資源簡介

2.4.2 圓的一般方程【第二練】
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.根據二元二次方程判定是否為圓，由圓的一般方程確定圓心和半徑；培養直觀想象和數
學運算素養，如第1題、第3題、第5題、第7題、第8題；
2. 根據綜合條件求圓的一般方程，判斷點與圓的位置關系；發展直觀想象，邏輯推理和數
學運素養，如第2題、第9題、第12題；
3.求軌跡方程，解決與圓有關的最值問題；培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第4題、第6題、第10題、第11題.
（2023·四川南充高二期中）
1．若方程表示圓，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023·陜西渭南高二校聯考期中）
2．過四點，，，中的三點的圓的方程可能為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山東菏澤高二期中）
3．方程表示圓心在軸上的圓，當半徑最小時，方程為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·天津耀華中學高二期中）
4．已知點，，點C為圓上一點，則的面積的最大值為（ ）
A．12 B． C． D．6
（2023·廣東深圳高二期中）
5．由曲線圍成的圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
（2023·浙江杭州·高二校聯考期中）
6．已知圓O：和點，點，M為圓O上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖南邵陽·高二期中）
7．已知方程，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，表示圓心為的圓 B．當時，表示圓心為的圓
C．當時，表示的圓的半徑為 D．當時，表示的圓與軸相切
（2023·廣東廣州高二期中）
8．已知圓：，，.若圓上存在點P使，則正數m的可能取值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2023·云南師大附中高二期中）
9．圓關于直線對稱的圓的標準方程是 .
（2023·江蘇揚州·高二統考期中）
10．已知平面內的動點到兩定點的距離分別為和，且，則點到直線的距離的最大值為 .
（2023·天津河西·高二統考期中）
11．已知兩點為定點，動點到兩點的距離比是常數，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.
（2003·陜西安康高二期中）
12．在以O為原點的直角坐標系中，點為的直角頂點，已知，且點B的縱坐標大于0．
（1）求的坐標；
（2）求圓關于直線對稱的圓的方程．
【易錯題目】第6題、第10題、第11題
【復盤要點】 與圓有關的最值問題，問題情境較為復雜，涉及的知識點多，方法靈活，綜合性較強.既要有幾何視角借助相關幾何性質、也要有函數或基本不等式觀點，處理問題.
例1.（2023·福建福州三中期中）公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結果：平面內到兩定點距離之比等于已知數的動點軌跡為直線或圓，后世把這種圓稱之為阿波羅尼斯圓．已知平面直角坐標系中，且，點為的中點．
(1)求點的軌跡方程和點的軌跡方程；
(2)若點在（1）的軌跡上運動，求的取值范圍．
【答案】(1);
(2)
【分析】（1）利用直接法和相關點代入法求軌跡方程.
（2）借助幾何性質，根據代數式的幾何意義，應用數形結合思想求解與圓有關的最值問題.
【解析】（1）設，．則，
化簡得：，所以點的軌跡方程為；
設，因為點為的中點，所以點的坐標為，
將代入中，得到，
所以點的軌跡方程為.
（2）因為點在（1）的軌跡上運動，所以，
變形為，即點為圓心為，半徑為的圓上的點，
則，表示的幾何意義為圓上一點到的距離的平方加上，當、、三點共線時，取到最值，
又，所以，
所以，，
故的取值范圍是．
易錯警示： 與圓有關的最值問題常見的幾種類型
(1)形如u＝形式的最值問題，可轉化為過點(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題；
(2)形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線y＝－截距的最值問題；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題.
【復盤訓練】
（2023·湖北十堰高二期中）
13．若平面內兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足，則的最小值為是（ ）
A． B．
C． D．
（2022上·四川雅安·高二期中）
14．在平面直角坐標系中，設軍營所在區域為，將軍從點出發，河岸線所在直線方程為，假定將軍只要到達軍營所在區域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程（ ）
A． B． C． D．
（2019·遼寧大連金州區高二期中）
15．已知點，點是坐標原點，點是圓上的動點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·山東泰安高二期中）
16．已知點P是直線：和：（m，，）的交點，點Q是圓C：上的動點，則的最大值是 .
（2023上·河北保定·高二統考期中）
17．已知A，B是圓M：上不同的兩個動點，，O為坐標原點，則的取值范圍是 ．
（2023·江蘇泰州·高二期中）
18．已知，，，且，點．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】運用圓的標準方程即可求解
【詳解】方程表示圓，
則，
解得，即的取值范圍為.
