資源簡(jiǎn)介

2.3.1 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、兩點(diǎn)間的距離公式【第三練】
【試題來(lái)源】來(lái)自各地期中期末的聯(lián)考試題，進(jìn)行整理和改編；
【試題難度】本次訓(xùn)練試題難度較大，適合學(xué)完第三課后，起到提升解題能力和素養(yǎng)的目的.
【目標(biāo)分析】
1.求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，由交點(diǎn)坐標(biāo)判斷直線位置關(guān)系，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，如第1題、第5題、第9題；
2.考查兩點(diǎn)間距離公式及距離的最值問(wèn)題，發(fā)展直觀想象，邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)素養(yǎng)，如第3題、第4題、第8題、第10題、第11題；
3.根據(jù)兩直線的交點(diǎn)求直線方程、求定點(diǎn)，直線對(duì)稱問(wèn)題，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，如第2題、第6題、第7題、第12題、第13題、第15題、第16題；
一、單選題
（2023·江西上饒高二期中）
1．已知直線，是直線l外一點(diǎn)，那么直線（ ）
A．過(guò)點(diǎn)P且與直線l斜交
B．過(guò)點(diǎn)P且與直線l重合
C．過(guò)點(diǎn)P且與直線l平行
D．過(guò)點(diǎn)P且與直線l垂直
（2023·海南海口高二期中）
2．臺(tái)球運(yùn)動(dòng)中反彈球技法是常見(jiàn)的技巧，其中無(wú)旋轉(zhuǎn)反彈球是最簡(jiǎn)單的技法，主球撞擊目標(biāo)球后，目標(biāo)球撞擊臺(tái)邊之后按照光線反射的方向彈出，想要讓目標(biāo)球沿著理想的方向反彈，就要事先根據(jù)需要確認(rèn)臺(tái)邊的撞擊點(diǎn)，同時(shí)做到用力適當(dāng)，方向精確，這樣才能通過(guò)反彈來(lái)將目標(biāo)球成功擊入袋中．如圖，現(xiàn)有一目標(biāo)球從點(diǎn)無(wú)旋轉(zhuǎn)射入，經(jīng)過(guò)直線（桌邊）上的點(diǎn)反彈后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·黑龍江哈爾濱高二期中）
3．設(shè)，過(guò)定點(diǎn)A的直線和過(guò)定點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)P．線段AB中點(diǎn)為Q，則的值為（ ）
A． B． C． D．與m的取值有關(guān)
（2023·福建福州高二聯(lián)考期中）
4．已知函數(shù)與的圖像相交于，兩點(diǎn)，則，兩點(diǎn)間的距離為（ ）
A．7 B． C．5 D．1
（2023·河北滄州·高二聯(lián)考期中）
5．已知，直線：與軸的交點(diǎn)為，：與軸的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，則四邊形的面積的最小值為（ ）
A． B．16 C． D．
（2023·重慶萬(wàn)州·高二期中）
6．唐代詩(shī)人李的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在地為點(diǎn)，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B． C． D．
（2023·遼寧沈陽(yáng)高二期中）
7．設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽安慶高二期末）
8．在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)間的折線距離，該距離也稱曼哈頓距離．已知點(diǎn)，若，則的最小值與最大值之和為（ ）
A．0 B． C． D．
二、多選題
（2023·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）
9．已知直線與，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．若，則或
B．若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則
C．直線恒過(guò)點(diǎn)
D．若直線在軸上的截距為6，則直線的斜截式方程為
（2023·遼寧大連金州區(qū)高二期末）
10．已知函數(shù)，設(shè)曲線在第一象限內(nèi)的圖像為E，過(guò)O點(diǎn)作斜率為1的直線交E于，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交x軸于，再過(guò)點(diǎn)作斜率為1的直線交E于，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交x軸于，…，依這樣的規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列等腰直角三角形，如圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（ ）

A．的長(zhǎng)為
B．點(diǎn)的坐標(biāo)為
C．與的周長(zhǎng)之比是
D．在直線左側(cè)有2023個(gè)三角形
三、填空題
（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二期中）
11．寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②的點(diǎn)的坐標(biāo) .
