資源簡介

第二章 二次函數
2.3 確定二次函數的表達式
學習目標：
1．通過對用待定系數法求二次函數表達式的探究，掌握求表達式的方法；(重點)
2．能靈活根據條件恰當地選擇表達式，體會二次函數表達式之間的轉化．(難點)
一、復習回顧
1. 一次函數 y = kx + b (k≠0)，反比例函數y = (k≠0) 分別有幾個待定系數？通常需要已知幾個點的坐標求出它的表達式？
2. 求一次函數表達式的方法是什么？它的一般步驟是什么？
想一想 二次函數的表達式有幾種形式？類比猜想每一種需要幾個點坐標可以確定表達式？
要點探究
知識點一：頂點法求二次函數的表達式
合作探究
一名學生推鉛球時，鉛球行進高度 y (m) 與水平距離 x (m)之間的關系如圖所示，
其中 (4，3) 為圖象的頂點，你能求出 y 與 x 之間的關系式嗎
針對訓練
1. 一個二次函數的圖象經點 (0, 1)，它的頂點坐標為(8，9)，求這個二次函數的表達式.
知識點二：特殊條件的二次函數的表達式
例1 已知二次函數 y＝ax2 ＋ c 的圖象經過點 (2,3)和 (－1,－3)，
求這個二次函數的表達式．
做一做
已知二次函數的圖象與 y 軸交點的縱坐標為 1，且經過點 (2， 5) 和(-2，13)，
求這個二次函數的表達式.
想一想
在什么情況下，已知二次函數圖象上兩點的坐標就可以確定它的表達式
知識點三：特殊條件的二次函數的表達式
已知二次函數 y = ax2+ bx + c 圖象上的三個點，可以確定這個二次函數的表達式嗎
合作探究
例2 已知二次函數的圖象經過點(－1，10)，(1，4)，(2，7) 三點，求這個二次函數的表達式，并寫出它的對稱軸和頂點坐標．
鏈接中考
1.(武漢)在一條筆直的滑道上有黑、紅兩個小球同向運動，黑球在 A 處開始減速，此時紅球在黑球前面 70 cm.小聰測量黑球減速后的運動距離 y (單位：cm) 隨運動時間 t (單位：s) 變化的數據，整理得下表.
小聰探究發現運動距離 y 與隨運動時間 t 之間成二次函數關系.
求 y 關于 t 的函數解析式(不用寫出自變量的取值范圍).
知識點四：交點法求二次函數的表達式
求二次函數 y = x2 + 2x - 3 的圖象與 x 軸的交點坐標？
例2 選取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，試求出這個二次函數的表達式.
練一練
2. 分別求出滿足下列條件的二次函數的表達式．
圖象經過點 A(1，0)，B(0，-3)，對稱軸是直線 x = 2.
知識點五(補充)：關于對稱軸對稱的兩點坐標求二次函數的解析式
例3 一個二次函數的圖象經過點 A(0，1)，B(1，2) ， C (2，1)，
求這個二次函數的解析式.
歸納總結
二、課堂小結
1. 如圖，平面直角坐標系中，函數圖象的解析式應是 .
2. 過點（2，4），且當 x=1 時，y 有最值為 6，則其表達式是 .
參考答案
一、創設情境，導入新知
1. 答：一次函數 y = kx + b (k≠0)：2 個待定系數，需要 2 個點坐標
反比例函數y = (k≠0)：1 個待定系數，需要 1 個點坐標
2. 答：待定系數法：(1) 設：表達式；
(2) 代：坐標代入；
(3) 解：方程(組)；
(4) 還原：寫出解析式.
小組合作，探究概念和性質
知識點一：頂點法求二次函數的表達式
合作探究
一名學生推鉛球時，鉛球行進高度 y (m) 與水平距離 x (m)之間的關系如圖所示，
其中 (4，3) 為圖象的頂點，你能求出 y 與 x 之間的關系式嗎
針對訓練
1. 一個二次函數的圖象經點 (0, 1)，它的頂點坐標為(8，9)，求這個二次函數的表達式.
解： 因為這個二次函數的圖象的頂點坐標為(8,9)，
因此，可以設函數表達式為 y = a(x - 8)2 + 9.
又由于它的圖象經過點(0 ,1)，可得 1= a(0-8)2+9.
解得 a = -.
∴所求的二次函數的表達式是y = -(x - 8)2 + 9.
知識點二：特殊條件的二次函數的表達式
例1 已知二次函數 y＝ax2 ＋ c 的圖象經過點 (2,3)和 (－1,－3)，
求這個二次函數的表達式．
解：∵該圖象經過點 (2，3) 和 (－1，－3)，
3 = 4a + c，
－3 = a + c，
解得 a = 2，
c =－5.
∴所求二次函數表達式為 y = 2x2－5.
做一做
已知二次函數的圖象與 y 軸交點的縱坐標為 1，且經過點 (2， 5) 和(-2，13)，
求這個二次函數的表達式.
解： 因為二次函數的圖象與 y 軸交點的縱坐標為 1，
因此，可以設函數表達式為 y = ax2 + bx + 1.
∵該圖象經過點 (2， 5) 和 (-2，13)，
5 = 4a + 2b + 1，
13 = 4a - 2b + 1.
解得 a = 2，
b = -2，
∴所求二次函數表達式為 y = 2x2－2x + 1.
知識點三：特殊條件的二次函數的表達式
已知二次函數 y = ax2+ bx + c 圖象上的三個點，可以確定這個二次函數的表達式嗎
合作探究
例2 已知二次函數的圖象經過點(－1，10)，(1，4)，(2，7) 三點，求這個二次函數的表達式，并寫出它的對稱軸和頂點坐標．
鏈接中考
1.(武漢)在一條筆直的滑道上有黑、紅兩個小球同向運動，黑球在 A 處開始減速，此時紅球在黑球前面 70 cm.小聰測量黑球減速后的運動距離 y (單位：cm) 隨運動時間 t (單位：s) 變化的數據，整理得下表.
小聰探究發現運動距離 y 與隨運動時間 t 之間成二次函數關系.
求 y 關于 t 的函數解析式(不用寫出自變量的取值范圍).
知識點四：交點法求二次函數的表達式
求二次函數 y = x2 + 2x - 3 的圖象與 x 軸的交點坐標？
答案：
例2 選取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，試求出這個二次函數的表達式.
練一練
2. 分別求出滿足下列條件的二次函數的表達式．
圖象經過點 A(1，0)，B(0，-3)，對稱軸是直線 x = 2.
解：∵ 圖象經過點 A(1，0)，對稱軸是直線 x = 2，
∴ 圖象經過另一點 (3，0).
故可設該二次函數的表達式為 y = a(x 1)(x 3).
將點 (0， 3)代入，得 3 = a(0 1)(0 3)，
解得 a = 1.
∴ 該二次函數的表達式為
y = (x 1)(x 3) = x2 + 4x 3.
知識點五(補充)：關于對稱軸對稱的兩點坐標求二次函數的解析式
例3 一個二次函數的圖象經過點 A(0，1)，B(1，2) ， C (2，1)，
求這個二次函數的解析式.
解：設這個拋物線解析式為 y = a(x - 0)(x - 2) + 1.
再把點 (1，2) 代入上式得
∴ a(1 - 0)(1 - 2) + 1 = 2，解得 a = -1.
∴ 二次函數的解析式是 y = -x(x - 3) + 1，
即 y = -x2 + 3x + 1.
當堂檢測
1.
答案：
2.
答案：y = -2(x-1)2+6

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