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第三章 圓
3.6 直線和圓的位置關(guān)系
第2課時(shí) 切線的判定及三角形的內(nèi)切圓
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1．掌握切線的判定定理，并會(huì)運(yùn)用它進(jìn)行切線的證明；(重點(diǎn))
2．能靈活選用切線的三種判定方法判定一條直線是圓的切線；(難點(diǎn))
3．掌握畫三角形內(nèi)切圓的方法和三角形內(nèi)心的概念. (重點(diǎn))
一、復(fù)習(xí)回顧
轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)飛出的雨滴，用砂輪磨刀時(shí)擦出的火花，都是沿著什么方向飛出的？
生活中常看到切線的實(shí)例，如何判斷一條直線是否為切線呢？
要點(diǎn)探究
知識(shí)點(diǎn)一：圓的切線的判定
合作探究
如圖，AB 是 ⊙O 的直徑，直線 l 與 AB 的夾角為∠α. 當(dāng) l 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)時(shí)，
隨著∠α 的變化，點(diǎn) O 到 l 的距離 d 如何變化？
直線 l 與 ⊙O 的位置關(guān)系如何變化？
（2）當(dāng)∠α 等于多少度時(shí)，點(diǎn) O 到 l 的距離 d 等于半徑 r ？此時(shí)，直線 l 與 ⊙O 有怎樣的位置關(guān)系？為什么？
知識(shí)要點(diǎn)
切線的判定定理
典例精析
例1 判斷：
(1) 過半徑的外端的直線是圓的切線 ( )
(2) 與半徑垂直的的直線是圓的切線 ( )
(3) 過半徑的端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線 ( )
做一做
已知 ⊙O 上有一點(diǎn) A，過點(diǎn) A 畫 ⊙O 的切線.
方法總結(jié)
典例精析
例2 如圖，已知：直線 AB 經(jīng)過⊙O 上的點(diǎn) C 并且OA = OB，CA = CB.
求證：直線 AB 是⊙O 的切線.
例3 如圖，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分線交 BC 于 D，以 D 為圓心，DB 長(zhǎng)為半徑作⊙D．
求證：AC 是⊙O 的切線．
合作探究
思考 觀察例 2 和例 3，說說這兩種證明方法有什么不同.
知識(shí)點(diǎn)二：三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心
探究：小明在一家木料廠上班，工作之余想對(duì)廠里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能最大化利用三角形廢料呢？
例4 已知：△ABC.
求作：⊙I ，使它與△ABC 的三邊都相切.
知識(shí)要點(diǎn)
這樣的圓可以作出幾個(gè) 為什么
知識(shí)要點(diǎn)
典例精析
例5 △ABC 中，⊙O 是 △ABC 的內(nèi)切圓，∠A=70°，
求 ∠BOC 的度數(shù).
二、課堂小結(jié)
1. 判斷下列命題是否正確.
(1) 經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線. （ ）
(2) 垂直于半徑的直線是圓的切線. （ ）
(3) 過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線. （ ）
(5) 和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線. （ ）
(6) 三角形的內(nèi)心是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn). （ ）
(7) 三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等. （ ）
(8) 三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部. （ ）
2. 如圖，⊙O 內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn) D、E、F 分別在BC、AB、AC 上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，連接 OE，OF，DE，DF，那么∠EDF 等于(　　)
A．40° B．55°
C．65° D．70°
鏈接中考
1.(寧夏)如圖，以線段 AB 為直徑作 ⊙O ，交射線 AC于點(diǎn) C， AD 平分∠CAB 交 ⊙O 于點(diǎn) D 作直線 DE⊥AC 于點(diǎn) E，交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F.連接 BD 并延長(zhǎng)交 AC 于點(diǎn) M. 求證：直線 DE 是⊙O 的切線.
參考答案
小組合作，探究概念和性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)一：圓的切線的判定
合作探究
∠α 從 90° 變小到 0°，再由 0° 變大到 90°，
點(diǎn) O 到 l 的距離 d 先由 r 變小到 0，再由 0 變大到 r.
直線 l 與 ⊙O 先 相切 ，再 相交 ，最后又 相切 .
當(dāng)∠α = 90° 時(shí)，點(diǎn) O 到 l 的距離 d 等于半徑 r . 此時(shí)，直線 l 與 ⊙O 相切.
典例精析
例1
答案：（1）× （2）× （3）×
做一做
已知 ⊙O 上有一點(diǎn) A，過點(diǎn) A 畫 ⊙O 的切線.
典例精析
例2
證明：連接 OC (如圖).
∵ OA = OB，CA = CB，
∴ AB ⊥ OC.
∴ OC 是⊙O 的半徑.
∴ AB 是⊙O 的切線.
例3
證明：如圖，過 D 作 DE⊥AC 于 E.
∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB.
又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC，
∴ DE = DB.
∴ AC 是⊙O 的切線.
知識(shí)點(diǎn)二：三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心
例4
作法：
1. 分別作∠B，∠C 的平分線 BE 和 CF，交點(diǎn)為 I .
2. 過 I 作 BC 的垂線，垂足為D .
3. 以 I 為圓心，以 ID 的長(zhǎng)為半徑作⊙I .
⊙I 就是所求的圓.
與三角形三邊都相切
典例精析
例5
解：∵∠A = 70°，
∴∠ABC +∠ACB =180° -∠A=110°.
∵⊙O 是 △ABC 的內(nèi)切圓，
∴BO，CO 分別是 ∠ABC 和 ∠ACB 的平分線，
即∠OBC= ∠ABC ，∠OCB= ∠ACB.
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB) =180°- (∠ABC +∠ACB)
=180°- ×110° = 125°.
當(dāng)堂檢測(cè)
1.
答案：(1)× (2) ×(3) √(4)√ (5) √(6) √(7) √(8) √
2.
答案：B
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