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第四章 因式分解
4.2 提公因式法
第1課時 提公因式為單項式的因式分解
學習目標：
1.能準確地找出各項的公因式，并注意各種變形的符號問題；
2.能簡單運用提公因式法進行因式分解.
一、情境導入
問題1：多項式 ma + mb + mc 有哪幾項？
問題2：每一項的因式都分別有哪些？
問題3：這些項中有沒有公共的因式？若有，公共的因式是什么？
要點探究
知識點一： 確定公因式
問題：觀察下列多項式，它們有什么共同特點？
ab + bc 3x2 + x mb2 + nb－b.
想一想
嘗試將這幾個多項式分別寫成幾個因式的乘積
ab + bc ；
3x2 + x；
mb2 + nb－b.
議一議
例1 (1) 多項式 2x2 – 6x3 中各項的公因式是什么？
(2)你能嘗試將多項式 2x2 – 6x3 因式分解嗎
正確找出多項式各項公因式的關鍵是：
練一練
寫出下列多項式的公因式.
（1）x－x2；
（2）4abc + 2a；
（3）abc－b2 + 2ab；
（4）a2 + ax2.
知識點二： 提公因式為單項式的因式分解
知識要點：
如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式. 這種因式分解的方法叫做提公因式法.
思考：以下是三名同學對多項式 2x2 + 4x 分解因式的結果：
（1）2x2 + 4x = 2(x2 + 2x)；
（2）2x2 + 4x = x(2x + 4)；
（3）2x2 + 4x = 2x(x + 2).
哪位同學的結果是正確的？
用提公因式法分解因式應注意哪些問題呢？
易錯分析：
問題1：小明的解法有誤嗎？
因式分解：12x2y + 18xy2.
解：原式 = 3xy(4x + 6y).
問題2：小亮的解法有誤嗎？
因式分解：3x2－6xy + x.
解：原式 = x(3x－6y).
問題3：小華的解法有誤嗎？
因式分解：－x2 + xy－xz.
解：原式 = －x(x + y－z).
例2 分解下列因式：
想一想
提公因式法因式分解與單項式乘多項式有什么關系
二、課堂小結
1. 多項式 8xmyn－1－12x3myn 的公因式是（　　）
A．xmyn B．xmyn－1 C．4xmyn D．4xmyn－1
2. 把下列多項式分解因式：
(1) －3x2 + 6xy－3xz；
(2) 3a3b + 9a2b2－6a2b.
3. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值．
參考答案
創設情境，導入新知
問題1：多項式 ma + mb + mc 有哪幾項？
ma，mb，mc
問題2：每一項的因式都分別有哪些？
依次為 m，a；m，b；m，c
問題3：這些項中有沒有公共的因式？若有，公共的因式是什么？
有，為 m
小組合作，探究概念和性質
知識點一： 確定公因式
問題：觀察下列多項式，它們有什么共同特點？
我們把多項式各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式.
想一想
嘗試將這幾個多項式分別寫成幾個因式的乘積
(1) ab + bc ； b(a + c)
(2) 3x2 + x； x(3x + 1)
(3) mb2 + nb－b. b(mb + n－1)
議一議
(2)你能嘗試將多項式 2x2 – 6x3 因式分解嗎
2x2 – 6x3＝2x2(1– 3x)
正確找出多項式各項公因式的關鍵是：
1. 定系數：公因式的系數是多項式各項系數的最大公約數.
2. 定字母：字母取多項式各項中都含有的相同的字母.
3. 定指數：相同字母的指數取各項中最小的一個，即字母最低次冪.
練一練
寫出下列多項式的公因式.
（1）x－x2；
（2）4abc + 2a；
（3）abc－b2 + 2ab；
（4）a2 + ax2.
答案：（1） x （2）2a （3）b （4）a
知識點二： 提公因式為單項式的因式分解
知識要點：
如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種因式分解的方法叫做提公因式法.
思考：以下是三名同學對多項式 2x2 + 4x 分解因式的結果：
（1）2x2 + 4x = 2(x2 + 2x)；
（2）2x2 + 4x = x(2x + 4)；
（3）2x2 + 4x = 2x(x + 2).
哪位同學的結果是正確的？
答：根據最終結果是否還能進一步分解，易知第三位同學的結果是正確的.
用提公因式法分解因式應注意哪些問題呢？
易錯分析：
問題1：小明的解法有誤嗎？
因式分解：12x2y + 18xy2.
解：原式 = 3xy(4x + 6y).
答案：錯誤. 公因式沒有提盡，還可以提出公因式 2
正確解：原式 = 6xy(2x + 3y).
注意：公因式要提盡.
問題2：小亮的解法有誤嗎？
因式分解：3x2－6xy + x.
解：原式 = x(3x－6y).
答案：錯誤. 當多項式的某一項和公因式相同時，提公因式后剩余的項是 1.
正確解：原式 = 3x·x－ 6y·x + 1·x = x(3x - 6y + 1).
注意：整項提出莫漏 1.
問題3：小華的解法有誤嗎？
因式分解：－x2 + xy－xz.
解：原式 = －x(x + y－z).
答案：錯誤. 提出負號時括號里的項沒變號
正確解：原式=－(x2－xy + xz) = －x(x－y + z).
注意：首項有負常提負.
例2 分解下列因式：
解：(1) 原式 = x·3＋x·x2 = x(3＋x2).
(2) 原式 = 7x2·x－7x2·3 = 7x2(x－3).
(3) 原式 = ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1 = ab(8a2b－12b2c＋1).
(4) 原式 = －(24x3－12x2 + 28x) =－(4x·6x2－4x·3x + 4x·7) =－4x(6x2 －3x+7).
想一想
提公因式法因式分解與單項式乘多項式有什么關系
因式分解與整式乘法互為逆變形
當堂小結
當堂檢測
1. 多項式 8xmyn－1－12x3myn 的公因式是（　D　）
A．xmyn B．xmyn－1 C．4xmyn D．4xmyn－1
解析：(1) 公因式的系數是多項式各項系數的最大公約數，為 4；
(2) 字母取各項都含有的相同字母，為 xy；
(3) 相同字母的指數取次數最低的，x 為 m 次，y 為 n－1 次.
2. 把下列多項式分解因式：
(1) －3x2 + 6xy－3xz；
(2) 3a3b + 9a2b2－6a2b.
解：(1) －3x2 + 6xy－3xz = (－3x)·x + (－3x)·(－2y) + (－3x)·z
= －3x(x－2y + z).
(2) 3a3b + 9a2b2－6a2b = 3a2b·a + 3a2b·3b－3a2b·2
= 3a2b(a + 3b－2).
3. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值．
解：∵ a＋b ＝ 7，ab ＝ 4，
∴ 原式 ＝ ab(a＋b) ＝ 4×7 ＝ 28.
方法總結：含 a±b，ab 的求值題，通常要將所求代數式進行因式分解，將其變形為能用 a±b 和 ab表示的式子，然后將 a±b，ab 的值整體代入即可.

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