資源簡介

第二章 二次函數
2.4 二次函數的應用
第1課時 圖形面積的最大值
學習目標：
1．能根據實際問題列出函數關系式，并根據問題的實際情況確定自變量取何值時，函數取得最值；(重點)
2．通過建立二次函數的數學模型解決實際問題，培養分析問題、解決問題的能力，提高用數學的意識，在解決問題的過程中體會數形結合思想．(難點)
一、復習回顧
寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.
(1) y = x2 - 4x - 5； (2) y = -x2 - 3x + 4.
想一想
思考 二次函數 y = ax2 + bx + c 的最值由什么決定？
要點探究
知識點一：求二次函數的最大(或最小)值
例1 寫出下列拋物線的最值.
(1)y = x2 - 4x - 5; (2) y = -x2 - 3x + 4.
例2 已知二次函數 y＝ax2＋4x＋a－1 的最小值為 2，則 a 的值為(　　)
A．3 　　B．－1 　　　C．4 　　　D．4或－1
知識點一：幾何圖形面積的最大面積
引例 如圖，在一個直角三角形的內部作一個矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分別在兩直角邊上.
(1) 如果設矩形的一邊 AB = x m，那么 AD 邊的長度如何表示
(2)設矩形的面積為 y m， 當 x 取何值時，y 的值最大 最大值是多少
議一議
在上面的問題中，如果把矩形改為如圖所示的位置，其他條件不變，那么矩形的最大面積是多少？你是怎樣知道的？
例3 如圖，用一段長為 60 m 的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園.
(1) 當墻長 32 m 時，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？
(2) 當墻長 18 m 時，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？
歸納總結
典例精析
例4 用某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部分是半圓，下半部分是矩形，制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為 15 m. 當 x 等于多少時，窗戶通過的光線最多？(結果精確到 0.01 m)此時，窗戶的面積是多少？(結果精確到 0.01 m2)
二、課堂小結
1.如圖 1，用長 8 m 的鋁合金條制成如圖的矩形窗框，
那么最大的透光面積是 .
2. 如圖1，在 △ABC 中，∠B = 90 °，B = 12 cm，BC = 24 cm，動點 P 從點 A 開始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移動（不與點 B 重合），動點 Q 從點 B 開始沿 BC以 4 cm/s 的速度移動（不與點 C 重合）.如果 P、Q 分別從 A、B 同時出發，那么經過 s，
四邊形 APQC 的面積最小.
3. (河北期末) 如圖，嘉嘉欲借助院子里的一面長 15 m 的墻，想用長為 40 m 的網繩圍成一個矩形 ABCD 給奶奶養雞，怎樣使矩形 ABCD 的面積最大呢 同學淇淇幫她解決了這個問題，淇淇的思路是：設 BC 的邊長為 x m. 矩形 ABCD 的面積為 S m2 不考慮其他因素，請幫他們回答下列問題：
(1) 求 S 與 x 的函數關系式. 直接寫出 x 的取值范圍；
(2) x 為何值時，矩形 ABCD 的面積最大
參考答案
一、創設情境，導入新知
寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.
(1) y = x2 - 4x - 5； (2) y = -x2 - 3x + 4.
解：（1）開口方向：向上；對稱軸：x = 2；
頂點坐標：（2，-9）；
（2）開口方向：向下；對稱軸：x = - ；
頂點坐標：（- ，）；
想一想
思考 二次函數 y = ax2 + bx + c 的最值由什么決定？
二次函數 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符號、對稱軸的位置及自變量的取值范圍決定.
小組合作，探究概念和性質
知識點一：求二次函數的最大(或最小)值
例1
解：(1)∵a=1＞0，對稱軸為 x=2，頂點坐標為(2，-9),
∴當x=2時，y 取最小值，最小值為-9;
(2)∵a= -1＜0，對稱軸為 x= - ，頂點坐標為( - ， ),
∴當x= - 時，y 取最大值，最大值為 .
例2答案：C
知識點二：幾何圖形面積的最大面積
引例
議一議
在上面的問題中，如果把矩形改為如圖所示的位置，其他條件不變，那么矩形的最大面積是多少？你是怎樣知道的？
例3 如圖，用一段長為 60 m 的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園.
(1) 當墻長 32 m 時，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？
(2) 當墻長 18 m 時，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？
解： (1) 設垂直于墻的一邊長為 x m，則平行于墻的邊長為 (60 2x) m.
∴ S = x(60 2x) = 2x2＋60x .
x＞0，
60 2x＞0，
60 2x≤32，
∴14≤x＜30.
∵ S = 2x2＋60x = 2(x 15)2 + 450，
∴ 當 x = 15 m 時，S 取最大值，此時 S最大值 = 450 m2.
(2) 由 (1) 知 S = 2x2＋60x = 2(x2 30x)
= 2(x 15)2 + 450.
x＞0，
60 2x＞0，
60 2x≤18，
∴21≤x＜30.
∵ 15＜21，
∴ 當 21≤ x＜30 時，S 隨 x 的增大而減小，
故當 x = 21 時，S 取得最大值，此時 S最大值 = 2×(21 15)2 + 450 = 378 (m2).
典例精析
例4 用某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部分是半圓，下半部分是矩形，制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為 15 m. 當 x 等于多少時，窗戶通過的光線最多？(結果精確到 0.01 m)此時，窗戶的面積是多少？(結果精確到 0.01 m2)
當堂檢測
1.
答案： m2
2.
答案：3
3.

展開更多......

收起↑