資源簡介

2.1.1 傾斜角與斜率【第三練】
【試題來源】來自各地期中期末的聯考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養的目的.
【目標分析】
1.考查傾斜角的概念與范圍，培養直觀想象和數學運算素養，如第1題、第3題、第10題；
2.直線斜率的計算，傾斜角與斜率的關系，直線方向向量與斜率關系，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第2題、第4題、第5題、 第6題、第8題、第9題、第11題、第12題、第15題；
3.運用斜率的幾何意義求范圍，培養邏輯推理和數學運算能力，如第7題、 第14題、第16題；
一、單選題
（2023·浙江溫州高二統考期末）
1．已知是直線的一個方向向量，則該直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
（2023·上海浦東新區上海師大附中高二期末）
2．已知直線的傾斜角為，斜率為，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2023·北京順義高二期末）
3．1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點．有人發現，第三顆小星的姿態與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點與四顆小星中心點的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（ ）
A．0° B．1° C．2° D．3°
（2023·河南安陽高二期中）
4．已知點，直線的傾斜角為，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽銅陵高二期末）
5．已知三點，，在同一條直線上，則實數的值為（ ）
A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5
（2023·四川宜賓高二期末）
6．設直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為 （ ）
A． B．
C． D．
（2023·河北邯鄲高二期末）
7．已知兩點，，直線l過點且與線段AB有交點，則直線l的斜率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽六安高二期末）
8．在平面直角坐標系中，已知正方形ABCD四邊所在直線與x軸的交點分別為，則正方形ABCD四邊所在直線中過點的直線的斜率可以是（ ）
A．2 B． C． D．
二、多選題
（2023·湖南衡陽高二期末）
9．已知經過點和的直線的傾斜角，則實數的可能取值有（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
（2023·山東青島高二期末）
10．如圖所示，下列四條直線，，，，斜率分別是，，，，傾斜角分別是，，，，則下列關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
（2023·江西贛州高二期中）
11．已知直線過兩點且傾斜角為，則的值為 .
（2023·安徽安慶高二期末）
12．已知點A的坐標為，在坐標軸上有一點B，若，則點B的坐標為 ．
（2023·山東泰安高二期末）
13．臺球運動中反彈球技法是常見的技巧，其中無旋轉反彈球是最簡單的技法，主球撞擊目標球后，目標球撞擊臺邊之后按照光線反射的方向彈出，想要讓目標球沿著理想的方向反彈，就要事先根據需要確認臺邊的撞擊點，同時做到用力適當，方向精確，這樣才能通過反彈來將目標球成功擊入袋中.如圖，現有一目標球從點無旋轉射入，經過軸（桌邊）上的點反彈后，經過點，則點的坐標為 .
（2023·貴州遵義高二期末）
14．一束光射向軸，與軸相交于點，經軸反射，與以連接、兩點的線段總有公共點，這束光所在直線的斜率取值范圍為 .
四、解答題
（2023·寧夏銀川高二期末）
15．（1）設坐標平面內三點 ，若直線AC的斜率是直線BC的斜率的3倍，求實數m的值；
（2）已知直線的斜率為，直線的傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的斜率.
（2023·山西太原高二期末）
16．已知坐標平面內三點.
(1)求直線的斜率和傾斜角；
(2)若可以構成平行四邊形，且點在第一象限，求點的坐標；
(3)若是線段上一動點，求的取值范圍.
【易錯題目】第7題、第14題、第16題
【復盤要點】
利用直線斜率的幾何意義求最值（或取值范圍）要點：
①直線的斜率反映了直線的傾斜程度，且和是直線上橫坐標不相等的兩點）；
②在求形如的式子的最值（或取值范圍）時，可以將看作動點與定點所確定的直線的斜率，數形結合求出最值或取值范圍．
典例（2023·安徽亳州高二期末）
17．已知直線l過點且與線段（）有交點，設直線l的斜率為k，則k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【復盤訓練】
（2023·山東青島高二校考期中）
18．已知兩點，，過點的直線與線段AB有交點，則直線l的傾斜角的取值范圍為（ ）．
A． B．
C． D．
（2023·內蒙古呼和浩特高二期末）
19．已知正的頂點，，頂點在第一象限，若點是內部及其邊界上一點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·河北邯鄲高二期末）
20．已知函數，且，則，，的大小關系為（ ）
A．
B．
C．
D．
（2023·江西上饒高二期末）
21．已知實數滿足，且，若直線l的方向向量為，則直線l的斜率的取值范圍為 ．
（2023·福建三明高二期末）
22．已知、、三點構成一個三角形，求實數的取值范圍．
（2023·湖北黃石高二期中）
23．已知實數x，y滿足2x＋y＝8，當2≤x≤3時，求的最大值與最小值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據直線的方向向量求出直線的斜率，即可得答案.