①該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為正整數(shù)；
②該點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到點(diǎn)的距離大4.
（2023·福建莆田·高二校考期中）
12．已知兩點(diǎn)，和直線，則直線恒過(guò)定點(diǎn) ；若直線與線段AB有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）
13．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事修．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最大值為 ．
（2023·北京大興區(qū)·高二統(tǒng)考期中）
14．我們把橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做“格點(diǎn)”，且把頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的凸多邊形稱做“格點(diǎn)多邊形”，已知“格點(diǎn)多邊形”的面積公式為（其中m為多邊形邊上的格點(diǎn)數(shù)，n為多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)），則由直線圍成的格點(diǎn)三角形邊上的格點(diǎn)數(shù) ，面積 ．
四、解答題
（2023·江西九江高二期中）
15．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到軸的距離等于它到軸的距離的2倍.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形：
(2)直線與曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求直線的方程：
(3)直線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
（2023·安徽銅陵高二期中）
16．已知直線的方程分別是，點(diǎn)的坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，且與分別交于點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為正數(shù)
(1)若，且為線段中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值及的面積；
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得的值與無(wú)關(guān)？若存在，求出所有這樣的實(shí)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．
【易錯(cuò)題目】第2題、第6題、第7題
【復(fù)盤要點(diǎn)】 與直線有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題
與直線有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題，包括點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱及直線關(guān)于直線對(duì)稱.問(wèn)題情境較為復(fù)雜，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，方法靈活，綜合性較強(qiáng).
典例（2023·四川眉山高二期中）已知直線，求：
(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程；
(3)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程.
【分析】 (1)設(shè)出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，構(gòu)建方程組求解；(2)注意到兩直線相交，對(duì)稱直線過(guò)此交點(diǎn)，然后取直線上一點(diǎn)，求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，從而求出對(duì)稱直線方程；(3)在直線上取兩點(diǎn)，求出它們關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而求出直線方程.
【解析】　(1)設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則線段的中點(diǎn)在直線上，且直線垂直于直線，
即，解得
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(2)解方程組，得
則點(diǎn)在所求直線上. 在直線上取一點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得
∴點(diǎn)也在所求直線上.
由兩點(diǎn)式得直線方程為，
化簡(jiǎn)得直線方程為.
(3)在直線上取兩點(diǎn)，，
則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為
∵點(diǎn)在所求直線上，∴由兩點(diǎn)式得直線方程為，
即.
易錯(cuò)提示：與直線有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題
1. 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)可利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，
由，得
2. 點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則線段的中點(diǎn)在已知直線上且直線與已知直線垂直.
即解此方程組可得，即得點(diǎn)的坐標(biāo).
3. 直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線的方程的求法：求出直線上的兩個(gè)特殊點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，則直線的方程即所求的直線方程.
4. 直線關(guān)于直線對(duì)稱
(1)若已知直線與已知對(duì)稱軸相交，則交點(diǎn)必在與直線對(duì)稱的直線上，然后求出直線上其他任意一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，由兩點(diǎn)式寫出直線的方程；
(2)若已知直線與已知對(duì)稱軸平行，則直線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的直線與直線平行，可以利用直線與對(duì)稱軸間的距離等于直線與對(duì)稱軸間的距離求解.
1.直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱
【復(fù)盤訓(xùn)練】
（2022·山東菏澤高二校聯(lián)考期中）
17．一條沿直線傳播的光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，然后被直線反射，則反射光線所在的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·四川雅安·高二期末）
18．在等腰直角三角形ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原點(diǎn)P（如圖11）．若光線QR經(jīng)過(guò)的重心，則Q的坐標(biāo)等于（ ）

A． B．
C． D．
（2022上·云南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）
19．如圖，已知，，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川綿陽(yáng)高二期中）
20．直線上一點(diǎn)P到與的距離之差的絕對(duì)值最大，則P的坐標(biāo)為 .
