資源簡(jiǎn)介

每周七題（1）
1.已知函數(shù)，，
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)在的值域。
解法1：，
即：，………………………..2分
解得：；
。……………………………..3分
（2）由（1）得：
……………….…..5分
………….…………7分
，…………………………………………..8分
令，則，…10分
，
即…………………………….12分
解法2：，
即：，………………………..2分
解得：；
。……………………………..3分
（2）由（1）得：
……………….…..5分
………….…………7分
，…………………………………………..8分
令，則，…10分
，
即…………………………….12分
解法3：(1)
……………………….2分
，即：，………..4分
解得：； 。……………………………..5分
（2）由（1）得：
或…………………………………7分
以下同解法1或解法2。
2.某俱樂(lè)部舉行迎圣誕活動(dòng)，每位會(huì)員交50元活動(dòng)費(fèi)，可享受20元的消費(fèi)，并參加一次游戲：擲兩顆正方體骰子，點(diǎn)數(shù)之和為12點(diǎn)獲一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)價(jià)值為a元的獎(jiǎng)品；點(diǎn)數(shù)之和為11或10點(diǎn)獲二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)價(jià)值為100元的獎(jiǎng)品；點(diǎn)數(shù)之和為9或8點(diǎn)獲三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)價(jià)值為30元的獎(jiǎng)品；點(diǎn)數(shù)之和小于8點(diǎn)的不得獎(jiǎng)。求：
（1）同行的三位會(huì)員一人獲一等獎(jiǎng)、兩人獲二等獎(jiǎng)的概率；
（2）如該俱樂(lè)部在游戲環(huán)節(jié)不虧也不贏利，求a的值。
解：（1）設(shè)擲兩顆正方體骰子所得的點(diǎn)數(shù)記為（x，y），其中，
則獲一等獎(jiǎng)只有（6，6）一種可能，其概率為：； …………2分
獲二等獎(jiǎng)共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5種可能，其概率為：；
…………5分
設(shè)事件A表示“同行的三位會(huì)員一人獲一等獎(jiǎng)、兩人獲二等獎(jiǎng)”，則有：
P（A）=； …………6分
ξ
30-a
-70
0
30
p
（2）設(shè)俱樂(lè)部在游戲環(huán)節(jié)收益為ξ元，則ξ的可能取值為,,0,,…7分
其分布列為：
則：Eξ=； …………11分
由Eξ=0得：a=310，即一等獎(jiǎng)可設(shè)價(jià)值為310 元的獎(jiǎng)品。 …………12分
3.已知平面，，與交于點(diǎn)，，，
（1）取中點(diǎn)，求證:平面。
（2）求二面角的余弦值。
解法1:(1)聯(lián)結(jié)，
∵，，AC=AC
∴，………………………………….2分
∴為中點(diǎn)，……………………………………..3分
∵為中點(diǎn)，
∴，………………………………………….4分
∴平面…………………………………….5分
（2）聯(lián)結(jié)，
∵，
∴在等邊三角形中,中線，…………6分
又底面， ∴，
∴，………………………………….7分
∴平面平面。…………………….8分
過(guò)作于，則平面，
取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，則等腰三角形中，，
∵，∴平面，∴，
∴是二面角的平面角……………….10分
等腰直角三角形中，，等邊三角形中，，
∴Rt中，，∴，…………12分
∴.
∴二面角的余弦值為。……………….14分
解法2：
以分別為軸，為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
∵
∴，…………………………………2分
∴是等邊三角形，且是中點(diǎn)，
則、、、、、…………………………………………4分
（1）…………………5分
∴，
∴，∴平面………………….………7分
（2）設(shè)平面的法向量分別為，.………9分
則的夾角的補(bǔ)角就是二面角的平面角；……………….………10分
∵，，，
由及得，，….………12分
，
∴二面角的余弦值為。….……………………………………………14分
4.已知橢圓的方程為雙曲線的兩條漸近線為和，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線，使得于點(diǎn)，又與交于點(diǎn)，與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)從上到下依次為（如圖）.
(1)當(dāng)直線的傾斜角為，雙曲線的焦距為8時(shí)，求橢圓的方程；
(2)設(shè)，證明：為常數(shù).
解：（1）由已知，，…………………2分
解得:， …………………4分
所以橢圓的方程是:. …………………5分
（2）解法1：設(shè)
由題意得: 直線的方程為: ,直線的方程為: ,………………7分
則直線的方程為: ,其中點(diǎn)的坐標(biāo)為; ………………………8分
由 得: ,則點(diǎn); ………9分
由 消y得:,則; 10分
由得:,則:,
同理由得:, …………………………………………………12分
故為常數(shù). ……………………………………………………………………14分
解法2：過(guò)作軸的垂線，過(guò)分別作的垂線，垂足分別為，…6分
由題意得: 直線的方程為: ,直線的方程為: ,………………8分
則直線的方程為: ,其中點(diǎn)的坐標(biāo)為; ………………………9分
由 得: ,則直線m為橢圓E的右準(zhǔn)線; ………10分
則: ,其中e的離心率; …………………………12分
,
故為常數(shù). ………………………………………………………………14分
5.已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,函數(shù)的定義域?yàn)?
(1)判斷在上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(2)設(shè),求函數(shù)的最小值.
解：（1）在上為增函數(shù)…………………………………..1分
∵，∴，……….…………….3分
∵ 當(dāng)時(shí)，……………………………….4分
∴ 當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，，…………………………..5分
∴，∴在上單增。………………………6分
（2）由題意及（1）可知，，，…………………7分
∴……..8分
∵，∴，……………..9分
，
∴…………………………………………………..10分
令則
∴，……………………………………………11分
∵………………………………..…….12分
∴在單增，……………………………………..……………..13分
∴當(dāng)時(shí)，。………………………………………………..14分
6.已知函數(shù),不等式對(duì)恒成立,數(shù)列滿足:, , 數(shù)列滿足:;
(1)求的值;
(2)設(shè)數(shù)列的前和為,前的積為,求的值.
解：（1）方程有兩實(shí)根或…………………………..1分
由題意知:當(dāng)時(shí),，
又∵ ∴…………………………………………….3分
∴是的一個(gè)零點(diǎn)，同理，也是的一個(gè)零點(diǎn)，…………………….4分
∴，即，，
顯然，對(duì)恒成立。
∴，…………………………………………………………………….6分
（2）∵，，
∴，……………………………..7分
∴，，，
∴，………………………………………………………..…..9分
……………...10分
又∵…………….12分
∴
………….13分
∴，∴為定值。………………………..14分
7．已知函數(shù)：．
（1）證明：f(x)+2+f(2a－x)=0對(duì)定義域內(nèi)的所有x都成立；
（2）當(dāng)f(x)的定義域?yàn)閇a+,a+1]時(shí)，求證：f(x)的值域?yàn)閇－3，－2]；
（3）設(shè)函數(shù)g(x)=x2+|(x－a)f(x)| ,求g(x) 的最小值 ．
解（1）證明：
．
∴結(jié)論成立 ………………………………………………………………………………4’
（2）證明：
當(dāng)，，
，，
∴．
即．………………………………………………………………8’
（3）
①當(dāng)．
如果 即時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴ ．
如果．
當(dāng)時(shí)，最小值不存在．……………………………………………………10’
②當(dāng) ，
如果．
如果．
當(dāng)．
．……………………………………………12’
綜合得：當(dāng)時(shí)， g（x）最小值是；當(dāng)時(shí)， g（x）最小值是 ；當(dāng)時(shí)， g（x）最小值為；當(dāng)時(shí)， g（x）最小值不存在．
………………………………………………14’
每周七題（10）
1一臺(tái)儀器每啟動(dòng)一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)10位的二進(jìn)制數(shù)，其中A的各位數(shù)字中，，出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，例如：，其中，，
記。當(dāng)啟動(dòng)儀器一次時(shí)，
（1）求的概率；（2）求，且有3個(gè)1連排在一起其余無(wú)任2個(gè)1連排在一起的概率。
2. 我國(guó)自造的一艘郵輪自上海駛往法國(guó)的馬賽港，沿途有n個(gè)港口（包括起點(diǎn)上海和終點(diǎn)馬賽港），游輪上有一間郵政倉(cāng)，每停靠一港口便要卸下前面各港口發(fā)往該港的郵袋各一個(gè)，同時(shí)又要裝上該港發(fā)往后面各港的郵袋各一個(gè)，試求：
（Ⅰ）游輪從第k個(gè)港口出發(fā)時(shí)，郵政倉(cāng)內(nèi)共有郵袋數(shù)是多少個(gè)？
（Ⅱ）第幾個(gè)港口的郵袋數(shù)最多？最多是多少？
3. 數(shù)列中，，前10項(xiàng)和為185，且滿足 （n∈N）
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若從數(shù)列中依次取出第2項(xiàng)、第4項(xiàng)、…、第項(xiàng)、…，按原來(lái)的順序排成一個(gè)新的數(shù)列，求此數(shù)列的前n項(xiàng)和，并求的值；
（Ⅲ）設(shè) ， ，是否存在最大的整數(shù)m，使得任意n (n∈N)均有總成立，若成立，求出m值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
4．拋物線有光學(xué)性質(zhì)，即由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出，反之亦然。如圖所示，今有拋物線，一光源在點(diǎn)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點(diǎn)P，反射后，又射向拋物線上的點(diǎn)Q，再反射后又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線上的點(diǎn)N，再反射后又射回點(diǎn)M。（1）設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，證明：。
（2）求拋物線方程。
5. 已知：正三棱柱A1B1C1—ABC中，AA1=AB=a,D為CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1B的中點(diǎn)，A1D與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，
(Ⅰ)求證：DF∥平面ABC；
(Ⅱ)求證：AF⊥BD；
(Ⅲ)求平面A1BD與平面ABC所成的較小二面角的大小.
6.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)F1又是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(－1，2)、B(3，2)在雙曲線上.
(1)求點(diǎn)F2的軌跡方程；
(2)是否存在直線l:y=x+m與點(diǎn)F2的軌跡有兩個(gè)公共點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，說(shuō)明理由.
7.如圖，在組合體中，是一個(gè)長(zhǎng)方體，是一個(gè)四棱錐．，，點(diǎn)且．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求與平面所成的角的正切值；
（Ⅲ）若，當(dāng)為何值時(shí)，．
每周七題10參考答案
1.答:（1）；
（2）（注：分三類1110---；110---；10---）
2. 設(shè)游輪從各港口出發(fā)時(shí)郵政倉(cāng)內(nèi)的郵袋數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列
（Ⅰ）由題意得：
　　　　　 2分
在第k個(gè)港口出發(fā)時(shí)，前面放上的郵袋共：個(gè)　　 4分
而從第二個(gè)港口起，每個(gè)港口放下的郵袋共：1+2+3+…+（k－1）個(gè)　　　　　　　6分
故

