資源簡介

2.4.2 圓的一般方程【第三練】
【試題來源】來自各地期中期末的聯考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養的目的.
【目標分析】
1.根據二元二次方程判定是否為圓，由圓的一般方程確定圓心和半徑；培養直觀想象和數學運算素養，如第1題、第3題、第9題、第11題、第14題；
2. 根據綜合條件求圓的一般方程，判斷點與圓的位置關系；發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第2題、第4題、第8題、第13題；
3.求軌跡方程，解決與圓有關的最值問題；培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第5題、第6題、第7題、第10題、第12題、第15題、第16題.
一、單選題
（2023·天津南開中學高二月考）
1．方程所表示的圓的最大面積為（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南焦作·高二期中）
2．已知圓經過點，，，則該圓的半徑為（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
（2023·河北張家口·高二期中）
3．若圓的面積是，則該圓的圓心坐標為（ ）
A． B． C． D．
（2023·江西宜春高二期中）
4．已知點與點關于直線對稱，與點關于軸對稱，若過，，三點的圓與軸和直線交于四點，則該四點所圍成的四邊形的面積為（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽銅陵高二期末）
5．若平面內兩定點之間的距離為2，動點滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
（2023·河北邯鄲高二期中）
6．若圓與圓關于直線對稱，且過點C（－a，a）的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（　　）
A．
B．
C．
D．
（2023·江西九江高二期末）
7．已知平面上兩定點A，B，則所有滿足（且）的點P的軌跡是一個圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱作阿氏圓.已知動點P在棱長為6的正方體的一個側面上運動，且滿足，則點P的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川成都七中高二期中）
8．已知，是曲線上兩個不同的點，，則的最大值與最小值的比值是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
（2023·廣東東莞高二期中）
9．設O為坐標原點，直線過圓的圓心且交圓于兩點，則（ ）
A． B．
C．的面積為 D．
（2023·江西南昌·高二期中）
10．設曲線的方程為，下列選項中正確的有（ ）
A．由曲線圍成的封閉圖形的面積為
B．滿足曲線的方程的整點（橫縱坐標均為整數的點）有5個
C．若，是曲線上的任意兩點，則，兩點間的距離最大值為
D．若是曲線上的任意一點，直線l：，則點到直線的距離最大值為
三、填空題
（2023·遼寧大連二十四中高二期中）
11．方程表示圓，且坐標原點在該圓外，則a的取值范圍是 ．
（2023·云南昭通·高二聯考期中）
12．阿波羅尼斯（古希臘數學家，約公元前262~190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓.現有，，求點的軌跡方程為 .
（2023·云南昆明高二期中）
13．已知在圓內，過點的最長弦和最短弦分別是和，則四邊形的面積為 .
（2023·河南洛陽高二期中）
14．已知曲線的方程為，下列說法中正確的序號是 .
①無論取何值，曲線都關于原點中心對稱；
②無論取何值，曲線關于直線和對稱；
③存在唯一的實數使得曲線表示兩條直線；
④當時，曲線上任意兩點間距離的最大值為.
四、解答題
（2023·安徽銅陵高二校聯考期中）
15．一般地，平面內到兩個定點P，Q的距離之比為常數（且）的動點F的軌跡是圓，此圓便是數學史上著名的“阿波羅尼斯圓”．基于上述事實，完成如下問題：
(1)已知點，，若，求動點M的軌跡方程；
(2)已知點N在圓上運動，點，探究：是否存在定點，使得？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由．
（2023·安徽蕪湖高二期中）
16．已知點，圓，過點的動直線與圓交于，兩點，線段的中點為，為坐標原點．
（1）求的軌跡方程；
（2）當時，求的方程及的面積．
【易錯題目】第5題、第12題、第15題、第16題
【復盤要點】 與圓有關的軌跡問題
求方程問題是解析幾何中的基本問題，體現坐標法的基本思想，即根據動點坐標滿足條件建立方程，再運用方程研究曲線的幾何性質.體現直觀想象、邏輯推理和數學運算素養.
典例（2023·江蘇南通·高二統考期中）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他研究發現：如果一個動點到兩個定點的距離之比為常數（，且），那么點的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.已知圓：，點，平面內一定點（異于點），對于圓上任意動點，都有比值為定值，則定點的坐標為 .
【答案】
【分析】設的坐標為，動點，，然后列式化簡，得到的軌跡方程，結合圓：，對應系數相等列方程組，即可求得點的坐標.
設的坐標為，動點，，
則，
，
，
，
可得，
又點的軌跡方程，
可得，解得（舍）或，
則的坐標為.故答案為: .
