資源簡介

第三章 圓
*3.7 切線長定理
學習目標：
1．理解切線長的定義；(重點)
2．掌握切線長定理并能運用切線長定理解決問題．(難點)
一、復習回顧
1. 直線和圓有哪些位置關系？
2. 如何判斷直線和圓相切？(常用方法)
要點探究
知識點一： 切線長的定義
探究一：已知⊙O 和⊙O 外一點 P，你能過點 P 畫出 ⊙O 的切線嗎？這樣的直線能畫幾條？
知識點二： 切線長定理
合作探究
如圖，PA、PB 是⊙O 的兩條切線，A，B 是切點.
(1) 這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？
(2) 在這個圖中你能找到相等的線段嗎？說說你的理由.
動手實踐
請證明你的猜想.
已知：如圖， PA，PB 是☉O 的兩條切線，A，B 為切點.
求證：PA = PB.
合作探究
思考 圖中還有哪些量？猜想它們之間有什么關系？
如何驗證我們的猜想是否正確？
知識要點
切線長定理
合作探究
如圖，四邊形 ABCD 的四條邊都與⊙O 相切，圖中的線段之間有哪些等量關系？
例1 如圖，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，BC = 24，⊙O 是△ABC 的內切圓，切點分別是 D，E，F(xiàn)，求⊙O 的半徑.
鏈接中考
1.(西寧)如圖，PA，PB 與☉O 分別相切于點 A，B，PA＝2，∠P＝60°，則 AB＝( )
2.(天津)如圖，已知 AB 為⊙O 的直徑，PA，PC 是 ⊙O 的切線，A，C 為切點，∠BAC = 30°.
(1) 求∠P 的大小；
(2) 若 AB = 2. 求 PA 的長(結果保留根號).
二、課堂小結
1. 如圖，PA、PB 是 ⊙O 的兩條切線，切點分別是 A、B，如果 AP = 4，∠APB = 40° ，則 ∠APO = ，PB= .
2. 如圖，已知點 O 是 △ABC 的內心，且 ∠ABC= 60°， ∠ACB= 80°，則 ∠BOC= .
3. △ABC 的內切圓 ☉O 與三邊分別切于 D、E、F三點，如圖，已知 AF=3，BD + CE=12，則 △ABC的周長是 .
(湖州)如圖，已知 △ABC 的內切圓⊙O 與 BC 邊相切于點 D，連接 OB，OD.
若∠ABC = 40°，求∠BOD 的度數(shù).
參考答案
一、創(chuàng)設情境，導入新知
1.
相離、相交、相切.
2.
(1) 數(shù)量關系法(證明 d = r)；
(2) 判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
小組合作，探究概念和性質
知識點一： 切線長的定義
探究一：已知⊙O 和⊙O 外一點 P，你能過點 P 畫出 ⊙O 的切線嗎？這樣的直線能畫幾條？
知識點二： 切線長定理
合作探究
(1)
是軸對稱圖形，對稱軸是直線 OP .
(2)
證明：連接 OA、OB.
∵PA，PB 是☉O 的切線，
∴∠PAO = ∠PBO = 90°.
在 Rt△POA 和 Rt△POB 中，
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△POA≌Rt△POB.
∴ PA = PB.
合作探究
思考 圖中還有哪些量？猜想它們之間有什么關系？
猜想：∠APO = ∠BPO
合作探究
結論：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等.
即 AD＋BC＝AB＋CD.
例1
解：連接 OD，OE，OF，則 OD = OE = OF，設 OD = r.
在 Rt△ABC 中，AC = 10，BC = 24，
∵ ⊙O 分別與 AB，BC，AC 相切于點 D，E，F(xiàn)，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD = BE，
AD = AF，CE = CF.
又∵∠C = 90°，
∴ 四邊形 OECF 為正方形.
∴ CE = CF = r.
∴ BE = 24 – r，AF = 10 – r.
∴ AB = BD + AD = BE + AF = 34 – 2r.
而 AB = 26，∴ 34 – 2r = 26.
∴ r = 4，即 ⊙O 的半徑為 4.
鏈接中考
1.B
2.
解：(1) PA 是⊙O 的切線，AB 為⊙O 的直徑，
∴ PA⊥AB. ∴∠BAP = 90°.
∵∠BAC = 30°，
∴∠CAP = 90°-∠BAC = 60°.
又∵PA、PC 切⊙O 于點 A、C，
∴PA = PC. ∴△PAC 為等邊三角形.
∴∠P = 60°.
(2) 如圖，連接 BC，則∠ACB = 90°.
在 Rt△ACB 中，AB = 2，∠BAC = 30°.
∴ BC = 1，AC = ，∠PAC = 60°.
∴ △PAC 為等邊三角形.
∴ PA = AC.
∴ PA = .
當堂檢測
1.
答案：20°，4
2.
答案：110°.
3. 30
4.

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