（2023·福建三明高二期中）
21．以為一個(gè)頂點(diǎn)，試在x軸上找一點(diǎn)B，直線l：上找一點(diǎn)C，構(gòu)成，則的最小周長(zhǎng)為 .
（2023·江西宜春高二期末）
22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是 .
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)f（x0，y0）為常數(shù)，得到兩直線方程中x與y的系數(shù)相同，常數(shù)項(xiàng)不相等，得到兩直線的位置關(guān)系是平行.
【詳解】解：在直線外，所以，
方程與兩變量的系數(shù)完全相同，而，即常數(shù)項(xiàng)不同，
它們的方程組成的方程組無(wú)解，所以兩直線的位置關(guān)系是平行，
又，所以直線必過(guò)點(diǎn)，所以直線過(guò)點(diǎn)且與直線平行.
故選：C
2．B
【分析】求得點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得直線方程，將方程與聯(lián)立即可求得點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，
直線的方程為：，即，
由得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：B.
3．A
【分析】求解直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，根據(jù)兩直線垂直，即可根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解.
【詳解】由于經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為，所以，
直線變形為，所以經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，故，
且兩直線垂直，因此為直角三角形，所以，
故選：A

4．C
【分析】作出兩個(gè)函數(shù)圖像，去絕對(duì)值，聯(lián)立方程，求得，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式，得解．
【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如下所示：
聯(lián)立，解得，，即點(diǎn)，，
聯(lián)立，解得，，即點(diǎn)，，
所以．
故選：．
5．A
【分析】根據(jù)題意分別求得的坐標(biāo)，從而根據(jù)可求得四邊形的面積，結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)橹本€：，：都過(guò)點(diǎn)，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.
在中，令，得，所以，
在中，令，得，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
所以當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取最小值為.
故選：A.
6．C
【分析】利用直線方程及坐標(biāo)，確定關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，則是“將軍飲馬”的最短路程，利用兩點(diǎn)距離公式求距離即可.
【詳解】若是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，如下圖示：“將軍飲馬”的最短總路程為，
∴，解得，即.
∴.
故選：C
7．B
【分析】根據(jù)直線方程求出、坐標(biāo)，然后分和兩種情況討論，利用直線垂直的條件可證兩直線垂直，從而得出，再利用基本不等式求得的最大值即可得解.
【詳解】解：對(duì)直線：，當(dāng)時(shí)，則直線過(guò)定點(diǎn)，
對(duì)直線：，當(dāng)時(shí)，則直線過(guò)定點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，如上圖，直線為，直線為， 則交點(diǎn)，
此時(shí)，，∴；
當(dāng)時(shí)，如上圖，直線的斜率為，直線的斜率為，
∵，∴，則是直角三角形，
∴，
又∵，
且，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
∴的最大值為.
故選：B.
8．B
【分析】由題意得，．令，作出所表示的平面區(qū)域，而表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，即可求得的最小值與最大值之和.
【詳解】由題意得，．令，
作出所表示的平面區(qū)域如圖中實(shí)線所示，
則，而表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
結(jié)合圖形可知的最小值為2，最大值為4，故的最小值與最大值之和為，
故選：B．
9．CD
【分析】由可得，或.代入的方程檢驗(yàn)，即可判斷A項(xiàng)；分以及，列出關(guān)系式，求解即可判斷B；由，即可得出定點(diǎn)；直線過(guò)點(diǎn)，代入得出，化為斜截式，即可得出答案.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由可得，或.
當(dāng)時(shí)，直線可化為，
直線，此時(shí)，滿足；
當(dāng)時(shí)，直線，
直線，可化為，此時(shí)重合，不滿足，舍去.
所以，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線可化為，不經(jīng)過(guò)第四象限；
當(dāng)時(shí)，將直線化為，.
要使不經(jīng)過(guò)第四象限，則應(yīng)有，所以.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，直線不經(jīng)過(guò)第四象限，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，直線可化為，
由可得，，所以直線恒過(guò)點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D項(xiàng)，由已知可得，直線過(guò)點(diǎn)，
所以有，所以.