易錯提示：求解與圓有關的軌跡問題基本思路
（1）直接法：根據題目的條件，建立適當的平面直角坐標系，設出動點坐標，并找出動點坐標所滿足的關系式.
（2）定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如圓及以后要學習到的橢圓、雙曲線、拋物線等），可用定義直接求解.
（3）代入法（相關點法）：若動點P（x，y）隨著曲線上的另一動點Q（x1，y1）運動而運動，且x1，y1可用x，y表示，則可將點Q的坐標代入已知曲線的方程，即得動點P的軌跡方程.
【復盤訓練】
（2023·陜西寶雞·高二校考期中）
17．古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發現：“平面內到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”. 后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，，點P滿足.設點P的軌跡為C，下列結論正確的是（ ）
A．C的方程為
B．在x軸上存在異于的兩定點，使得
C．當三點不共線時，射線是的平分線
D．在C上存在點M，使得
（2023·湖北黃石高二期中）
18．已知圓 和點 ，若定點 和常數 滿足：對圓 上那個任意一點M，都有 ，則:
（1） ；
（2） .
（2023·浙江紹興·高二期中）
19．設A為圓上的動點，是圓的切線且，則P點的軌跡方程是
（2023·山東泰安·高二統考期中）
20．已知O為坐標原點，A，B均在直線上，，動點P滿足，則的最小值為 ．
（2023·山東菏澤高二期中）
21．已知兩定點、，動點P滿足條件___，求動點P的軌跡方程．請從下列條件中任選一個補充到橫線上，并在此條件下完成題目．
條件①：直線PM與直線PN垂直；
條件②：點P到M、N兩點距離平方之和為20；
條件③：直線PM與直線PN斜率之積為4．
（注：如果選擇的條件不符合要求，計0分；如果選擇多個符合要求的條件分別作答，按第一個解答計分）
（2023·湖北襄樊高二校聯考期中）
22．平面直角坐標系內有兩點，存在點使得恒為．
(1)求點軌跡方程；
(2)若點在第三象限，連接交軸于點，連交軸于點，四邊形面積是否為定值，若是請求出定值，若不是請說明理由．
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．C
【分析】由圓的方程，表示出圓的半徑，求出半徑的最大值，即可確定面積的最大值.
【詳解】方程即，
則所給圓的半徑，
所以當時，半徑r取最大值，此時最大面積是.
故選：C
2．B
【分析】根據垂直關系得出直徑即可求出半徑.
【詳解】因為，
所以該圓的直徑為，所以半徑為5．
故選：B.
3．B
【分析】根據圓的面積求得圓的半徑，根據圓的半徑求得，進而求得圓心的坐標.
【詳解】由于圓的面積為，所以圓的半徑為，
所以，
解得，所以圓心坐標為，即.
故選：B
4．D
【分析】求圓的方程有兩種方法，法一，由于過，，三點的外接圓圓心經過線段,的中垂線，故可確定圓的方程；法二，利用待定系數法求圓的方程，然后聯立與圓的方程，即可求出交點縱坐標，利用面積公式即可求.
【詳解】
法一：因點與點關于直線對稱，
所以過，，三點的圓的圓心在直線上，
又點與點關于軸對稱，
所以過，，三點的圓的圓心在直線上.
由得，
所以圓心坐標為，圓的半徑為，
故圓的方程為，
由題意易知四邊形為矩形，
由解得，
故該四邊形的面積為
法二：因點與點關于直線對稱,
設，則，解得，故，
又點與點關于軸對稱，
所以，
設過，，三點的圓的方程為，
則,解得,
因此圓的方程為，即，
由題意易知四邊形為矩形，
由解得，
故該四邊形的面積為.
故選：D.
5．B
【分析】建立直角坐標系，利用可得點的軌跡方程，再利用圓的性質當與圓相切時，最大，即可得結果.
【詳解】以經過的直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立直角坐標系，
則，設，由，
所以，
兩邊平方并整理得，
所以點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
當與圓相切時，最大，即最大，

此時，所以.
故選：B.
6．C
【分析】先利用對稱求得，再根據題意給出的幾何特征建立方程化簡即可.
【詳解】設圓的圓心關于直線y＝x－1的對稱點是，
則由題意可得，計算可得，
由題知它是圓的圓心，所以a＝2.
設點P的坐標為（x，y），則有，化簡得.
故選：C
7．B
【分析】根據阿氏圓的定義分析得P點軌跡為球與側面的交線，計算其弧長即可
【詳解】在圖1中，以B為原點建立平面直角坐標系，如圖2所示，
設阿氏圓圓心為，半徑為r.因為，所以，
所以.