【詳解】因為是直線的一個方向向量，故直線的斜率為，
設直線的傾斜角為，則 ，
所以 ，
故選：D
2．A
【分析】根據斜率和傾斜角的對應關系，結合充分性和必要性的定義求解即可.
【詳解】由直線的斜率可得，解得，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A
3．C
【分析】根據5顆星的位置情況知∠BAO3＝18°，過O3作x軸的平行線O3E并確定∠OO3E的大小，即可知AB所在直線的傾斜角.
【詳解】∵O，O3都為五角星的中心點，
∴OO3平分第三顆小星的一個角，
又五角星的內角為36°知：∠BAO3＝18°，
過O3作x軸的平行線O3E，如下圖，則∠OO3E＝α≈16°，
∴直線AB的傾斜角為18°－16°＝2°.
故選：C
4．C
【分析】根據斜率公式列式計算即可.
【詳解】因為直線的傾斜角為，，
可得直線的斜率為，
可得.
故選：C
5．C
【解析】根據，知直線斜率存在，利用斜率相等求解.
【詳解】因為三點，，在同一條直線上，且直線斜率存在，
所以，
解得或
故選：C
6．A
【分析】設直線的傾斜角為，則有，，作出()的圖象，由圖可得的范圍，即可得答案.
【詳解】設直線的傾斜角為，
則有，，
作出()的圖象，如圖所示：
由此可得.
故選：A.
7．A
【分析】根據斜率的公式，數形結合分析臨界條件求解即可.
【詳解】如圖所示，直線PA的斜率為，直線PB的斜率為．由圖可知，當直線l與線段AB有交點時，直線l的斜率．
故選：A．
8．ABD
【分析】假設所在的直線過點，分類討論所在的直線所過的點，結合圖象分析運算.
【詳解】因為選項斜率均為正值，不妨假設所在的直線過點，
設直線的傾斜角為，斜率為，
①若所在的直線過點，如圖，可得，
因為，即，則；
②若所在的直線過點，如圖，可得，
因為，即，則；
③若所在的直線過點，如圖，可得，
因為，即，則；
綜上所述：的可能值為.
故選：ABD.
【點睛】關鍵點睛：假設所在的直線過點，分類討論所在的直線所過的點，數形結合處理問題.
9．ABC
【分析】根據斜率公式求解.
【詳解】由題可得，
所以，
結合選項可得實數的可能取值有11,12,13，
故選:ABC.
10．BC
【分析】根據直線的圖像特征，結合直線的斜率與傾斜角定義，得出結論.
【詳解】直線，，，，斜率分別是，，，，傾斜角分別是，，，，
由傾斜角定義知，，，，故C正確；
由，知，，，，故B正確；
故選：BC
11．
【分析】由兩點求得得斜率與傾斜角的正切值相等可求得m.
【詳解】因直線的傾斜角為，則其斜率，
又由，，
則的斜率，
則有．
故答案為：.
12．或
【分析】設或，根據斜率公式可得或，再根據解出的值即得點B的坐標.
【詳解】解：設或，
∴或，
∴或，
∴或，
∴點B的坐標為或．
故答案為：或．
13．
【分析】求點關于軸的對稱點，由題意可知三點共線，利用斜率公式，即得解
【詳解】設，點關于軸對稱的點，
則，，
由題意，三點共線，
，即，解得，故點的坐標為.
故答案為：
14．
【分析】利用直線斜率公式、直線及其對稱直線的關系分析運算即可得解.
【詳解】解：

由斜率公式，射線的斜率為，
射線的斜率為，
如上圖，由題意，一束光射向軸，經軸反射，與線段
始終相交，則射線即與關于對稱，射線即
與關于對稱，
∴，，
∴這束光所在直線的斜率取值范圍為.
故答案為：.
15．（1）1或2；（2）.
【分析】（1）由題設，應用斜率的兩點式列方程求m值，注意驗證結果.
（2）根據斜率與傾斜角關系，應用倍角正切公式求直線的斜率.
【詳解】（1）由，即，解得或，
經檢驗均符合題意，故m的值是1或2；
（2）設直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為.
由已知，，則直線的斜率為.
16．(1)斜率為1，傾斜角為；
(2)；
(3).
【分析】(1)根據過兩點的斜率公式求出斜率，再求傾斜角；
(2) 設，根據求解即可；
(3) 因為表示直線的斜率,求出與點重合時，直線的斜率；與點重合時，直線的斜率即可得答案.