故選：A.
2．D
【分析】求出過四點，，，中的三點的所有圓的方程可得答案.
【詳解】設過點，，的圓的方程為，
所以，解得，
即方程為，或；
設過點，，的圓的方程為，
所以，解得，
即方程為，或；
設過點，，的圓的方程為，
所以，解得，
即方程為，；
設過點，，的圓的方程為，
所以，解得，
即方程為，或，
故選：D.
3．D
【分析】分析得，再化為標準方程，利用二次函數的性質得到半徑的最小值即可.
【詳解】由題意得，則，
，
則，對稱軸為，代入得最小值為，
此時圓的方程為.
故選：D.
4．D
【分析】先求解出直線的方程，然后將圓心到直線的距離再加上半徑作為的高的最大值，由此求解出的面積的最大值.
【詳解】因為，，所以，
又因為圓的方程為，所以圓心為，半徑為，
所以圓上點到直線的最大距離為，
所以的面積的最大值為，
故選：D.
5．D
【分析】分兩種情況寫出曲線方程，再做出圖像，求出面積.
【詳解】
當時，曲線為
當時，曲線
畫出圖像如上圖，
所求面積為兩個圓的面積減去一個重疊部分的面積
圓的半徑為，兩圓對稱，
故為
故選：D
6．C
【分析】作出輔助線，由三角形相似得到，當三點共線時，取得最小值，利用兩點間距離公式求出最小值.
【詳解】取，連接，
則，又，
所以，
又，故∽，
故，從而，
所以，
當三點共線時，取得最小值，
最小值為.
故選：C
7．BCD
【分析】將圓的一般方程化為標準方程，結合選項，逐項判定，即可求解.
【詳解】由題意，方程，可化為，
可圓的圓心坐標為，
A中，當時，此時半徑為，所以A錯誤；
B中，當時，此時半徑大于，表示圓心為的圓，所以B正確；
C中，當時，表示的圓的半徑為，所以C正確；
D中，當時，可得，方程表示的圓半徑為，
又圓心坐標為，所以圓心到軸的距離等于半徑，所以圓與軸相切，所以D正確．
故選：BCD.
8．BCD
【分析】設，根據題意得到，再根據的幾何意義得到，從而得到答案.
【詳解】圓，圓心，半徑，
設，則，，
因為，所以，
即，
因為表示圓上點到原點的距離，
，
所以，即，
故選：.
9．
【分析】求已知圓的圓心坐標關于直線3x﹣4y+5＝0的對稱點的坐標，求出半徑 即可得到對稱圓的方程．
【詳解】圓x2+y2+4x﹣12y+39＝0化為：（x+2）2+（y﹣6）2＝1，
圓心O坐標是（﹣2，6），
半徑R＝1，
直線3x﹣4y+5＝0，與這條直線垂線的直線方程應該是 yx+c，
將圓心O（﹣2，6）代入方程，
得到經過O點和直線3x﹣4y+5＝0垂直的直線方程是：yx垂足是 a（1，2），
那么對稱點O′的坐標是O′（4，﹣2），
所以求出對稱圓的圓心坐標 O′（4，﹣2），半徑r＝R＝1，
得到對稱圓方程：
（x﹣4）2+（y+2）2＝1．
故答案為（x﹣4）2+（y+2）2＝1．
【點睛】本題是基礎題，考查對稱圓的方程問題，重點在于求出對稱圓的圓心坐標和半徑，本題考查函數和方程的思想，注意垂直條件的應用．
10．
【分析】由題意，結合兩點距離公式求得動點的軌跡為圓，再利用圓上的點到直線的距離的最值求法即可得解.
【詳解】設動點為，
由題意可得，
整理得，即，
故動點的軌跡是半徑為，圓心為的圓，
因為圓心到直線的距離，
所以點到此直線的最大距離為．
故答案為：.
11．答案見解析．
【分析】建立如圖所示的平面直角坐標系，設，設，則求出點軌跡方程，然后由方程確定曲線形狀．
【詳解】建立如圖所示的坐標系，設，設，則

由題意得，所以，
化簡得
當時，即，
點的軌跡方程是，其軌跡是直線（軸）；
當且時，點的軌跡方程是，點的
軌跡是以為圓心，為半徑長的圓.