設圓O與AB交于點M.由阿氏圓性質，知.
又，所以.又，
所以，解得，所以，
所以點P在空間內的軌跡為以O為球心，半徑為4的球.
當點P在側面內部時，如圖2所示，截面圓與，分別交于點M，R，
所以點P在側面內的軌跡為.
因為在中，，，所以，
所以，所以點P在側面內部的軌跡長為.

故選：B.
8．B
【分析】方程表示的曲線為圓的左半部分和圓的右半部分，數形結合求出的最大值和最小值，進而求出比值.
【詳解】化簡得，
由，得.
因為，所以或.
當時，；當時，.
所以方程表示的曲線為圓的左半部分和圓的右半部分.
根據圓的性質知：當A，B分別與圖中的M，N重合時，取得最大值，且最大值為6；
當A，B為圖中E，F，G，H四點中的某兩點時，取得最小值，且最小值為.故的最大值與最小值的比值是.

故選：B.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是通過分類討論得到曲線的具體情況，結合圖形，利用圓的性質，得到線段和的最值，即可得到它們的比值.
9．BC
【分析】對于A，整理圓的方程為標準方程，明確圓心與半徑，可得答案；
對于B，由題意，將圓心代入直線方程，求得參數，可得答案；
對于C，利用點到直線的距離公式求得三角形的高，結合三角形的面積公式，可得答案；
對于D，根據兩點求得斜率，利用垂直直線斜率的關系，可得答案.
【詳解】由圓的方程，
則，所以圓心，半徑，
易知，故A錯誤；
將代入直線方程，則，解得，故B正確；
將代入直線方程，整理可得直線方程，
原點到直線的距離，且此為底上的高，
所以，故C正確；
由與，則直線的斜率，
由直線方程，則直線斜率，
由，則與不垂直，故D錯誤.
故選：BC.
10．ACD
【分析】根據題意，作出曲線的圖象，再數形結合依次討論各選項求解即可．
【詳解】對于曲線，當，時，曲線表示，即，
表示以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分；
當，時，曲線表示，即，
表示以為圓心，半徑為的圓在第四象限的部分；
當，時，曲線表示，即，
表示以為圓心，半徑為的圓在第二象限的部分；
當，時，曲線表示，即，
表示以為圓心，半徑為的圓在第三象限的部分；
當時，曲線表示坐標原點；
即其圖象如圖所示，

由圖可知，
對于A，曲線圍成的圖形的面積為4個半圓與1個正方形的面積之和，其面積為，故A正確；
對于B，曲線恰好經過，，，，，，，，共9個整點，故B不正確；
對于C，曲線上兩點之間最大距離為，故C正確；
對于D，由直線恒過定點，由知曲線上兩點之間最大距離為，故D正確．
故選：ACD．
11．
【分析】根據點和圓的位置關系列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】圓的方程可化為 ，
即 ，
所以 ，解出.
由于在圓外，
所以，解得或.
故.
故答案為：
12．，（答案不唯一）
【分析】建立坐標系，確定坐標，根據得到，化簡得到答案.
【詳解】，且，故點的軌跡是圓.
以線段的中點為原點，所在直線為軸建立直角坐標系，則，

設，，則，
即，整理得，.
（答案不唯一，建系不同，軌跡方程不同）
故答案為：，.
13．12
【分析】結合圖形分析，最長弦為過點的直徑，最短弦為過點且與垂直的弦，分別求弦長，則可由對角線互相垂直求得四邊形的面積.
【詳解】圓，
由題意可得，圓心為，半徑，
最長弦為過點的直徑，且，

設過點的任意一條弦，過點作，
由圖可知圓心到直線的距離，
則弦長為，
即最短的弦為過，且與垂直的弦，
最短弦長，
如圖，四邊形對角線，
則其面積.
故答案為：.

14．①②④
【分析】①將曲線上任意一點關于原點的對稱點坐標代入，看是否滿足方程即可；②將曲線上任意一點關于直線的對稱點坐標代入，看是否滿足方程即可；③由聯想完全平方與平方差公式，可得情況，將二次式變形為兩個一次因式的乘積為的形式，驗證可知；④當時，結合曲線對稱性分類研究曲線上任意一點到原點的距離范圍，再轉化為兩點間距離的最大值即可.
【詳解】①設曲線上任意一點，則成立.
由，
得點關于原點的對稱點也在曲線上.
故無論取何值，曲線都關于原點中心對稱，①正確；
②設曲線上任意一點，則成立.
