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第三章 圓
3.4 圓周角和圓心角的關(guān)系
第2課時(shí) 圓周角和直徑的關(guān)系及圓內(nèi)接四邊形
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1．掌握?qǐng)A周角和直徑的關(guān)系，會(huì)熟練運(yùn)用解決問(wèn)題；(重點(diǎn))
2．培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析及理解問(wèn)題的能力，經(jīng)歷猜想、推理、驗(yàn)證等環(huán)節(jié)，獲得正確的學(xué)習(xí)方式．(難點(diǎn))
一、復(fù)習(xí)回顧
問(wèn)題 1 什么是圓周角？
問(wèn)題 2 什么是圓周角定理？
要點(diǎn)探究
知識(shí)點(diǎn)一：直徑所對(duì)應(yīng)的圓周角
如圖，BC 是⊙O 的直徑，它所對(duì)的圓周角有什么特點(diǎn)？你能證明你的結(jié)論嗎？
如圖，圓周角∠A = 90°，弦 BC 是直徑嗎？為什么？
歸納總結(jié)
推論 直徑所對(duì)的圓周角是直角.
幾何語(yǔ)句：∵ BC 為直徑，
∴∠BAC = 90°.
推論 90° 的圓周角所對(duì)的弦是直徑.
幾何語(yǔ)句：∵∠BAC = 90°，
∴ BC 為直徑 .
鏈接中考
1. (濟(jì)南)如圖，AB、CD 是 ⊙O 的直徑，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度數(shù).
練一練
1. 如圖，BD 是 ⊙O 的直徑，∠CBD＝30°，則∠A 的度數(shù)為(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
知識(shí)點(diǎn)二：圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)
如圖，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四點(diǎn)，AC 為⊙O 的直徑，∠BAD 與 ∠BCD 之間有什么關(guān)系？為什么？
(2) 如圖，點(diǎn) C 的位置發(fā)生了變化，∠BAD 與 ∠BCD 之間關(guān)系還成立嗎？為什么？
歸納總結(jié)
四邊形 ABCD 的四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O 上，像這樣的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓.
根據(jù)以上討論你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？
推論 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).
幾何語(yǔ)句：
∵四邊形 ABCD 為圓內(nèi)接四邊形，
∴∠BAD+∠BCD = 180°
（圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)）.
想一想
如圖，∠DCE 是圓內(nèi)接四邊形 ABCD 的一個(gè)外角，∠A 與 ∠DCE 的大小有何關(guān)系？
鏈接中考
2.(長(zhǎng)春) 如圖，四邊形 ABCD 為⊙O 的內(nèi)接四邊形,若∠BCD = 121° ，
則 ∠BOD 的度數(shù)為 ( )
A. 138°
B. 121°
C. 118°
D. 112°
二、課堂小結(jié)
1. (泗陽(yáng)縣期末)如圖，AB 是 ⊙O 的直徑，弦 CD 交AB 與點(diǎn) E，∠ADC = 26°，求∠CAB 的度數(shù).
2.(阜寧縣期末)如圖，AB 是⊙O 的直徑， C、D 是 ⊙O 的兩點(diǎn)，且 AD = DC ，
∠DAC = 25°，求∠BAC 的度數(shù) ( )
A. 30° B. 35°
C. 40° D. 50°
4. (武漢)如圖，以 AB 為直徑的⊙O 經(jīng)過(guò)△ABC 的頂點(diǎn) C，AE，BE 分別平分 ∠BAC 和 ∠ABC，AE 的延長(zhǎng)線交⊙O 于點(diǎn) D. 連接 BD. 判斷△BDE 的形狀，并證明你的結(jié)論.
參考答案
小組合作，探究概念和性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)一：直徑所對(duì)應(yīng)的圓周角
如圖，BC 是⊙O 的直徑，它所對(duì)的圓周角有什么特點(diǎn)？你能證明你的結(jié)論嗎？
猜想：直徑 BC 所對(duì)的圓周角∠BAC＝90°.
證明：∵BC 為直徑，
∴∠BOC＝180°，
∴根據(jù)圓周角定理，∠A＝∠BOC＝90°.
如圖，圓周角∠A = 90°，弦 BC 是直徑嗎？為什么？
解：弦 BC 是直徑.
連接 OC、OB，
∵圓周角∠A＝90°，
∴圓心角∠BOC＝2∠A＝180°.
∴ B、O、C 三點(diǎn)在同一直線上.
∴ BC 是⊙O 的一條直徑.
鏈接中考
1. (濟(jì)南)如圖，AB、CD 是 ⊙O 的直徑，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度數(shù).
解：∵ AB 是 ⊙O 的直徑，
∴∠ADB = 90°.
∵相同的弧所對(duì)應(yīng)的圓周角相等，且∠ACD = 25°，
∴∠B = 25°.
∴∠BAD = 90°-∠B = 65°.
練一練
1. 如圖，BD 是 ⊙O 的直徑，∠CBD＝30°，則∠A 的度數(shù)為(　C　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
知識(shí)點(diǎn)二：圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)
如圖，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四點(diǎn)，AC 為⊙O 的直徑，∠BAD 與 ∠BCD 之間有什么關(guān)系？為什么？
解：∠BAD 與∠BCD 互補(bǔ).
∵AC 為直徑，
∴∠ABC = 90°，∠ADC = 90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD = 360°，
∴∠BAD +∠BCD = 180°.
∴∠BAD 與∠BCD 互補(bǔ).
(2) 如圖，點(diǎn) C 的位置發(fā)生了變化，∠BAD 與 ∠BCD 之間關(guān)系還成立嗎？為什么？
解：∠BAD 與∠BCD 的關(guān)系仍然成立.
連接 OB，OD，
則∠BAD = ∠2，∠BCD = ∠1.
∵∠1 +∠2 = 360°，
∴∠BAD +∠BCD = 180°.
∴∠BAD 與∠BCD 互補(bǔ).
想一想
如圖，∠DCE 是圓內(nèi)接四邊形 ABCD 的一個(gè)外角，∠A 與 ∠DCE 的大小有何關(guān)系？
∵∠A＋∠DCB＝180°，
∠DCB＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
鏈接中考
2.(長(zhǎng)春) 如圖，四邊形 ABCD 為⊙O 的內(nèi)接四邊形,若∠BCD = 121° ，
則 ∠BOD 的度數(shù)為 ( C )
A. 138°
B. 121°
C. 118°
D. 112°
當(dāng)堂檢測(cè)
1.
解：連接 BC.
∵AB 是 ⊙O 直徑，
∴∠ACB = 90°.
∴∠B = ∠D = 26°.
∴∠CAB = 90° - 26° = 64°.
2.
答案：C
3.
答案：B
4.
解：△BDE 為等腰直角三角形.
證明：∵ AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC.
∴ ∠BAE = ∠CAD = ∠CBD，∠ABE = ∠EBC.
∵ ∠BED =∠BAE +∠ABE，
∠DBE =∠DBC +∠CBE，
∴ ∠BED =∠DBE.
∴ BD = ED.
∵ AB 為直徑，
∴ ∠ADB = 90°.
∴ △BDE 是等腰直角三角形.

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