資源簡介

第二章 二次函數
2.2 二次函數的圖象和性質
第5課時 二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質
學習目標：
1．掌握把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通過配方寫成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，并能由此得到二次函數圖象的頂點坐標；（重點）
2.掌握二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性質，運用函數圖象的性質解決問題．（難點）
一、復習回顧
要點探究
知識點一：二次函數 y = ax2 + bx + c 的圖象和性質
猜想：通過組合平移 y = ax (a≠0) 的圖像能否得到y = ax + bx + c (a≠0) 的圖像？
填一填
(1) x2 12x + 36 = (x____)2；
(2) x2 12x = (x____)2 ____.
合作探究
問題1 怎樣將 y=2x - 4x + 5化成 y = a(x h)2 + k 的形式？
想一想：配方的方法及步驟是什么？
提示：配方后的解析式通常稱為頂點式.
問題2 你能說出 y = 2(x - 1) + 3 的對稱軸及頂點坐標嗎？
問題3 二次函數 y = 2(x - 1) + 3 可以看作是由 y = 2x 怎樣平移得到的？
問題4 如何用描點法畫二次函數 y = 2x - 4x + 5 的圖象？
問題5 結合二次函數 y = 2x - 4x + 5 的圖象，說出其增減性.
試一試
你能用上面的方法討論二次函數
y = 2x2 - 8x + 7 的圖象和性質嗎？
典例精析
例1 求二次函數 y = 2x2 - 8x + 7 圖象的對稱軸、頂點坐標和增減性.
做一做
確定下列二次函數圖象的對稱軸和頂點坐標：
(1) y = 3x2 - 6x + 7；
(2) y = 2x2 - 12x + 8.
我們如何用配方法將二次函數的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成
頂點式 y = a(x - h)2 + k？
歸納總結
1.一般地，二次函數 y = ax2 + bx + c 可以通過配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即
y = ax2 + bx + c = .
因此，拋物線 y = ax2 + bx + c 的頂點坐標是 ， 對稱軸是直線 .
歸納總結
知識點二：二次函數的圖象與系數的關系
想一想，對于二次函數 y = ax2 + bx + c (a≠0) 圖象性質中，字母 a，b，c 所起的作用.
一般研究哪幾種性質？
合作探究
問題 二次函數 y = ax2 + bx + c 的圖象如下圖所示，請根據二次函數的性質填空：
歸納總結
二次函數圖象與 a、b、c 的關系
鏈接中考
(浙江)如圖，已知二次函數 y＝ax2＋bx＋c 圖象的對稱軸為直線 x＝-1，
下列結論： ①abc＜0；②3a＜-c；
③若 m 為任意實數，則有 a - bm＜am2 + b；
④若圖象經過點(-3，-2)，方程 a2 + bx + c + 2 = 0
的兩根為 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，則 2x1－x2 = 5.
其中正確的結論的個數是 (　　)
A．1　　　B．2　　　
　C．3　　　D．4
做一做
如圖所示，橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀，而且左、右兩條拋物線關于 y 軸對稱. 按照圖中的直角坐標系，左面的一條拋物線可以y = x2 + x + 10 表示.
(1) 鋼纜的最低點到橋面的距離是多少
(2) 兩條鋼纜最低點之間的距離是多少
二、課堂小結
1.已知二次函數 y = ax2+bx+c 的 x、y 的部分對應值如下表：
則該二次函數圖象的對稱軸為( )
A. y軸 B. 直線 x=
C. 直線 x=2 D. 直線 x=
2. 根據公式確定下列二次函數圖象的對稱軸、頂點坐標和最值：
3.已知二次函數 y = ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則下列結論：
（1）a、b 同號；
（2）當 x = –1和 x = 3 時，函數值相等；
（3） 4a+b = 0；
（4）當 y = –2 時，x 的值只能取 0；
其中正確的是 .
參考答案
一、創設情境，導入新知
小組合作，探究概念和性質
知識點一：二次函數 y = ax2 + bx + c 的圖象和性質
填一填
答案：(1) 6.
(2) 6；36.
合作探究
想一想：配方的方法及步驟是什么？
提示：配方后的解析式通常稱為頂點式.
問題2 你能說出 y = 2(x - 1) + 3 的對稱軸及頂點坐標嗎？
答：對稱軸是直線 x = 1，頂點坐標是 (1，3).