直線的方程為，化為斜截式方程可得，故D正確.
故選：CD.
10．BC
【分析】依次聯(lián)立直線與曲線方程，歸納可得，，，，，，，的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)即可.
【詳解】由，可得，則，
由，可得，則，
所以，故A錯(cuò)誤；
由，可得，則，故B正確；
由，可得，則，
以此類推，可得，，
所以，，
，，
所以的周長(zhǎng)為，
的周長(zhǎng)為，
所以與的周長(zhǎng)之比是，故C正確；
因?yàn)椋栽谥本€左側(cè)有2024個(gè)三角形，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11．（答案不唯一，或任寫一個(gè)即可）
【分析】設(shè)該點(diǎn)為，由已知條件根據(jù)兩點(diǎn)距離公式列式并化簡(jiǎn)計(jì)算得，再由，，從而得答案.
【詳解】設(shè)該點(diǎn)為，則，
即，
即，即
且，化簡(jiǎn)計(jì)算得.
又，，所以該點(diǎn)為或.
故答案為：（答案不唯一，或任寫一個(gè)即可）
12．
【分析】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，結(jié)合直線的斜率公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】空一：，該直線的斜率為，
所以直線恒過(guò)；
空二：如下圖所示：

因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)直線與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，則有，或，
則實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故答案為：；
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解.
13．
【分析】將轉(zhuǎn)化成到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之差，再結(jié)合進(jìn)行求解.
【詳解】，
可轉(zhuǎn)化成x軸上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之差.
，
所以的最大值為.
故答案為：
14． 6 6
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由圖形可求出，從而可求出，
【詳解】直線圍成的圖形如圖所示，
由，得，即，
由，得，即，
由，得，即，
由圖可得還有點(diǎn)在多邊形邊上，
所以格點(diǎn)三角形邊上的格點(diǎn)數(shù)，
三角形內(nèi)部的格點(diǎn)有，共4個(gè)，即，
所以，
故答案為：6，6
15．(1)，它表示兩條直線.
(2)
(3)或
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，由求解即可.
（2）運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)、坐標(biāo)，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程求解即可.
（3）分別求出點(diǎn)、坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由題意知，，即，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡C的方程為，它表示兩條直線.
（2）由（1）知，不妨設(shè)，，如圖所示，

則，解得，
所以，，
所以，
所以直線方程為，即.
（3）不妨設(shè)直線與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，
由，即，
由，即，，
所以，化簡(jiǎn)得，
解得或，即或，
所以直線方程為或.
16．(1)，面積為
(2)存在；
【分析】（1）由直線的方程為，聯(lián)立方程組分別求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合題意，列出不等式組，求得，進(jìn)而求得的值，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解；
（2）假設(shè)存在滿足題意的 ，使得的值與無(wú)關(guān)，由（1）求得，得到，進(jìn)而得到結(jié)論.
【詳解】（1）解：因?yàn)橹本€ l過(guò)點(diǎn)，且斜率為，所以直線的方程為，
因?yàn)橹本€與分別交于點(diǎn)，所以 ，
由 ，解得 ，即 ，
由 ，解得 ，即，
又因?yàn)榈目v坐標(biāo)均為正數(shù)，所以 ，即，
因?yàn)?，所以
若時(shí)，，，
又因?yàn)辄c(diǎn)為線段中點(diǎn)，所以解得，
所以，，所以，的面積．
（2）解：假設(shè)存在滿足題意的 ，使得的值與無(wú)關(guān)，
由（1）知：， 且
因此，，
所以
因?yàn)?，所以當(dāng)時(shí)，為定值，
所以存在實(shí)數(shù)，使得的值與無(wú)關(guān)．
17．D
【分析】首先根據(jù)兩點(diǎn)式求得入射光線的直線方程，求得入射光線和直線的交點(diǎn)，再根據(jù)反射光線經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱求得對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)式即可得解.