【詳解】（1）解：因為直線的斜率為.
所以直線的傾斜角為；
（2）解：如圖，當點在第一象限時，.
設，則，解得，
故點的坐標為；
（3）解：由題意得為直線的斜率.
當點與點重合時，直線的斜率最小，；
當點與點重合時，直線的斜率最大，.
故直線的斜率的取值范圍為，
即的取值范圍為.
17．A
【分析】設線段（）的左右端點分別為，計算出，由此求得的取值范圍.
【詳解】設線段（）的左右端點分別為，
如圖，，，∴.
故選：A
【點睛】本小題主要考查直線的斜率，屬于基礎題.
18．A
【分析】求出與線段端點所成直線的斜率，即可得直線l的斜率范圍，再由傾斜角與斜率關系求傾斜角范圍.
【詳解】由題設，如下圖示，
所以，，故，
若直線l的傾斜角，則，
所以.
故選：A
19．B
【分析】確定C的坐標，將題目轉化為兩點的斜率，根據圖像得到答案.
【詳解】正的頂點，且頂點在第一象限，故頂點的坐標為，，
可看作內部及其邊界上一點與點的連線斜率，
當運動到點時，直線的斜率最大，故的最大值為
故選：B.
20．A
【分析】構造函數，該式表示點和點連線的斜率，結合的圖像，即可得答案.
【詳解】函數，該式表示的幾何意義為點和點連線的斜率，
如圖所示：

根據圖像知， ，
故選：
【點睛】本題考查指數函數圖像的應用，難點在于根據所給形式，構造函數，并根據幾何意義進行求解，考查數形結合的思想，屬中檔題.
21．
【分析】先根據直線的方向向量表示出直線的斜率，再由，且，結合不等式的性質可求出直線l的斜率的取值范圍
【詳解】直線l的方向向量為，則直線l的斜率，
因為，所以，
因為，所以，所以，
即，
所以，即，
故答案為：
22．
【分析】首先求出的斜率，再分、兩種情況討論，由得到不等式，解得即可.
【詳解】因為、、，
所以，
當，即，此時，，，則的斜率不存在，
此時、、三點能構成一個三角形，
當，即時，，
要使、、三點能構成一個三角形，則，即，解得，
綜上可得實數的取值范圍.
23．的最小值為，最大值為2.
【分析】將 看成直角坐標系中的線段，而 的幾何意義是線段AB上的一點與原點連線的斜率，進而求出的最大值和最小值．
【詳解】如圖，AB為線段2x＋y＝8(2≤x≤3)，由已知點P(x，y)在線段AB上運動，其中A、B兩點的坐標分別為A(2,4)，B(3,2)，的幾何意義是直線OP的斜率，因為kOA＝2，kOB＝，所以的最小值為，最大值為2.
【點睛】本題主要考查直線的幾何意義，屬于中檔題．關于 的二元一次方程表示的是直線，而 的幾何意義是線段AB上的一點與原點連線的斜率，注意數形結合思想．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁2.1.1 傾斜角與斜率【第三課】
擴展1 傾斜角與斜率的關系
分析直線的斜率、傾斜角及其之間的關系時要注意特殊情況，即當直線的傾斜角為時，其斜率不存在的情況．涉及斜率的變化范圍時也要注意分傾斜角，，三種情況討論．同時注意斜率為正時，傾斜角隨斜率的增大而增大；斜率為負時，傾斜角也隨斜率的增大而增大．但不能籠統地認為傾斜角隨斜率的增大而增大．
直線的傾斜角并非總隨著直線斜率的增大而增大，即傾斜角隨斜率的增大而增大是有限制條件的，當（或）時，傾斜角隨斜率的增大而增大．
傾斜角（范圍）
斜率（范圍） 不存在
例1（2023·湖南永州高二期中）
1．直線經過點，，，則直線傾斜角的取值范圍是 .
【方法總結】
（1）由圖形直觀求直線的傾斜角，關鍵是依據平面幾何的知識判斷直線向上方向與x軸正向之間所成的角，同時應明確傾斜角的范圍：．
（2）根據直線的斜率求傾斜角時，注意利用進行求解，在求取值范圍時，注意結合正切函數的性質求解．
【舉一反三1-1】（2023·四川瀘州高二期末）
2．若兩直線l1，l2的傾斜角和斜率分別為α1，α2和k1，k2，則下列四個命題中正確的是（ ）
A．若α1<α2，則k1B．若α1=α2，則k1=k2
C．若k1D．若k1=k2，則α1=α2
【舉一反三1-2】（2023·山西呂梁高二期末）
3．若，則過點與的直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三1-3】（2023·河北邯鄲高二期中）
4．已知直線過點，直線的傾斜角為銳角時的取值范圍為 ．
【舉一反三1-4】（（2023·福建三明高二期中）
5．若直線k的斜率滿足，則該直線的傾斜角α的范圍是 ．
【舉一反三1-5】（2023·河南鄭州外國語學校高二月考）
6．已知直線的方程為，，則直線的傾斜角范圍是 ．
擴展2 斜率公式幾何意義的理解和應用
斜率是從代數角度描述直線傾斜程度的幾何量，具有數與形兩重含義，深刻理解斜率的概念，是靈活運用斜率解決問題的關鍵.