12．（1）；（2）.
【分析】（1）設出要求的向量的坐標，根據所給的模長的關系和直角三角形兩條直角邊垂直的關系，寫出關于向量坐標的關系式，解方程，舍去不合題意的結果，得到向量的坐標．
（2）求出直線的方程以及已知圓的圓心及半徑，求出圓心關于直線的對稱點，進而可得結果.
【詳解】（1）設，則由，，
即，得或，
∵，
∴，得，
∴.
（2）由，得，
于是直線OB方程：，
由條件可知圓的標準方程為：，
得圓心，半徑為，
設圓心關于直線OB的對稱點為，
則，得，
∴所求圓的方程為.
13．A
【分析】以經過A，B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，設，由已知條件應用兩點距離公式求P的軌跡方程，進而可得，求出代入配方法求最值可得答案.
【詳解】以經過A，B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，
建立平面直角坐標系，則，，
設，因為，所以，
兩邊平方并整理，得，即，
所以點P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
則，
因為，所以，
由，得，
所以，
由此可知的最小值為．
故選：A.
14．B
【分析】根據題意作出圖形，然后求出關于直線的對稱點，進而根據圓的性質求出到圓上的點的最短距離即可.
【詳解】若軍營所在區域為，圓：的圓心為原點，半徑為，作圖如下：

設將軍飲馬點為，到達營區點為，設為A關于直線的對稱點，
因為，所以線段的中點為，則即，
又，聯立解得：，即，所以總路程，
要使得總路程最短，只需要最短，即點到圓上的點的最短距離，
即為.
故選：B.
15．C
【分析】求出點的軌跡，把的最大值轉化為點到圓心距離加半徑，再求出到兩個定點距離差的最大值即可作答.
【詳解】令點，則，于是，即點的軌跡是直線，
圓的圓心，半徑，而點在圓上，則，

因此，令點關于直線對稱點，，
則有，解得，即，
因此，當且僅當點共線，且點在線段上時取等號，
直線方程為，由，解得，即直線與直線交于點，
所以當點與重合時，，.
故選：C
16．
【分析】根據題意分析直線分別過定點，點P的軌跡是以為直徑的圓，結合圓的性質運算求解.
【詳解】因為直線：，即，
令，解得，可知直線過定點，
同理可知：直線過定點，
又因為，可知，
所以直線與直線的交點P的軌跡是以的中點，半徑的圓，
因為圓C的圓心，半徑，
所以的最大值是.
故答案為：．
17．
【分析】設AB的中點為N，則，求出點的軌跡方程，再結合圖象即可得出答案.
【詳解】因為，所以圓M的圓心坐標，半徑，
設圓心到直線AB的距離為d，由圓的弦長公式，可得，
即，解得，
設AB的中點為N，，
所以點N的軌跡表示以為圓心，以為半徑的圓，
所以點N的軌跡方程為，
則，
又因為，所以，
即，即的取值范圍為．

故答案為：．
【點睛】關鍵點點睛：設AB的中點為N，則，求出點的軌跡為圓，將問題轉化為圓上的點到圓外一點距離的最值問題，是解決本題的關鍵.
18．(1)最大值為，最小值為；
(2)最大值為，最小值為0；
(3)最大值，最小值為.
【分析】（1）由求出點的軌跡，結合兩點間距離即可求；
（2）將問題轉化為直線與圓有交點問題，結合點到直線的距離公式計算；
（3）將問題轉化為直線與圓相切問題，結合點到直線的距離公式計算.
【詳解】（1）由題意，因為，
所以，
整理得，
所以點的軌跡為以為圓心，6為半徑的圓.
所以點到的距離為，
所以的最小值為，最大值為.
（2）設，則 ，
由題意與有交點，
所以，
解得，
所以的最大值為，最小值為0.