【詳解】入射光線所在的直線方程為，即，
聯(lián)立方程組解得即入射點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)P關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
則解得即．
因?yàn)榉瓷涔饩€所在直線經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)和點(diǎn)，
所以反射光線所在直線的斜率為，
所以反射光線所在的直線方程為，
即．
故選：D
18．B
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線與直線的解析式，即可得出Q的坐標(biāo).
【詳解】由題意，如圖建立直角坐標(biāo)系：

則，直線方程為即，
三角形重心為即，
設(shè)，關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得
由光的反射可知四點(diǎn)共線，又，
所以直線斜率為，
則直線方程為，且過(guò)重心，
即，整理得，解得舍去，，
∴直線的解析式：，即，
∵直線與直線交于點(diǎn)，
∴，解得：，即.
故選：B.
19．A
【分析】求出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)和它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),則就是所求的路程長(zhǎng).
【詳解】易知直線AB的方程為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為，
則解得即．
又點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，
由光的反射規(guī)律以及幾何關(guān)系可知，光線所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)．
故選：.
20．
【分析】求出B點(diǎn)關(guān)于關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)P到與的距離之差的幾何意義，確定當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大，即可求得的方程，聯(lián)立，即可求得答案.
【詳解】設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，

則，即，所以①．
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線l上，
所以，即②．
由①②得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
于是所在直線的方程為，即．
又，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大．
所以聯(lián)立直線l與的方程即，解得，
即l與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
故答案為：
21．
【分析】求點(diǎn)關(guān)于x軸與直線l：的對(duì)稱點(diǎn)，連接，由對(duì)稱性可知，的周長(zhǎng)為，其最小值為.
【詳解】如圖所示，令，分別為點(diǎn)關(guān)于x軸與直線l：的對(duì)稱點(diǎn)，
并連接，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，于是點(diǎn)的坐標(biāo)為.
由于，
因此的最小周長(zhǎng)為.
故答案為：
22．4
【分析】利用對(duì)稱關(guān)系求出點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則最小值為之間的距離.
【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值是4，
故答案為：4
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)2.3.1 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、兩點(diǎn)間的距離公式【第三課】
擴(kuò)展1 與直線交點(diǎn)有關(guān)的綜合問(wèn)題
與兩直線交點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，設(shè)問(wèn)角度較多，如求交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)位置求參數(shù)范圍，由交點(diǎn)個(gè)數(shù)判定直線位置關(guān)系，求過(guò)交點(diǎn)的直線方程，用交點(diǎn)確定直線過(guò)定點(diǎn)等問(wèn)題. 問(wèn)題解決多樣較為靈活，需進(jìn)行專題訓(xùn)練.
例1（2024·江蘇無(wú)錫太湖高級(jí)中學(xué)高二期中）已知直線，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則或 B．若，則
C．若，兩條直線的交點(diǎn)為 D．若直線不過(guò)第二象限時(shí)，有
【答案】BC
【分析】由得出重合判斷A；由垂直關(guān)系判斷B；求出交點(diǎn)判斷C；由判斷D.
【解析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，直線，重合，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若，則，解得，故B正確；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，由，解得，
即兩條直線的交點(diǎn)為，故C正確；
對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，直線不過(guò)第二象限，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
【方法總結(jié)】與直線交點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題解題策略
1.兩直線交點(diǎn)的交點(diǎn)坐標(biāo)
（1）求法：兩直線方程聯(lián)立組成方程組，此方程組的解，就是這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).
（2）應(yīng)用：方程解的個(gè)數(shù)與兩條直線的位置關(guān)系
方程組的解 一組 無(wú)數(shù)組 無(wú)解
直線l1與l2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù) 一個(gè) 無(wú)數(shù)個(gè) 零個(gè)
直線l1與l2的位置關(guān)系 相交 重合 平行
2.求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法
(1)方程組法：一般是先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件求出直線方程.
(2)直線系法：先設(shè)出過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程，再結(jié)合條件利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，
最后確定直線方程.