例2（2023·福建龍巖高二期末）
7．顆粒物過濾效率是衡量口罩防護效果的一個重要指標，計算公式為，其中表示單位體積環境大氣中含有的顆粒物數量（單位：ind./L），表示經口罩過濾后，單位體積氣體中含有的顆粒物數量（單位：ind./L）．某研究小組在相同的條件下，對兩種不同類型口罩的顆粒物過濾效率分別進行了4次測試，測試結果如圖所示．圖中點的橫坐標表示第i種口罩第j次測試時的值，縱坐標表示第i種口罩第j次測試時的值（，）．
該研究小組得到以下結論，正確的是（ ）
A．在第2種口罩的4次測試中，第3次測試時的顆粒物過濾效率最高
B．在第1種口罩的4次測試中，第4次測試時的顆粒物過濾效率最高
C．在每次測試中，第1種口罩的顆粒物過濾效率都比第2種口罩的顆粒物過濾效率高
D．在第3次和第4次測試中第1種口罩的顆粒物過濾效率都比第2種口罩的顆粒物過濾效率低
【方法總結】利用直線斜率的幾何意義求最值（或取值范圍）注意兩點：
①直線的斜率反映了直線的傾斜程度，且和是直線上橫坐標不相等的兩點）；
②在求形如的式子的最值（或取值范圍）時，可以將看作動點與定點所確定的直線的斜率，數形結合求出最值或取值范圍．
【舉一反三2-1】（2023·湖北襄陽高二期末）
8．已知，點是線段（包括端點）上的動點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三2-2】（2023·江西景德鎮高二期末）
9．點在函數的圖象上，當，則可能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
【舉一反三2-3】（2023·重慶萬州高二期末）
10．在平面直角坐標系中有兩點，，函數的圖象與線段延長線相交（交點不包括，則實數的取值范圍是 .
【舉一反三2-4】（2023·山東淄博高二期末聯考）
11．在線段上運動，已知，則的取值范圍是 .
【舉一反三2-5】（2023·河南南陽高二期末）
12．已知實數滿足，且，若直線l的方向向量為，則直線l的斜率的取值范圍為 ．
【舉一反三2-6】（2023·遼寧沈陽高二期末）
13．若實數、滿足，，則代數式的取值范圍為
（1995·全國·高考真題）
14．圖中的直線的斜率分別為，則有（ ）
A． B．
C． D．
（2002·北京·高考真題）
15．若直線與直線的交點位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（2022·全國·統考高考真題）
16．圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數列，且直線的斜率為0.725，則（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
（2013·安徽·高考真題）
17．函數的圖像如圖所示，在區間上可找到個不同的數，使得，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
（2004·湖南·高考真題）
18．設直線的傾斜角為，且，則滿足
A． B．
C． D．
（2001·上海·高考真題）
19．若直線的傾斜角為，則
A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在
（2004·北京·高考真題）
20．直線（a為常實數）的傾斜角的大小是 ．
（2006·北京·高考真題）
21．若三點，，，（）共線，則的值等于 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】根據兩點間斜率公式可得斜率，再結合參數范圍可得斜率取值范圍，進而可得傾斜角范圍.
【詳解】直線經過點，，
，
，
，
設直線的傾斜角為，則，
得，
故答案為：.
2．D
【分析】根據傾斜角和斜率的函數關系且，以及圖象依次判斷即可
【詳解】由于直線的傾斜角和斜率滿足：且
且圖象如下圖所示
由圖象可知，斜率關于傾斜角不是單調函數，故A，C錯誤；
令α1=α2=90°，則k1、k2不存在，故B錯誤；
若k1=k2，必有α1=α2，故D正確.
故選：D
3．B
【分析】求出直線的斜率，結合已知條件求出斜率的范圍，然后求解傾斜角的范圍．
【詳解】解：由題意，
，
，
直線的傾斜角為，則．
．
故選：．
4．
【分析】根據傾斜角為銳角得到，解得答案.
【詳解】由于直線的傾斜角為銳角，故，解得.