（3）設，則
當直線與圓相切時，截距取到最值，
所以，解得或，
所以的最大值為，最小值為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁2.4.2 圓的一般方程【第二課】
題型一 圓的一般方程
例1判斷下列二元二次方程是否表示圓．如果是，請求出圓的圓心坐標及半徑．
（1）；
（2）；
（3）．
（1）方程可變形為，表示圓心坐標是（2，0），半徑是2的圓．
（2）方程可變形為．當時，方程表示點（0，0）；
當時，方程表示圓心坐標是，半徑是的圓．
（3）方程可變形為，即，方程不表示任何圖形．
【方法技巧與總結】二元二次方程與圓的關系
一般先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征，當它具備圓的一般方程的特征時，再看它能否表示圓．此時有兩種途徑：一是看是否大于零；二是直接配方變形成圓的標準方程的形式，看方程等號右端是否為大于零的常數．
【變式訓練1-1】（2023·廣西河池·高二期中）
1．已知方程，則下列說法正確的是（ ）
A．方程表示圓，且圓的半徑為1時，
B．當時，方程表示圓心為的圓
C．當時，方程表示圓且圓的半徑為
D．當時，方程表示圓心為的圓
【變式訓練1-2】（2023·遼寧鞍山·高二期中）
2．方程表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓，則的值分別為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-3】（2023·福建三明高二期中）
3．若圓過坐標原點，則實數m的值為（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
【變式訓練1-4】（2023·遼寧沈陽·高二期中）
4．若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓，求:
（1）實數m的取值范圍;
（2）圓心坐標和半徑.
題型二 求圓的一般方程
例2（2023·江西宜春高二月考）求下列各圓的方程：
（1）圓心在直線上且過M（2，0），兩點的圓的方程；
（2）經過，，C（0，6）三點的圓的方程．
【答案】（1）；（2）
（1）設圓的一般方程為，其中，
圓坐標為，因為圓心在直線上且過M（2，0），兩點，
所以解得
所以圓的一般方程為．
（2）設圓的一般方程為，其中．
因為經過，，C（0，6）三點，
所以
解得所以圓的一般方程為．
【方法技巧與總結】求圓一般方程的基本方法：
（1）代數法（待定系數法）：若設圓的一般方程，根據已知條件，列出關于D，E，F的方程組，解方程組得到D，E，F的值，寫出圓的一般方程．
（2）幾何法（數形結合法）：根據已知條件，確定圓的要素，分別求出圓心和半徑，然后再寫出圓的方程．
【變式訓練2-1】（2023·湖北邯鄲高二期中）
5．已知的三個頂點為，則下列關于的外接圓圓M的說法正確的是（ ）
A．圓M的圓心坐標為
B．圓M的半徑為
C．圓M關于直線x＋y＝0對稱
D．點在圓M內
【變式訓練2-2】（2023·福建莆田高二期中）
6．經過點和，且圓心在x軸上的圓的一般方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-3】（2023·山西師大附中高二期中）
7．函數的圖像與坐標軸交于點A，B，C，則過A，B，C三點的圓的方程為 ．
【變式訓練2-4】（2023·安徽銅陵高二期中）
8．已知直線過點，且與軸分別交于點，為等腰直角三角形．
(1)求的方程；
(2)設為坐標原點，點在軸負半軸，求過，，三點的圓的一般方程．
題型三 求軌跡方程
例3．（2023·江蘇鹽城·高二期末）已知的斜邊為AB，且，B（3，0），求：
（1）直角頂點C的軌跡方程；
（2）直角邊BC的中點M的軌跡方程．
【思路分析】（1）設出點C的坐標，利用垂直關系直接由斜率之積為列出方程，注意A，B，C三點不能共線；
（2）設出點M的坐標，利用中點關系，建立點M與點C坐標之間的關系，求出軌跡方程．
【答案】見解析
（1）方法一：設頂點，因為，且A，B，C三點不共線，
所以．又，，且，
所以，化簡得．
因此，直角頂點C的軌跡方程為．
它表示以（1，0）為圓心，2為半徑的圓去掉與x軸的兩個交點．
方法二：同方法一得．
由勾股定理得，即，
化簡得．
因此，直角頂點C的軌跡方程為．
它表示以（1，0）為圓心，2為半徑的圓去掉與x軸的兩個交點．