3.過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的方法
（1）任給直線方程中的參數(shù)賦兩個(gè)不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗(yàn)證這兩條直線的交點(diǎn)就是直線（直線方程中含有參數(shù)）所過(guò)的定點(diǎn)，從而問(wèn)題得解．
（2）分項(xiàng)整理，將直線方程化為的形式，則方程組的解即所求定點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2023·山東聊城·高二統(tǒng)考期中）
1．已知直線：，直線：，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，兩直線的交點(diǎn)為 B．直線恒過(guò)點(diǎn)
C．若，則 D．若，則或
（2023上·江蘇南京師大附中高二期中）
2．過(guò)直線與的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程是 .
（2023·安徽蕪湖高二期中）
3．直線：關(guān)于直線：的對(duì)稱直線方程為 ．
（2023·北京大興區(qū)高二期中）
4．下面三條直線不能構(gòu)成三角形，請(qǐng)給出一個(gè)符合題意的的值 .
（2023·廣東廣州華南師大附中高二期末）
5．已知直線．
(1)直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出此定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)求點(diǎn)到直線的距離的最大值．
擴(kuò)展2 與兩點(diǎn)間距有關(guān)的最值問(wèn)題
與兩點(diǎn)間距離有關(guān)的最值問(wèn)題，問(wèn)題情境較為復(fù)雜，常常涉及函數(shù)、基本不等式、幾何性質(zhì)等，方法靈活，綜合性較強(qiáng).
例2（2023·廣東廣州·高二聯(lián)考期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小值為
B．已知x，y滿足，則的最大值為
C．已知x，y滿足，則的取值范圍是
D．已知x，y滿足，則的最大值為0
【答案】A
【分析】函數(shù)表示到點(diǎn)和的距離之和，計(jì)算距離得到A正確，舉反例得到BCD錯(cuò)誤，得到答案.
【解析】對(duì)選項(xiàng)A：，
表示到點(diǎn)和的距離之和，最小值為，正確；
對(duì)選項(xiàng)B：取，滿足條件，此時(shí)，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C：取，滿足條件，此時(shí)，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D：取，滿足條件，此時(shí)，錯(cuò)誤；
故選：A
【方法總結(jié)】與兩點(diǎn)間距有關(guān)的最值問(wèn)題基本思路
1.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，建立函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，求最值.
2.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式建立關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式特點(diǎn)聯(lián)系基本不等式或幾何性質(zhì)求最值.
（2023·陜西西安市田家炳中學(xué)高二期中）
6．可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·江蘇鹽城高二期末）
7．直線與直線交于點(diǎn)Q，m是實(shí)數(shù)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
（2023·安徽銅陵高二期末）
8．設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值為 ．
（2023·內(nèi)蒙古·包頭高二期中）
9．已知為直線上的一點(diǎn)，則的最小值為 ．
（2023·福建福州高二校聯(lián)考期中）
10．已知點(diǎn)分別在直線：與直線：上，且，點(diǎn)，則的最小值為 ．
（江西·高考真題）
11．在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則=
A．2 B．4 C．5 D．10
（湖北·高考真題）
12．已知點(diǎn)和．直線與線段的交點(diǎn)M分有向線段的比為，則m的值為（ ）
A． B． C． D．4
（全國(guó)·高考真題）
13．已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)、、、，一質(zhì)點(diǎn)從的中點(diǎn)沿與的夾角的方向射到上的點(diǎn)后，依次反射到、和上的點(diǎn)、和（入射角等于反射角）．若與重合，則（ ）
A． B． C． D．
（全國(guó)·高考真題）
14．已知點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（　　）
A．（0，1） B． C． D．
（2023·江蘇淮安二模）
15．在中，設(shè)點(diǎn)，利用二次函數(shù)知識(shí)可確定出到的3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)為的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心
（2023·海南海口二模）
16．設(shè)，若函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)滿足，則 .