即游輪從第k個(gè)港口出發(fā)時(shí)，郵政倉(cāng)內(nèi)共有郵袋數(shù)個(gè)　 8分
（Ⅱ） 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，時(shí)，最大值為 10分
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，時(shí)，最大值為. 12分
所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第個(gè)港口的郵袋數(shù)最多，最多是個(gè)；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第個(gè)港口的郵袋數(shù)最多，最多是個(gè) 14分
3. 解：（Ⅰ）是等差數(shù)列，
,

（Ⅱ）設(shè)新數(shù)列為，則
∴
（Ⅲ），遞增，，∴
∴
4．解（1）由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知光線PQ必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)
設(shè)，代入拋物線方程得：， （6分）
（2）由題意知，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有：
，由此得，又P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線
，即．拋物線方程為．（14分
5.
.(Ⅰ)證明：取AB中點(diǎn)E，連EF、CE，∵F為AB中點(diǎn)，
∴EF∥AA1∥CC1，且EF=AA1=CC1. ∵D為CC1中點(diǎn)，∴CD=CC1.
又AA1∥CC1,∴EF∥CD且EF=CD，∴四邊形EFDC為平行四邊形，∴DF∥CE.
∵DF面ABC，∴DF∥面ABC.
(Ⅱ)證明：∵A1A=AB，F(xiàn)為A1B中點(diǎn)，∴AF⊥A1B. ,∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥CE.
又DF∥CE，∴DF⊥AA1. ∵A1ACC1，B1BCC1為正方形，D為CC1中點(diǎn),
∴A1D=BD，∴DF⊥A1B. ∴DF⊥面AA1B，∴DF⊥AF.
∴AF⊥面A1BD，∴AF⊥BD.
(Ⅲ)解：∵CD∥AA1，∴CD=AA1，D為A1M中點(diǎn)，又F為A1B中點(diǎn)，
∴DF∥BM.由(Ⅱ)知DF⊥面AA1B，∴BM⊥面AA1B，∴BM⊥A1B，BM⊥AB.
∴∠A1BA為平面A1BM與面ABC所成二面角的平面角.
即∠A1BA為平面A1BD與平面ABC所成的二面角的平面角.
∵A1ABB1為正方形，
∴∠A1BA=45°即為所求二面角大小.
6.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)F1又是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(－1，2)、B(3，2)在雙曲線上.
(1)求點(diǎn)F2的軌跡方程；
(2)是否存在直線l:y=x+m與點(diǎn)F2的軌跡有兩個(gè)公共點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，說(shuō)明理由.
解：(1)∵F1(1，0)，∴由題意,得||F1A|－|F2A||=||F1B|－|F2B||. (*)
∵A(－1，2)，B(3，2)，
∴|F1A|=2，|F1B|=2，設(shè)點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(x,y),
①當(dāng)(*)取|F1A|－|F2A|=|F1B|－|F2B|時(shí)，則有|F2A|=|F2B|，∴x=1.
②當(dāng)(*)取|F1A|－|F2A|=|F2B|－|F1B|時(shí)，則有|F2A|+|F2B|=4＞|AB|=4.
∴F2的軌跡表示橢圓=1.
∵F1,F2不重合，∴除去點(diǎn)(1，0).
∵A、B兩點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離不等，∴除去點(diǎn)(1,4).
③綜上，F(xiàn)2的軌跡方程為x=1(y≠0,y≠4)和=1(y≠0,y≠4). 8分
(2)F2的軌跡如圖所示，當(dāng)直線l與橢圓相切時(shí)符合題意，由
消y，得3x2+(4m－10)x+2m2－8m+1=0,由Δ=0，得m=1±2. 14分
7.(Ⅰ)證明：因?yàn)椋詾榈妊苯侨切危裕? ……1分
因?yàn)槭且粋€(gè)長(zhǎng)方體，所以，而，所以，所以． ……3分
因?yàn)榇怪庇谄矫鎯?nèi)的兩條相交直線和，由線面垂直的判定定理，可得．…4分
(Ⅱ)解：過(guò)點(diǎn)在平面作于，連接．……5分
因?yàn)椋裕跃褪桥c平面所成的角．……6分
因?yàn)椋裕? ……7分
所以與平面所成的角的正切值為． ……8分
(Ⅲ)解：當(dāng)時(shí)，． ……9分
當(dāng)時(shí)，四邊形是一個(gè)正方形，所以，而，所以，所以． ……10分
而，與在同一個(gè)平面內(nèi)，所以． ……11分
而，所以，所以． ……12分
方法二、方法二：(Ⅰ)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)，則有，，，． ……2分
于是，，，所以，．……3分
所以垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和，由線面垂直的判定定理，可得． ……4分
(Ⅱ)，所以，而平面的一個(gè)法向量為．…5分
所以． ……6分
所以與平面所成的角的正弦值為． ……7分
所以與平面所成的角的正切值為． ……8分
(Ⅲ)，所以，．設(shè)平面的法向量為，則有，令，可得平面的一個(gè)法向量為． ……10分
若要使得，則要，即，解得．…11分
所以當(dāng)時(shí)，． ……12分
每周七題（11）
1.直角坐標(biāo)平面內(nèi)到點(diǎn)和直線的距離相等的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C，過(guò)原點(diǎn)作斜率為1的直線交C于一點(diǎn)（），過(guò)作斜率為的直線交C于另一點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線交C于另一點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線交C于另一點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）試求出的值；
（3）依照上述作直線的方式可以一直作下去，試寫出直線的作法，你能否發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)列的坐標(biāo)或中點(diǎn)坐標(biāo)(可以僅僅是橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo))的變化規(guī)律，請(qǐng)你進(jìn)一步提出某些一般性結(jié)論，并給予研究論證．
2.已知（），設(shè)，，…，且。
（Ⅰ）求的表達(dá)式；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求證：。
3．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，
∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且
（Ⅰ）求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD？
4. （本小題滿分12分）
已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，前n項(xiàng)的和Sn滿足關(guān)系式（）
（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的公比為f(t)，作數(shù)列{bn}，使，（n＝2，3，4，……），求bn；
（3）求的和。
5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知（－3，0）、（3，0）、P（x，y）、M（，0），若實(shí)數(shù)使向量、、滿足
求P點(diǎn)的軌跡方程，并判斷P點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線；(2).當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與（1）中的曲線相交的另一點(diǎn)為B，能否在直線x＝－9上找一點(diǎn)C，使為正三角形。
6.有A、B兩個(gè)盒子，A中有6張卡片，其中1張寫0,2張寫1,3張寫2，B中有7張卡片，其中4張寫0,1張寫1,2張寫2，從A中抽取1張，B中取2張，求：
（1）3張卡片數(shù)字之積的分布列;　
(2) 3張卡片數(shù)字之積的期望。
7.拋物線的準(zhǔn)線的方程為，該拋物線上的每個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離都與到定點(diǎn)N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時(shí)與直線 相切的圓，
（Ⅰ）求定點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（Ⅱ）是否存在一條直線同時(shí)滿足下列條件：
① 分別與直線交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為；
② 被圓N截得的弦長(zhǎng)為．
每周七題十參考解答
1.解：（1） （4分）
（2）各點(diǎn)的橫坐標(biāo)為： (8分)
（3）過(guò)作斜率為的直線交拋物線于另一點(diǎn)， (9分)
則一般性的結(jié)論可以是：
點(diǎn) 的相鄰橫坐標(biāo)之和構(gòu)成以為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列（或：點(diǎn)無(wú)限趨向于某一定點(diǎn)，且其橫（縱）坐標(biāo)之差成等比數(shù)列；或：無(wú)限趨向于某一定點(diǎn)，且其橫（縱）坐標(biāo)之差成等比數(shù)列，等）(12分)
證明：設(shè)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)由
得或；
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則
于是兩式相減得：
=
故點(diǎn)無(wú)限逼近于點(diǎn) 同理無(wú)限逼近于點(diǎn)
2.【略解】（Ⅰ）（）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）不妨設(shè)，則