方法三：設邊AB的中點為D，由中點坐標公式得D（1，0），由直角三角形的性質知，．又由圓的定義知，動點C的軌跡是以D（1，0）為圓心，
以2為半徑的圓（由于A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點）．
設，則直角頂點C的軌跡方程為．
它表示以（1，0）為圓心，2為半徑的圓去掉與x軸的兩個交點．
方法四：由圓的定義知，直角頂點C形成的軌跡在以AB為直徑的圓上，
由直徑圓方程得軌跡方程為，即．
所以直角頂點C的軌跡方程為．
它表示以（1，0）為圓心，2為半徑的圓去掉與x軸的兩個交點．
方法五：設頂點，因為，且A，B，C三點不共線，所以．
，，因為，所以，
即，
所以直角頂點C的軌跡方程為．
它表示以（1，0）為圓心，2為半徑的圓去掉與x軸的兩個交點．
（2）設點，點，
因為B（3，0），M是線段BC的中點，所以，，
于是有，．
由（1）知，點C在圓上運動，
將，代入該方程得，
即．
因此直角邊BC的中點M的軌跡方程為，
它表示以（2，0）為圓心，1為半徑的圓去掉與x軸的兩個交點．
【方法總結】求曲線的軌跡方程的常用方法：
（1）直接法：它是求曲線方程較重要的方法．可分為以下五個步驟：
①建立適當的直角坐標系，設是所求曲線（軌跡）上的任意一點；
②找出（寫出）動點M所滿足的條件；
③用坐標表示此條件，得到方程；
④化簡所列出的方程；
⑤驗證以方程的解為坐標的點都在曲線上．
（2）代入法（相關點法）：主要用于處理一個主動點與一個被動點之間的問題．只需找出這兩點坐標之間的關系（用被動點坐標表示主動點坐標），然后代入主動點滿足的軌跡方程，便可得到被動點所滿足的方程，即得到了所要求的軌跡方程．
（3）定義法：先由已知及曲線定義得到所求軌跡為何種曲線，再由該種曲線的標準方程求得軌跡方程．
注意：求一動點的軌跡除了要求出軌跡方程外，還要說明方程對應什么曲線．
【變式訓練3-1】（2023·陜西寶雞高二期中）
9．當點P在圓上運動時，連接點P與定點，則線段的中點M的軌跡方程為 .
【變式訓練3-2】（2023·廣東梅州高二期中）
10．已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.
(1)求圓的方程；
(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.
【變式訓練3-3】（湖北鄂西北六校2023高二期中聯考）
11．已知圓C經過（2，6），（5，3），（2，0）三點．
(1)求圓C的方程；
(2)設點A在圓C上運動，點，且點M滿足，求點M的軌跡方程．
易錯點1 求圓的一般方程運算失策，造成出錯
【典例】（2023·遼寧省營口市期中）已知一圓過，兩點，且在y軸上截得的線段長為，求圓的一般方程．
【答案】或．
方法一：待定系數法．
設圓的方程為，
將P，Q的坐標分別代入上式，
得
令，得．③
由已知可得，其中，是方程③的兩根，
∴．④
聯立①②④解得或
故所求圓的方程為或．
方法二：幾何法．
由題意得線段PQ的垂直平分線的方程為，
∴所求圓的圓心C在直線上．
設其坐標為，則圓C的半徑．①
由已知圓C在y軸上截得的線段長為，
又圓心C到y軸的距離為，則，
代入①并將兩端平方得，
解得，，∴，，
故所求圓的方程為或，
即或．
易錯警示： 不論是圓的標準方程還是一般方程，都必須具備三個獨立條件才能確定一個圓，在選擇標準方程或一般方程時，如果由已知條件容易知圓心坐標、半徑或可用圓心、半徑列方程，通常設圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑都無直接關系，通常選擇一般方程. 利用圓的幾何性質及數形結合思想易于尋找解題思路.
針對訓練1-1（2023·遼寧阜新高二期中）
12．已知圓和兩坐標軸的公共點分別為，則的面積為
A．4 B．2 C． D．
針對訓練1-2（2023·江蘇鹽城高二期中）
13．已知圓C經過兩點，，且圓心在直線上，若直線的方程為，圓心C到直線的距離是，則m的值是 .
針對訓練1-3（2023·四川綿陽高二期中）
14．在平面直角坐標系Oxy中，二次函數（a，，）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，經過A，B，C三個點的圓記為．求的方程．
易錯點2 求軌跡方程問題解題失策、思路不清
例2．（2023·廣東東莞高二期末）已知動點M到點A（2，0）的距離是它到點B（8，0）的距離的一半.
（1）求動點M的軌跡方程；
（2）若N為線段AM的中點，試求點N的軌跡.