由，
得點關于的對稱點也在曲線上.
又，
即點關于的對稱點也在曲線上.
故無論取何值，曲線關于直線和對稱，②正確；
③當時，曲線方程為，
方程可變形為，
即曲線表示兩條直線，或；
當時，曲線方程為，
方程可變形為，
即曲線表示兩條直線，或，
故使得曲線表示兩條直線的實數不唯一，故③不正確；
④當時，，
設曲線上任意一點，
當時，則，
即，
當時，則，
即，即，
由①所得曲線關于原點對稱性可知，
當時，；
當時，.
綜上，對于曲線上任意一點，都有，
即曲線上任意兩點間距離小于或等于圓的直徑，
又存在兩點兩點都在曲線上，且，
故曲線上任意兩點間距離最大值為，故④正確.
故答案為：①②④.
【點睛】結論點睛：從方程數的形式研究曲線的對稱性，關鍵在于設出曲線上任意一點，求解其對稱點，將坐標代入驗證方程是否仍然成立.常用兩點的對稱關系有：
（1）和關于軸對稱；
（2）和關于軸對稱；
（3）和關于原點對稱；
（4）和關于直線對稱；
（5）和關于直線對稱.
15．(1)
(2)存在，
【分析】（1）設，求出、，代入化簡可得答案；
（2）設，，求出、，代入化簡，再由點N在圓上，兩個方程對比可得答案.
【詳解】（1）設，則，，
故，
故，
化簡得；
（2）設，，
故，，
∵，故，
即，
而點N在圓上，即，
對照可知，，解得，
故存在定點，使得．
16．（1）；（2）的方程為，的面積為.
【分析】（1）由圓的方程求出圓心坐標和半徑，設出坐標，由與數量積等于0列式得的軌跡方程；
（2）設的軌跡的圓心為，由得到．求出所在直線的斜率，由直線方程的點斜式得到所在直線方程，由點到直線的距離公式求出到的距離，再由弦心距、圓的半徑及弦長間的關系求出的長度，代入三角形面積公式得答案．
【詳解】解：（1）由圓，即，
圓的圓心坐標為，半徑．
設，則，．
由題意可得，即．
整理得．
的軌跡方程是．
（2）由（1）知的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，
由于，
故在線段的垂直平分線上，
又在圓上，
從而．
，
直線的斜率為．
直線的方程為，即．
則到直線的距離為．
又到的距離為，
．
．
17．BC
【分析】設點，根據求出的軌跡方程可判斷A；假設在x軸上存在異于的兩定點使得，設，根據、點P的軌跡方程求出可判斷B；由利用余弦定理可判斷C；設，由、點M在C上解得無實數解可判斷D.
【詳解】設點，則，化簡整理得，
即，故A錯誤；
假設在x軸上存在異于的兩定點，
使得.設，則，
化簡整理得，
由點P的軌跡方程為得，
解得或，因為點異于點，所以，
所以假設成立，故B正確；
由于，
只需證明，
即證，
化簡整理得，又，
則
，則，故C正確；

設，由得，
整理得①，
又點M在C上，故滿足②，聯立①②，解得無實數解，故D錯誤.
故選：BC.
18． ##-0.5 ##0.5
【分析】按照題意，求兩點距離，解方程即可.
【詳解】試題分析：設 ，因為 ， ，
所以 ，
整理得 ，
配方得 ，
因為對圓O上那個任意一點M，都有成立，
所以 ，解得 或 （舍去），
故故答案為：，.
19．
【分析】根據切線長可以求得P點到圓心的距離，代入距離公式即可求得.
【詳解】由圓的方程可知，圓心為，半徑，是圓的切線且，則點到圓心的距離為，
設，則，
化簡得.
故答案為：
20．
【分析】設，，根據條件可得，得到圓心坐標后可求得圓心在直線上，利用到直線的距離減去半徑即可求得的最小值.
【詳解】設，，
因為，所以，
因為，所以，
即，
整理得，
所以點在以為圓心，為半徑的圓上，
易得圓心在上，
又點到直線的距離，
故.
故答案為：.
21．答案見解析
【分析】根據題意，列出動點P滿足的方程，化簡即得軌跡方程.
【詳解】選擇條件①
設點P的坐標為，
∵直線PM與直線PN垂直，
法一：當，時，，，則，
即，
化簡得，
當時，此時易知，點P的坐標為，滿足上述方程，
當時，此時易知，點P的坐標為，滿足上述方程，
經檢驗：點P的軌跡方程為（M，N除外）；
法二：，，，
則，
化簡得；
選擇條件②
設點P的坐標為，
∵P到兩定點，的距離平方和為20，
∴即，
化簡得，
經檢驗所求軌跡方程為，
選擇條件③
設點P的坐標為（，）
∵直線PM與直線PN斜率之積為4，
∴，，則，
即，
化簡得，
經檢驗所求軌跡方程為（，）.
