的條件可判斷C，由直線平行的條件可判斷D.
【詳解】對于A，當時，直線，直線，
聯立解得
所以兩直線的交點為，故A正確；
對于B，直線，令解得即直線恒過點，故B正確；
對于C：若，則，解得，故C正確；
對于D，假設存在，使，則，解得或，
當時，，，兩直線重合，舍去，
當時，直線，直線，兩直線重合，舍去，
所以不存在，使，故D錯誤.
故選：ABC.
16．C
【分析】先求出兩直線的交點，再解不等式組即得解.
【詳解】聯立解得，
由直線與的交點在第四象限可得，
解得，即實數的取值范圍為．
故選：C．
17．
【分析】由題意，作圖，根據直線方程，求其所過定點，結合圖象，利用斜率的求解公式以及性質，可得答案.
【詳解】如圖所示，
直線經過定點，表示直線的斜率，
設線段與軸交于點C，
由圖形知，當直線與線段的交點在線段上時，
大于或等于的斜率，即，即.
當直線與線段的交點在線段上時，小于或等于的斜率，
即，即.
綜上，的取值范圍為．
故答案為：.
18．
【分析】由題設可得，進而寫出△的面積關于的函數關系式，應用換元法并結合分式及二次函數的性質，判斷面積取最小的值.
【詳解】由題設得：，
∴當△的面積，
令，則，
∴當，即時，取得最小值．
故答案為：
19．C
【分析】求出關于直線對稱的點為，則，從而得出答案.
【詳解】點關于直線對稱的點為,如圖
則,所以
當且僅當三點共線時取得等號.
故選：C

20．D
【分析】由直線過直線與得交點可得，再由兩點間的距離公式求出d的最小值.
【詳解】聯立，解得，
把代入，得，，
點到原點的距離
，
當且僅當時取等號．
點到原點的距離的最小值為．
故選：D．
21．B
【分析】首先求出直線恒過點，再求出，即可求出到直線的距離的最大值.
【詳解】將直線方程變形為，
令，解得，由此可得直線恒過點，
所以到直線的最遠距離為，此時直線垂直于．
又，
所以到直線的距離的最大值為．
故選：B．
22．A
【分析】首先求點的坐標，并判斷兩條直線的位置關系，結合基本不等式，即可求解.
【詳解】直線，當，得，
即點，
直線，當，得，即點，
且兩條直線滿足，所以，即，
，
，當時，等號成立，
所以的最大值為4.
故選：A
答案第1頁，共2頁
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