【答案】見解析
（1）設動點M（x，y）為軌跡上任意一點，則|MA|＝|MB|，
所以，
整理得x2＋y2＝16.
所以動點M的軌跡方程是x2＋y2＝16.
（2）設點N的坐標為（x，y），M的坐標為（x1，y1）.
因為A（2，0），且N為線段AM的中點，
所以x＝，y＝，
則x1＝2x－2①，y1＝2y②.
由（1）知，M是圓x2＋y2＝16上的點，所以M的坐標（x1，y1）滿足＝16③，
將①②代入③，整理得（x－1）2＋y2＝4.
所以點N的軌跡是以（1，0）為圓心，半徑為2的圓.
易錯警示： 求軌跡方程的常用方法
（1）直接法：根據題目的條件，建立適當的平面直角坐標系，設出動點坐標，并找出動點坐標所滿足的關系式.
（2）定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如圓及以后要學習到的橢圓、雙曲線、拋物線等），可用定義直接求解.
（3）代入法（相關點法）：若動點P（x，y）隨著曲線上的另一動點Q（x1，y1）運動而運動，且x1，y1可用x，y表示，則可將點Q的坐標代入已知曲線的方程，即得動點P的軌跡方程.
針對訓練2-1（2023·甘肅酒泉高二期中）
15．設A為圓上的動點，PA是圓的切線，且，求點P的軌跡方程．
針對訓練2-2（2023·陜西渭南高二統考期中）
16．已知平面直角坐標系中的點的坐標x，y滿足，記的最大值為M，最小值為m.
（1）請說明P的軌跡是怎樣的圖形；
（2）求值.
針對訓練2-3（2023·廣東佛山·高二校聯考期末）
17．已知圓心為C的圓經過點A（1，1）和，且圓心C在直線l：上．
(1)求圓C的方程；
(2)線段PQ的端點P的坐標是（5，0），端點Q在圓C上運動，求線段PQ的中點M的軌跡方程．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．ACD
【分析】若方程表示圓，把一般方程化為標準方程，根據方程成立的條件，驗證各選項.
【詳解】由題意，方程，可化為，
若方程表示圓，則圓的圓心坐標為，半徑，
中，當時，可得，所以正確；
中，當時，此時半徑為，所以錯誤；
中，當時，表示的圓的半徑為，所以正確；
中，當時，此時半徑大于0，表示圓心為的圓，所以正確；
故選：ACD．
2．D
【分析】先求得圓的標準方程，再轉化為一般方程，從而求得.
【詳解】以為圓心，為半徑的圓的標準方程為，
即，所以.
故選：D
3．A
【分析】把坐標代入圓方程求解．注意檢驗，方程表示圓．
【詳解】將代入圓方程，得，解得或2，當時，，舍去，所以.
故選：A．
4．（1）；（2）圓心坐標為，半徑.
【分析】（1）利用圓的一般方程可得，由此求得的取值范圍．
（2）將圓的方程寫成標準方程的形式，可得圓心坐標和半徑．
【詳解】解：（1）方程表示圓，
，
即，解得，
故的取值范圍為；
（2）將方程寫成標準方程為，
可得圓心坐標為，半徑．
5．ABD
【分析】根據待定系數法求出的外接圓方程即可判斷AB，根據圓心不在直線x＋y＝0上判斷C，根據點與圓心的距離與半徑比較判斷D.
【詳解】設的外接圓圓M的方程為（），
則，解得，
所以的外接圓圓M的方程為，即.
故圓M的圓心坐標為，圓M的半徑為，故AB正確；
因為直線x＋y＝0不經過圓M的圓心，所以圓M不關于直線x＋y＝0對稱，故C錯誤；
因為，故點在圓M內，故D正確.
故選：ABD
6．D
【分析】設圓的一般式方程，由圓心在x軸上，可得圓心縱坐標為，再將兩點坐標代入方程，即可得圓的標準方程.
【詳解】設圓的方程為，
因為圓心在x軸上，所以，即．
又圓經過點和，
所以即解得
故所求圓的一般方程為．
故選：D
【點睛】本題考查了待定系數法求圓標準方程，屬于基礎題.
7．
【分析】用圓的標準方程即可求解.
【詳解】函數的圖像與坐標軸的交點分別為，，，
則線段的垂直平分線為，線段的垂直平分線為．
所以過A，B，C三點的圓的圓心坐標為，半徑，
所以所求圓的方程為．
故答案為：.