22．(1)（或）
(2)是定值16
【分析】（1）根據題中條件可直接得到點的軌跡，根據軌跡類型即可寫出方程；（2）設，可求得直線的方程，繼而求得點的坐標，則可求得,再利用計算即可.
【詳解】（1）且，
定弦定角軌跡為圓，故點在以原點為圓心，4為半徑的圓上，但點應在優弧上，
則點的軌跡方程為（或）
（2）為定值，證明如下：
設（或）則
且則

答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁2.4.2 圓的一般方程【第三課】
題型一 圓的一般方程
例1判斷下列二元二次方程是否表示圓．如果是，請求出圓的圓心坐標及半徑．
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）方程可變形為，表示圓心坐標是（2，0），半徑是2的圓．
（2）方程可變形為．當時，方程表示點（0，0）；
當時，方程表示圓心坐標是，半徑是的圓．
（3）方程可變形為，即，方程不表示任何圖形．
【方法技巧與總結】二元二次方程與圓的關系
一般先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征，當它具備圓的一般方程的特征時，再看它能否表示圓．此時有兩種途徑：一是看是否大于零；二是直接配方變形成圓的標準方程的形式，看方程等號右端是否為大于零的常數．
【變式訓練1-1】（2023·廣西河池·高二期中）
1．已知方程，則下列說法正確的是（ ）
A．方程表示圓，且圓的半徑為1時，
B．當時，方程表示圓心為的圓
C．當時，方程表示圓且圓的半徑為
D．當時，方程表示圓心為的圓
【變式訓練1-2】（2023·遼寧鞍山·高二期中）
2．方程表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓，則的值分別為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-3】（2023·福建三明高二期中）
3．若圓過坐標原點，則實數m的值為（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
【變式訓練1-4】（2023·遼寧沈陽·高二期中）
4．若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓，求:
（1）實數m的取值范圍;
（2）圓心坐標和半徑.
題型二 求圓的一般方程
例2（2023·江西宜春高二月考）求下列各圓的方程：
（1）圓心在直線上且過M（2，0），兩點的圓的方程；
（2）經過，，C（0，6）三點的圓的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）設圓的一般方程為，其中，
圓坐標為，因為圓心在直線上且過M（2，0），兩點，
所以解得
所以圓的一般方程為．
（2）設圓的一般方程為，其中．
因為經過，，C（0，6）三點，
所以
解得所以圓的一般方程為．
【方法技巧與總結】求圓一般方程的基本方法：
（1）代數法（待定系數法）：若設圓的一般方程，根據已知條件，列出關于D，E，F的方程組，解方程組得到D，E，F的值，寫出圓的一般方程．
（2）幾何法（數形結合法）：根據已知條件，確定圓的要素，分別求出圓心和半徑，然后再寫出圓的方程．
【變式訓練2-1】（2023·湖北邯鄲高二期中）
5．已知的三個頂點為，則下列關于的外接圓圓M的說法正確的是（ ）
A．圓M的圓心坐標為
B．圓M的半徑為
C．圓M關于直線x＋y＝0對稱
D．點在圓M內
【變式訓練2-2】（2023·福建莆田高二期中）
6．經過點和，且圓心在x軸上的圓的一般方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-3】（2023·山西師大附中高二期中）
7．函數的圖像與坐標軸交于點A，B，C，則過A，B，C三點的圓的方程為 ．
【變式訓練2-4】（2023·安徽銅陵高二期中）
8．已知直線過點，且與軸分別交于點，為等腰直角三角形．
(1)求的方程；
(2)設為坐標原點，點在軸負半軸，求過，，三點的圓的一般方程．
題型三 求軌跡方程
例3．（2023·江蘇鹽城·高二期末）已知的斜邊為AB，且，B（3，0），求：
（1）直角頂點C的軌跡方程；
（2）直角邊BC的中點M的軌跡方程．
【思路分析】（1）設出點C的坐標，利用垂直關系直接由斜率之積為列出方程，注意A，B，C三點不能共線；