。
3.解:（1）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC. 3分
又∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,
∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC. 6分
（2）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC. 8分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴ 10分
由AB2=AE·AC 得
故當(dāng)時(shí)，平面BEF⊥平面ACD. 12分
4.解：（1），得
同理
又
為以1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列
（2）
是以1為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列 ……9′
（3）由知和是以1和為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列
……10′
……12′
5.解：（1）由已知可得………1分
即P點(diǎn)的軌跡方程是………3分
當(dāng)且,即時(shí)，有P點(diǎn)的軌跡是橢圓。
當(dāng)時(shí)，方程為的軌跡是圓。
，即時(shí)，方程為 P點(diǎn)的軌跡是雙曲線。
，即時(shí)，方程為y＝0, P點(diǎn)的軌跡是直線。………7分
（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x＋3………8分
當(dāng)時(shí)，曲線方程為
由得………10分
從而………12分
設(shè)C（－9，y），
因?yàn)槭钦切危矗瑹o(wú)解，
所以在直線x＝3上找不到點(diǎn)C，使是是正三角形………14分
6.解:用表示所取卡片的數(shù)字之積，則取值為0，2，4，8 （2分）
P（=0）=
P（=2）=
P（=4）=
P（=8）= （6分）
所以的分布列為
0
2
4
8
P
（10分）
∴E= （11分）
答：3張卡片數(shù)字之積的期望值為 （12分）
7.解：（1）因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線的方程為
所以，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)N是拋物線的焦點(diǎn)， -----------2分
所以定點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ----------------------------3分
（2）假設(shè)存在直線滿足兩個(gè)條件，顯然斜率存在， -----------4分
設(shè)的方程為， ------------------------5分
以N為圓心，同時(shí)與直線 相切的圓N的半徑為， ----6分
方法1：因?yàn)楸粓AN截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線的距離等于1， -------7分
即，解得， -------------------------------8分
當(dāng)時(shí)，顯然不合AB中點(diǎn)為的條件，矛盾！ --------------9分
當(dāng)時(shí)，的方程為 ----------------------------10分
由，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為， ------------------11分
由，解得點(diǎn)B坐標(biāo)為， ------------------12分
顯然AB中點(diǎn)不是，矛盾！ ----------------------------------13分
所以不存在滿足條件的直線． ------------------------------------14分
方法2：由，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為， ------7分
由，解得點(diǎn)B坐標(biāo)為， ------------8分
因?yàn)锳B中點(diǎn)為，所以，解得， ---------10分
所以的方程為，
圓心N到直線的距離， -------------------------------11分
因?yàn)楸粓AN截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線的距離等于1，矛盾！ ----13分
所以不存在滿足條件的直線． -------------------------------------14分
方法3：假設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)锳B中點(diǎn)為，所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為， -------------8分
又點(diǎn)B 在直線上，所以， ----------------------------9分
所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為4，
所以的方程為， -----------------------------10分
圓心N到直線的距離， -----------------------------11分
因?yàn)楸粓AN截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線的距離等于1，矛盾！ ---------13分
所以不存在滿足條件的直線． ----------------------------------------14分
每周七題（12）
1．對(duì)于實(shí)數(shù)，規(guī)定：表示不超過(guò)的最大整數(shù). 則方程=的解集（以弧度為單位）是 _________________
2．（本小題滿分12分）
在三棱柱ABC—A1B1C1中，四邊形A1ABB1是菱形，四邊形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，
CB=3，AB=4，∠A1AB=60°.
（Ⅰ）求證：平面CA1B⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）求直線A1C與平面BCC1B1所成角的正切值；
（Ⅲ）求點(diǎn)C1到平面A1CB的距離.
3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，△ABC的外接圓半徑，且滿足（Ⅰ）求角B和邊b的大小；（Ⅱ）求△ABC的面積的最大值.
4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足關(guān)系式(2＋t)Sn＋1－tSn＝2t＋4(t≠－2，t≠0，n＝1，2，3，…) (1)當(dāng)a1為何值時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列. (2)在(1)的條件下，設(shè)數(shù)列{an}的公比為f(t)，作數(shù)列{bn}使b1＝1，bn＝f(bn－1)(n＝2，3，4，…)，求bn；(3)在(2)條件下，如果對(duì)一切n∈N＋，不等式bn＋bn＋1＜恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．
5．已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，且Sn＋1＝4an＋2，a1＝1(n＝1，2，…)．
(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn；(2)設(shè)Cn＝，求證數(shù)列{Cn}是等差數(shù)列；
(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和Sn．
6．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，總有f(x＋y)＝f(x)f(y)，且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f(x)＜1．(1)求f(0)的值；(2)證明：當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞1；(3)證明：f(x)在R上單調(diào)遞減；(4)若M＝{y|f(y)·f(1－a)≥f(1)}，N＝{y|f(ax2＋x＋1－y)＝1，x∈R}，且M∩N≠φ，求a的取值范圍．
7.已知點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（1，1）和動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足的等差中項(xiàng).
（1）求P點(diǎn)的軌跡方程；
（2）設(shè)P點(diǎn)的軌跡為曲線C1按向量平移后得到曲線C2，曲線C2上不同的兩點(diǎn)M，N的連線交y軸于點(diǎn)Q（0，b），如果∠MON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為銳角，求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
（3）在（2）的條件下，如果b=2時(shí)，曲線C2在點(diǎn)M和N處的切線的交點(diǎn)為R，求證：R在一條定直線上.
每周七題12參考答案
1．
2．解：（Ⅰ）∵四邊形BCB1C1是矩形， ∴BC⊥BB1，
又∵BC⊥AB， ∴BC⊥平面A1ABB1，
∴平面CA1B⊥平面AA1BB1， …………4分
（Ⅱ）過(guò)A1作A1D⊥BB1于D，連接DC，BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D，∴A1D⊥平面C1B1BC，∵∠A1CD為直線A1C與平面C1B1BC所成的角，
∴ …………8分
（Ⅲ）由棱柱定義知B1C1//BC，∴B1C1//平面A1BC，
∴C1到平面A1BC的距離即為B1到平面A1BC的距離，∵四邊形A1ABB1是菱形，連AB1交A1B于O，∴B1O⊥A1B， ∵平面CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC，
∴B1O即為C1到平面A1BC的距離. 又已知AB=4，∠A1AB=60°，∴在菱形A1ABB1中，B1O=，∴C1到平面A1BC的距離為.
3.解：（Ⅰ）由已知，
整理得， 即
∵A+B+C=180°，∴，
∴sinA=2sinAcosB，又∵，
∵ ∴B=60°， b=3
（Ⅱ）由余弦定理，得 ……8分
∴，即ac≤9，（當(dāng)a=c=3時(shí)，取“=”），
∴，△ABC的面積的最大值為
4．解．(1)(2＋t)Sn＋1－tSn＝2t＋4　　　　①n≥2時(shí)，(2＋t)Sn－tSn－1＝2t＋4　　　②
兩式相減：(2＋t)(Sn＋1－Sn)－t(Sn－Sn－1)＝0，
(2＋t)an＋1－tan＝0，＝．即n≥2時(shí)，為常數(shù)．
當(dāng)n＝1時(shí)，(2＋t)S2－tS1＝2t＋4，(2＋t)(a2＋a1)－ta1＝2t＋4，解得a2＝．
要使{an}是等比數(shù)列，必須＝．∴＝，解得a1＝2．
(2)由(1)得，f(t)＝，因此有bn＝，即＝＋1，整理得＋1＝2(＋1)．
則數(shù)列{＋1}是首項(xiàng)為＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列，＋1＝2·2n－1＝2n，
bn＝．
(3)把bn＝，bn＋1＝代入得：＋＜，
即c＞＋，要使原不等式恒成立，c必須比上式右邊的最大值大．
∴＋＝＋＝＋＋，單調(diào)遞減．
∴＋的值隨n的增大而減小，則當(dāng)n＝1時(shí)，＋取得最大值4．
因此，實(shí)數(shù)c的取值范圍是c＞4．
4．解：(1)∵Sn＋1＝4an＋2，Sn＋2＝4an＋1＋2相減得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)
bn＋1＝2bn，又b1＝a2－2a1＝3，∴bn＝3×2n－1．
(2)cn＋1－cn＝－＝＝＝，∴{cn}是等差數(shù)列．
(3)c1＝，∴cn＝(3n－1) ∴an＝2n·cn＝2n·(3n－1)＝(3n－1)·2n－2，
S1＝a1＝1
n≥2時(shí)，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)·2n－1＋2滿足S1，故Sn＝(3n－4)·2n－1＋2．
6．解：(1)顯然，f(x)不恒等于0，令x＝1，y＝0時(shí)，得f(0)＝1；
(2)令y＝－x≥0則1＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)，即f(－x)＝．
由題0＜f(－x)＜1　 ∴f(x)＞1；
(3)設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0，由題得(2)知f(x)＞0．
∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)·f(x1)－f(x1)
＝f(x1)[f(x2－x1)－1]＜0　∴f(x2)＜f(x1)．
∴f(x)在R上單調(diào)遞減；
(4)由已知及(3)得：M＝{y|y≤a}，N＝{y|y＝ax2＋x＋1，x∈R}
顯然，當(dāng)a≤0時(shí)，M∩N≠φ
當(dāng)a＞0時(shí)，N＝{y|y＝a(x＋)2＋1－，x∈R}
要使M∩N≠φ，必須1－≤a．
即4a2－4a＋1≥0a∈R
故所求的a的取值范圍是a∈R．
7．（1）由題意可得則
又的等差中項(xiàng)
整理得點(diǎn)的軌跡方程為
（2）由（1）知
又平移公式為，代入曲線C1的方程得到曲線C2的方程為：
即 ,曲線C2的方程為. 如圖由題意可設(shè)M，N所在的直線方程為，由令
點(diǎn)M，N在拋物線上
又為銳角
………10分
（3）當(dāng)b=2時(shí)，由（2）可得求導(dǎo)可得
拋物線C2在點(diǎn)處的切線的斜率分別為，
在點(diǎn)M、N處的切線方程分別為
由解得交點(diǎn)R的坐標(biāo)
滿足點(diǎn)在定直線上
每日一題七（13）
1.已知公比為的等比數(shù)列與數(shù)列滿足
判斷是何種數(shù)列，并給出證明；
若
2.;已知函數(shù)存在極值.
（Ⅰ）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的極小值為，證明：.
3. 命題甲: R, 關(guān)于x的方程有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)解; 命題乙: R, 關(guān)于x的不等式的解集為空集; 當(dāng)甲、乙中有且僅有一個(gè)為真命題時(shí), 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
4.已知△ABC中，，
求：角A、B、C的大小。
5.甲、乙、丙分別獨(dú)立解一道數(shù)學(xué)題，已知甲做對(duì)這道題的概率是甲、丙兩人都做錯(cuò)的概率是乙、丙兩人都做對(duì)的概率是
（Ⅰ）分別求乙、丙兩人各自做對(duì)這道題的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人恰有一人做對(duì)的概率。
6. 已知函數(shù)。
（Ⅰ）若上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若是的極值點(diǎn)，求在上的最大值。
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)
的圖像恰有三個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。
7．已知定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒有，且當(dāng)時(shí)，
（1）求證：當(dāng)時(shí)，有；
（2）試判斷在且R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）若實(shí)數(shù)x、y滿足：，且，求z=x+y
的取值范圍.
每周七題13答案
1. 解（1）
所以是以為公差的等差數(shù)列. ……………………………………6分
（2） 所以由等差數(shù)列性質(zhì)得
故 ……………………………………14分
2. 解：（Ⅰ）
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域區(qū)間和上分別為增函數(shù)，不存在極值（或：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)不存在極值），與題設(shè)不符；故 .
法1：當(dāng)時(shí)，
法2：令 解得或
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為
要函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，有，解這個(gè)不等式得，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，. 當(dāng)時(shí)，
，函數(shù)的減區(qū)間為，
故函數(shù)只在區(qū)間上有一個(gè)極小值.
當(dāng)時(shí)，
（或）
法1：
又 ，
法2：
另一方面，
法3：令，則
3. 解：當(dāng)甲真時(shí)，設(shè) ，即兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交
點(diǎn). 則當(dāng)乙真時(shí)，時(shí) 滿足 或 也滿足
則 ………12′
∴當(dāng)甲乙有但僅有一個(gè)為真命題時(shí)，即或
∴ ………14′
4.解：
得
∴ ∵ ∴ 又0則, 即
由得
即亦即
∴得, 從而 ………10′
則所求的角, , . ………12′
5. 答:（1）, (2)
6. 答:（1）；（2）a＝4，最大值為；（3）
7．解:（1）證：
設(shè)
…………………………………（4分）
（2）解：設(shè)

