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第三章 圓
*3.3 垂徑定理
學習目標：
1．理解垂徑定理和推論的內容，并會證明，利用垂徑定理解決與圓有關的問題；(重點)
2．利用垂徑定理及其推論解決實際問題．(難點)
一、情境導入
問題:趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有 1400 年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為 37 m，拱高（弧的中點到弦的距離）為 7.23 m，求趙州橋主橋拱的半徑（結果保留小數點后一位）.
要點探究
知識點一： 垂徑定理及其推論
探究一 如圖，AB 是⊙O 的一條弦，作直徑 CD，使CD⊥AB，垂足為 M.
(1) 右圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？
(2) 你能發現圖中有哪些等量關系？說一說你的理由.
歸納總結：
垂徑定理：
典例精析
例1 如圖，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半徑為 10 cm，OE = 6 cm，則 AB = cm.
想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？
（1） （2） （3） （4）
探究二 如圖，AB 是⊙O 的弦（不是直徑），作一條平分 AB 的直徑 CD，交 AB 于點 M ．
(1) 這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？
(2) 你能發現圖中有哪些等量關系？說一說你的理由.
歸納總結
垂徑定理的逆定理：
例2 如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中弧 CD，點 O 是弧 CD 的圓心)，其中 CD=600 m，E 為弧 CD 上的一點，且 OE⊥CD，垂足為 F，EF = 90 m.求這段彎路的半徑.
練一練
如圖 a、b，一弓形弦長為 cm，弓形所在的圓的半徑為 7 cm，
則弓形的高為＿＿cm.
二、課堂小結
1.已知⊙O 中，弦 AB = 8 cm，圓心到 AB 的距離為 3 cm，則此圓的半徑為 cm.
2.（分類討論題）已知⊙O 的半徑為 10 cm，弦 MN ∥EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，則弦 MN 和 EF 之間的距離為 cm.
3.(朝陽區期末) 圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結構類型，它不僅力學性能好，且構造簡單、施工方便.某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為 1 m 的圓，如圖所示，若水面寬 AB = 0.8 m，求水的最大深度.
參考答案
小組合作，探究概念和性質
典例精析
例1 如圖，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半徑為 10 cm，OE = 6 cm，則 AB = cm.
答案：16
想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？
（1） （2） （3） （4）
答案：（1）是（2）不是，因為沒有垂直.
（3）是
（4）不是，因為 AB，CD 都不是直徑.
回顧導入
趙州橋中，弦長 a，弦心距 d，弓形高 h，半徑 r 之間有以下關系：
例2 如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中弧 CD，點 O 是弧 CD 的圓心)，其中 CD=600 m，E 為弧 CD 上的一點，且 OE⊥CD，垂足為 F，EF = 90 m.求這段彎路的半徑.
練一練
如圖 a、b，一弓形弦長為 cm，弓形所在的圓的半徑為 7 cm，
則弓形的高為＿＿cm.
答案：2 或 12 cm
當堂檢測
1.答：5
2.答：14 或 2
3.

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