（江蘇·高考真題）
17．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)的圖像交于P、Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的最小值是
（江蘇·高考真題）
18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A(a，a)，P是函數(shù)y＝ (x>0)圖象上一動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為 ．
（全國(guó)·高考真題）
19．有三個(gè)新興城鎮(zhèn)分別位于、、三點(diǎn)處，且，，今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在的垂直平分線上的點(diǎn)處（建立坐標(biāo)系如圖）
(1)若希望點(diǎn)到三鎮(zhèn)距離的平方和最小，則應(yīng)位于何處？
(2)若希望點(diǎn)到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，則應(yīng)位于何處？
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．ABC
【分析】求出兩直線的交點(diǎn)判斷A，求出直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷B，根據(jù)兩直線垂直、平行求出參數(shù)，即可判斷C、D.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)直線：，直線：，由，
解得，所以兩直線的交點(diǎn)為，故A正確；
對(duì)于B：直線：，令，解得，即直線恒過(guò)點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于C：若，則，解得，故C正確；
對(duì)于D：若，則，解得或，
當(dāng)時(shí)直線：，直線：兩直線重合，故舍去，
當(dāng)時(shí)直線：，直線：，兩直線平行，
所以，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC
2．
【分析】首先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)所求直線方程為，代入交點(diǎn)坐標(biāo)求出的值，即可得解.
【詳解】由，解得，
所以直線與的交點(diǎn)為，
設(shè)所求直線方程為，則，解得，
所以所求直線方程為.
故答案為：
3．
【分析】由三條直線交于一點(diǎn)，再找一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，兩點(diǎn)式求直線方程.
【詳解】設(shè)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為，由，解得，
則點(diǎn)在直線上；
在直線上取一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
則，解得，即，
所以直線的方程為，即．
故答案為：
4．（或或）
【分析】根據(jù)，或過(guò)和的交點(diǎn)求解即可.
【詳解】當(dāng)直線時(shí)，，得；
當(dāng)直線時(shí)，，得；
解方程組得直線和的交點(diǎn)為，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得.
綜上，當(dāng)或或時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形.
故答案為：（或或）
5．(1)存在，定點(diǎn)為
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意得到，再求解即可.
（2）根據(jù)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大，即可得到答案.
【詳解】（1）直線，
，令，即直線恒過(guò).
（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大，
.
6．B
【分析】函數(shù)變形，設(shè)，，，則表示的幾何意義為的長(zhǎng)，作出輔助線，由幾何關(guān)系得到最小值，得到答案.
【詳解】，
設(shè)，，，
故表示的幾何意義為的長(zhǎng)，
如圖所示，取點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，
則的長(zhǎng)即為的最小值，即最小值為.
故選：B
7．B
【分析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式得到，進(jìn)而可以求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榕c的交點(diǎn)坐標(biāo)為
所以，
當(dāng)時(shí)， ，
所以的最大值是，
故選：B.
8．
【分析】根據(jù)直線方程得到，，，根據(jù)勾股定理得到，然后根據(jù)不等式求最值即可.
【詳解】直線可得，
直線可整理為，令，解得，
所以，
因?yàn)椋灾本€與直線垂直，則，
所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，
，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：.
9．
【分析】利用兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合“將軍飲馬”模型計(jì)算最值即可.
【詳解】如圖，為點(diǎn)到原點(diǎn)和到點(diǎn)的距離之和，
即．
設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
則解之得即．
易得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，
且最小值為．

故答案為：.
10．
【分析】根據(jù)平行線間距離公式可得，設(shè)，，由兩點(diǎn)間距離公式可表達(dá)出，結(jié)合幾何意義以及圖形即可求解最小值.
【詳解】由平行線距離公式得：，
設(shè)，則，
所以
，
設(shè)點(diǎn)，如下圖：
則有：
即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立)，
綜上，．
故答案為：
11．D
【詳解】試題分析：將直角三角形的直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，設(shè)，，那么，那么，故選D．
考點(diǎn)：1．坐標(biāo)系；2．兩點(diǎn)間距離．
【方法點(diǎn)睛】本題考查了向量法解決平面幾何的問(wèn)題，屬于中檔題型，而向量法又分是用向量代數(shù)表示，還是用坐標(biāo)表示，經(jīng)分析用坐標(biāo)表示，那如何建坐標(biāo)系？題設(shè)只說(shuō)是直角三角形，所以就以直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，兩條直角邊落在坐標(biāo)軸上，這樣就可以設(shè)各點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離求值．坐標(biāo)法解決平面幾何的問(wèn)題，很多時(shí)候會(huì)事半功倍．
12．D
【分析】首先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件列出，利用向量的坐標(biāo)相等，即可求解點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線方程求.