在R上單調(diào)遞減.……………………………………………………（8分）

（3）

①………（10分）
又
②………（11分）
如圖，同時(shí)滿足①、②的點(diǎn)（的集合如陰影所示，
∴Z∈[4，6]………………………………（14分）
每周七題(2)
1． 已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e. 直線
l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)＝λ.
（Ⅰ）證明：λ＝1－e2；
（Ⅱ）若，△PF1F2的周長(zhǎng)為6；寫出橢圓C的方程；（理科無(wú)此問(wèn)）
（Ⅲ）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.
（Ⅰ）證法一：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是.
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）. 由
即
證法二：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是設(shè)M的坐標(biāo)是
所以 因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以
即
解得
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，所以 由△MF1F2的周長(zhǎng)為6，得
所以 橢圓方程為
（Ⅲ）解法一：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即
設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由
得 所以
即當(dāng)△PF1F2為等腰三角形.
解法二：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，
則
由|PF1|=|F1F2|得
兩邊同時(shí)除以4a2，化簡(jiǎn)得 從而
于是. 即當(dāng)時(shí)，△PF1F2為等腰三角形.
2．半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為邊向外作正三角形ABC.問(wèn)B在什么位置時(shí)，四邊形OACB的面積最大，并求出面積的最大值.
18．解：設(shè)∠AOB=θ，由余弦定理得AB2=OB2+OA2－2·OB·OAcosθ=5－4cosθ，
∴四邊形OACB的面積為：
當(dāng)時(shí)，S有最大值.
3．已知函數(shù)在定義域上為減函數(shù)，且能使
對(duì)于任意的x∈R成立．求m的取值范圍.
解：在定義域上為減函數(shù)，
4． 若中，a，b，c分別是的對(duì)邊，且，
求；
若，的面積為，求b+c的值。
解：（1）由得：，
可得：，，。
（2）
，。
由①得：對(duì)于任意的，上式總成立，必須即可
由②得：
∴對(duì)于任意的x∈R，要②總成立，只須
上式要成立，必須：
綜上所述，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的x，原命題總成立
5． 某人拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正反的概率都是，構(gòu)造數(shù)列，使得，記。
求的概率；
若前兩次均出現(xiàn)正面，求的概率。
解：（1），需4次中有3次正面1次反面，設(shè)其概率為
則
（2）6次中前兩次均出現(xiàn)正面，要使，則后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面。設(shè)其概率為。

6．曲線有極小值，當(dāng)處有極大值，且在x=1處切線的斜率為.
（1）求；
（2）曲線上是否存在一點(diǎn)P，使得y=的圖象關(guān)于點(diǎn)P中心對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:f′(x)=3ax2+2bx+c ∵當(dāng)x=1±時(shí) f(x)有極小值及極大值
∴f′(1±)=0 即1±為3ax2+2bx+c=0兩根
∴b=－3a , c=－6a
又∵f(x)在x=1處切線的斜率為
（2）假設(shè)存在P(x0, y0)，使得f(x)的圖象關(guān)于P中心對(duì)稱，
則f(x0+x)+f(x0－x)=2y0
即－(x0+x)3+(x0+x)2+x0+x－(x0－x)3+(x0－x)2+x0－x=2y0
化解得
∵對(duì)于任意x∈R等式都成立
∴x0=1, y0=.易知P（1，）在曲線y=f(x)上.
∴曲線上存在P（1，）使得f(x)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱
7．已知函數(shù) .
（1）求及的值；
（2）是否存在自然數(shù)，使對(duì)一切都成立，若存在，求出自然數(shù)的最小值；不存在，說(shuō)明理由；
（3）利用（2）的結(jié)論來(lái)比較和 的大小．
解（1）；．
（2）假設(shè)存在自然數(shù),使對(duì)一切都成立.
由,得 ，
當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)n=1時(shí)，顯然,
當(dāng)時(shí)，= 成立，則 對(duì)一切都成立．
所以存在最小自然數(shù)。
（3）． 由（），所以，，……，，
相乘得 ，∴ 成立．
每周七題（3）
1. 袋中裝有黑球和白球共7個(gè),從中任取2個(gè)球都是白球的概率為現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)既終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用表示取球終止所需要的取球次數(shù).
（I）求袋中原有的白球的個(gè)數(shù)；（II）求取球兩次終止的概率；（III）求甲取到白球的概率.
解:(I)設(shè)袋中原有個(gè)白球,由題意知
可得或(舍去)，即袋中原有3個(gè)白球。
(II)記“取球兩次終止” 的事件為，則。
(III) 記“甲取到白球”的事件為，“第次取出的球是白球”的事件為。
因?yàn)榧紫热。约字挥锌赡茉诘?次，第3次取球和第5次取球，∴。因?yàn)槭录蓛苫コ猓?br/>∴
2.過(guò)定點(diǎn)M（1，0）作曲線的切線切點(diǎn)為Q1，設(shè)Q1點(diǎn)在x軸上的投影是點(diǎn)R1，又過(guò)點(diǎn)P1作曲線c的切線切點(diǎn)為Q2，設(shè)Q2在x軸上的投影是R2…，依此下去，得到一系列點(diǎn)Q1，Q2，…，Qn，…，設(shè)點(diǎn)Qn的橫坐標(biāo)為
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè),試比較與的大小(寫出推導(dǎo)過(guò)程)
(3) 求證: ；
證明（1），若切點(diǎn)是Qn(an,anp)，則切線方程是
當(dāng)n=1時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)P（1，0）
即，得；………………………2分
當(dāng)n>1時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)
即
得………………………………………………………4分
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，,
…………………………………………………………………………5分
(2)∵
則兩式相減，………………7分
得
，…………8分
………………………………（10分）
(3)
……………12分
………………………………（14分）
法二.用數(shù)學(xué)歸納法證明酌情處理
3. 對(duì)于函數(shù) ，若存在 ，使 成立，
則稱為的“滯點(diǎn)”。已知函數(shù)f ( x ) = .
（I）試問(wèn)有無(wú)“滯點(diǎn)”？若有求之，否則說(shuō)明理由；
（II）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，且滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（III）已知,求的前項(xiàng)和。
解:解：（I）令
解得
即f(x)存在兩個(gè)滯點(diǎn)0和2
（II）由題得，①
故②
由②-①得，
，即是等差數(shù)列，且
當(dāng)n=1時(shí)，由