故答案為：.
5．
【分析】根據斜率范圍得到，數形結合求出直線的傾斜角α的范圍.
【詳解】根據，得到，
結合正切的函數圖象可得：.
故答案為：
6．
【分析】確定，得到，解得答案.
【詳解】，則，
設直線的傾斜角為，故，
當時，直線的傾斜角；
當時，直線的傾斜角；
綜上所述：直線的傾斜角
故答案為：
7．AD
【分析】根據實驗數據圖表逐個分析選項即可.
【詳解】分別將原點與圖中各點相連.
設線段的斜率為，根據題意有，
即越小，顆粒物過濾效率越高。
由圖可知，；
在第2種口罩的4次測試中，最小，所以第3次測試時的顆粒物過濾效率最高，選項A正確；
在第1種口罩的4次測試中，最小，所以第1次測試時的顆粒物過濾效率最高，選項B錯誤；
由圖知，，所以第3次測試中第2種口罩的顆粒物過濾效率更高，選項C錯誤；
，所以第3次和第4次測試中第1種口罩的顆粒物過濾效率都比第2種口罩的顆粒物過濾效率低，選項D正確.
故選：AD.
8．A
【分析】首先，得到可以看成點與坐標原點O連線的斜率，再根據圖形即可得到答案.
【詳解】設，則可以看成點與坐標原點O連線的斜率．
當在線段上由點運動到點時，直線的斜率由增大到，
如圖所示：
又，，所以，即的取值范圍是．
故選：A
【點睛】本題主要考查直線的斜率，同時考查了數形結合的思想，屬于簡單題.
9．BC
【分析】根據目標式的幾何意義為在部分圖象上的動點與點所成直線的斜率，即可求范圍.
【詳解】由表示與點所成直線的斜率，
又是在部分圖象上的動點，圖象如下：
如上圖，，則，只有B、C滿足.
故選：BC
10．
【分析】由題意可得函數過定點，找出兩臨界點即可得出答案.
【詳解】函數過定點.可以旋轉（調整斜率，
可知臨界點是與直線平行，此時斜率為：；
另一個臨界點是兩點所在直線的斜率：.
所以實數的取值范圍是.
故答案為：.
11．
【分析】表示線段上的點與連線的斜率，畫出圖形，結合圖形求解即可
【詳解】表示線段上的點與連線的斜率，
因為
所以由圖可知的取值范圍是．
故答案為：
12．
【分析】先根據直線的方向向量表示出直線的斜率，再由，且，結合不等式的性質可求出直線l的斜率的取值范圍
【詳解】直線l的方向向量為，則直線l的斜率，
因為，所以，
因為，所以，所以，
即，
所以，即，
故答案為：
13．
【分析】作圖，根據代數式的幾何意義，結合圖象即可得出答案.
【詳解】
如圖，，，，
則，.
因為，可表示點與線段上任意一點連線的斜率，
由圖象可知，，
所以有.
故答案為：.
14．C
【分析】根據直線斜率的概念，結合圖象，可直接得出結果.
【詳解】由圖象可得，，
故選：C
15．B
【分析】直線恒過點，結合圖象以及交點所在象限可得答案.
【詳解】因為直線恒過點，直線與坐標軸的交點分別為;
直線的斜率，此時傾斜角為；
直線的斜率不存在，此時傾斜角為；
所以直線的傾斜角的取值范圍是.
故選：B.
16．D
【分析】設，則可得關于的方程，求出其解后可得正確的選項.
【詳解】設，則，
依題意，有，且，
所以，故，
故選：D
17．B
【詳解】表示到原點的斜率；
表示與原點連線的斜率，
而在曲線圖像上，
故只需考慮經過原點的直線與曲線的交點有幾個，很明顯分別有2、3、4個，故選B.
【考點定位】考查數學中的轉化思想，對函數的圖像認識.
18．D
【詳解】因為，所以，，
，，．
故選D
19．C
【分析】由題意結合傾斜角的定義確定傾斜角即可.
【詳解】繪制直線如圖所示，由直線傾斜角的定義可知等于.
本題選擇C選項.
【點睛】本題主要考查直線方程的理解，直線傾斜角的定義及其確定等知識，意在考查學生的轉化能力和概念掌握程度.
20．##
【分析】將直線方程化為斜截式，求出直線斜率，即可得出傾斜角.
【詳解】設直線傾斜角為，直線可化為，斜率為，
則，所以.
故答案為：.
21．##0.5
【分析】由三點共線，利用斜率的公式可得，進而可求目標式的值.
【詳解】由題知，直線的斜率存在，由三點共線可知.
由得：，即，又，
∴.
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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