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第二章 二次函數
2.2 二次函數的圖象和性質
第4課時 二次函數 y = a(x-h)2+k 的圖象與性質
學習目標：
1．掌握二次函數y＝ax2與y＝a(x－h)2＋k(a≠0)圖象之間的聯系；(重點)
2．能靈活運用二次函數y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的知識解決簡單的問題．(難點)
一、復習回顧
1. 說出下列函數圖象的開口方向、對稱軸、頂點、最值和增減變化情況:
2. 請說出二次函數 y = 2x2 的開口方向、頂點坐標、對稱軸及最值？
把 y = 2x2 的圖象
向下平移 個單位 →
向左平移3個單位 →
4. 請猜測一下，二次函數 y = 2(x + 3)2 - 的圖象是否可以由 y = 2x2 平移得到？
要點探究
知識點一：二次函數的定義
知識點一：二次函數 y = a(x - h)2 + k 的圖象和性質
例1 畫出函數 y = 2(x + 3)2 - 的圖象，并指出它的開口方向、對稱軸、頂點坐標和增減性.
解：先列表：
再描點、連線.
開口方向： ；
對稱軸： ；
頂點坐標是 ；
增減性：________________________________________________________.
想一想：函數 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性質是什么？
試一試 畫出二次函數 的圖象，并填空.
開口方向： ；
對稱軸： ；
頂點坐標是 ；
增減性：____________________________________________________________.
想一想：函數 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性質是什么？
歸納總結
典例精析
例2 已知拋物線 y＝a(x 3)2 + 2 經過點 (1， 2)．
(1) 指出拋物線的對稱軸；
(2) 求 a 的值；
(3) 若點 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在該拋物線上，
試比較 y1 與 y2 的大小．
知識點二：二次函數 y=a(x + h)2+k 與 y=ax2(a≠0) 的關系
畫一畫，填出下表：
y = 2x2怎樣移動可以得到 y = 2(x + 3)2 - ？
例3 怎樣移動拋物線 y = 2x2 就可以得到拋物線y = 2(x + 3)2 -
歸納總結
二次函數 y = ax2 與 y = a(x±h)2 ± k 的關系
簡記為：
上下平移，常數項上加下減；
左右平移，自變量左加右減.
二次項系數 a 不變.
鏈接中考
1. (哈爾濱)將拋物線 y =﹣5x2 + 1 向左平移 1 個單位長度，再向下平移 2 個單位長度，所得到的拋物線為 ( )
A．y =﹣5(x + 1)2﹣1 B．y =﹣5(x﹣1)2﹣1
C．y =﹣5(x + 1)2 + 3 D．y =﹣5(x﹣1)2 + 3
試著畫出二次函數 y = a(x - h)2 + k 不同情況下的大致圖象. ( 按 a，h，k 的正負分類 )
例4 已知二次函數 y＝a(x－1)2－k 的圖象如圖所示，則一次函數 y＝ax＋k 的大致圖象是 (　　)
歸納總結
說一說，對于二次函數 y = a(x - h)2 + k (a≠0)圖象性質中，字母 a，h，k 所起的作用.
結論：
二、課堂小結
1.完成下列表格:
2. 已知函數 y＝-(x - 4)2-1.
(1) 指出函數圖象的開口方向是　 　，對稱軸是 　 ，
頂點坐標為 　 ；
(2) 當 x　 　 時，y 隨 x 的增大而減小；
(3) 怎樣移動拋物線 y＝ -x2，就可以得到拋物線 y＝ -(x - 4)2 - 1
3. 已知二次函數 y＝a(x－1)2－4 的圖象經過點 (3，0)．
(1) 求 a 的值；
(2) 若 A(m，y1)、B(m＋n，y2) (n＞0) 是該函數圖象上的兩點，當 y1＝y2 時，
求 m、n 之間的數量關系．
參考答案
小組合作，探究概念和性質
知識點一：二次函數 y = a(x - h)2 + k 的圖象和性質
例1 畫出函數 y = 2(x + 3)2 - 的圖象，并指出它的開口方向、對稱軸、頂點坐標和增減性.
解：先列表：
再描點、連線.
開口方向： ；
對稱軸： ；
頂點坐標是 ；
增減性：________________________________________________________.
想一想：函數 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性質是什么？
答案：
向上；直線 x = -3；( 3， 0.5)；
當 x＜-3 時，y 隨 x 增大而減小；當 x＞-3 時，y 隨 x 增大而增大.
試一試 畫出二次函數 的圖象，并填空.
開口方向： ；
對稱軸： ；
頂點坐標是 ；
增減性：____________________________________________________________.
想一想：函數 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性質是什么？
答案：
向下；直線 x = -1；( 1， 1)；
當 x＜-1 時，y 隨 x 增大而增大；
當 x＞-1 時，y 隨 x 增大而減小
歸納總結
典例精析
例2
解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其頂點為 (3，2)，
對稱軸為直線 x＝3.
(2) ∵ 拋物線 y＝a(x﹣3)2 + 2 經過點(1，-2)，
∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2，
∴ a＝-1.
(3)∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2，
∴ 此函數的圖象開口向下，
當 x＜3 時，y 隨 x 的增大而增大.
∵ 點 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在該拋物線上，
∴ y1＜y2.
知識點二：二次函數 y=a(x + h)2+k 與 y=ax2(a≠0) 的關系
畫一畫，填出下表：
例3 怎樣移動拋物線 y = 2x2 就可以得到拋物線y = 2(x + 3)2 -
歸納總結
二次函數 y = ax2 與 y = a(x±h)2 ± k 的關系
簡記為：
上下平移，常數項上加下減；
左右平移，自變量左加右減.
二次項系數 a 不變.
鏈接中考
1.
答案：A
試著畫出二次函數 y = a(x - h)2 + k 不同情況下的大致圖象. ( 按 a，h，k 的正負分類 )
例4
答案：A
歸納總結
說一說，對于二次函數 y = a(x - h)2 + k (a≠0)圖象性質中，字母 a，h，k 所起的作用.
結論：① a 決定開口方向.
② (h，k) 決定頂點坐標.
h 決定對稱軸 (直線 x = h). h＜0，對稱軸在 y 軸的左側；
h＞0，對稱軸在 y 軸的右側；
k＞0，頂點在 x 軸的上側；k＜0，頂點在 x 軸的下側.
③ a，h(對稱軸) 決定函數的增減性.
當堂檢測
1.完成下列表格:
2.
答案：
(1) 向下；直線 x＝4；(4，﹣1)
(2) ＞4
(3) 解：將拋物線 y ＝ -x2 向右平移 4 個單位，
再向下平移 1 個單位就可以得到拋物線 y＝ -(x - 4)2 - 1.
3.
解：(1) 將 (3，0) 代入 y＝a(x－1)2－4， 得 0＝4a－4，
解得 a＝1.
(2) 方法一:根據題意，得 y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵ y1＝y2，
∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵ n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化簡，得 2m＋n＝2.
方法二：
∵ 拋物線 y＝a(x－1)2－4 的對稱軸是直線 x = 1，
∴ 當 y1＝y2 時，A、B 兩點關于直線 x = 1 對稱.
∴ ，化簡，得 2m＋n＝2.

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