(III)③
④
由④-③得
4.圓錐曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），相應(yīng)的準(zhǔn)線是直線，以過(guò)焦點(diǎn)F并與軸垂直的弦為直徑的圓截準(zhǔn)線所得弦長(zhǎng)為2。
（Ⅰ）求圓錐曲線C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)F的直線的傾斜角在何范圍內(nèi)取值時(shí)，圓錐曲線C上有且只有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？
解：(Ⅰ) 設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F并與軸垂直的弦為直徑的圓為圓C/，圓M與曲線C在第一象限的交點(diǎn)為A，圓C/與直線
正方向的交點(diǎn)為B。
∵圓C/截直線的弦長(zhǎng)為2
∴，∴ …………(2分)
由圓錐曲線的第二定義，對(duì)于曲線C上的任意點(diǎn)，有
… (4分) 整理得圓錐曲線C的方程為 …… (6分)
（Ⅱ）當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，，此時(shí)雙曲線C上無(wú)任何兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱；
當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，，此時(shí)雙曲線C關(guān)于直線對(duì)稱，除頂點(diǎn)外，對(duì)雙曲線上任一點(diǎn)都存在雙曲線上另一點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，不合要求。……(8分)
當(dāng)時(shí)，設(shè)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)是雙曲線C上關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，PQ中點(diǎn)為T，直線PQ的方程為，…………(9分)
由
由
由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得T點(diǎn)坐標(biāo)
又T點(diǎn)在直線上，∴ ，整理得：…………(12分)
（1）（2）聯(lián)立得：。
∴直線的傾斜角的范圍是。…………(14分)
5.過(guò)定點(diǎn)M（1，0）作曲線的切線切點(diǎn)為Q1，設(shè)Q1點(diǎn)在x軸上的投影是點(diǎn)R1，又過(guò)點(diǎn)P1作曲線c的切線切點(diǎn)為Q2，設(shè)Q2在x軸上的投影是R2…，依此下去，得到一系列點(diǎn)Q1，Q2，…，Qn，…，設(shè)點(diǎn)Qn的橫坐標(biāo)為
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè),試比較與的大小(寫出推導(dǎo)過(guò)程)
(3) 求證: ；
證明（1），若切點(diǎn)是Qn(an,anp)，則切線方程是
當(dāng)n=1時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)P（1，0）
即，得；………………………2分
當(dāng)n>1時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)
即
得………………………………………………………4分
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，,
…………………………………………………………………………5分
(2)∵
則兩式相減，………………7分
得
，…………8分
………………………………（10分）
(3)
……………12分
………………………………（14分）
法二.用數(shù)學(xué)歸納法證明酌情處理
6、對(duì)于函數(shù) ，若存在 ，使 成立，
則稱為的“滯點(diǎn)”。已知函數(shù)f ( x ) = .
（I）試問(wèn)有無(wú)“滯點(diǎn)”？若有求之，否則說(shuō)明理由；
（II）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，且滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（III）已知,求的前項(xiàng)和。
解:（本小題滿分14分）解：（I）令
解得
即f(x)存在兩個(gè)滯點(diǎn)0和2
（II）由題得，①
故②
由②-①得，
，即是等差數(shù)列，且
當(dāng)n=1時(shí)，由

(III)③
④
由④-③得
7.圓錐曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），相應(yīng)的準(zhǔn)線是直線，以過(guò)焦點(diǎn)F并與軸垂直的弦為直徑的圓截準(zhǔn)線所得弦長(zhǎng)為2。
（Ⅰ）求圓錐曲線C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)F的直線的傾斜角在何范圍內(nèi)取值時(shí)，圓錐曲線C上有且只有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？
解：(Ⅰ) 設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F并與軸垂直的弦為直徑的圓為圓C/，圓M與曲線C在第一象限的交點(diǎn)為A，圓C/與直線
正方向的交點(diǎn)為B。
∵圓C/截直線的弦長(zhǎng)為2
∴，∴ …………(2分)
由圓錐曲線的第二定義，對(duì)于曲線C上的任意點(diǎn)，有
… (4分) 整理得圓錐曲線C的方程為 …… (6分)
（Ⅱ）當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，，此時(shí)雙曲線C上無(wú)任何兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱；
當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，，此時(shí)雙曲線C關(guān)于直線對(duì)稱，除頂點(diǎn)外，對(duì)雙曲線上任一點(diǎn)都存在雙曲線上另一點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，不合要求。……(8分)
當(dāng)時(shí)，設(shè)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)是雙曲線C上關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，PQ中點(diǎn)為T，直線PQ的方程為，…………(9分)
由
由
由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得T點(diǎn)坐標(biāo)
又T點(diǎn)在直線上，∴ ，整理得：…………(12分)
（1）（2）聯(lián)立得：。
∴直線的傾斜角的范圍是。…………(14分)

每周七題（4）
1．已知函數(shù)，數(shù)列{}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{}是公比為q的等比數(shù)列（q≠1，），若，，．
（1）求數(shù)列{}和{}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，對(duì)都有…　　求Sn
解析：（1）數(shù)列{}為等比數(shù)列，　∴　．為等比數(shù)列，
　　又∵　，
　　∴　，解得d＝2，．
　　∴　．又∵　為等比數(shù)列，∴　．
　　而　，∴　
　　∵　，，∴　，．∴　．
　　（2）由…　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
　　　 …　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②
　　①-②得．∴　．
　　對(duì)于，，，知其為等比數(shù)列．
　　∴　
2.如圖所示，曲線段OMB ： 在點(diǎn)（即點(diǎn)M）處的切線PQ交x軸于點(diǎn)P，交線段AB于點(diǎn)Q，且BA軸于A，
(I)試用t表示切線PQ的方程；
(II)求QAP的面積g（t）的最大值. 同時(shí)指出g（t）
在（m ，n）上單調(diào)遞減時(shí)的最小值。
解：（I）K= = 2 t,切線方程為 y–t 2 = 2t(x-t),
即y = 2 t x - t2 ( 0 < t < 6 ) … 3分
(II)在切線方程中
令y = 0得 x =
… 5分

函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減
… 10分
依題知的最大值是6，
故 的最小值是
3. 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－1，0]∪(0，1)，且f(－x)＝－f(x)恒成立，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，．
(1)求當(dāng)x∈[－1，0]時(shí)，f(x)的解析式；
(2)若f(x)在[－1，0]上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若f(x)在區(qū)間[－1，0]上的最小值為12，求a的值．
解析：(1)x∈[－1，0)，則－x∈(0，1]，從而f(－x)＝2a(－x)－＝－f(x)，
∴f(x)＝2ax＋
　(2)f(x)在[－1，0)上為增函數(shù)，∴f ′(x)＝2a－ ≥0在x∈[－1，0)上恒成立，
即a≥ 在[－1，0)上恒成立。又－1≤x<0，∴≤－1，∴a≥－1
(3)當(dāng)a≥－1時(shí)，f(x)在[－1，0]上單調(diào)遞增，∴f(x)min= f(－1)=－2a+1=12，
∴a＝－，舍去
當(dāng)a<－1時(shí)，令f ′(x)＝2a－＝0得x＝
x
[－1，)
(，0)
f ′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
最小值
↗
∴f(x)min= f()=2a+=3＝12，
∴a2＝26，又a<－1，∴a＝－8
4．設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).
（Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；
（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由.
（此題不要求在答題卡上畫圖）
本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)以及推理運(yùn)算能力和綜合解決問(wèn)題的能力.
（Ⅰ）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得 ①
設(shè)是方程①的兩個(gè)不同的根，
∴ ②
且由N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，得