問題3 二次函數 y = 2(x - 1) + 3 可以看作是由 y = 2x 怎樣平移得到的？
答：平移方法 1：先向上平移 3 個單位，再向右平移 1 個單位得到的；
平移方法 2：先向右平移 1 個單位，再向上平移 3 個單位得到的.
問題4 如何用描點法畫二次函數 y = 2x - 4x + 5 的圖象？
解：先利用圖形的對稱性列表；
然后描點畫圖，得到圖象
如右圖.
問題5 結合二次函數 y = 2x - 4x + 5 的圖象，說出其增減性.
當 x＜1 時，y 隨 x 的增大而減小；
當 x＞1 時，y 隨 x 的增大而增大.
典例精析
例1 求二次函數 y = 2x2 - 8x + 7 圖象的對稱軸、頂點坐標和增減性.
解：y = 2x2 - 8x + 7 = 2(x2 - 4x) + 7
= 2(x2 - 4x + 4) - 8 + 7 = 2(x - 2)2 - 1
因此，二次函數 y = 2x2 - 8x + 7 圖象的對稱軸是直線 x = 2，頂點坐標為 (2,-1)，
當 x＜2 時，y 隨 x 的增大而減小，當 x＞2 時，y 隨 x 的增大而增大.
做一做
確定下列二次函數圖象的對稱軸和頂點坐標：
(1) y = 3x2 - 6x + 7；
y = 3x2 - 6x + 7 = 3(x2 - 2x) + 7 = 3(x2 - 2x + 1 - 1) + 7 = 3(x - 1)2 + 4
對稱軸：x = 1
頂點坐標：(1，4)
(2) y = 2x2 - 12x + 8.
y = 2x2 - 12x + 8 = 2(x2 - 6x) + 8= 2(x2 - 6x + 9 - 9) + 8= 2(x - 3)2 - 10
對稱軸：x = 3
頂點坐標：(3，-10)
歸納總結
歸納總結
知識點二：二次函數的圖象與系數的關系
合作探究
問題 二次函數 y = ax2 + bx + c 的圖象如下圖所示，請根據二次函數的性質填空：
答案：＞，＞； ＞，＜； ＞，=.
答案：＜，＜； =，＞； ＞，＜.
歸納總結
二次函數圖象與 a、b、c 的關系
鏈接中考
(浙江)如圖，已知二次函數 y＝ax2＋bx＋c 圖象的對稱軸為直線 x＝-1，
下列結論： ①abc＜0；②3a＜-c；
③若 m 為任意實數，則有 a - bm＜am2 + b；
④若圖象經過點(-3，-2)，方程 a2 + bx + c + 2 = 0
的兩根為 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，則 2x1－x2 = 5.
其中正確的結論的個數是 (　　)
A．1　　　B．2　　　
　C．3　　　D．4
【解析】解：①：由圖象可知：a＜0，c＞0， ，
∴ b = 2a＜0，∴ abc＞0，故 ① 錯誤；
②：當 x = 1 時，y = a + b + c = a + 2a + c = 3a + c＜0，
∴3a＜-c，故 ② 正確；
③：∵ x = -1 時，y 有最大值，
∴ a - b + c≥am2 + bm + c ( m 為任意實數)，
即 a - b≥am2 + bm，即 a - bm≥am2 + b.
故 ③ 錯誤；
④：∵二次函數 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 圖象經過點(-3，-2)，
方程 ax2＋bx＋c＋2 = 0 的兩根為 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，
∴二次函數 y＝ax2＋bx＋c 與直線 y = -2 的一個交點為 (-3，-2).
∵拋物線的對稱軸為直線 x＝-1，
∴二次函數 y＝ax2＋bx＋c 與直線 y = -2 的
另一個交點為 (1，-2)，即 x1 = 1，x2 = -3.
∴2x1－x2 = 2－(-3) = 5，故 ④ 正確．
所以正確的是 ②④.
做一做
如圖所示，橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀，而且左、右兩條拋物線關于 y 軸對稱. 按照圖中的直角坐標系，左面的一條拋物線可以y = x2 + x + 10 表示.
(1) 鋼纜的最低點到橋面的距離是多少
(2) 兩條鋼纜最低點之間的距離是多少
答案：
y = x2 + x + 10 = (x+20)2 + 1
頂點坐標(-20，1)
1 m. (2) 40 m.
當堂檢測
1.
答案：D
2.
3.答案：（2）

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