資源簡介

第二章 二次函數
2.1 二次函數
學習目標：
1．理解、掌握二次函數的概念和一般形式；(重點)
2．會利用二次函數的概念解決問題；(重點)
3．列二次函數表達式解決實際問題．(難點)
一、復習回顧
1.下列函數中哪些是一次函數？為什么？(x 是自變量)
(4) y = kx + 1； (5) y2 = x； (6) y = 2x + 1.
要點探究
知識點一：二次函數的定義
問題1 某果園有100棵橙子樹，平均每棵樹結600個橙子，現準備多種一些樹，以提高產量.但是樹種多了，那么樹之間的距離和每棵樹接收的陽光就會減少.根據經驗，估計每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橙子.
(1) 問題中有那些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？?
(2) 假設果園增種 x 棵橙子樹，那么果園共有多少棵橙子樹？這時平均每棵樹結多少個橙子？?
(3) 如果果園橙子的總產量為 y 個，那么請你寫出 y 與 x之間的關系式.
做一做
銀行的儲蓄利率是隨時間變化的，也就是說，利率是一個變量.在我國，利率的調整是由中國人民銀行根據國民經濟發展的情況而決定的.
設人民幣一年定期儲蓄的年利率是 x，一年到期后，銀行將本金和利息自動按一年定期儲蓄轉存.如果存款額是 100 元，那么請你寫出兩年后的本息和 y (元)的表達式.
想一想
(1) 兩數的和是 20，設其中一個數是 x，你能寫出這兩數之積 y 的表達式嗎
(2) 已知矩形的周長為 40 cm，它的面積可能是 100 cm2 嗎 可能是 75 cm2 嗎 還可能是多少 你能表示這個矩形的面積與其一邊長的關系嗎
合作探究
問題 1~3 中函數關系式有什么共同點
同學們，以小組的形式討論，并由每組代表總結.
知識要點
二次函數的定義：
一般地，若兩個自變量 x，y 之間的對應關系可以表示成 y = ax + bx + c( a，b，c 是常數，a≠ 0)的形式，則稱 y 是 x 的二次函數.
a為二次項系數，ax2 叫做二次項；
b為一次項系數，bx 叫做一次項；c為常數項.
同學們，可以自己舉出具體的二次函數嗎？
典例精析
例1 下列函數中哪些是二次函數 為什么 (x 是自變量)
① y = (x + 3) x ； ② y = 3 2x ； ③ y = x2 ；
④ y = ； ⑤ y = x + x + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c.
方法總結
判斷一個函數是否為二次函數的步驟：
合作探究
鏈接中考
(西湖區月考) 已知 ( m 為常數)，根據下列條件求 m 的值：
(1) y 是 x 的一次函數； (2) y 是 x 的二次函數；
知識點二：二次函數的自變量取值范圍
問題：上述問題中的三個函數的自變量的取值范圍是什么？
① y = -5x + 100x + 60000 ② y = 100x2 + 200x + 100
③y = -x2 + 20x
總結：二次函數的自變量的取值范圍是所有實數，但在實際問題中，它的自變量的取值范圍會有一些限制.
知識點三：列二次函數關系式
例3 一個正方形的邊長是 12 cm，若從中挖去一個長為2x cm，寬為 (x + 1) cm的小長方形．剩余部分的面積為 y cm2. 寫出 y與 x之間的函數關系式，并指出 y 是 x 的什么函數？
二、課堂小結
1. (武漢)下列函數中，是二次函數的是( )
2. 已知函數 y = 3x2m-1－5
① 當m =＿＿時，y 是關于 x 的一次函數；
② 當 m =＿＿時，y 是關于 x 的二次函數.
3. 矩形的周長為 16 cm，它的一邊長為 x cm，面積為 y cm2.
求 (1) y 與 x 之間的函數解析式及自變量 x 的取值范圍；
(2) 當 x = 3 時矩形的面積.
參考答案
一、創設情境，導入新知
1.答案：(1) 是；
(2)不是，是反比例函數 ；
(3)不是，x 最高次數是二次 ；
(4)不一定是，缺少 k ≠ 0 的條件；
(5) 不是，函數是每個唯一的 x 都有唯一對應的 y 值；
(6)是 .
小組合作，探究概念和性質
知識點一：二次函數的定義
問題1：
答案：(2) 果園共有(100 + x)棵樹，平均每棵樹結(600 - 5x)個橙子.
y = (100 + x)(600 - 5x)= -5x + 100x + 60000.
做一做
答：y = 100x2 + 200x + 100.
想一想
(1) y = x(20 - x) = -x2 + 20x
(2) 設矩形的其中一邊長為 x，面積為 S.
S = x(20 - x) = -x2 + 20x
當 S = 100 時，-x2 + 20x = 100. 解得 x = 10.
當 S = 75 時，-x2 + 20x = 75. 解得 x1 = 5，x2 = 15.
典例精析
答案：① 不是，y = 6x + 9 ； ② 是 ； ③ 是 ；
④ 不是，等式右邊是分式； ⑤ 不是，x 的最高次數是 3 ；
⑥ 不一定是，缺少 a ≠ 0 的條件.
鏈接中考
解：(1) 由題意得 ∴ m = 1.
(2)y 是 x 的二次函數，只須 m2 - m≠0.
∴ m≠1 且 m≠0.
例3
解：由題意得y＝122－2x(x+1)，
又∵x+1<2x≤12，∴1即 y＝－2x2－2x＋144(1∴ y 是 x 的二次函數.
當堂檢測
A
① 1 ②
解：(1) y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2) 當 x＝3 時，y＝－32＋8×3＝15 (cm2 ).

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