解得k=－1，代入②得，的取值范圍是（12，+∞）. 于是，直線AB的方程為
解法2：設(shè)則有

依題意，
∵N（1，3）是AB的中點(diǎn)， ∴
又由N（1，3）在橢圓內(nèi)，∴∴的取值范圍是（12，+∞）
直線AB的方程為y－3=－（x－1），即x+y－4=0.
（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直線CD的方程為y－3=x－1，即x－y+2=0，
代入橢圓方程，整理得
又設(shè)CD的中點(diǎn)為是方程③的兩根，
∴
于是由弦長(zhǎng)公式可得 ④
將直線AB的方程x+y－4=0，代入橢圓方程得 ⑤
同理可得 ⑥
∵當(dāng)時(shí)，
假設(shè)存在>12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.
點(diǎn)M到直線AB的距離為 ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故當(dāng)>12時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)勻在以M為圓心，為半徑的圓上.
（注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：）
A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角|AN|2=|CN|·|DN|，
即 ⑧
由⑥式知，⑧式左邊
由④和⑦知，⑧式右邊
∴⑧式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.
解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,
∵CD垂直平分AB， ∴直線CD方程為，代入橢圓方程，整理得
③
將直線AB的方程x+y－4=0，代入橢圓方程，整理得
⑤
解③和⑤式可得
不妨設(shè)
∴
計(jì)算可得，∴A在以CD為直徑的圓上.
又B為A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓.
（注：也可用勾股定理證明AC⊥AD）
5．已知向量．
（1）若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件；
（2）若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，求實(shí)數(shù)m的值．
解（1）已知向量
若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，
故知．
∴實(shí)數(shù)時(shí)，滿足的條件．………………………………………………6’
（2）若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，則，
∴，解得．………………………………………12’
6．某廠家擬在2004年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元（）（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬(wàn)件。已知2004年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
（1）將2004年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；
（2）該廠家2004年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？
解（1）由題意可知當(dāng)……3’
每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為，
∴2004年的利潤(rùn)
．…………………………6’
（2），
（萬(wàn)元）……11’
答：（略）…………………………………………………………………………………12’
7．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋?br/>試求函數(shù)（）的最小正周期和最值．
解： ……2’
當(dāng)＞0時(shí)，，
解得，從而， ，
T=，最大值為5，最小值為－5；當(dāng)m＜0時(shí)， 解得，
從而，，T=，最大值為，最小值為．
每周七題（5）
1已知f(x)＝⑴若a＝－2，試證f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞增；
⑵若a>0且f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)增減，求a的取值范圍
2．（本小題滿分12分）
某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開(kāi)車到單位B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如下圖（例如，A→C→D算作兩個(gè)路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為）。
（1）請(qǐng)你為其選擇一條由A到B的路線，便得途中發(fā)生堵車事件的概率最小；
（2）若記路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望E。
3．（本小題滿分14分）已知在直角坐標(biāo)平面上，向量=（-3，2λ），=（-3λ，2），定點(diǎn)A（3，0），其中0<λ<1。一自點(diǎn)A發(fā)出的光線以為方向向量射到y(tǒng)軸的B點(diǎn)處，并被y軸反射，其反射光線與自點(diǎn)A以為方向向量的光線相交于點(diǎn)P。
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）問(wèn)A、B、P、O四點(diǎn)能否共圓（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），并說(shuō)明理由。
4、（12分）已知函數(shù)。(Ⅰ)當(dāng)?shù)闹导暗谋磉_(dá)式（Ⅱ）設(shè)的值恒為負(fù)值？
5、（12分）某工廠擬建一座平面圖（如圖所示）為矩形且面積為200m2 的三級(jí)污水處理池，由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16m.如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元（池壁厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋）.
（1）寫出總造價(jià)y（元）與污水處理池長(zhǎng)x(m)的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域;
（2）求污水處理池的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，污水處理池的總造價(jià)最低？并求出最低總造價(jià).
6、已知橢圓與射線y＝（x交于點(diǎn)A，過(guò)A作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，它們與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C。
（1）求證：直線BC的斜率為定值，并求這個(gè)定值。
（2）求三角形ABC的面積最大值。
7.已知數(shù)列滿足且對(duì)一切有+……，
（1）求證：對(duì)一切有
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式
（3）求證：……
每周七題（五）解答
1.⑴證明：任設(shè)x1∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)⑵解：任設(shè)1f(x1)－f(x2)＝∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，
∴a≤1綜合知02．.解：（1）記路段MN發(fā)生堵車事件為MN。
因?yàn)楦髀范伟l(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只
有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P1為1－P（··）
= 1－P（）·P（）·P（）= 1－[1－P（AC）][1－P（CD）[1－P（DB）] =1－·· =
同理：路線A→C→F→B中遇到堵車的概率為P2為1－P（··）=（小于）（3分）
路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P3為1－P（··）=（小于）（4分）
顯然要使得由A到B的路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇。因此選擇路線A→C→F→B，可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小。（6分）
（2）路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)可取值為0，1，2，3。
P（=0）= P（··）=。（7分）
P（=1）= P（AC··）+P(·CF·)+P(··FB)
=··+··+··=,(8分)
P（=2）=P（AC·CF·）+P（AC··FB）+P（·CF·FB）=··+··+··=（9分）

P（=3）=P（AC·CF·）=··=（10分）
∴E= 0 × 。
答：路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為。（12分）
3．解：（1）設(shè)P(x，y)，A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C，則C(-3，0)。
依題意，B(0，2λ)，∴，，
由反射光線的性質(zhì)，C，B，P三點(diǎn)共線，∴3y - 2λ(x+3)=0， ①
∵，且∥，∴3λy + 2 (x-3)=0， ②
由①，②消去λ得P點(diǎn)軌跡方程為：，（x，y>0）。
(2) 若A、B、P、O四點(diǎn)共圓，則∠P=∠AOB=90°，
∴，∴x2 – 9 + y2=0，又，可得y=0，矛盾。
∴A、B、P、O四點(diǎn)不能共圓。
4、
答:（1）a=-4,b=-8
(2).
5、
解:①因污水處理水池的長(zhǎng)為
.
由題設(shè)條件即函數(shù)定義域?yàn)閇12.5,16]
②先研究函數(shù)上的單調(diào)性，
對(duì)于任意的
則
又
故函數(shù)y=f(x)在[12.5,16]上是減函數(shù). ∴當(dāng)x=16時(shí)，y取得最小值，此時(shí)
綜上，當(dāng)污水處理池的長(zhǎng)為16m，寬為12.5m時(shí)，總造價(jià)最低，最低為45000元.
6、
解：（！）由題意得，設(shè)的斜率為，則的斜率為－
所以 代入得，又
同理
為定值
設(shè)方程為 得
得
到的距離為
所以
當(dāng)時(shí)，即時(shí)“＝”成立，此時(shí)成立。
7.解：（1）由+…… 得+……+
相減得：·
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………4分
（2）由（1）知 得（≥2）
又時(shí)，由
為等差數(shù)列且=　　　　　　　　　………………8分
（3）　　　　　　　　　　　　…………12分
每周七題（6）
1.已知函數(shù)f（x）＝(ax＋b)圖象過(guò)點(diǎn)A（2，1）和B（5，2）．
(1)求函數(shù)f（x）的解析式；
(2)記，，是否存在正數(shù)k，使得…對(duì)一切均成立，若存在，求出k的最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2. 已知函數(shù).
(1) 求的反函數(shù)及其定義域;
(2) 數(shù)列, , 設(shè), 數(shù)列的前n項(xiàng)和為, 試比較與的大小, 并證明你的結(jié)論.
3．如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，沿某動(dòng)直線為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點(diǎn)B都落在邊AD上，記為；折痕與AB交于點(diǎn)E，點(diǎn)M滿足關(guān)系式。
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）若曲線C是由點(diǎn)M的軌跡及其關(guān)于邊AB對(duì)稱的曲線組成的，F(xiàn)是邊AB上的一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
4.如圖所示，曲線段OMB ： 在點(diǎn)（即點(diǎn)M）處的切線PQ交x軸于點(diǎn)P，交線段AB于點(diǎn)Q，且BA軸于A，
(I)試用t表示切線PQ的方程；
(II)求QAP的面積g（t）的最大值. 同時(shí)指出g（t）
在（m ，n）上單調(diào)遞減時(shí)的最小值。
5. 如圖，正三棱柱
的底面邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在邊BC上，△
是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
　　 （I）求證點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)；
　　 （II）求點(diǎn)C到平面的距離；
　　 （III）求二面角的大小。
6. 已知函數(shù)f(x)=x3+(b-1)x2+cx(b、c為常數(shù)).
(1)若f(x)在x=1和x=3處取極值，試求b、c的值；
(2)若f(x)在x∈(-∞，x1)、(x2，+∞)上單調(diào)遞增且在x∈(x1，x2)上單調(diào)遞減，又滿足x2-x1＞1，求證：b2＞2(b+2c)；
(3)在(2)的條件下，若t＜x1，試比較t2+bt+c與x1的大小，并加以證明.
7.△ABC的三邊為a，b，c，已知，且，
求的值及三角形面積的最大值．

每周七題（6）答案
1. 解析：（1）由已知，得解得：．∴
　　（2）．
　　設(shè)存在正數(shù)k，使得…對(duì)一切均成立，
則…．
記…，
則…．
　　∵　．
　　∴　，∴　F（n）是隨n的增大而增大，
　　∵　，∴　當(dāng)時(shí)，．
　　∴　，即k的最大值為．
2. 解: (1)設(shè), 則,
∴ ,
∴或. ∴所求的反函數(shù)是:
其定義域是:
(2) ∵, ∴……(6分)
又,
∴……(8分)
……(9分)
∵,
則當(dāng)時(shí), 有,……(12分)
∴……(13分)
∴
……(14分)
3．答:（Ⅰ）（0≤t≤2）（8分） （Ⅱ）≤≤2（6分）。
4. 解：（I）K= = 2 t,切線方程為
y–t 2 = 2t(x-t), 即y = 2 t x - t2 ( 0 < t < 6 )
(II)在切線方程中
令y = 0得 x =
… 5分