8．(1)或
(2)
【分析】（1）設直線方程為，分別解出兩點坐標和，利用解出的值即可；
（2）設圓的一般方程為 ，將點代入解方法組即可.
【詳解】（1）因為直線過點，所以設直線為，，
令，得，所以
令，得，所以，
又因為為等腰直角三角形，所以，
得，
解或，
當時直線過原點，不滿足題意，
故直線的方程為或，
即或.
（2）由題意可知直線的方程為，即，
設圓的方程為，
將，，代入
得，解得，
所以所求圓的方程為.
9．
【分析】設出點M的坐標，根據已知表示出點P的坐標，再代入圓的方程作答.
【詳解】設點，因M是線段的中點，則點，
于是得，即，
所以點M的軌跡方程為.
故答案為：
10．(1)
(2)
【分析】（1）求出圓心的坐標和圓的半徑，即得解；
（2）設點，，由得，代入圓的方程即得解.
【詳解】（1）由題意可知，的中點為，，所以的中垂線方程為，
它與軸的交點為圓心，又半徑，所以圓的方程為；
（2）設，，由，得，
所以，又點在圓上，故，
所以，化簡得的軌跡方程為
11．(1)
(2)
【分析】(1) 設圓C的方程的一般式，代入三點求系數得圓的方程.
(2) 設，表示出點的坐標，將的坐標代入圓的方程即得到點M的軌跡方程.
【詳解】（1）設圓C的方程為
則有，解之得，
則圓C的方程為．
（2）設，，
則有，，．
由，可得，解之得
由點A在圓C上，得
即，
故點M的軌跡方程為
12．D
【分析】本題首先可以令解出以及令解出，然后求出圓在軸上截得的弦長以及與軸的公共點，最后求出的面積．
【詳解】令，得，解得，
令，得，解得
所以圓在軸上截得的弦長為，與軸的公共點為，
所以的面積為，故選D．
【點睛】本題考查的是圓的相關性質，主要考查圓與兩坐標軸的公共點，能否通過圓與兩坐標軸的公共點找出的底和高是解答本題的關鍵，是簡單題．
13．
【分析】設出圓的一般方程，根據其所過的點和圓心所在直線列方程組，求出圓的方程，再根據圓心到直線的距離列方程求出m的值即可.
【詳解】設圓C的方程為，
由條件，得，解得，
因此圓的一般方程為，
故圓心，因此圓心到直線l的距離，
解得.
故答案為：
14．．
【分析】根據圓的一般方程和二次函數的圖象與坐標軸的交點坐標對應的方程關系求解.
【詳解】設所求圓的一般方程為，
由題意得（a，，）的圖象與兩坐標軸的三個交點
即為圓和坐標軸的交點，
令得，，
由題意可得，這與是同一個方程，故，．
令得，，
由題意可得，此方程有一個根為b，代入此方程得出，
∴的方程為．
15．
【分析】本題主要考查圓的基本概念和兩點之間距離公式，利用勾股定理求出點P的軌跡方程．
【詳解】設，圓的圓心為B，則，圓的半徑為1，由題意得，∴點P的軌跡方程為．
【點睛】本題主要考查圓的基本概念和兩點之間距離公式，屬于簡單題．
16．（1）以為圓心，3為半徑的圓；（2）72
【分析】（1）將方程配成標準式，即可得到P的軌跡；
（2）將配方即可得到，設，則，
而，即可得解；
【詳解】解：（1）由知，.因此，點P的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓.
（2），
設，則.
∵ ，.
∴ ，，.
【點睛】本題考查圓的標準方程，點與圓的位置關系，屬于中檔題；
17．(1)
(2)．
【分析】（1）利用圓經過的兩個點以及圓心所在的直線，結合圓的幾何性質求解；
（2）根據中點坐標公式以及圓的標準方程求軌跡方程.
【詳解】（1）設點D為線段AB的中點，
直線m為線段AB的垂直平分線，則．
又，所以，
所以直線m的方程為．
由得圓心，
則半徑，
所以圓C的方程為．
（2）設點，．因為點P的坐標為（5，0），
所以即,
又點在圓C：上運動，
所以，即，
整理得，
即線段PQ的中點M的軌跡方程為．
答案第1頁，共2頁
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