【詳解】設(shè)，且，
則，得，解得：,
代入直線，，得.
故選：D
13．C
【分析】取點(diǎn)、，則、、三點(diǎn)共線，、、三點(diǎn)共線，求出直線、的方程，聯(lián)立這兩條直線的方程，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得的值.
【詳解】如下圖所示：
由題意可知點(diǎn)，取點(diǎn)、，
則、、三點(diǎn)共線，、、三點(diǎn)共線，
且直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，
所以，直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，，解得.
故選：C.
14．B
【分析】先求得直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（，0），由0可得點(diǎn)M在射線OA上．求出直線和BC的交點(diǎn)N的坐標(biāo)，①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，求得b；②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，求得b； ③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，求得b＞1．再把以上得到的三個(gè)b的范圍取并集，可得結(jié)果．
【詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為 1，
由于直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（，0），
由直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，
故0，故點(diǎn)M在射線OA上．
設(shè)直線y＝ax+b和BC的交點(diǎn)為N，則由可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）．
①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，如圖：
則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，故N（，），
把A、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y＝ax+b，求得a＝b．
②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，如圖：
此時(shí)b，點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，
由題意可得三角形NMB的面積等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有b．
③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，
則b，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)1，求得b＞a．
設(shè)直線y＝ax+b和AC的交點(diǎn)為P，則由 求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），
此時(shí)，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即 （1﹣b） |xN﹣xP|，
即（1﹣b） ||，化簡(jiǎn)可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此時(shí) b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
兩邊開(kāi)方可得 （1﹣b）1，∴1﹣b，化簡(jiǎn)可得 b＞1，
故有1b．
綜上可得b的取值范圍應(yīng)是 ，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查確定直線的要素，點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算能力以及綜合分析能力，分類討論思想，屬于難題．
15．A
【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，其中，
則
當(dāng)且時(shí)，取得最小值，
此時(shí)點(diǎn)為重心.
故選：A.
16．2
【分析】根據(jù)題意結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式分析運(yùn)算.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖象上，則，即，
又因?yàn)椋?br/>則，
整理得，
由于對(duì)恒成立，則，解得.
故答案為：2
17．4
【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式、基本不等式求解.
【詳解】如圖所示，因?yàn)?P在函數(shù)圖像上，
所以設(shè)，又因?yàn)镼與P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，
所以≥=16，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.
故答案為：4.
18．－1或
【詳解】試題分析：設(shè)點(diǎn)，則
令
令
（1）當(dāng)時(shí)，時(shí)取得最小值，，解得
（2）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值
，解得
綜上可知：或
所以答案應(yīng)填：-1或.
考點(diǎn)：1、兩點(diǎn)間的距離公式；2、基本不等式；3、一元二次函數(shù)的性質(zhì).
19．(1)
(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，其中
【分析】（1）設(shè)出的坐標(biāo)，表示出至三鎮(zhèn)距離的平方和，利用配方法，可得結(jié)論；
（2）記，表示出至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：由題設(shè)條件，設(shè)的坐標(biāo)為，則至三鎮(zhèn)距離的平方和為
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．
則點(diǎn)的坐標(biāo)是
（2）解：記
至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為
由解得，記，
于是
當(dāng)，即時(shí)，
因?yàn)樵冢鲜窃龊瘮?shù)，而在，上是減函數(shù)．
所以時(shí)，函數(shù)取得最小值．點(diǎn)的坐標(biāo)是
當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵冢袭?dāng)函數(shù)取得最小值，而在，上是減函數(shù)，且，所以時(shí)，函數(shù)取得最小值．
則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，其中
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

展開(kāi)更多......

收起↑