函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

依題知的最大值是6，故 的最小值是
5. 解：（I）∵　△為以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的
等腰直角三角形，
∴　且．
∵　正三棱柱，　
∴　底面ABC．
　　∴　在底面內(nèi)的射影為CM，AM⊥CM．
∵　底面ABC為邊長(zhǎng)為a的正三角形，　
∴　點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)． … 4分
（II）由（1）知AM⊥且AM⊥CM，
∴　AM⊥平面,　過(guò)點(diǎn)C作CH⊥于H，
∵　CH在平面內(nèi)，　∴　CH⊥AM，
又，有CH⊥平面，
即CH為點(diǎn)C到平面AMC1的距離
由（1）知，，且．
　　
∴ ∴
∴　點(diǎn)C到平面的距離為底面邊長(zhǎng)為． … 8分
（III）過(guò)點(diǎn)C作CI⊥于I，連HI，　∵　CH⊥平面，
　　∴　HI為CI在平面內(nèi)的射影，
　　∴　HI⊥，故∠CIH是二面角的平面角．
在直角三角形中， ，
，
∴　∠CIH＝45°，　∴　二面角的大小為45° … 12分
6. 已知函數(shù)f(x)=x3+(b-1)x2+cx(b、c為常數(shù)).
(1)若f(x)在x=1和x=3處取極值，試求b、c的值；
(2)若f(x)在x∈(-∞，x1)、(x2，+∞)上單調(diào)遞增且在x∈(x1，x2)上單調(diào)遞減，又滿足x2-x1＞1，求證：b2＞2(b+2c)；
(3)在(2)的條件下，若t＜x1，試比較t2+bt+c與x1的大小，并加以證明.
解：(1)f′(x)=x2+(b-1)x+c， 2分
據(jù)題意知，1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的兩根，
∴1-b=1+3=4，c=1×3=3，即b=-3，c=3. 4分
(2)由題意知，當(dāng)x∈(-∞，x1)，(x2，+∞)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，f′(x)<0.
6分
∴x1、x2是方程x2+(b-1)x+c=0的兩根，
則x1+x2=1-b，x1x2=c.
∴b2-2(b+2c)=b2-2b-4c=[1-(x1+x2)]2-2[1-(x1+x2)]-4x1x2=(x1-x2)2-1.
∵x2-x1>1，∴(x1-x2)2-1>0.
b2>2(b+2c). 9分
(3)在(2)的條件下，由上題知x2+(b-1)x+c=(x-x1)(x-x2)，
即x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)+x， 11分
∴(t2+bt+c)-x1=(t-x1)(t-x2)+t-x1=(t-x1)(t+1-x2),
∵x2>1+x1>1+t，∴1+t-x2<0.
又0 ∴(t-x1)(t+1-x2)<0，故t2+bt+c>x1. 14分
7．解：，又由余弦定理得
．，，得，．又，．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．．
每周七題（7）
1.已知，，，，.（1）求f(x)的單調(diào)增區(qū)間. （2）當(dāng)時(shí)，求f(x)的最值及相應(yīng)的x值.
2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)之和.求：
（1）寫出數(shù)列{an}，{bn}的表達(dá)式；（2）求和
3.已知，，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)A，其方向向量，動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離為，且＝.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
直線m：與點(diǎn)P的軌跡相交于M，N兩個(gè)不同點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，求直線m的傾斜角α的取值范圍；
當(dāng)點(diǎn)Q滿足，且時(shí)，求k的值.
4. 已知圓：和圓：,現(xiàn)在構(gòu)造一系列的圓,使圓同時(shí)與和圓都相切,并都與OX軸相切.回答：
(1)求圓的半徑;(2)證明：兩個(gè)相鄰圓和在切點(diǎn)間的公切線長(zhǎng)為;
(3)求和.
5.在三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B1是A1C和B1C1的公垂線段，A1B與平面ABC成60°角，AB=，A1A=AC=2
（1）求證：AB⊥平面A1BC；
（2）求A1到平面ABC的距離；
（3）求二面角A1—AC—B的大小.
6.．過(guò)曲線上的點(diǎn)作曲線C的切線l1與曲線C交于，過(guò)點(diǎn)P2作曲線C的切線l2與曲線C交于點(diǎn)，依此類推，可得到點(diǎn)列：，（1）求點(diǎn)P2、P3的坐標(biāo).
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式. （3）記點(diǎn)到直線的距離為，
求證：
7..如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).
（I）證明：；
（II）若E為AB中點(diǎn)，求E到面的距離；
（III）AE等于何值時(shí)，二面角的大小為
每周七題答案
1.解：　　

＝ （1）由解得　∴單調(diào)增區(qū)間為（∈Z）（8分）
（漏掉扣1分） （2）∵　　　此時(shí)　此時(shí)
2． 解: (1）（1分）n≥2時(shí)an=Sn－Sn－1=2n－1,
當(dāng)n=1時(shí)，a1=1也應(yīng)滿足an=2n－1, an=2n－1, (n∈N*).
又 所以bn=n－1
（2）n=2k時(shí)(k∈N*)，
=－(b1+b2+…+b2k)=－[1+2+…+(2k－1)] =－2k2+k n=2k－1時(shí)(k∈N*), Tn==－[1+2+…+(2k－3)] =－2k2－3k+1,
3.解：（1）由于，，O為原點(diǎn)，所以A（－2，0），B（2，0）
又直線過(guò)定點(diǎn)為A，其方向向量為，所以直線的方程為.（1分）
由題意，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)B的距離和到定直線的距離相等，所以P的軌跡是以B為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，其中，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為. （4分）
（2）由　　　，消去y并整理得.
設(shè)，，則根據(jù)韋達(dá)定理得
　　　　　，，其中 （6分）
(1)　
　　
而　∴，又∵>0，∴0<∴0<即
0②由于是線段MN的中點(diǎn).
令則
由得從而（）（）＝0
即.從而有
即解之得又，所以
4. 解：(1)在直角梯形中,
AC=1－,=1＋,=1＋,=＋.=－.………2分
∴有 ，
，=
∴
∴.即. ………4分
由此可得.
∴{}成等差數(shù)列, .
∴,∴.

(2)公切線長(zhǎng)為. ………11分
(3) ＝.
∴=2. ………14分
5.（本小題滿分14分，其中第一小問(wèn)4分，第二、三小問(wèn)各5分）
在三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B1是A1C和B1C1的公垂線段，A1B與平面ABC成60°角，AB=，A1A=AC=2
（1）求證：AB⊥平面A1BC；
（2）求A1到平面ABC的距離；
（3）求二面角A1—AC—B的大小.
解（1）∵三棱柱ABC—A1B1C1中A1B1是A1C與B1C1的公垂線段，A1C1⊥B1C1
AB⊥BC，AB⊥A1C又A1C∩A1B=A1 ∴AB⊥平面A1BC
（2）∵AB平面ABC，AB⊥平面A1BC ∴面ABC⊥面A1BC作A1O⊥BC垂足為O，
則A1O⊥平面ABC ∠A1BC為A1B與平面ABC所成角即∠A1BC=60°
在Rt△A1AB中，A1B=
即A1到平面ABC的距離為 …
6.．解：（1） （2）曲線C上點(diǎn)處的切線的斜率為故得到的方程為
聯(lián)立方程消去y得：
化簡(jiǎn)得： 所以：………………8分
由得到點(diǎn)Pn的坐標(biāo)由就得到點(diǎn)的坐標(biāo)所以： 故數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為－2的等比數(shù) 列所以： …………………………………………10分
（3）由（2）知：
所以直線的方程為：
化簡(jiǎn)得： …………………………………………12分
所以
∴≥ …
7．方法一
（I）證明：
（II）設(shè)點(diǎn)E到平面的距離為h，由題設(shè)可得
算得
則
（III）過(guò)D作，垂足為H，連則
為二面角的平面角.
設(shè)，在直角中，
在直角中，在直角中，
在直角中，，在直角中，

因?yàn)橐陨细鞑讲讲娇赡妫援?dāng)時(shí)，二面角的大小為
方法二：以DA，DC，DD1建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，有

（I）證明：因?yàn)椋裕?br/> （II）解：E是AB中點(diǎn)，有，設(shè)平面的法向量為則也即，
得，從而，點(diǎn)E到平面的距離
（III）設(shè)平面的法向量為
由令，得
則于是
（不合，舍去），
即時(shí)，二面角的大小為