（2）設出點M的坐標，利用中點關系，建立點M與點C坐標之間的關系，求出軌跡方程．
【答案】見解析
【解析】（1）方法一：設頂點，因為，且A，B，C三點不共線，
所以．又，，且，
所以，化簡得．
因此，直角頂點C的軌跡方程為．
它表示以（1，0）為圓心，2為半徑的圓去掉與x軸的兩個交點．
方法二：同方法一得．
由勾股定理得，即，
化簡得．
因此，直角頂點C的軌跡方程為．
它表示以（1，0）為圓心，2為半徑的圓去掉與x軸的兩個交點．
方法三：設邊AB的中點為D，由中點坐標公式得D（1，0），由直角三角形的性質知，．又由圓的定義知，動點C的軌跡是以D（1，0）為圓心，
以2為半徑的圓（由于A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點）．
設，則直角頂點C的軌跡方程為．
它表示以（1，0）為圓心，2為半徑的圓去掉與x軸的兩個交點．
方法四：由圓的定義知，直角頂點C形成的軌跡在以AB為直徑的圓上，
由直徑圓方程得軌跡方程為，即．
所以直角頂點C的軌跡方程為．
它表示以（1，0）為圓心，2為半徑的圓去掉與x軸的兩個交點．
方法五：設頂點，因為，且A，B，C三點不共線，所以．
，，因為，所以，
即，
所以直角頂點C的軌跡方程為．
它表示以（1，0）為圓心，2為半徑的圓去掉與x軸的兩個交點．
（2）設點，點，
因為B（3，0），M是線段BC的中點，所以，，
于是有，．
由（1）知，點C在圓上運動，
將，代入該方程得，
即．
因此直角邊BC的中點M的軌跡方程為，
它表示以（2，0）為圓心，1為半徑的圓去掉與x軸的兩個交點．
【方法總結】求曲線的軌跡方程的常用方法：
（1）直接法：它是求曲線方程較重要的方法．可分為以下五個步驟：
①建立適當的直角坐標系，設是所求曲線（軌跡）上的任意一點；
②找出（寫出）動點M所滿足的條件；
③用坐標表示此條件，得到方程；
④化簡所列出的方程；
⑤驗證以方程的解為坐標的點都在曲線上．
（2）代入法（相關點法）：主要用于處理一個主動點與一個被動點之間的問題．只需找出這兩點坐標之間的關系（用被動點坐標表示主動點坐標），然后代入主動點滿足的軌跡方程，便可得到被動點所滿足的方程，即得到了所要求的軌跡方程．
（3）定義法：先由已知及曲線定義得到所求軌跡為何種曲線，再由該種曲線的標準方程求得軌跡方程．
注意：求一動點的軌跡除了要求出軌跡方程外，還要說明方程對應什么曲線．
【變式訓練3-1】（2023·陜西寶雞高二期中）
9．當點P在圓上運動時，連接點P與定點，則線段的中點M的軌跡方程為 .
【變式訓練3-2】（2023·廣東梅州高二期中）
10．已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.
(1)求圓的方程；
(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.
【變式訓練3-3】（湖北鄂西北六校2023高二期中聯考）
11．已知圓C經過（2，6），（5，3），（2，0）三點．
(1)求圓C的方程；
(2)設點A在圓C上運動，點，且點M滿足，求點M的軌跡方程．
易錯點1 求圓的一般方程運算失策，造成出錯
【典例】（2023·遼寧省營口市期中）已知一圓過，兩點，且在y軸上截得的線段長為，求圓的一般方程．
【答案】或．
【解析】方法一：待定系數法．
設圓的方程為，
將P，Q的坐標分別代入上式，
得
令，得．③
由已知可得，其中，是方程③的兩根，
∴．④
聯立①②④解得或
故所求圓的方程為或．
方法二：幾何法．
由題意得線段PQ的垂直平分線的方程為，
∴所求圓的圓心C在直線上．
設其坐標為，則圓C的半徑．①
由已知圓C在y軸上截得的線段長為，
又圓心C到y軸的距離為，則，
代入①并將兩端平方得，
解得，，∴，，
故所求圓的方程為或，
即或．
易錯警示： 不論是圓的標準方程還是一般方程，都必須具備三個獨立條件才能確定一個圓，在選擇標準方程或一般方程時，如果由已知條件容易知圓心坐標、半徑或可用圓心、半徑列方程，通常設圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑都無直接關系，通常選擇一般方程. 利用圓的幾何性質及數形結合思想易于尋找解題思路.
針對訓練1-1（2023·遼寧阜新高二期中）
12．已知圓和兩坐標軸的公共點分別為，則的面積為
A．4 B．2 C． D．
針對訓練1-2（2023·江蘇鹽城高二期中）
13．已知圓C經過兩點，，且圓心在直線上，若直線的方程為，圓心C到直線的距離是，則m的值是 .
