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第二章 二次函數
2.5 二次函數與一元二次方程
第2課時 利用二次函數求方程的近似根
學習目標：
1．會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根；(重點)
2．進一步體會二次函數與一元二次方程的關系．(難點)
一、復習回顧
二次函數 y = ax2 + bx + c 的圖象與 x 軸的交點與
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的關系
要點探究
知識點一：利用圖象法求一元二次方程的近似根
你能利用二次函數的圖象估計一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 0 的根嗎
由圖象可知，方程 x2 + 2x - 10 = 0有_____根，
一個根在____和____之間，
另一個根在____和____(填兩個整數）.
（1）先求－5 和－4 之間的根.
利用計算器進行探索：
（2）另一個根可以類似地求出:
歸納總結
做一做
利用二次函數的圖象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根.
做一做
你還能利用二次函數 y = x2 + 2x - 10 的圖象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根嗎？
歸納總結
利用二次函數求一元二次方程的近似根的一般方法：
①直接作出二次函數 y = ax2 + bx + c 的圖象；圖象與 x 軸交點的橫坐標就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根.
②先將一元二次方程變形為 ax2 + bx =－c，再在同一直角坐標系中畫出拋物線 y = ax2 + bx 和直線 y =－c；兩圖象的交點的橫坐標就是方程 ax2 + bx + c = 0 的根.
練一練
1. 已知二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖象如圖所示，則一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根為 (　　)
A. x1≈－2.1，x2≈0.1 B. x1≈－2.5，x2≈0.5
C. x1≈－2.9，x2≈0.9 D. x1≈－3， x2≈1
知識點二：*利用函數的圖象求一元二次不等式的解集
合作探究
問題1：函數 y = ax2 + bx+ c 的圖象如圖，
那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是______________；
不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是____________.
拓廣探索：
函數 y = ax2 + bx + c 的圖象如圖，
那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________；
不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________.
問題2：如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切實數，
那么函數 y = ax2 + bx + c 的圖象與 x 軸有____ 個公共點，坐標是 ；
方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 .
問題3：如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 沒有實數根，
那么函數 y = ax2 + bx + c 的圖象與 x 軸有______個公共點；
不等式 ax2 + bx + c＜0 的解集是什么？
試一試：利用函數圖象解下列方程和不等式：
(1)① -x2+x+2=0； ② -x2+x+2>0；③ -x2+x+2<0.
(2)① x2-4x+4=0； ② x2-4x+4>0；③ x2-4x+4<0.
(3)① -x2+x-2=0； ② -x2+x-2>0； ③ -x2+x-2<0.
歸納總結
二次函數 y=ax2+bx+c 的圖象與 x 軸公共點的坐標與一元二次不等式的關系
鏈接中考
二次函數 y = x2 - x - 2 的圖象如圖所示，則函數值 y＞0 時，
x 的取值范圍是( )
A．x＜-1
B．x＞2
C．-1＜x＜2
D．x＜-1 或 x＞2
二、課堂小結
1.根據下列表格的對應值:
判斷方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0,a,b,c 為常數)一個解 x 的范圍是（ ）
3< x < 3.23
B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 D. 3.25 2.小穎用計算器探索方程 ax2+bx+c=0 的根，作出如圖所示的圖象，并求得一個近似根 x = -3.4，則方程的另一個近似根（精確到 0.1）為（　　）
A．4.4
B．3.4
C．2.4
D．1.4
3.已知二次函數 y = x2 - 6x + 8 的圖象，利用圖象回答問題：
（1）方程 x2 - 6x + 8 = 0 的解是什么？
（2）x 取什么值時，y > 0 ？
（3）x 取什么值時，y < 0 ？
參考答案
一、創設情境，導入新知
小組合作，探究概念和性質
知識點一：利用圖象法求一元二次方程的近似根
你能利用二次函數的圖象估計一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 0 的根嗎
x =－4.3 是方程的一個近似根.
x = 2.3是方程的另一個近似根.
歸納總結
利用二次函數求一元二次方程的近似根的一般步驟：
① 畫出二次函數 y = ax2 + bx + c 的圖象；
② 確定拋物線與 x 軸的交點的橫坐標在哪兩個數之間；
③ 列表，在②中的連個數之間取值，進行估計.
近似根就出現在對應 y 值正負交換的位置.
做一做
利用二次函數的圖象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根.
解：x2 + 2x - 13 = 0
由圖象可知方程有兩根，一個在－5和－4 之間，另一個在 2 和 3 之間.
一個近似根：－4.7；另一個近似根：2.7
做一做
你還能利用二次函數 y = x2 + 2x - 10 的圖象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根嗎？
y = x2 + 2x - 10 和直線 y = 3 交點和橫坐標
就是方程 x2 + 2x - 10 = 3 的根
歸納總結
利用二次函數求一元二次方程的近似根的一般方法：
①直接作出二次函數 y = ax2 + bx + c 的圖象；圖象與 x 軸交點的橫坐標就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根.
②先將一元二次方程變形為 ax2 + bx =－c，再在同一直角坐標系中畫出拋物線 y = ax2 + bx 和直線 y =－c；兩圖象的交點的橫坐標就是方程 ax2 + bx + c = 0 的根.
練一練
1. 答案：B
知識點二：*利用函數的圖象求一元二次不等式的解集
合作探究
問題1：
答案：x1 = 1，x2 = 3；
x < 1 或 x > 3；
1 < x < 3.
拓廣探索：
答案：x1 = 2，x2 = 4；
x < 2 或 x > 4；
2 < x < 4.
問題2：
答案：1；(2 ，0)；x1 = x2 = 2
問題3
解：① 當 a＞0 時，ax2 + bx + c＜0 無解.
② 當 a＜0 時，ax2 + bx + c＜0的解集是全體實數.
試一試：
答案：(1) ①x1 = -1，x2 = 2；②-1＜x＜2；③x＜-1或 x＞2
① x1 = x2 = 2 ② x ≠ 2 ③ 無解
① 無解 ② 無解 ③ x 為全體實數
歸納總結
二次函數 y=ax2+bx+c 的圖象與 x 軸公共點的坐標與一元二次不等式的關系
a＞0
（1） （2） （3）
（1）y＜0，x1＜x＜x2；y＞0，x＜x1 或 x＞x2.
（2）y＜0，x0 之外的所有實數；y＞0，無解.
（3）y＞0，所有實數；y＜0，無解.
a＜0
（1） （2） （3）
（1）y＞0，x1＜x＜x2；y＜0，x＜x1或 x＞x2.
（2）y＜0，x0 之外的所有實數；y＞0，無解.
（3）y＜0，全體實數；y＞0，無解.
鏈接中考
2.D
當堂檢測
1.
答案：C
2.
答案：D
3.
解：（1）x1=2，x2=4；
（2）x < 2 或 x > 4；
（3）2 < x < 4.

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