每周七題（8）
1. 已知．⑴求的值；⑵求的值．
2. 已知函數(shù)，并且，，
(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)是否存在各項(xiàng)均不為零的數(shù)列，滿足(為數(shù)列的前項(xiàng)和)．若有，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并說(shuō)明滿足條件的數(shù)列是否唯一確定；若無(wú)，請(qǐng)說(shuō)明理由.
3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長(zhǎng)都為a，P為A1B上的點(diǎn)。
（Ⅰ）試確定的值，使得PC⊥AB；（Ⅱ）若＝，
求二面角P－AC－B的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求C1到平面PAC的距離.
4.如圖，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，垂直于軸，且OM與橢圓長(zhǎng)軸和短軸端點(diǎn)的連線AB平行，（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若G為橢圓上不同于長(zhǎng)軸端點(diǎn)任一點(diǎn)，求取值范圍；
（Ⅲ）過(guò)且與OM垂直的直線交橢圓于P，Q.若，求橢圓的方程.
5．如圖：在直角三角形ABC中，已知AB=a，∠ACB=30o，∠B=90o,D為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于F，將△ABD沿BD折起，二面角A'-BD-C的大小記為θ。
⑴求證：平面A'EF(平面BCD；
⑵θ為何值時(shí)A'B(CD？
⑶在⑵的條件下，求點(diǎn)C到平面A'BD的距離。
6.已知數(shù)列滿足.
(1)若數(shù)列是以常數(shù)首項(xiàng),公差也為的等差數(shù)列,求a1的值;
(2)若,求證：對(duì)任意都成立；
(3)若,求證：對(duì)任意都成立.
7.已知傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，。
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)
坐標(biāo)為，求的值；
（3）對(duì)于平面上任一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，稱的最小值為與
線段的距離。已知在軸上運(yùn)動(dòng)，寫出點(diǎn)到線段的距離
關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式。
每周七題（8）答案
1.解解：（1）由, ， ……………………2分
． …………………5分
（2） 原式＝
…………………10分
…………………12分
2. 解：(Ⅰ)由，得．由，，得
，即．分解得 ．
因此，，．分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得．當(dāng)且時(shí)，，．
設(shè)存在各項(xiàng)均不為零的數(shù)列，滿足．則
，即（且）．首先，當(dāng)時(shí)，；
由 ，，得，即
．若 ，則由，得，這與矛盾．
若 ，則 ．因此，是首項(xiàng)這，公差為的等差數(shù)列．
通項(xiàng)公式為 ．綜上可得，存在數(shù)列，符合題中條件
(2)由上面的解答過(guò)程可知，數(shù)列只要滿足條件即可．
因此，可以數(shù)列一部分滿足，另一部分滿足，且保證且．
例如：數(shù)列 ； 數(shù)列 因此，滿足條件的數(shù)列不唯一．
3．答: （Ⅰ）1；（4分）；　　（Ⅱ）600（4分）；　　　（Ⅲ）（4分）
4.解：(Ⅰ)由已知
　　，………………………………2分
(Ⅱ)設(shè)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，　
(Ⅲ)
　橢圓的方程為
5
解:(1)證由 △PBA為Rt△, ∠C= AB= ∵D為AC中點(diǎn)，
∴AD＝BD＝DC ∵△ABD為正三角形 又∵E為BD中點(diǎn)
∴BD⊥AE’ BD⊥EF 又由A’EEF＝E，且A’E、EF平面A’EF
BD⊥平面A’EF ∴面A’EF⊥平面BCD
(2) BD⊥AE’, BD⊥EF得
∠A’EF為二面角A’-BD-C的平面角的大小即∠A’EF＝
延長(zhǎng)FE到G，使A’GGF于G，連結(jié)BG并延長(zhǎng)交CD于H，若A’BCD　則BHCD 在Rt△BHD中，　∠ BHD= 又∵GE⊥BD，E為BD中點(diǎn)，BD＝AB＝a 由在直角三角形A’EG中 ＝
（3）用等積法易得所求距離為：
6.(1)由得：
即，求得………………………………………5分
（2）由知，
兩邊同除以，得…………………………………10分
（3）

，將代入，得； ㈠…………………………12分


而，
㈡
由㈠㈡知，命題成立.……………………………………………14分
7. 解：（1）設(shè)，
， ---------3分
（2）設(shè)
由 得，-----------------4分
-----------------6分
， ----------------8分
（3）設(shè)線段上任意一點(diǎn)
---------------10分
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，。--13分
-----------------14分
每周七題（9）
1、下面玩擲骰子放球游戲，若擲出1點(diǎn)，甲盒中放一球，若擲出2點(diǎn)或3點(diǎn)，乙盒中放一球，若擲出4點(diǎn)、5點(diǎn)或6點(diǎn)，丙盒中放一球，設(shè)擲n次后，甲、乙、丙各盒內(nèi)的球數(shù)分別為。（14分）
（1）n=3時(shí)，求成等差數(shù)列的概率。
（2）當(dāng)n=6時(shí)，求成等比數(shù)列的概率。
解：（1）∵
① ② ③
①表示：擲3次，1次出現(xiàn)2點(diǎn)或3點(diǎn)，2次出現(xiàn)4點(diǎn)，5點(diǎn)或6點(diǎn)，共種情況。
故的概率為
②的概率為
③的概率為
故n＝3時(shí)，x、y、z成等差數(shù)列，概率為
（2）n=6時(shí)，x、y、z成等比數(shù)列。
∴
所求概率為
2、如圖，過(guò)原點(diǎn)O作拋物線的兩條互相垂直的弦OA，OB，再作∠AOB的平分線交AB于C。（14分）
（1）求證直線AB過(guò)定點(diǎn)；
（2）求點(diǎn)C的軌跡方程。
解（1）（2P，0）；
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則，因?yàn)镺A⊥OB，所以，即，所以。
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y)，則，因?yàn)镺C平分∠AOB，所以∠AOC＝45°，，即，解得，又A，C，B三點(diǎn)共線，當(dāng)時(shí)，即，化簡(jiǎn)得，將代入，并化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，即，得，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，滿足上述方程，所以上述方程即為點(diǎn)C的軌跡方程。
3.．如圖，已知三棱柱ABC—A1B1C1的棱長(zhǎng)都是2，點(diǎn)A1與
AB、AC的距離都等于，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥C1C于F.
（1）求證：平面A1EF⊥平面B1BCC1；
（2）求點(diǎn)A到平面B1BCC1的距離；
（3）求平面A1EF與平面A1B1C1所成二面角的大小.
證明（1）.
∴平面A1EF⊥平面B1BCC1.…………………………………………3分
（2）由于A1A//平面B1BCC1，故點(diǎn)A、A1與平面B1BCC1的距離相等.
∵ABB1A1為菱形，故A1E=A1F=.∵B1B⊥平面A1EF，
EF平面A1EF，∴BB1⊥EF，從而EF=BC=2.
∴△A1EF是等腰直角三角形。取EF中點(diǎn)M，則A1M⊥EF，且A1M=1.
從而A1M⊥平面B1BCC1，即A1M是點(diǎn)A1與平面B1BCC1的距離，
∵點(diǎn)A與平面B1BCC1的距離為1.……………………………………7分
（3）設(shè)平面A1EF與平面A1B1C1所成的二面角的棱為直線l，取B1C1的中點(diǎn)N，
則A1N⊥B1C1，但B1C1//EF，∴B1C1//平面A1EF，于是B1C1//l，
在△A1B1C1中，A1N=∴A1M⊥l，A1N⊥l，
即∠MA1N為所求二面角的平面角.……………………………………10分
∵A1M⊥平面B1BCC1，∴A1M⊥MN. ∴cos∠NA1M=，
故所求二面角的大小為………………………………12分.
4．設(shè)是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)
x∈[ 2，3 ] 時(shí)，．
（1）求的解析式；
（2）若在上為增函數(shù)，求的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)，使的圖象的最高點(diǎn)落在直線上？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，2-x∈[2，3]，f(x)=g(2-x)= -2ax+4x3；當(dāng)x∈時(shí)，f(x)=f(-x)=2ax-4x3，
∴…………………………………………………4分
（2）由題設(shè)知，＞0對(duì)x∈恒成立，即2a-12x2＞0對(duì)x∈恒成立，于是，a＞6x2，從而a＞(6x2)max=6．…………………………………………………8分
（3）因f(x)為偶函數(shù)，故只需研究函數(shù)f(x)=2ax-4x3在x∈的最大值．
令=2a-12x2=0，得．…………10分 若∈，即0＜a≤6，則
，
故此時(shí)不存在符合題意的；
若＞1，即a＞6，則在上為增函數(shù)，于是．
令2a-4=12，故a=8． 綜上，存在a = 8滿足題設(shè)．……………………………14分
5.如圖,正方形A1BA2C的邊長(zhǎng)為4，D是A1B的中點(diǎn)，E是BA2上的點(diǎn)，將△A1DC及△A2EC分別沿DC和EC折起，使A1、A2重合于A，且二面角A—DC—E為直二面角.
(1)求證：CD⊥DE；
(2)求AE與面DEC所成角的正弦值；
(3)求點(diǎn)D到平面AEC的距離.
解：(1)∵A1、A2重合于A
∴AC⊥AD，AC⊥AE，故AC⊥面ADE ∴AC⊥DE
∵A—DC—E為直二面角，∴過(guò)A作AF⊥CD于F，則AF⊥面CDE，故CD為AC在面CDE上的射影，由三垂線定量的逆定理有：CD⊥DE.
(2)∵AF⊥畫CDE，∴∠AEF為AE與面DEC所成的角，在RT△CAD
中，AD=2，AD=2，AC=4，∴DC= 2
又∴CD⊥DE，∴在正方形A1BA2C中， △DBE~△CA1D, 故
DE⊥AD.∴在Rt△ADE中，AE=3，故在Rt△AFE中，sin∠AEF=
∴AE與面DEC所成角的正弦值為.
(3)設(shè)D到面AEC的距離為d，則由VD-AEC=VA-DEC有：
AE·AC·d=CD·DE·AF ∴3×4d=2··
故d=即點(diǎn)D到平面AEC的距離為
6.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}和{bn}中，a1=a(0(1)證明：對(duì)任意n∈N*,有an+bn=1;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(3)記cn=a為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求Sn的值.
6. (1)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)n=1時(shí)，a1+b1=a+(1-a)=1,命題成立；②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N*)時(shí)命題成立，即ak+bk=1,則當(dāng)n=k+1時(shí)，
ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.綜合①、②知，an+bn=1對(duì)n∈N*恒成立.
(2)解：∵an+1=anbn+1=③∵數(shù) 列
(3)解：∵cn=abn+1=an(anbn+1)=anan+1,
③式變形為anan+1=an-an+1,∴cn=an-an+1,
∴Sn=c1+c2+…+cn=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)=a1-an+1=a-
7.如圖、是單位圓上的點(diǎn)，是圓與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，三角形為正三角形．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的值．

解：(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)定義可知， ， ……2分
所以 ……4分
(Ⅱ)因?yàn)槿切螢檎切危裕? ……5分
所以
……8分
所以
……12分

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