針對訓練1-3（2023·四川綿陽高二期中）
14．在平面直角坐標系Oxy中，二次函數（a，，）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，經過A，B，C三個點的圓記為．求的方程．
易錯點2 求軌跡方程問題解題失策、思路不清
例2．（2023·廣東東莞高二期末）已知動點M到點A（2，0）的距離是它到點B（8，0）的距離的一半.
（1）求動點M的軌跡方程；
（2）若N為線段AM的中點，試求點N的軌跡.
【答案】見解析
【解析】 （1）設動點M（x，y）為軌跡上任意一點，則|MA|＝|MB|，
所以，
整理得x2＋y2＝16.
所以動點M的軌跡方程是x2＋y2＝16.
（2）設點N的坐標為（x，y），M的坐標為（x1，y1）.
因為A（2，0），且N為線段AM的中點，
所以x＝，y＝，
則x1＝2x－2①，y1＝2y②.
由（1）知，M是圓x2＋y2＝16上的點，所以M的坐標（x1，y1）滿足＝16③，
將①②代入③，整理得（x－1）2＋y2＝4.
所以點N的軌跡是以（1，0）為圓心，半徑為2的圓.
易錯警示： 求軌跡方程的常用方法
（1）直接法：根據題目的條件，建立適當的平面直角坐標系，設出動點坐標，并找出動點坐標所滿足的關系式.
（2）定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如圓及以后要學習到的橢圓、雙曲線、拋物線等），可用定義直接求解.
（3）代入法（相關點法）：若動點P（x，y）隨著曲線上的另一動點Q（x1，y1）運動而運動，且x1，y1可用x，y表示，則可將點Q的坐標代入已知曲線的方程，即得動點P的軌跡方程.
針對訓練2-1（2023·甘肅酒泉高二期中）
15．設A為圓上的動點，PA是圓的切線，且，求點P的軌跡方程．
針對訓練2-2（2023·陜西渭南高二統考期中）
16．已知平面直角坐標系中的點的坐標x，y滿足，記的最大值為M，最小值為m.
（1）請說明P的軌跡是怎樣的圖形；
（2）求值.
針對訓練2-3（2023·廣東佛山·高二校聯考期末）
17．已知圓心為C的圓經過點A（1，1）和，且圓心C在直線l：上．
(1)求圓C的方程；
(2)線段PQ的端點P的坐標是（5，0），端點Q在圓C上運動，求線段PQ的中點M的軌跡方程．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．ACD
【分析】若方程表示圓，把一般方程化為標準方程，根據方程成立的條件，驗證各選項.
【詳解】由題意，方程，可化為，
若方程表示圓，則圓的圓心坐標為，半徑，
中，當時，可得，所以正確；
中，當時，此時半徑為，所以錯誤；
中，當時，表示的圓的半徑為，所以正確；
中，當時，此時半徑大于0，表示圓心為的圓，所以正確；
故選：ACD．
2．D
【分析】先求得圓的標準方程，再轉化為一般方程，從而求得.
【詳解】以為圓心，為半徑的圓的標準方程為，
即，所以.
故選：D
3．A
【分析】把坐標代入圓方程求解．注意檢驗，方程表示圓．
【詳解】將代入圓方程，得，解得或2，當時，，舍去，所以.
故選：A．
4．（1）；（2）圓心坐標為，半徑.
【分析】（1）利用圓的一般方程可得，由此求得的取值范圍．
（2）將圓的方程寫成標準方程的形式，可得圓心坐標和半徑．
【詳解】解：（1）方程表示圓，
，
即，解得，
故的取值范圍為；
（2）將方程寫成標準方程為，
可得圓心坐標為，半徑．
5．ABD
【分析】根據待定系數法求出的外接圓方程即可判斷AB，根據圓心不在直線x＋y＝0上判斷C，根據點與圓心的距離與半徑比較判斷D.
【詳解】設的外接圓圓M的方程為（），
則，解得，
所以的外接圓圓M的方程為，即.
故圓M的圓心坐標為，圓M的半徑為，故AB正確；
因為直線x＋y＝0不經過圓M的圓心，所以圓M不關于直線x＋y＝0對稱，故C錯誤；
因為，故點在圓M內，故D正確.
故選：ABD
6．D
【分析】設圓的一般式方程，由圓心在x軸上，可得圓心縱坐標為，再將兩點坐標代入方程，即可得圓的標準方程.
【詳解】設圓的方程為，
因為圓心在x軸上，所以，即．
又圓經過點和，
所以即解得
故所求圓的一般方程為．
故選：D
【點睛】本題考查了待定系數法求圓標準方程，屬于基礎題.
7．
【分析】用圓的標準方程即可求解.
【詳解】函數的圖像與坐標軸的交點分別為，，，
則線段的垂直平分線為，線段的垂直平分線為．
所以過A，B，C三點的圓的圓心坐標為，半徑，
所以所求圓的方程為．
故答案為：.
8．(1)或
(2)
【分析】（1）設直線方程為，分別解出兩點坐標和，利用解出的值即可；
（2）設圓的一般方程為 ，將點代入解方法組即可.
【詳解】（1）因為直線過點，所以設直線為，，
令，得，所以
令，得，所以，
又因為為等腰直角三角形，所以，
得，
解或，
當時直線過原點，不滿足題意，
故直線的方程為或，
即或.
（2）由題意可知直線的方程為，即，
設圓的方程為，
將，，代入
得，解得，
所以所求圓的方程為.
9．
【分析】設出點M的坐標，根據已知表示出點P的坐標，再代入圓的方程作答.
【詳解】設點，因M是線段的中點，則點，
于是得，即，
所以點M的軌跡方程為.
故答案為：
10．(1)
(2)
【分析】（1）求出圓心的坐標和圓的半徑，即得解；
（2）設點，，由得，代入圓的方程即得解.
【詳解】（1）由題意可知，的中點為，，所以的中垂線方程為，
它與軸的交點為圓心，又半徑，所以圓的方程為；
（2）設，，由，得，
所以，又點在圓上，故，
所以，化簡得的軌跡方程為
11．(1)
(2)
【分析】(1) 設圓C的方程的一般式，代入三點求系數得圓的方程.
(2) 設，表示出點的坐標，將的坐標代入圓的方程即得到點M的軌跡方程.
【詳解】（1）設圓C的方程為
則有，解之得，
則圓C的方程為．
（2）設，，
則有，，．
由，可得，解之得
由點A在圓C上，得
即，
故點M的軌跡方程為
12．D
【分析】本題首先可以令解出以及令解出，然后求出圓在軸上截得的弦長以及與軸的公共點，最后求出的面積．
【詳解】令，得，解得，
令，得，解得
所以圓在軸上截得的弦長為，與軸的公共點為，
所以的面積為，故選D．
【點睛】本題考查的是圓的相關性質，主要考查圓與兩坐標軸的公共點，能否通過圓與兩坐標軸的公共點找出的底和高是解答本題的關鍵，是簡單題．
13．
【分析】設出圓的一般方程，根據其所過的點和圓心所在直線列方程組，求出圓的方程，再根據圓心到直線的距離列方程求出m的值即可.
【詳解】設圓C的方程為，
由條件，得，解得，
因此圓的一般方程為，
故圓心，因此圓心到直線l的距離，
解得.
故答案為：
14．．
【分析】根據圓的一般方程和二次函數的圖象與坐標軸的交點坐標對應的方程關系求解.
【詳解】設所求圓的一般方程為，
由題意得（a，，）的圖象與兩坐標軸的三個交點
即為圓和坐標軸的交點，
令得，，
由題意可得，這與是同一個方程，故，．
令得，，
由題意可得，此方程有一個根為b，代入此方程得出，
∴的方程為．
15．
【分析】本題主要考查圓的基本概念和兩點之間距離公式，利用勾股定理求出點P的軌跡方程．
【詳解】設，圓的圓心為B，則，圓的半徑為1，由題意得，∴點P的軌跡方程為．
【點睛】本題主要考查圓的基本概念和兩點之間距離公式，屬于簡單題．
16．（1）以為圓心，3為半徑的圓；（2）72
【分析】（1）將方程配成標準式，即可得到P的軌跡；
（2）將配方即可得到，設，則，
而，即可得解；
【詳解】解：（1）由知，.因此，點P的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓.
（2），
設，則.
∵ ，.
∴ ，，.
【點睛】本題考查圓的標準方程，點與圓的位置關系，屬于中檔題；
17．(1)
(2)．
【分析】（1）利用圓經過的兩個點以及圓心所在的直線，結合圓的幾何性質求解；
（2）根據中點坐標公式以及圓的標準方程求軌跡方程.
【詳解】（1）設點D為線段AB的中點，
直線m為線段AB的垂直平分線，則．
又，所以，
所以直線m的方程為．
由得圓心，
則半徑，
所以圓C的方程為．
（2）設點，．因為點P的坐標為（5，0），
所以即,
又點在圓C：上運動，
所以，即，
整理得，
即線段PQ的中點M的軌跡方程為．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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